第三章 专项突破练七 函数的奇偶性、对称性（课时跟踪）-【学而思】2026-2027学年高一数学必修第一册课时作业（人教版·新教材）

专项突破练七　函数的奇偶性、对称性 【方法综述】 1.函数奇偶性的等价形式 若f(x)≠0,则奇函数和偶函数定义的等价形式如下: (1)f(-x)=-f(x)⇔f(-x)+f(x)=0⇔=-1⇔f(x)为奇函数⇔f(x)的图象关于原点对称. (2)f(-x)=f(x)⇔f(-x)-f(x)=0⇔=1⇔f(x)为偶函数⇔f(x)的图象关于y轴对称. 2.函数的奇偶性与对称性 (1)函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x+a)-b为奇函数. (2)函数y=f(x)的图象关于直线x=a成轴对称图形的充要条件是函数y=f(x+a)为偶函数. 3.函数的对称性 (1)满足f(x)=f(2a-x)的函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称; (2)满足f(a+x)=f(b-x)的函数y=f(x)的图象关于直线x=对称; (3)满足f(x)+f(2a-x)=0的函数y=f(x)的图象关于点(a,0)对称; (4)满足f(b+x)+f(a-x)=c的函数y=f(x)的图象关于点对称. 【针对训练】 1.函数f(x)=x+的图象关于 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.直线y=x对称 B.原点对称 C.y轴对称 D.x轴对称 2.已知二次函数f(x)满足f(2)=-1,f(1-x)=f(x),且f(x)的最大值是8,则此二次函数的解析式为f(x)= (　 ) A.-4x2+4x+7 B.4x2+4x+7 C.-4x2-4x+7 D.-4x2+4x-7 3.将函数f(x)的图象向右平移1个单位长度,所得图象与函数g(x)=的图象关于原点对称,则f(-5)= (　 ) A.- B.-2 C.2 D. 4.定义在R上的奇函数f(x)的图象关于直线x=1对称,且当x∈(0,1]时,f(x)=2x+1,则f= (　 ) A.0 B.3 C.6 D.-2 5.[2026·重庆渝北中学高一检测] 已知定义在R上的函数f(x)在[1,+∞)上单调递增,f(x+1)为偶函数,且f(2)=1,则f(2x-1)<1的解集是 (　 ) A. B. C.∪ D. 6.(多选题)[2026·湖北楚天协作体高一联考] 已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(4-x)+f(x)=0,则下列说法正确的是 (　 ) A.f(x)的图象关于点(2,0)对称 B.f(-2)=0 C.y=f(x-2)为偶函数 D.y=f(x+2)为奇函数 7.函数y=|x+a|的图象关于直线x=2对称,则a=　　　　.  8.[2026·山东潍坊高一期中] 若定义在R上的函数f(x)的图象关于点对称,且f(x)=2f,f=1,则f=　　　　.  9.已知函数f(x)对任意实数x都有f(1+x)=f(1-x),且对任意x1<x2<1,都有f(x1)<f(x2),比较下列各组值的大小: (1)f(1.2)和f(1.5); (2)f(-1)和f(3); (3)f(-2)和f(2); (4)f(-)和f(). 10.[2026·河北保定高一期中] 小明在学习奇偶函数的定义及图象性质的基础上,对函数图象的对称性做了进一步研究,他发现:在定义域中,若对任意的x,都有f(x+a)=f(a-x),则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称;若对任意的x,都有f(x+a)+f(a-x)=2b,则函数y=f(x)的图象关于点(a,b)对称.现给出函数f(x)=. (1)试判断函数f(x)的图象是轴对称图形还是中心对称图形,并求出相应的对称轴或对称中心. (2)求f(-2027)+f(-2026)+…+f(0)+f(2)+…+f(2029)的值. (3)已知函数g(x)=|f(x)-2|-a. ①证明:函数g(x)的图象关于直线x=1对称; ②讨论方程g(x)=0的根的个数. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项突破练七　函数的奇偶性、对称性 1.B　[解析] 易知函数f(x)=x+的定义域为{x|x≠0},关于原点对称,又f(-x)=-x-=-=-f(x),所以f(x)是奇函数,其图象关于原点对称.故选B. 2.A　[解析] 由f(1-x)=f(x),得f(x)的图象的对称轴为直线x=.设f(x)=a+k(a≠0),因为f(x)的最大值是8,所以a<0,f=k=8,即f(x)=a+8(a<0).由f(2)=-1,得f(2)=a+8=-1,解得a=-4,则f(x)=-4+8=-4x2+4x+7.故选A. 3.B　[解析] 与函数g(x)=的图象关于原点对称的图象对应的函数的解析式为y=-,将函数y=-的图象向左平移1个单位长度,可得到函数f(x)=-的图象,则f(-5)=-2.故选B. 4.D　[解析] 因为f(x)的图象关于直线x=1对称,所以f(-x)=f(x+2),在f(-x)=f(x+2)中,令x=-,得f=f.因为f(x)为R上的奇函数,所以f(-x)=-f(x),所以f=-f,又当x∈(0,1]时,f(x)=2x+1,所以f=2×+1=2,所以f=f=-f=-2.故选D. 5.B　[解析] 因为f(x+1)为偶函数,所以函数f(x)的图象关于直线x=1对称,又函数f(x)在[1,+∞)上单调递增,且f(2)=1,所以不等式f(2x-1)<1等价于|2x-1-1|<|2-1|,解得<x<,所以f(2x-1)<1的解集是.故选B. 6.ABD　[解析] 对于A,由f(4-x)+f(x)=0,可得f(4-x)=-f(x),则f(x)的图象关于点(2,0)对称,故A正确;对于B,在f(4-x)+f(x)=0中,取x=2,得f(2)=-f(2),解得f(2)=0,又f(x)是R上的偶函数,所以f(-2)=f(2)=0,故B正确;对于C,因为f(x)是R上的偶函数,所以f(-x-2)=f[-(x+2)]=f(x+2),由f(4-x)+f(x)=0,可得f(x+2)=-f(2-x)=-f(x-2),所以f(-x-2)=-f(x-2),假设y=f(x-2)是偶函数,则f(-x-2)=f(x-2),所以f(x-2)=-f(x-2),即f(x-2)=0,即f(x)=0恒成立,而由题知f(x)=0并不一定恒成立,故假设不成立,故C错误;对于D,由f(-x+2)=-f(x+2),得y=f(x+2)为奇函数,故D正确.故选ABD. 7.-2　[解析] 因为y=|x+a|的图象关于直线x=-a对称,函数y=|x+a|的图象关于直线x=2对称,所以-a=2,解得a=-2. 8.　[解析] 因为函数f(x)的图象关于点对称,所以f(x)+f(1-x)=2,所以f+f=2,又f=1,所以f=1.由f(x)=2f,得f(4x)=2f(x),即f(x)=f(4x),所以f=f=f=f=f=f=f=. 9.解:(1)由f(1+x)=f(1-x),得f(x)的图象关于直线x=1对称. 因为对任意x1<x2<1,都有f(x1)<f(x2),所以f(x)在(-∞,1)上单调递增, 则f(x)在(1,+∞)上单调递减. 因为1<1.2<1.5,所以f(1.2)>f(1.5). (2)在f(1+x)=f(1-x)中,令x=-2,得f(-1)=f(3). (3)因为f(1+x)=f(1-x),所以f(-2)=f(4), 又f(x)在(1,+∞)上单调递减,且1<2<4, 所以f(2)>f(4)=f(-2),即f(2)>f(-2). (4)因为f(1+x)=f(1-x),所以f(1-1-)=f[1-(-1-)],即f(-)=f(2+), 又f(x)在(1,+∞)上单调递减,且2+>>1, 所以f(2+)<f(),故f(-)<f(). 10.解:(1)f(x)的图象是中心对称图形. 因为f(x+1)+f(1-x)=+==4, 所以函数f(x)的图象关于点(1,2)对称. (2)由(1)得f(-2027)+f(2029)=4,f(-2026)+f(2028)=4,…,f(0)+f(2)=4, 所以f(-2027)+f(-2026)+…+f(0)+f(2)+…+f(2029)=2027×4=8108. (3)①证明:g(x)=|f(x)-2|-a=-a. 因为g(1+x)=-a,g(1-x)=-a=-a,所以g(x+1)=g(1-x), 所以函数g(x)的图象关于直线x=1对称. ②方法一:由g(x)=0,得a=. 设函数h(x)=,则函数h(x)的图象是由幂函数y=的图象向右平移1个单位长度,保留x轴上方的图象,再将x轴下方图象翻折到x轴上方形成的,如图. 由图得,当a≤0时,直线y=a与函数h(x)的图象有0个交点,则方程g(x)=0有0个根; 当a>0时,直线y=a与函数h(x)的图象有2个交点,则方程g(x)=0有2个根. 综上,当a≤0时,方程g(x)=0有0个根;当a>0时,方程g(x)=0有2个根. 方法二:由g(x)=0,得-a=0(*). 当a≤0时,-a>0恒成立,此时方程g(x)=0无解. 当a>0时,若x>1,则(*)可化为-a=0,即=0,解得x==1+,满足x>1,此时方程g(x)=0有1个根; 若x<1,则(*)可化为-a=0,即=0,解得x==1-,满足x<1,此时方程g(x)=0有1个根. 综上,当a≤0时,方程g(x)=0有0个根;当a>0时,方程g(x)=0有2个根. 学科网（北京）股份有限公司 $