3.4 函数的应用(一)（突破疑难）-【学而思】2026-2027学年高一数学必修第一册课时作业（人教版·新教材）

3.4　函数的应用(一) 知识易错易混 【知识导图】 【易错易混】 解决实际问题的注意事项 (1)函数模型应用不当是常见的解题错误,所以要理解题意,选择适当的函数模型; (2)要特别关注实际问题的自变量的取值范围,合理确定函数的定义域; (3)注意问题反馈,在解决函数模型后,必须验证解的合理性. 例1 某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品,估计能获得10万元~1000万元的投资收益,现准备制定一个对科研课题组的奖励方案: ①奖金y(万元)随投资收益x(万元)的增加而增加; ②奖金不超过9万元; ③奖金不超过投资收益的20%. (1)请你再写出一条奖励方案④; (2)若建立函数模型y=f(x)制定奖励方案,试用数学语言表述公司对奖励函数模型y=f(x)的三个基本要求; (3)现有奖励函数模型f(x)=(k≤9)符合公司要求,求整数k的取值范围.(参考数据:≈3.16) 解:(1)④出勤率、考核分越高,奖金越高(答案不唯一). (2)公司对奖励函数模型y=f(x)的基本要求是:当x∈[10,1000]时, ①f(x)单调递增;②f(x)≤9恒成立;③f(x)≤恒成立. (3)对于函数模型f(x)==-. 对于①,无论k取何值,函数f(x)在[10,1000]上单调递增; 对于②,对任意x∈[10,1000],f(x)≤9, 则f(1000)≤9,即-≤9,解得k≥30-90; 对于③,对任意x∈[10,1000],f(x)≤, 即-≤,则k≥-2x+3恒成立, 当x∈[10,1000]时,y=-2x+3=-2+在[10,1000]上单调递减, 当x=10时,ymax=3-20,因此k≥3-20. 又30-90>3-20,所以k≥30-90,又30-90≈4.8,所以k≥5, 所以整数k的取值范围是{k∈N|9≥k≥5}. 解题方法拓展 【方法解读】 待定系数法求函数应用题的解析式 待定系数法求函数应用题的解析式与待定系数法求函数解析式的步骤相同,但需注意的是求函数应用题的解析式要特别注意定义域问题,要保证定义域符合问题背景和实际意义. 例2 某学校研究学习小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中发现,在40分钟的一节课中,注意力指数y与听课时间x(单位:分)之间的关系满足如图所示的图象,当x∈[0,12]时,图象是二次函数图象的一部分,其中顶点A(10,80),图象过点B(12,78);当x∈[12,40]时,图象是线段BC,其中C(40,50).根据专家研究,当注意力指数大于62时,学习效果最佳.要使得学生学习效果最佳,则教师安排核心内容的时间段为　　　　.(写成区间形式)  [答案] (4,28) [解析] 当x∈[0,12]时,设f1(x)=a(x-10)2+80,将(12,78)代入,得78=a(12-10)2+80,解得a=-,则f1(x)=-(x-10)2+80,由f1(x)=-(x-10)2+80>62,解得4<x<16,则4<x≤12;当x∈[12,40]时,设f2(x)=kx+b,将(12,78),(40,50)代入,得解得则f2(x)=-x+90,由f2(x)=-x+90>62,解得x<28,则12≤x<28.综上所述,教师在(4,28)内安排核心内容能使得学生学习效果最佳. 例3 某公司成功研发A,B两种芯片,研发芯片前期已经耗费资金3千万元,现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测,生产A芯片的净收入y1(千万元)与投入的资金x(千万元)成正比,已知每投入1千万元,公司获得净收入0.2千万元;生产B芯片的净收入y2(千万元)是关于投入的资金x(千万元)的幂函数,其图象如图所示. (1)试分别求出生产A,B两种芯片的净收入y1,y2(千万元)与投入的资金x(千万元)的函数关系式; (2)现在公司准备投入5亿元资金同时生产A,B两种芯片,设投入x千万元生产B芯片,用f(x)表示公司所获利润,求公司最大利润及此时生产B芯片投入的资金.(利润=A芯片净收入+B芯片净收入-研发耗费资金) 解:(1)设生产A芯片的净收入y1(千万元)与投入的资金x(千万元)的函数关系式为y1=kx, 则0.2=k,所以y1=0.2x. 设生产B芯片的净收入y2(千万元)与投入的资金x(千万元)的函数关系式为y2=xα, 由题图可知,y2=xα的图象过点(4,2),即2=4α,解得α=, 所以所求函数关系式为y2=. (2)由题意可知,f(x)=0.2(50-x)+-3=-0.2x+7=-0.2(-2.5)2+8.25,0≤x≤50, 由二次函数性质可知,当=2.5,即x=6.25时,f(x)取得最大值8.25. 故投入6.25千万元生产B芯片时,利润最大,最大利润为8.25千万元. 【教材拓展】 函数的凹凸性 函数的单调性反映在图象上,就是曲线的上升或下降.但曲线在上升或下降的过程中,还有一个弯曲方向的问题,即函数的凹凸性.函数的凹凸性可以用连接曲线上任意两点的弦的中点与曲线上相应点(即具有相同横坐标的点)的位置关系来描述,定义如下: 设f(x)在区间D上连续,如果对D上任意两点x1,x2恒有f<,则称f(x)在区间D上的图形是凹的(如图①),区间D为f(x)的凹区间; 设f(x)在区间D上连续,如果对D上任意两点x1,x2恒有f>,则称f(x)在区间D上的图形是凸的(如图②),区间D为f(x)的凸区间. (来源教材P101第8题) 图① 图② 例4 丹麦数学家琴生是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人,特别在函数的凹凸性与不等式方面留下了很多宝贵的成果.若x1,x2,x3,…,xn为(a,b)上任意n个实数,满足f≥,当且仅当x1=x2=…=xn时等号成立,则称函数f(x)在(a,b)上为“上凸函数”.若x1,x2,x3,…,xn为(a,b)上任意n个实数,满足f≤,当且仅当x1=x2=…=xn时等号成立,则称函数f(x)在(a,b)上为“下凸函数”,这里关于凹凸函数的不等式即为著名的琴生不等式. (1)已知函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0). ①若a>0,判断函数f(x)是上凸函数还是下凸函数,并给予证明; ②试判断f(x)=x2是上凸函数还是下凸函数,请直接写出结论. (2)若a1,a2,a3,…,a2024是一组实数,且a1+a2+a3+…+a2024=2024,求+++…+的最小值. 解:(1)①f(x)是下凸函数.证明如下: 因为f=a+b+c, 所以f-=(++2x1x2)+(x1+x2)+c-=-(x1-x2)2≤0, 所以f-≤0,即f≤, 所以函数f(x)是下凸函数. ②f(x)=x2是下凸函数. (2)由f(x)=x2是下凸函数可知,f≤, 即f(1)≤, 则+++…+≥2024f(1)=2024, 所以+++…+的最小值为2024. 学科网（北京）股份有限公司 $