3.3 幂函数（突破疑难）-【学而思】2026-2027学年高一数学必修第一册课时作业（人教版·新教材）

3.3　幂函数 知识易错易混 【知识导图】 【易错易混】 对幂函数的性质把握不准 在解决幂函数的含参数问题时,需要结合幂函数的性质,对参数进行正确的分类. 例1 已知幂函数y=(m∈Z)的图象关于y轴对称,且在(0,+∞)上单调递减,则满足(a+1>(3-2a的实数a的取值范围为 (　 ) A.(-∞,-1)∪ B. C.∪ D. [答案] C [解析] 因为函数y=在(0,+∞)上单调递减,所以m2-2m-3<0,又m∈Z,所以m=0,1,2.因为函数y=(m∈Z)的图象关于y轴对称,所以m2-2m-3=(m-3)(m+1)为偶数,所以m=1.函数y=的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),且函数y=在(-∞,0)和(0,+∞)上单调递减,当x<0时,y<0,当x>0时,y>0,所以不等式(a+1>(3-2a可化为或或解得-1<a<或a>,所以a的取值范围为∪.故选C. [错解] 因为函数y=在(0,+∞)上单调递减,所以m2-2m-3<0,又m∈Z,所以m=0,1,2.因为函数y=(m∈Z)的图象关于y轴对称,所以m2-2m-3=(m-3)(m+1)为偶数,所以m=1. 由(a+1>(3-2a,可得a+1>3-2a,即a>,所以a的取值范围为. 错解分析:函数y=的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),且函数y=在(-∞,0)和(0,+∞)上单调递减,而不是在整个定义域上单调递减. 解题方法拓展 【方法解读】 幂值比较大小的方法 幂值比较大小的方法常用的有四种:差值比较法、商值比较法、中间值比较法、函数的单调性比较法.比较幂的大小的关键是弄清底数与指数是否相同.若指数相同,则利用幂函数的单调性比较大小;若底数、指数均不同,则考虑用中间值法比较大小,中间值可以是“0”或“1”. 例2 下列不等关系中正确的是 (　 ) A.< B.< C.(-2.1<(-2.2 D.< [答案] C [解析] 对于A,因为函数y=x0.7在(0,+∞)上单调递增,所以>,故A错误;对于B,因为函数y=x-1在(-∞,0)上单调递减,所以>,故B错误;对于C,(-2.1=,(-2.2=,因为函数y=在R上单调递增,所以<,即(-2.1<(-2.2,故C正确;对于D,=,因为函数y=在(0,+∞)上单调递增,所以>,即>,故D错误.故选C. 例3　,,,的大小关系为　　　　　　　　.  [答案] <<< [解析] <0,0<<1,>1,>1,因为函数y=在区间(0,+∞)上单调递增,所以>,所以<<<. 【教材拓展】 对勾函数 对勾函数是指形如y=ax+(ab>0)的一类函数,因其图象形态极像对勾,因此被称为“对勾函数”,又被称为“双勾函数”“勾函数”. 函数y=ax+(a>0,b>0)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),奇偶性为奇函数,单调递增区间为,,单调递减区间为,. 当x>0时,ax+≥2=2,当且仅当ax=,即x=时取等号; 当x<0时,ax+=-≤-2=-2,当且仅当ax=,即x=-时取等号. 例4 对勾函数是形如y=ax+(ab>0)的函数,其中x为自变量,是一种类似于反比例函数的一般双曲函数,因其图象而得名.已知对勾函数y=x+(k>0)在区间(0,+∞)上的单调性是:在区间(0,)上单调递减,在区间(,+∞)上单调递增. (1)若对勾函数f(x)=x+,根据函数单调性的定义证明:f(x)在区间[2,+∞)上单调递增; (2)若对勾函数f(x)=x+,写出函数f(x)的单调区间(不必证明),并作出函数f(x)的图象; (3)已知对勾函数f(x)=x+(k>0),二次函数g(x)=-x2+2x+1,设g(x)的最大值为M,若∀x>0,f(x)≥M,求实数k的取值范围. 解:(1)证明:任取x1,x2∈[2,+∞),不妨设x1<x2, 则有f(x1)-f(x2)=x1+-x2-=, 因为2≤x1<x2,所以x1-x2<0,x1x2>0,x1x2-4>0,所以<0, 所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2), 所以f(x)在区间[2,+∞)上单调递增. (2)函数f(x)的单调递增区间是(-∞,-2]和[2,+∞),单调递减区间是[-2,0)和(0,2]. 作出函数f(x)的图象如图所示. (3)由题意得g(x)=-x2+2x+1=-(x-1)2+2, 当x=1时,g(x)max=g(1)=2,则M=2. 由∀x>0,f(x)≥M,得∀x>0,x+≥2恒成立. 由题意知,当k>0时,f(x)=x+在区间(0,)上单调递减,在区间(,+∞)上单调递增, 则f(x)min=f()=2,要使f(x)≥2在(0,+∞)上恒成立,则f(x)min≥2,则2≥2,解得k≥1, 故实数k的取值范围是[1,+∞). 学科网（北京）股份有限公司 $