3.1 函数的概念及其表示（突破疑难）-【学而思】2026-2027学年高一数学必修第一册课时作业（人教版·新教材）

第三章　函数的概念与性质 3.1　函数的概念及其表示 知识易错易混 【知识导图】 【易错易混1】 函数关系的判断 判断一个对应关系是否为函数,要掌握三个要点: (1)两集合A,B是否为非空的实数集,只有非空实数集之间才能建立函数关系; (2)对集合A中的任意一个元素,在集合B中是否都有元素与之对应; (3)集合A中任意一个元素在集合B中的对应元素是否唯一. 函数的定义中“任意一个数x”与“唯一确定的数y”说明函数中两个变量x,y的对应关系是“一对一”或者是“多对一”,而不能是“一对多”. 例1 下列可以作为集合A到集合B的一个函数的是 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.A=R,B={y|y≥0},f:x→y= B.A=R,B={y|y>0},f:x→y=|x| C.A={x|x≥0},B=R,f:x→y2=x D.A=R,B={1},f:x→y=1 [答案] D [解析] A选项中,当x为负数时,B中没有元素与之对应,故A选项不正确;B选项中,当x为零时,B中没有元素与之对应,故B选项不正确;C选项中,一个自变量对应两个函数值,不符合函数定义,故C选项不正确;D选项中,多个自变量对应一个函数值,符合函数定义,故D选项正确.故选D. 例2 已知A={x|0≤x≤2},B={1,2},则下列图形能表示以A为定义域,B为值域的函数的是 (　 ) A B C D [答案] C [解析] 对于A,函数的值域为[0,2],不符合题意;对于B,函数的值域为[1,2],不符合题意;对于C,函数的定义域为{x|0≤x≤2},值域为{1,2},符合题意;对于D,当x≠0时,一个自变量对应两个函数值,不符合函数定义,不符合题意.故选C. 【易错易混2】 函数自变量的理解 y=f(x)可视为自变量x在对应关系“f”作用下的对应量,对于f(2x),其自变量是x,在求定义域时应该表示为x的取值集合.函数f(x)与f(2x)有同一个对应关系f,但施加的对象不同,一个是x,一个是2x,它们都以x为自变量,是不同的函数. 例如函数f(2x)=x2-2x-1的自变量是x而不是2x,因为f(2x)随x的变化而变化.若将函数变形为f(2x)=(2x)2-2x-1,用换元法将“2x”代换成“t”得到f(t)=t2-t-1,则此时自变量变为t,t的取值范围与2x相同,但不可以认为2x为自变量. 例3 已知函数f(x)满足f(x+2)=3x+4,则f(2)= (　 ) A.-2 B.1 C.4 D.7 [答案] C [解析] 函数f(x)满足f(x+2)=3x+4,当x+2=2,即x=0时,f(2)=3×0+4=4.故选C. 解题方法拓展 【方法解读1】 求函数解析式的常用方法 (1)待定系数法(一次函数、二次函数、反比例函数):根据函数类型设出解析式,将已知条件代入求出参数值. (2)配凑法:从f[g(x)]的解析式中配凑出“g(x)”,将解析式中的g(x)用x代替即可得f(x)的解析式. (3)换元法:令t=g(x),解出x,代入f[g(x)]的解析式中得到一个含有t的解析式,将t用x代替即可得f(x)的解析式. (4)解方程(组)法:已知f(x)与f或f(-x)之间的关系式,根据已知条件再构造出另外一个等式构成方程组,解方程组求出f(x). 例4 若f=,则当x≠0且x≠1时,函数f(x)的解析式为f(x)=　　　　　　　.  [答案] (x≠0,且x≠1) [解析] 方法一(换元法):设t=(t≠0,且t≠1),则x=,所以f(t)==,故f(x)=(x≠0,且x≠1). 方法二(配凑法):∵f==,∴f(x)=(x≠0,且x≠1). 例5 已知函数f(x)满足f(x)-2f(1-x)=x,则f(1)=　　　　.  [答案] - [解析] 将x用1-x替换得f(1-x)-2f(x)=1-x,∴由①+2×②得-3f(x)=x+2(1-x)=-x+2,解得f(x)=x-,∴f(1)=-. 【方法解读2】 求复合函数的定义域 (1)已知f(x)的定义域,求f[g(x)]的定义域:若f(x)的定义域为[a,b],则f[g(x)]中a≤g(x)≤b,从中解得x的取值范围即为f[g(x)]的定义域. (2)已知f[g(x)]的定义域,求f(x)的定义域:若f[g(x)]的定义域为[a,b],即a≤x≤b,求得的g(x)的取值范围即为f(x)的定义域. (3)已知f[g(x)]的定义域,求f[h(x)]的定义域:若f[g(x)]的定义域为[a,b],即a≤x≤b,设求得的g(x)的取值范围为[m,n],则f[h(x)]中m≤h(x)≤n,从中解得的x的取值范围为f[h(x)]的定义域. 例6 已知函数f(2x+1)的定义域为[1,2],则函数f(4x+1)的定义域是 (　 ) A.[3,5] B. C.[5,9] D. [答案] B [解析] 因为函数f(2x+1)的定义域为[1,2],所以2x+1∈[3,5],由3≤4x+1≤5,解得≤x≤1,所以函数f(4x+1)的定义域为.故选B. 【方法解读3】 抽象函数求值 抽象函数的求值,往往通过赋值法解决,赋值法就是把满足条件的特殊值赋给函数中的某个变量,它是解决抽象函数问题的常用策略. 例7 函数f(x)的定义域为R,若f(x+y)=f(x)+f(y),f(8)=3,则f(2)= (　 ) A.1 B. C. D. [答案] C [解析] 因为f(x+y)=f(x)+f(y),f(8)=3,所以令x=y=4,得f(8)=2f(4),解得f(4)=,令x=y=2,得f(4)=2f(2),解得f(2)=.故选C. 例8 函数f:R→R满足∀x,y∈R,f[x+f(y)]=f[f(x)]+y,且f(1)=2024,则f(2024)=　　　　.  [答案] 4047 [解析] 令x=0可得f[0+f(y)]=f[f(y)]=f[f(0)]+y①,根据①且令y=f(y),则f{f[f(y)]}=f[f(0)]+f(y).根据题设及①有f{f[f(y)]}=f{f[f(0)]+y}=f[f(y)]+f(0)②.联立①②,解得f[f(0)]+f(y)=f[f(y)]+f(0)=f[f(0)]+y+f(0),即f(y)=y+f(0).令y=1可得f(0)=2023,因此f(2024)=2024+f(0)=2024+2023=4047. 【教材拓展】 常见的几种函数 (1)高斯函数(取整函数)[见课时作业P48第12题] G(x)=[x],其中[x]表示不超过x的最大整数. (2)符号函数[见课时作业P52第16题] sgn(x)= (3)狄利克雷函数[见课时作业P51第4题] f(x)= (4)最值函数[见课时作业P51第9题] M(x)=max{f(x),g(x)},m(x)=min{f(x),g(x)}. 学科网（北京）股份有限公司 $