第三章 专项突破练四 抽象函数的性质（课时跟踪）-【学而思】2026-2027学年高一数学必修第一册课时作业（人教版·新教材）

专项突破练四　抽象函数的性质 【方法综述】 对于没有明确给出函数解析式的抽象函数,其性质主要涉及过定点、奇偶性、单调性及对称性等方面.抽象函数的图象过定点问题,主要采用合理赋值法;对于抽象函数的奇偶性及单调性,其判断主要依据定义,巧妙赋值,通过合理、灵活地变形配凑来判定;若抽象函数f(x)满足f(a+x)=f(a-x),则f(x)的图象关于直线x=a对称. 【针对训练】 1.已知函数f(x)是R上的奇函数,则函数g(x)=f(x-5)-3的图象恒过点 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.(-5,-3) B.(-5,3) C.(5,3) D.(5,-3) 2.已知奇函数f(x)的定义域为R,若f(x+2)为偶函数,且f(1)=1,则f(4)+f(5)的值为 (　 ) A.-1 B.0 C.1 D.2 3.[2026·辽宁省实验中学高一月考] 定义在R上的函数f(x),g(x)满足[f(x)]3=g(x2),则下列说法正确的是 (　 ) A.f(x)是奇函数 B.f(x)是偶函数 C.g(x)是奇函数 D.g(x)是偶函数 4.(多选题)已知函数f(x)的定义域为R,且满足f(x-y)=f(x)+f(y)+2xy,则 (　 ) A.f(1)=-1 B.f(2)=-4 C.y=f(x)+x2既是奇函数又是偶函数 D.f(1)+f(2)+…+f(2026)=2026 5.已知f(x+1)是偶函数,f(x)在[1,+∞)上单调递增,f(0)=0,则不等式(x+1)f(x)>0的解集为　　　　.  6.已知函数f(x)对任意x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)f(y)成立,且当x<0时,f(x)>1. 有以下结论: ①f(0)=1; ②f(x)是R上的偶函数; ③若f(-2)=2,则f(1)=; ④函数f(x)在R上是减函数. 其中所有正确结论的序号是　　　　.  7.[2026·西安交大附中高一月考] 已知函数f(x)满足f(xy)=f(x)+f(y)(x≠0),且当x>1时f(x)>0. (1)求f(1)的值; (2)判断函数f(x)的奇偶性,并说明理由; (3)求不等式f(x)+f(x-2)≤0的解集. 学科网（北京）股份有限公司 $专项突破练四 抽象函数的性质 1.D[解析]因为函数x是R上的奇函数，所以O)=0,即x)恒过定点(0,0)，又因 为gx)=x-5)-3的图象可由)的图象向右平移5个单位，再向下平移3个单位得 到的，所以函数g(x)的图象恒过点(5，-3)故选D. 2.A[解析]·x)为奇函数，-x)=x),0)=0,x+2)为偶函数， x+2)=x+2),5)=-1)=1)=-14)=0)=0,则4)+5)=-1.故选A. 3.B[解析]令[x)]3=gx)=h(x),则h(-x)=g[(-x)]=gx)=h(w),即h()为偶函数，所 以hx)=[x)]也是偶函数，即[-x)]=[x)],所以-x)=x),即x)是偶函数，无法判 断函数g(x)的奇偶性.故选B. 4.ABC[解析]对于A,令x=y=0,得0)=0，令x=y=1,得0)=21)+2=0，则 1)=-1,故A正确；对于B,令x=y=2,得0)=22)+8=0，则2)=-4，故B正确：对于C, 由题得x-y)+(x-y)=x)+x2+y)+y,令g(x)=x)+x2,则g(x)的定义域为Rgx- )=g)+gy),令x=y=0,得g(0)=0,令x=y,得gx)=0,所以g(x)=x)+x既是奇函数 又是偶函数，故C正确；对于D,由C可知x)=-x2,则1)+2)+..+2026)≠2026，故 D错误故选ABC 5.(-1,0)U(2,+o)[解析]因为x+1)是偶函数，所以x)的图象的一条对称轴是直 线x=1,因为x)在[1，+o)上单调递增，所以x)在(o,1]上单调递减，又0)=0，所以 2)=0,所以当1≤x<2时x)2)=0,当x>2时x)>2)=0,由对称性知当x<0时， x)>0)=0,当0<心1时x)<0)=0,所以不等式(x+1)w)>0的解集为 (-1,0)U(2,+0). 6.①③④[解析]对于①，令x=-1,y=0,则-1+0)=术-1)×0)，当x<0时，y)>1,所以 人-1)>1，所以0)=1，故①正确，对于②，令x=-1,y=1,则0)=-1)×1)=1，因为当x<0 时，x)>1,所以-1)>1，所以0<1)<1，所以1)≠-1)，故②错误；对于③，令x=y=-1, 则九-2)=-1次-1)=2，得-1)=V2,令x=1y=-1,则0)=九-11)=21)=1，得1)= 2故③正确：对于④，设<，则<0，当x<0时)>1，所以>1，由已知 2 得fx)=x-x)+]=x-xx)>x),所以x)>x),所以f)在R上是减函数，故 ④正确.故填①③④ 7.解：(1)令x=y=1,得1)=21)，所以1)=0. (2)函数x)为偶函数.理由如下： 令x=y=-1,得1)=2-1)， 所以-1)=1)=0. 令y=-1,得-x)=x)+-1)=x), 又f)的定义域为(-oo,0)U(0,+o), 所以函数x为偶函数， (3)令y>1,则当x>0时xy>x, 因为当x>1时x)>0,所以y)>0, 则)术)=)>0，即y>x), 故)在(0，+∞)上单调递增。 由(2)可知，x)的图象关于直线x=0对称， 所以要使fy)+x-2)=x(x-2)]0=1), X≠0， 则需1-2s1,所以，×-20，解得1-y23s1+2且x0且42 x2-2x≥-1， x2-2x≤1， 综上，不等式)+fx-2)s0的解集为[1-2,0)U(0,2)U(2,1+V2]