4.3 对数（突破疑难）-【学而思】2026-2027学年高一数学必修第一册课时作业（人教版·新教材）

4.3　对数 知识易错易混 【知识导图】 【易错易混】 忽视真数大于零致误 例1 已知lg x+lg y=2lg(x-2y),则=　　　　.  [答案] 4 [解析] 因为lg x+lg y=2lg(x-2y),所以xy=(x-2y)2,即x2-5xy+4y2=0,解得x=y或x=4y. 由已知得x>0,y>0,x-2y>0,所以x=4y,所以=4. 解题方法拓展 【方法解读】 对数的换底公式 例2 (1)计算:(log2125+log425+log85)·(log1258+log254+log52); (2)已知log189=a,18b=5,求log3645(用a,b表示). 解:(1)(log2125+log425+log85)·(log1258+log254+log52)=(log253+lo52+lo5)·(lo23+lo22+log52)=log25·(1+1+1)log52=×3=13. (2)∵18b=5,∴b=log185. 又log189=a,∴log3645====. [关键技巧] 利用换底公式进行化简求值的原则和技巧: 【教材拓展】 指对互化的应用 熟练掌握指数式与对数式的互化,logaN=x与ax=N(a>0,且a≠1;N>0)是等价的,可利用a,x,N中两个量表示第三个量,并且熟练应用常见对数恒等式loga1=0,logaa=1,logaan=n(a>0,且a≠1). 例3 已知2x=3y=6z,求x,y,z之间的关系. 解:设2x=3y=6z=k>0,则x=log2k,y=log3k,z=log6k. (1)当k=1时,x=y=z=0. (2)当k≠1时,利用换底公式得logk2=,logk3=,logk6=. ∵logk6=logk2+logk3,∴=+. 故x,y,z之间的关系是x=y=z=0或=+. 例4 已知Xlg XYlg YZlg Z=5,Xlg YYlg ZZlg X=,求XYZ的值. 解:由Xlg XYlg YZlg Z=5,可得(lg X)2+(lg Y)2+(lg Z)2=lg 5①. 同理由Xlg YYlg ZZlg X=,可得2(lg X)(lg Y)+2(lg Y)(lg Z)+2(lg X)(lg Z)=lg 2②. ①+②可得(lg X+lg Y+lg Z)2=lg 5+lg 2=1, 则lg(XYZ)=±1,所以XYZ=10或. 学科网（北京）股份有限公司 $