3.3幂函数 同步练习-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

3.3幂函数 练习 一、单选题 1．下面的函数中是幂函数的有（    ） ①；②；③；④；⑤． A．①⑤ B．①②③ C．②④ D．②③⑤ 2．已知幂函数的图象不经过原点，则（   ） A． B． C．或 D．或 3．已知幂函数，则下列结论正确的是（     ） A． B． C．是奇函数 D．的值域为 4．已知幂函数在上单调递减，则实数的值为（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．-1或1 5．已知幂函数（为常数）的图象经过点，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．已知幂函数的图象过点，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 7．已知幂函数f（x）＝xa的图象经过点P（2，），则函数y＝f（x2）﹣2f（x）的最小值等于（　  　） A． B． C．1 D．﹣1 8．如图所示，给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是（    ） A．①，②，③，④ B．①，②，③，④ C．①，②，③，④ D．①，②，③，④ 二、多选题 9．已知点在幂函数的图象上，则下列叙述正确的是（    ） A．函数是奇函数 B．函数是偶函数 C． D．函数在定义域内是减函数 10．已知点在幂函数的图象上，则函数是（    ） A．定义域内的减函数 B．奇函数 C．偶函数 D．上的减函数 11．关于幂函数，下列结论正确的是（   ） A．当时，图象关于原点对称 B．当时，定义域为 C．所有幂函数都过点 D．当时，函数在上单调递增 三、填空题 12．已知幂函数在上单调递减，则实数的值为________． 13．已知，若幂函数是偶函数，则______________． 14．已知幂函数在上单调递减，则__________． 四、解答题 15．已知幂函数为偶函数. (1)求函数的解析式； (2)若函数，且在的最小值为，求的值. 16．已知幂函数，且在定义域上不单调． (1)证明：是奇函数； (2)若，求实数的取值范围． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A D A C D D B AC BD 题号 11 答案 ACD 1．C 【分析】根据幂函数的定义判断即可. 【详解】由幂函数定义可知，②④是幂函数， 故选：C. 2．A 【分析】先根据幂函数的定义求出的可能取值，再结合图象不过原点的约束筛选出符合条件的，最后代入计算函数值即可. 【详解】由题意可得，解得或， 当时，，此时图象不经过原点，符合题意； 当时，，此时图象经过原点，不符合题意； 所以，. 3．D 【分析】根据分数指数幂的运算规则、函数奇偶性定义、幂函数的单调性与值域，逐一判断各选项正误 【详解】对于A选项：由分数指数幂的运算得，而，二者不相等，故A错误； 对于B选项：由是偶函数得，又幂函数在上单调递增， 且，故，即，B错误； 对于C选项：的定义域为，对任意，有， 故是偶函数，C错误； 对于D选项： 对任意，，因此，值域为，D正确 . 4．A 【详解】由题可知， 解方程可得或， 解不等式可得， 所以， 综上：实数的值为. 5．C 【分析】先根据解得，继而确定的定义域与单调性，再结合定义域与单调性，解不等式即可. 【详解】∵幂函数的图象经过点，，解得， 故，. 因为，故在定义域上单调递增， 故由，可得解得. 故选：C. 6．D 【分析】根据幂函数的图象过点，求出的解析式，从而得到的解析式，求得函数的定义域. 【详解】是幂函数，设，将代入解析式， 得，即，解得. 故，则， 所以，所以， 所以函数的定义域是. 故选：D. 7．D 【分析】先由已知条件求得，再利用配方法求二次函数的最值即可得解. 【详解】解：已知幂函数f（x）＝xa的图象经过点P（2，）， 则，即，所以， 所以， 所以y＝f（x2）﹣2f（x） ， 当且仅当，即时取等号， 即函数y＝f（x2）﹣2f（x）的最小值等于， 故选：D. 【点睛】本题考查了幂函数解析式的求法，重点考查了二次函数求最值问题，属基础题. 8．B 【分析】由函数图像特征确定幂函数解析式特点，据此可得答案. 【详解】由选项情况设幂函数. 对于①，由图可得该函数定义域为，在上单调递增，为奇函数，在第一象限图象类似于二次函数， 从而，则满足情况； 对于②，由图可得该函数定义域为，在上单调递增，为偶函数，在第一象限图象类似于二次函数， 从而，则满足情况； 对于③，由图可得该函数定义域为，在上单调递增，为非奇非偶函数，在第一象限图象类似于， 从而，则满足情况； 对于④，由图得该函数定义域为，在上单调递减，为奇函数，在第一象限图象类似于， 从而，则满足情况. 综上可得选：B. 9．AC 【分析】根据幂函数的定义和性质判断即可. 【详解】因为点在幂函数的图象上，所以，解得. 所以. 由于，所以是奇函数，A正确B错误； 易知，所以C正确； 根据幂函数的性质可知，分别在上单调递减，但是定义域内不是单调函数，所以D错误. 10．BD 【分析】根据幂函数的定义得出，再结合点的坐标得出解析式，根据解析式判断幂函数单调性及奇偶性即可求解． 【详解】由题意，解得，则， 将点，即代入，得，即， 定义域为，有， 故为奇函数，故B正确，C错误； 又，所以在和上为减函数，故A错误，D正确． 11．ACD 【分析】直接根据幂函数的图象和性质判断可得. 【详解】因为幂函数， 对A：若时，，所以函数图象关于原点对称，故A正确； 对B：若时，，所以函数的定义域为，故B错误； 对C：当时，，所以所有幂函数都过点，故C正确； 对D：由幂函数性质可知，当时，函数在上单调递增，故D正确. 故选：ACD 12． 【详解】由幂函数在上单调递减， 得，解得. 13．2 【分析】根据幂函数的定义求参数的值，然后依次检验是否为偶函数即可 【详解】因为为幂函数，所以，解得或. 当时, ,该函数定义域为，定义域不关于原点对称，故不是偶函数. 当时,,因为,故该函数为偶函数. 综上,. 14． 【详解】由题意可知， 所以，解得. 所以， 所以. 15．(1) (2)或 【分析】（1）根据幂函数的定义和幂函数的奇偶性求解即可； （2）利用二次函数的性质以及分类讨论法，根据函数的最值分析即可. 【详解】（1）由为幂函数，则， 即，解得：或， 当时，，由函数的定义域关于原点对称，且， 此时函数为偶函数，满足题意， 当时，，由函数的定义域关于原点对称，且， 此时函数为奇函数，不满足题意， 综上所述，函数. （2）由（1）知，则函数， 所以函数为开口向上，对称轴为的二次函数， ①当时，在上单调递增， 此时， 又在的最小值为， 所以，解得：，满足题意， ②当时，在上单调递减，在上单调递增， 所以， 又在的最小值为， 所以，解得：（舍去）或， ③当时，在上单调递减， 此时， 又在的最小值为， 所以，解得：，不满足题意， 综上所述，的值为或. 16．(1)根据幂函数的定义：幂函数的系数必须为1，即， 整理得，解得或， 若，则，根据幂函数的性质可知： 在和上都单调递减， 但在整个定义域上不单调，符合条件， 若，则，定义域为， 在定义域上单调递增，不符合“不单调”的条件，舍去， 因此，定义域为， 关于原点对称，且对任意定义域内的，有： ，故是奇函数 (2) 【分析】（1）先根据幂函数定义求出的可能值，再结合不单调条件确定，最后验证证明奇函数. （2）利用奇函数性质将不等式转化，再根据函数单调性分情况讨论求解的取值范围. 【详解】（1）略 （2）因为，所以， 又因为是奇函数，所以， 由（1）可知，，根据幂函数的性质可得： 在和上单调递减， 所以不等式成立的条件是两个自变量同属一个单调区间， 且自变量的绝对值满足，同时自变量不能为0，即： 1）两个自变量都大于，，即，解得， 2）两个自变量都小于，，即，无解， 3）且，则，即，解得， 4）且，则，即，解得， 此时正数函数值小于负数函数值，不成立，舍去， 综上所述：的取值范围是. 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $