4.1 指数（突破疑难）-【学而思】2026-2027学年高一数学必修第一册课时作业（人教版·新教材）

第四章　指数函数与对数函数 4.1　指数 知识易错易混 【知识导图】 【易错易混】 根式的简单性质 根式运算中,常会遇到开方与乘方两种运算并存的情况,特别要注意两者运算顺序是否可换、何时可换,应正确使用公式:①()n=a;②= 例1 计算:+=　　　　.  [答案] 2 [解析] +=1++|1-|=2. [易错提醒] 忽略n的取值范围导致式子(a∈R)化简出错,要分清根式是奇次根式还是偶次根式,也要区分与()n. 解题方法拓展 【方法解读】 整体思想解决条件求值问题 例2 已知+=3,求下列各式的值: (1)a+a-1;(2)a2+a-2;(3). 解:(1)将+=3两边平方,得a+a-1+2=9,即a+a-1=7. (2)将a+a-1=7两边平方,得a2+a-2+2=49,即a2+a-2=47. (3)==a+a-1+1=8. [关键技巧] 利用“整体代入法”求值常用的变形公式如下: 已知a>0,b>0,(1)a±2+b=(±)2;(2)(+)(-)=a-b; (3)+=(+)(a-+b);(4)-=(-)(a++b). 【教材拓展】 由(n∈N*)体会极限思想 例3 [教材P110第10题] (1)当n=1,2,3,10,100,1000,10 000,100 000,…时,用计算工具计算(n∈N*)的值; (2)当n越来越大时,的底数越来越小,而指数越来越大,那么是否也会越来越大?有没有最大值? 解:(1)=2;==2.25;=≈2.370 4;=1.110≈2.593 7;=1.01100≈2.704 8;=1.0011000≈2.716 9;=1.000 110 000≈2.718 1;=1.000 01100 000≈2.718 3. (2)由(1)知,当n越来越大时,的值也会越来越大,但没有最大值. 我们会发现,当n越来越大时,的底数越来越小,而指数越来越大,其值将会无限趋近于一个常数,据此,我们可以作出推理:当n无限趋近正无穷大时,=e. 拓展 借助信息技术计算(n∈N*)的值,我们发现当n=1,2,3,10,100,1000,…时的底数越来越小,而指数越来越大,随着n越来越大,会无限趋近于e(e=2.718 28…是自然对数的底数). 根据以上知识判断,当n越来越大时,会趋近于　　　　.  [答案] e4 [解析] 由题意知==.因为当n越来越大时,会无限趋近于e,所以当n越来越大时,会无限趋近于e,则会无限趋近于e4,故会无限趋近于e4. 学科网（北京）股份有限公司 $