第三章 专项突破练三 函数的值域与最值（课时跟踪）-【学而思】2026-2027学年高一数学必修第一册课时作业（人教版·新教材）

专项突破练三　函数的值域与最值 1.A　[解析] 由2≤x≤4,可得≥≥,则6≥≥3,故函数f(x)的值域为[3,6].故选A. 2.C　[解析] ∵y=x2+2x-3=(x+1)2-4,其图象开口向上,对称轴为直线x=-1,∴f(x)min=f(0)=-3,f(x)max=f(2)=5,∴f(x)的值域为[-3,5].故选C. 3.D　[解析] f(x)=x+.当0<a<1时,a-<0,f(x)单调递减,在[0,1]上的最小值为f(1)=a;当a=1时,a-=0,f(x)=1,g(a)=1;当a>1时,a->0,f(x)单调递增,在[0,1]上的最小值为g(a)=f(0)=.因此g(a)=可得当a=1时,g(a)取得最大值1.故选D. 4.A　[解析] 方法一:由1-x≥0得x≤1,则y=2x-的定义域为(-∞,1].因为y=2x在(-∞,1]上单调递增,y=在(-∞,1]上单调递减,所以y=2x-在(-∞,1]上单调递增,又当x=1时,y=2×1-=2,所以函数y=2x-的值域为(-∞,2]. 方法二:令t=,则t∈[0,+∞),x=1-t2,所以y=2(1-t2)-t=-2t2-t+2=-2+,t≥0,所以函数y=-2+在[0,+∞)上单调递减,且当t=0时,y取到最大值2,所以函数y=2x-的值域为(-∞,2].故选A. 5.B　[解析] 方法一:设y=,则yx2+y=3x2+x+3,即(y-3)x2-x+y-3=0.当x=0时,y=3;当y≠3时,因为x∈R,所以Δ=1-4(y-3)2≥0,可得≤y≤且y≠3.综上可得≤y≤,即f(x)的值域为,则a=,b=,故a+b=6.故选B. 方法二:函数f(x)===3+.当x=0时,f(x)=3.当x≠0时,f(x)=3+.当x>0时,x+≥2,当且仅当x=1时等号成立,则0<≤,所以3<f(x)≤;当x<0时,x+≤-2,当且仅当x=-1时等号成立,则-≤<0,所以≤f(x)<3.综上所述,函数f(x)=的值域是,所以a=,b=,故a+b=6.故选B. 6.C　[解析] 由-x+3=(x-1)2,解得x=-1或x=2.不等式(x-1)2≥-x+3的解为x≤-1或x≥2,(x-1)2<-x+3的解为-1<x<2,∴M(x)=当x≤2时,M(x)单调递减,当x>2时,M(x)单调递增,∴M(x)min=M(2)=1.故选C. 7.AC　[解析] 当x>0时,函数f(x)=x+≥2=2,当且仅当x=1时,等号成立,则f(x)的值域为[2,+∞).对于A,函数y=x2-x+=+2,其值域为[2,+∞),故A正确;对于B,因为y=>0,所以y=+2>2,则y=+2的值域为(2,+∞),故B错误;对于C,因为x>1,所以y=x+=x-1++1≥2+1=2,当且仅当x=时,等号成立,则y=x+(x>1)的值域为[2,+∞),故C正确;对于D,当x>0时,函数y=x+2>2,其值域为(2,+∞),故D错误.故选AC. 8.[,2]　[解析] 设t=+(-1≤x≤1),则t2=2+2.因为-1≤x≤1,所以2≤t2≤4,又t>0,所以≤t≤2,即函数f(x)的值域为[,2]. 9.　[解析] 由-x2+5x+6≥0,解得-1≤x≤6,所以f(x)的定义域为[-1,6].令u(x)=-x2+5x+6=-+,则u(x)的图象开口向下,对称轴方程为x=,根据复合函数的单调性可知,f(x)的单调递增区间是,单调递减区间是,则f(x)在区间[1,5]上的最大值为f=. 10.3或-3　[解析] 易知y=6-2x2在[-2,2]上的最大值为6.令y=6-2x2=4,解得x=-1或x=1,所以当x∈(-1,1)时,y=6-2x2>4.若f(x)的最大值为4,当-m≤0,即m≥0时,如图①所示,则|1+m|=4,可得m=3;当-m>0,即m<0时,如图②所示,则|-1+m|=4,可得m=-3.综上,m=-3或3. 11.解:(1)y===-+, ∵≠0,∴y≠-, ∴函数y=的值域为. (2)y=-x2+4x+2=-(x-2)2+6, ∵x∈[-1,1],∴x-2∈[-3,-1],∴1≤(x-2)2≤9, ∴-3≤-(x-2)2+6≤5, ∴函数y=-x2+4x+2(x∈[-1,1])的值域为[-3,5]. (3)由y=变形得(y-1)x2-(y-1)x+y-3=0. 当y=1时,此方程无解;当y≠1时,∵x∈R, ∴Δ=(y-1)2-4(y-1)(y-3)≥0,解得1<y≤, ∴函数y=的值域为. (4)令t=(t≥0),则x=, ∴y=-t2+t+1=-+,t≥0. ∵当t=,即x=时,ymax=,y无最小值, ∴函数y=2x+的值域为. (5)由题意得,y==(x+1)+(x≠-1). ①当x>-1时,x+1>0,>0,此时y=(x+1)+≥2,当且仅当x=0时,等号成立. ②当x<-1时,-(x+1)>0,->0,此时y=(x+1)+=-≤-2,当且仅当x=-2时,等号成立.综上,函数y=的值域为(-∞,-2]∪[2,+∞). 12.解:(1)由题得f(x)=x2+(1-a)x-a=(x+1)(x-a)<0. 当a<-1时,a<x<-1,则不等式f(x)<0的解集为{x|a<x<-1}; 当a=-1时,不等式无解,则不等式f(x)<0的解集为⌀; 当a>-1时,-1<x<a,则不等式f(x)<0的解集为{x|-1<x<a}. (2)由题得g(x)=x2-ax-a,其图象开口向上且对称轴方程为x=. 当≤-1,即a≤-2时,g(x)在[-1,2]上单调递增,则h(a)=g(-1)=1; 当-1<<2,即-2<a<4时,g(x)在上单调递减,在上单调递增,则h(a)=g=--a; 当≥2,即a≥4时,g(x)在[-1,2]上单调递减,则h(a)=g(2)=4-3a. 综上可得,h(a)= 学科网（北京）股份有限公司 $ 专项突破练三　函数的值域与最值 【方法综述】 1.常见函数的值域 函数 对应关系 定义域 值域 正比例函数 y=kx(k≠0) R R 反比例函数 y=(k≠0) {x|x≠0} {y|y≠0} 一次函数 y=kx+b(k≠0) R R 二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0) R 当a>0时, 当a<0时, 　　2.求值域、最值的常用方法 (1)观察法:主要针对一些简单函数,或作简单变形后易观察的函数,可直接求出值域或最值. (2)配方法(对称轴法):对于形如f(x)=ax2+bx+c,x∈[m,n]形式的二次函数,利用配方法或直接利用图象的对称轴x=-求解,也可以结合图象求解值域或最值.(配方其实也是为了找出对称轴) (3)换元法:包括代数换元法、三角换元法.运用换元法解题时要注意确定新元的取值范围和整体置换的策略.使用换元法时,一般来说,需求两次值域,一次在换元时求新元的取值范围,一次在换元后求新函数值域. (4)图象法(数形结合): ①一些简单函数及分段函数的求值域或最值常利用图象完成.如:y=,一般先观察f(x)在x轴上方的图象与值域. ②求f(x)=max{f1(x),f2(x),…,fn(x)}或f(x)=min{f1(x),f2(x),…,fn(x)}的值域,可先分别作出其中所含函数:f1(x),f2(x),…,fn(x)的图象,再利用它们的交点分段确定f(x)的图象,从而确定值域或最值. (5)单调性法:若函数为单调函数,可根据函数的单调性求值域或最值. (6)判别式法:运用方程思想,依据二次方程有根,得出f(x)的值域或最值; (7)不等式法:利用基本不等式求值域. 【针对训练】 1.[2026·河南师大附中高一期中] 已知函数f(x)=的定义域为[2,4],则函数f(x)的值域为 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.[3,6] B.[5,8] C.[2,3] D.[4,5] 2.如果函数f(x)=x2+2x-3,x∈[0,2],那么函数f(x)的值域为 (　 ) A.[-4,+∞) B.[-4,5] C.[-3,5] D.[0,5] 3.设函数f(x)=ax+(1-x)(a>0),当0≤x≤1时,f(x)的最小值为g(a),则g(a)的最大值为 (　 ) A.a B. C.2 D.1 4.[2026·扬州大学附中高一期中] 函数y=2x-的值域为 (　 ) A.(-∞,2] B.[2,+∞) C.(0,2] D.[0,2] 5.若函数f(x)=的最大值为a,最小值为b,则a+b= (　 ) A.4 B.6 C.7 D.8 6.对任意x∈R,用M(x)表示f(x),g(x)中较大者,记为M(x)=max{f(x),g(x)},若M(x)={-x+3,(x-1)2},则M(x)的最小值为 (　 ) A.-1 B.0 C.1 D.4 7.(多选题)与函数f(x)=x+(x>0)值域相同的函数为 (　 ) A.y=x2-x+ B.y=+2 C.y=x+(x>1) D.y=x+2(x>0) 8.函数f(x)=+的值域为　　　　.  9.函数f(x)=在区间[1,5]上的最大值为　　　　.  10.[2026·上海育才中学高一调研] 定义一种运算min{a,b}=设f(x)=min{6-2x2,|x+m|},x∈[-2,2],若f(x)的最大值为4,则m=　　　　.  11.求下列函数的值域. (1)y=; (2)y=-x2+4x+2(x∈[-1,1]); (3)y=; (4)y=2x+; (5)y=. 12.已知函数f(x)=x2+(1-a)x-a. (1)求关于x的不等式f(x)<0的解集; (2)设函数g(x)=f(x)-x,求g(x)在[-1,2]上的最小值h(a). 学科网（北京）股份有限公司 $