2.3 二次函数与一元二次方程、不等式（突破疑难）-【学而思】2026-2027学年高一数学必修第一册课时作业（人教版·新教材）

2.3　二次函数与一元二次方程、不等式 知识易错易混 【知识导图】 【易错易混】 含参一元二次不等式的解法 对参数进行讨论是根据解题的需要自然引出的,并非一开始就对参数加以分类讨论.求解含参数的一元二次不等式要分类讨论,参数划分标准: (1)二次项系数a>0,a=0,a<0; (2)判别式Δ>0,Δ=0,Δ<0; (3)一元二次方程ax2+bx+c=0的两根x1,x2的大小,x1>x2,x1=x2,x1<x2. 例1 解关于x的不等式ax2+x+1≤0(a∈R). 解:(1)当a=0时,不等式化为x+1≤0,则x≤-1,故不等式的解集是{x|x≤-1}. (2)当a<0时,Δ=1-4a>0,方程ax2+x+1=0的两根为和,则不等式的解集是. (3)当0<a<时,Δ=1-4a>0,方程ax2+x+1=0的两根为和,不等式的解集是. (4)当a=时,Δ=1-4a=0,方程ax2+x+1=0的两相等实根为-2,不等式的解集是{-2}. (5)当a>时,Δ=1-4a<0,方程ax2+x+1=0无实根,所以不等式的解集是⌀. 综上所述,当a=0时,不等式的解集是{x|x≤-1}; 当a<0时,不等式的解集是; 当0<a<时,不等式的解集是; 当a=时,不等式的解集是{-2};当a>时,不等式的解集是⌀. 解题方法拓展 【方法解读1】 一元二次不等式恒成立问题 一元二次不等式恒成立问题的求解方法 (1)对于二次不等式恒成立问题常见的类型有两种,一是在全集R上恒成立,二是在某给定区间上恒成立. (2)解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量,谁是参数,一般地,知道谁的范围,谁就是变量,求谁的范围,谁就是参数. ①若ax2+bx+c>0恒成立,则有a>0,且Δ<0;若ax2+bx+c<0恒成立,则有a<0,且Δ<0. ②在某区间上的恒成立问题,要充分结合函数图象,利用函数的最值求解(也可采用分离参数的方法). 例2 (1)若一元二次不等式2kx2+kx-<0对一切实数x都成立,则k的取值范围为 (　 ) A.-3<k≤0 B.-3≤k<0 C.-3≤k≤0 D.-3<k<0 (2)若不等式-x2+2x+m≤0对任意x∈{x|0≤x≤2}都成立,则实数m的取值范围为　　　　　　.  (3)若不等式x2-ax+4<0对任意x∈{x|3<x<4}恒成立,则实数a的取值范围是　　　　　　.  [答案] (1)D　(2){m|m≤-1}　(3){a|a≥5} [解析] (1)因为2kx2+kx-<0是一元二次不等式,所以k≠0.因为2kx2+kx-<0对一切实数x都成立,所以解得-3<k<0.故选D. (2)由不等式-x2+2x+m≤0对任意x∈{x|0≤x≤2}都成立,可得不等式m≤x2-2x对任意x∈{x|0≤x≤2}都成立,y=x2-2x=(x-1)2-1,x∈{x|0≤x≤2},则y=x2-2x≥-1,故m≤-1,即实数m的取值范围为{m|m≤-1}. (3)构造函数y=x2-ax+4,其图象开口向上,因为不等式x2-ax+4<0对任意x∈{x|3<x<4}恒成立,所以解得即a≥5,所以实数a的取值范围是{a|a≥5}. 【方法解读2】 根与系数的关系及其应用 韦达定理:一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根分别为x1,x2,根据根与系数的关系可得x1+x2=-,x1x2=. 例3 若x1,x2是一元二次方程x2+3x-5=0的两个根,则x2+x1的值是　　　　.  [答案] 15 [解析] 由题得Δ=32-4×1×(-5)=29>0,∴方程有两个不相等的实数根.由根与系数的关系可得x1+x2=-3,x1x2=-5,∴x2+x1=x1x2(x1+x2)=-5×(-3)=15. 例4 已知关于x的方程x2-(a-1)x+a-1=0有两个正实根,则实数a的取值范围为　　　　.  [答案] a≥5 [解析] 因为关于x的方程x2-(a-1)x+a-1=0有两个正实根,所以解得a≥5. 例5 设x1,x2是方程2x2-4mx+2m2+3m-2=0的两个实数根,则当m为何值时,+有最小值,并求出这个最小值. 解:∵方程有两个实数根,∴Δ=(-4m)2-4×2×(2m2+3m-2)=-24m+16≥0,解得m≤. 由根与系数的关系可得x1+x2=2m,x1x2=, ∴+=(x1+x2)2-2x1x2=(2m)2-2×=2m2-3m+2=2+. ∵m≤,∴-m≥->0,∴≥, 故当m=时,+有最小值,最小值为2+=. 学科网（北京）股份有限公司 $