3.2.1 单调性与最大(小)值 01 第1课时 函数的单调性（课时跟踪）-【学而思】2026-2027学年高一数学必修第一册课时作业（人教版·新教材）

3.2　函数的基本性质 3.2.1　单调性与最大(小)值 第1课时　函数的单调性 1.D　[解析] 因为函数y=f(x),x∈R且f(1)<f(2)成立,所以函数f(x)在(-∞,+∞)上不可能是减函数,可能是增函数,也可能不是增函数,如f(x)=x2,满足f(1)<f(2),但是f(x)在(-∞,+∞)上不具有单调性,故D正确,A,B,C错误.故选D. 2.D　[解析] 因为f(x)在(-∞,-1]上单调递增,且-2<-<-1,所以f(-2)<f<f(-1).故选D. 3.ABC　[解析] 对于A,B,因为y=f(x)在(0,+∞)上单调递减,且0<x1<x2,所以f(x1)>f(x2),f(x1)-f(x2)>0,故A,B正确;对于C,D,因为x1-x2<0,f(x1)-f(x2)>0,所以(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0,<0,故C正确,D错误.故选ABC. 4.B　[解析] 由题图可知函数y=f(x)(x∈[-4,4])在[-4,-3]和[1,4]上单调递减,在[-3,1]上单调递增.故选B. 5.B　[解析] f(x)=|x|在(-∞,0)上单调递减,故A错误;f(x)=的定义域为[0,+∞),且在[0,+∞)上单调递增,故B正确;f(x)=x2在(-∞,0)上单调递减,故C错误;f(x)=在(-∞,0),(0,+∞)上单调递减,故D错误.故选B. 6.A　[解析] f(x)=|x-2|x=作出f(x)的图象如图所示,由图知f(x)的单调递减区间为[1,2],故选A. 7.证明:∀x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2,有f(x1)-f(x2)=-x1-=-(x1-x2)=-(x1-x2)=(x2-x1)·. 由x1,x2∈(0,+∞),得x1>0,x2>0,所以+1>0,由x1<x2,得x2-x1>0,所以(x2-x1)·>0,即f(x1)-f(x2)>0, 所以函数f(x)=-x在区间(0,+∞)上单调递减. [规律方法] 利用定义证明函数单调性的步骤: (1)取值:设x1,x2是定义域内的任意两个值,且x1<x2; (2)作差:作f(x1)-f(x2); (3)变形:通过因式分解、配方、有理化等对f(x1)-f(x2)进行适当变形,转化为容易判断正负的式子; (4)定号:确定f(x1)-f(x2)的符号; (5)结论:根据f(x1)-f(x2)的符号确定单调性. 8.A　[解析] 若f(x)=(2k+1)x-4在R上是增函数,则2k+1>0,解得k>-.显然由“k>”能推出“k>-”,反之则不成立,所以“k>”是“函数f(x)=(2k+1)x-4在R上是增函数”的充分不必要条件.故选A. 9.C　[解析] 因为y=f(x)是定义在R上的减函数,且f(4)=0,所以当x<4时,f(x)>0,当x>4时,f(x)<0.由xf(x)<0,得或解得x>4或x<0,所以不等式xf(x)<0的解集为(-∞,0)∪(4,+∞).故选C. 10.(2,+∞)　[解析] 由f(x)的解析式可知函数f(x)在(-∞,+∞)上是减函数,所以a<3a-4,解得a>2,故不等式f(a)>f(3a-4)的解集为(2,+∞). 11.B　[解析] 因为对任意x1,x2∈R,x1<x2,都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0,所以对任意x1,x2∈R,x1<x2,都有f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),所以f(x)是R上的减函数,又π>3>2,所以f(π)<f(3)<f(2).故选B. 12.D　[解析] 因为对任意x1,x2∈R且x1≠x2,都有>0,所以函数f(x)在定义域R上单调递增.易知函数g(x)=-x2+4ax+1在(-∞,2a]上单调递增,且g(1)=4a.若函数y=在[1,+∞)上单调递增,则1-3a<0.因为函数f(x)=在R上单调递增,所以解得≤a≤,所以实数a的取值范围是.故选D. 13.AC　[解析] 对于A,f(x),g(x)均为增函数,则y=f(x)+g(x)也为增函数,故A正确;对于B,f(x),g(x)均为减函数,则y=f(x)g(x)不一定是减函数,例如f(x)=-x,g(x)=-2x,但y=f(x)g(x)=2x2不是减函数,故B错误;对于C,因为f(x),g(x)的定义域均为R,且f(x)=0,g(x)=0有解,所以y=f(x)g(x)=0有解,故C正确;对于D,f(x),g(x)均存在零点,但y=f(x)+g(x)不一定有零点,例如f(x)=x2-x,g(x)=x+1都有零点,但y=f(x)+g(x)=x2+1无零点,故D错误.故选AC. 14.(-7,2)　[解析] 当a+7>0,即a>-7时,f(x)在(0,+∞)上为增函数;当a+7<0,即a<-7时,f(x)在(0,+∞)上为减函数;当a=-7时,f(x)=0.当a-2>0,即a>2时,g(x)在(0,+∞)上为减函数;当a-2<0,即a<2时,g(x)在(0,+∞)上为增函数;当a=2时,g(x)=0.故当-7<a<2时,f(x)与g(x)的单调性相同,都为增函数. 15.解:(1)证明:任取x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2, 则f(x1)-f(x2)=-=-=, ∵0<x1<x2,∴x1-x2<0,x1x2>0, 则f(x1)-f(x2)=<0,即f(x1)<f(x2), ∴f(x)在(0,+∞)上单调递增. (2)由题可知解得<x<1, 故不等式的解集为. 16.2　[解析] 方程组可化为设f(t)=t3+2026t+1,因为y=t3,y=2026t+1均为增函数,所以函数f(t)=t3+2026t+1为增函数,又f(x-1)=f(1-y),所以x-1=1-y,所以x+y=2. 17.解:(1)令x=y=1,则f(1×1)=f(1)+f(1),得f(1)=0. (2)证明:令x1>x2>0,则>1,故f<0, 所以f(x1)=f=f(x2)+f, 则f(x1)-f(x2)=f<0, 故f(x1)<f(x2),所以f(x)在(0,+∞)上单调递减. 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2　函数的基本性质 3.2.1　单调性与最大(小)值 第1课时　函数的单调性 考点一　函数单调性与单调区间概念理解 1.已知函数y=f(x),x∈R.若f(1)<f(2)成立,则下列结论中正确的是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.函数f(x)在(-∞,+∞)上一定是增函数 B.函数f(x)在(-∞,+∞)上一定不是增函数 C.函数f(x)在(-∞,+∞)上可能是减函数 D.函数f(x)在(-∞,+∞)上不可能是减函数 2.若函数f(x)在(-∞,-1]上单调递增,则下列关系式中成立的是 (　 ) A.f<f(-1)<f(-2) B.f(-1)<f<f(-2) C.f(-2)<f(-1)<f D.f(-2)<f<f(-1) 3.(多选题)[教材P86第9题变式] 函数y=f(x)在(0,+∞)上单调递减,且0<x1<x2,则下列结论正确的是 (　 ) A.f(x1)>f(x2) B.f(x1)-f(x2)>0 C.(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0 D.>0 考点二　判断、证明函数的单调性与单调区间 4.[2026·成都高一期中] 已知函数y=f(x)(x∈[-4,4])的图象如图所示,则函数f(x)(x∈[-4,4])的单调递减区间为 (　 ) A.[-4,4] B.[-4,-3]和[1,4] C.[-3,1] D.[-3,4] 5.下列函数为增函数的是 (　 ) A.f(x)=|x| B.f(x)= C.f(x)=x2 D.f(x)= 6.函数f(x)=|x-2|x的单调递减区间是 (　 ) A.[1,2] B.[-1,0] C.[0,2] D.[2,+∞) 7.[教材P79例3变式] 根据定义证明函数f(x)=-x在区间(0,+∞)上单调递减. 考点三　利用函数单调性求参或求解集 8.“k>”是“函数f(x)=(2k+1)x-4在R上是增函数”的 (　 ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 9.[2026·山西晋中高一质检] 已知函数y=f(x)是定义在R上的减函数,且f(4)=0,则不等式xf(x)<0的解集为 (　 ) A.(-∞,0) B.(0,+∞) C.(-∞,0)∪(4,+∞) D.(-∞,0]∪[4,+∞) 10.已知函数f(x)=则不等式f(a)>f(3a-4)的解集为　　　　.  11.已知定义域为R的函数f(x),对任意x1,x2∈R,x1<x2,都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0,则 (　 ) A.f(3)<f(π)<f(2) B.f(π)<f(3)<f(2) C.f(2)<f(π)<f(3) D.f(π)<f(2)<f(3) 12.[2026·广西玉林八校高一调研] 已知函数f(x)=若对任意x1,x2∈R且x1≠x2,都有>0,则实数a的取值范围是 (　 ) A. B. C. D. 13.(多选题)已知函数f(x),g(x)的定义域均为R,下列结论正确的是 (　 ) 注:函数的零点是当函数值为零时自变量的值. A.若f(x),g(x)均为增函数,则y=f(x)+g(x)也为增函数 B.若f(x),g(x)均为减函数,则y=f(x)g(x)也为减函数 C.若f(x),g(x)均存在零点,则y=f(x)g(x)也存在零点 D.若f(x),g(x)均存在零点,则y=f(x)+g(x)也存在零点 14.已知函数f(x)=(a+7)x-1(x>0),g(x)=(x>0),若f(x)与g(x)的单调性相同,则a的取值范围为　　　　.  15.已知函数f(x)=(x>0). (1)用单调性的定义证明函数y=f(x)在区间(0,+∞)上单调递增; (2)求不等式f(1-x)<f(x)的解集. 16.已知实数x,y满足方程组则x+y=　　　　.  17.定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的函数f(x)满足f(xy)=f(x)+f(y),当x>1时,f(x)<0. (1)求f(1)的值; (2)证明:f(x)在(0,+∞)上单调递减. 学科网（北京）股份有限公司 $