3.2 函数的基本性质（突破疑难）-【学而思】2026-2027学年高一数学必修第一册课时作业（人教版·新教材）

3.2　函数的基本性质 知识易错易混 【知识导图】 【易错易混】 研究函数性质忽视定义域 研究函数的单调性必须坚持“定义域优先”的原则,然后在定义域内求出函数的单调区间;函数的奇偶性是函数的一个整体性质,是针对函数的整个定义域而言的,因此判断函数的奇偶性时,要考虑整个定义域,根据定义使“任意一个x”都满足奇函数或偶函数的定义. 例1 函数y=的单调递增区间是 (　 ) A.(-∞,0) B.(-∞,2) C.(2,+∞) D.(4,+∞) [答案] A [解析] 由x2-4x>0得x<0或x>4.令f(x)=,g(x)=x2-4x,则f[g(x)]=.函数f(x)=在(0,+∞)上单调递减,函数g(x)=x2-4x=(x-2)2-4,则函数g(x)在(-∞,0)上单调递减,在(4,+∞)上单调递增,根据复合函数单调性可得函数y=的单调递增区间为(-∞,0).故选A. 例2 函数f(x)=是　　　　函数.(填“奇”或“偶”或“非奇非偶”)  [答案] 奇 [解析] 对于函数f(x)=,有解得-1≤x<0或0<x≤1,即函数f(x)的定义域为[-1,0)∪(0,1],关于原点对称,又f(x)==,所以f(-x)==-f(x),所以f(x)是奇函数. 解题方法拓展 【方法解读】 涉及两个函数单调性和奇偶性的判断 两个函数f(x),g(x)在定义域的公共区间上的单调性和奇偶性有如下结论: 单调性: f(x) g(x) f(x)+g(x) f(x)-g(x) f[g(x)] 单调递增 单调递增 单调递增 不能确定 单调递增 单调递增 单调递减 不能确定 单调递增 单调递减 单调递减 单调递减 单调递减 不能确定 单调递增 单调递减 单调递增 不能确定 单调递减 单调递减 奇偶性: f(x) g(x) f(x)+g(x) f(x)-g(x) f(x)·g(x) f[g(x)] 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数 例3 下列函数在定义域内单调递减的是 (　 ) A.f(x)=x B.f(x)= C.f(x)= D.f(x)=x2 [答案] C [解析] 对于A,f(x)=x在R上单调递增,故A错误;对于B,f(x)=在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递减,故B错误;对于D,f(x)=x2在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,故D错误;对于C,因为函数t=1-2x在R上单调递减,t∈R,函数y=在R上单调递增,所以函数f(x)=在定义域R上单调递减,故C正确.故选C. 例4 判断下列函数的奇偶性: (1)f(x)=x3+; (2)f(x)=+|x|; (3)f(x)=. 解:(1)方法一:f(x)=x3+的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞). 因为f(-x)=(-x)3+=-=-f(x),所以f(x)为奇函数. 方法二:易知函数y=x3是R上的奇函数,y=是(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数, 故函数f(x)=x3+是(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数. (2)方法一:f(x)=+|x|的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞), 因为f(-x)=+|-x|=+|x|=f(x),所以f(x)为偶函数. 方法二:易知函数y=是(-∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数,y=|x|是R上的偶函数, 故函数f(x)=+|x|是(-∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数. (3)方法一:f(x)=的定义域为R, 因为f(-x)===-f(x),所以f(x)=为奇函数. 方法二:易知函数y=x是R上的奇函数,y=x2+1是R上的偶函数,且x2+1≥1, 故函数f(x)=是R上的奇函数. 【教材拓展】 函数图象的对称性 (1)函数f(x)的图象关于直线对称 若函数f(x)对定义域内任一值x,都有: f(a-x)=f(a+x)⇔y=f(x)的图象关于直线x=a对称; f(x)=f(a-x)⇔y=f(x)的图象关于直线x=对称; f(a+x)=f(b-x)⇔y=f(x)的图象关于直线x=对称. (2)函数f(x)的图象关于点对称 若函数f(x)对定义域内任一值x,都有: f(a-x)=-f(a+x)⇔y=f(x)的图象关于点(a,0)对称; f(x)=-f(a-x)⇔y=f(x)的图象关于点对称; f(a+x)=-f(b-x)⇔y=f(x)的图象关于点对称. 例5 [教材P87第13题变式] 我们知道,函数y=f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x)为奇函数,有同学发现可以将其推广为:函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x+a)-b为奇函数. (1)设函数f(x)=x3-3x2+1,求函数f(x)图象的对称中心,并求f(-2024)+f(-2025)+f(-2026)+f(2026)+f(2027)+f(2028)的值; (2)类比上述推广结论,写出“函数y=f(x)的图象关于y轴成轴对称图形的充要条件是函数y=f(x)为偶函数”的一个推广结论. 解:(1)因为f(x+1)+1=(x+1)3-3(x+1)2+2=x3+3x2+3x+1-3x2-6x-3+2=x3-3x, 记h(x)=f(x+1)+1=x3-3x,x∈R,因为h(-x)=(-x)3+3x=-(x3-3x)=-h(x), 所以h(x)为奇函数,即y=f(x+1)+1为奇函数, 由题知,f(x)的图象关于点P(1,-1)对称. 因为h(-2025)=f(-2024)+1=-h(2025)=-[f(2026)+1],所以f(-2024)+f(2026)=-2. 同理可得,f(-2025)+f(2027)=-2,f(-2026)+f(2028)=-2, 所以f(-2024)+f(-2025)+f(-2026)+f(2026)+f(2027)+f(2028)=-6. (2)其推广结论为:函数y=f(x)的图象关于直线x=a成轴对称图形的充要条件是函数y=f(x+a)为偶函数. 若函数y=f(x)的图象关于直线x=a成轴对称图形,则将函数图象向左(a>0)或向右(a<0)平移|a|个单位长度后的图象关于y轴对称,即y=f(x+a)为偶函数;反之亦然. 学科网（北京）股份有限公司 $