3.2.1 单调性与最大(小)值-单调性(第1课时)-【名师大课堂】2026-2027学年高中数学必修第一册同步小作业（人教A版）

3.2.1 单调性与最大（小 □ 知识梳理 知识点函数的单调性 增函数 减函数 一般地，设函数f(x)的定义域为D,区间I三D, 如果 ,当x1<x2时 定义 都有 都有 那么就称函数 ,那么 就称函数f(x)在区间I上 f(x)在区间I上 VA y=f(x) y=f(x) 图象 if()if(x) fx)if(x) 描述 0 2 X x2 自左向右看图象 自左向右看图象是 尽 的 的 函数y=f(x)在区间I上单调递增（减）时，区间 I叫做y=f(x)的单调区间. 注：1.区间I不一定是函数的定义域，可能是定 单调 义域的一个子区间. 区间 2.函数的单调性是局部概念，不是整体概念，在 求函数单调性时要说明函数f(x)在区间I上单 调递增或单调递减 四 基础过关 一、单项选择题 1.函数f(x)=x2一1的单调递增区间是( A.(-∞，-3) B.[0,+o∞) C.(-3,3) D.(-3,+∞) 2.定义在区间[一2,2]上的函数f(x)的图象如 图所示，则f(x)的单调递减区间为（) A.[-2,-1] B.[-1,1] C.[-2,0] D.[-1,2] 43 3.2.1单调性与最大（小）值一单调性（第1课时） )值一单调性（第1课时） 3.已知函数f(x)=x2一2ax十4在[0，十∞)上 是增函数，则实数a的取值范围为() A.（-∞，-1] B.[-1,+∞) C.[0,+∞) D.(-∞，0] 4.已知f(x)=x2十2x+3在（一9，a)为单调函 数，则a的取值范围为 （) A.(-∞，-1) B.(-o∞，-1] C.(-9,-1) D.(-9,-1] 5.已知二次函数y=x2-2ax+1在区间(2,3)内 是单调函数，则实数a的取值范围是() A.(-∞，2]U[3,+∞) B.[2,3] C.(-∞，-3]U[-2,+∞) D.[-3,-2 6.若函数y=f(x)在R上单调递增，且 f(2m-3)>f(一m),则实数m的取值范 围是 () A.（-∞，-1) B.(-1,+∞) C.(1,+∞) D.(一∞，1) 7.下列四个函数在（一∞，0）是增函数的为 () A.f(x)=x2+4 B.f(x)=1-2x C.f(x)=-x2-x+1 D.f(x)=2-3 8.已知函数f(x)=2√x十2一x,对于任意的x ∈[一2,2]，f(x)≤m恒成立，则实数m的最 小值是 () A.0 B.1 C.2 D.3 二、多项选择题 9.下列函数中，在(0，+∞)上单调递增的是 () A.f(x)=2(x十1)B.f(x)=(x-1)2 C. D.f(x)=|x| 数学必修第一册 答题栏10.如图是函数y=f(x)的图象，则函数f(x) 1 在下列区间单调递增的是 2 3 4 5 6 7 ⊙ 9 10 A.[2,5] B.[-6,-4] C.[-1,2] D.[-1,2]U[5,8] 三、填空题 11.写出一个同时具有性质①对任意0<x1< x2,都有f(x1)>f(x2);②f(1)=1的函数 f(x)= 12.设函数f(x)=2x+a+b,其中a>0,b∈ R.若f(x)在[1,2]上不单调，则实数a的 一个可能的值为 13.函数f(x)=√Jx2+4x-12的单调减区间为 四、解答题 14.已知a≠0，函数f(x)=x一a ax (1)指出f(x)在(0，+∞)上的单调性（不需 说明理由)； (2)若f)在34上的值坡是[2小，求 b的值， 15.设函数f(x)的定义域为（一4,5），如果 f(x)在（一4,0）上是减函数，在(0,5)上也 是减函数，能不能断定它在（一4,5）上是减 函数？如果f(x)在（一4,0）上是增函数，在 [0,5)上也是增函数，能不能断定它在 (一4,5)上是增函数？ 16.已知函数f(1一3x)的定义域为A= [ (1)求f(x)的定义域B; (2)对于(1)中的集合B,若3x∈B,使得 a>x2一x+1成立，求实数a的取值范围. 4数学必修第一册 15.答案：9 解析：根据题意，f(4)=f(4一3)=f(1)=f(1一3)=f(一2 =2×(-2)2+1=9 故答案为：9. 16.答案：16 「x,x≥0 解析：因为f(x)= lx2,x<0' 所以f(f(-4))=f(16)=16, 故答案为：16. 17.解：(1)依题意 22+a6-2→80 ∫f(2)=4a+2=6 所以f(x)= 1x2+2,x≥0 x,x<0 (2)由(1)得f(5)=52+2=27 18.解：(1)函数f(x)的解析式 3x+5,x0 f(x)=x+5,0<x<1 -2x+8,x≥1 “f(3)=之+5-号，f((3)=f(g)=-2×号 8=-3. 13x十5，x0 (2)f(x)={x+5,0<x<1,f(a)=2, -2x+8,x≥1 0=8千 ∫a≥1 1-2a+8=2 解得a=-1或a=3. (3)画出函数f(x)的图象如图所示： 由图可知，f(x)的最大值为f(1)=6,函数f(x)的值域 (-∞，6]. 2 ,x0 19.解：(1)因为f(x)=一x,0≤x<2 1 x-3,≥2 所以f(0)=0,f(2)= 合×2-3=-2 2 六ff(2)=f-2)=2=-1. (2)当m<0时，f(m)=2=-1,m=-2, 当0m<2时，f(m)=-m=-1,∴.m=1, 当m≥2时m=合m-3=-1m=41 综上所述，m的值为-2或1或4. (3)函数f(x)的图象，如图所示： 欢2 43-20八1234678 -1 3.2.1 单调性与最大（小）值一单调性 》 (第1课时) 知识梳理 知识点 Hx1,2∈If(.x1)<f(x2)单调递增f(x1)>f(x2) 单调递减上升下降 基础过关 1.B由f(x)=x2一1知，函数为开口向上，对称轴为x=0的 二次函数，则单调递增区间是[0，十©∞).故选：B. 2,B由题图知：在[一1,1]上f(x)的单调递减，在（一2，一1）， (1,2)上f(x)的单调递增，所以∫(x)的单调递减区间为 [一1,1].故选：B. 3.D函数f(x)=x2一2a.x十4的单调递增区间是[a,十c∞)，依 题意，[0，十c∞)三[a,十o∞)，所以a≤0，即实数a的取值范围 是（一∞，0].故选：D 4.Df(x)=x2+2x+3在（一o,一1）上单调递减，在（一1， 十c∞)上单调递增，故要想在（一9，a)为单调函数，需满足 一9<a一1，故选：D. 5.A由题知，当-2≤2或-22≥8，即a<2或>8时，满 足题意.故选：A 6.C,f(x)在R上单调递增，f(2m一3)>f(-m),.2m 3>一1，解得：m>1,∴.实数m的取值范围为(1，十c∞).故 选：C 7.D对A,f(x)=x2十4二次函数开口向上，对称轴为y轴，在 (一o,0)是减函数，故A不对.对B,f(x)=1一2x为一次函 数，<0，在（一∞，0）是减函数，故B不对.对C,f(x)=一x2 一x十1，二次函数，开口向下，对称轴为x=一 1 ,在 (-0,-2)是增函数，故C不对.对Df(x)=2- 3为反 比例类型，k<0,在（一○，0）是增函数，故D对.故选：D. 8.D对于任意的x∈[一2,2]使2√x+2一x≤m恒成立，令 √/x+2=t(t∈[0,2])，则x=t2-2,即2√x+2-x=2t t2+2,设f(t)=-t+2t+2(t∈[0,2])，则f(t)∈[2,3]，故 m≥3，即实数m的最小值是3.故选：D. 9.AD画出函数图象如图所示， y=(+1P y=2(x+1) y=x 由图可得A,D中的函数在(0，十○)上单调递增，B,C中的函 数在(0，十○)上不单调.故选：AD. 10.BC图象从左往右上升的区间有：（一6，一4），（一1,2）， (5,8),∴.f(x)在（一6，一4），(-1,2)，(5,8)上单调递增.故 选：BC. 11.答案：（答案不唯一） 解析：因为对任意0<x1<x2,都有f(x1)>f(x2),所以函 数f(x)在(0，十∞)上减函数.又f(1)=1,故函数可以为 f(x)=】.(注：满足题目条件的函数表达式均可.) 故答案为：（答案不唯一） 12.答案：a∈(2,8)内的任意一个数. 解析：函数f(x)的定义域为（一∞，0）U(0,十∞)， 由对勾画教的性质可得函数了x)在(-©，√受)和 (受，十©)上是单调递增， 在（√侣0）和(0√受)上是单羽递减， 148 若)在[1,2]上单调，则√号≥2或侣≤1 解得a≥8或a≤2， 则f(x)在[1,2]上不单调，实数a的范围是(2,8)， 故答案为：a∈(2,8)内的任意一个数. 13.答案：(-∞，一6] 解析：函数f(x)=√2+4x-12是由函数g(u)=√a和u(x) =x2+4x一12组成的复合函数， x2+4x-12≥0，解得x≤-6或x≥2， .函数y=f(x)的定义域是{xx≤-6或x≥2}， 因为函数u(x)=x2十4x一12在（一∞，一6]单调递减，在[2， 十co)单调递增， 而g(u)=√u在[0，十oo)上单调递增， 由复合函数单调性的“同增异减”，可得函数f(x)的单调减 区间（一∞，-6]. 故答案为：（一0，一6]. 14.解：1)因为f(x)=上-上，所以f(x)在(0，十0)上是增 函数. (2)易知>子，由1)可知)在[日]上为增画数。 由0=6得号-名-6，解得6=2 15.解原fe)=5实80则)(-40上灵 减函数，在(0,5)上也是减函数， 但f(-0.2)=3.2,f(0.01)=4.99,f(-0.2)<f(0.01), 因此不能断定f(x)在（一4,5）上是减函数. 若取f代x)={x十5<0，则f代x在(-4,0)上是增画 x十3,0x5 数，在[0,5)上也是增函数， 但f(-0.2)=4.8,f(0.01)=3.01,f(-0.2)>f(0.01), 因此不能断定f(x)在（一4,5）上是增函数. 16,解：1：f1-3x)的定义城为A=[子，1]： -2≤1-3x≤，则B=[-2,4] 17 (2)令g(x)=x2-x十1， 3x∈B,使得a>x2-x+1成立， 即a大子g()在[-2，]上的接小位， “g)在[-2，]上的接小准为s(宁)0 “实教a的取值范国是（侣+©） 3.2.1单调性与最大（小）值一最值 (第2课时)》 基础过关 1.A因为f(x)=一x2十2x的对称轴为x=1, 且f(1)=1,f(0)=f(2)=0 所以若函数f(x)=一x2+2x在定义域[0，m]上的值域为[0， 1],则1≤m≤2 故选：A (8=2 2.By=8在(0，十e0)上单调递减，g 2 解得：a=4.故选：B. 3.B依题意，当a=0时，f(x)=1,不符合题意；当a>0时， f(x)=a.x+1在区间[1,2]上单调递增，所以f(2)一f(1) 2a+1-(a十1)=2，得a=2:当a<0时，f(x)=ax十1在区间 [1,2]上单调递减，所以f(1)一f(2)=a十1-(2a+1)=2,得 a=一2.综上，a的值为士2.故选：B. 参考答案 4.C周为f)=2,2》+4=2+2所以f在[3,4幻上 x-2 是减函数.所以m=f(4)=4,M=f(3)=6.所以M十m=6+ 4=10.故选：C. 5.B设t=x+1,则问题转化为求函数g()=t+1-1在区间 [合3]上的最大位根据对均高数的性质，得画数风)在区 间[？，2]上单调递减，在区同[2,3]上单调递增，所以 g)mm-max),g(3))-max 故选：B 6,AC要使函数有意义，则一x2十2x十3≥0，得一1≤x3,故 B错误；函数f(x)=√一x十2x十3由f(u)=√m与u=-x2 十2x十3=一(x一1)2+4复合而成，当x∈[一1,1]时，u= 一x2+2x+3单调递增，当x∈[1,3]时，u=一x2十2x十3单 调递减，又f(u)=√u在[0，十o)上单调递增，所以f(x)= √一x2+2x+3在[-1,1]上单调递增，在[1,3]上单调递减， 故f代x)mx=f1)=2,又f(-1)=f(3)=0,所以f代x)mn=0,故 A,C正确，D错误.故选：AC. .ABC因为fz)={2-2ax+1a Jax-1,x<a 若a>0,当x<a时f(x)=a.x一1在（一oo,a)上单调递增，当 x→一o时f(x)·一∞，此时函数不存在最小值； 若a=0,则f(x)= {2+1,x≥0此时f(x)n=-1,符合 ∫-1，x<0 题意； 若a<0,当x<a时f(x)=ax一1在（一o,a)上单调递减， 当x≥a时f(x)=x2-2a.x+1, 二次函数y=x2-2a.x+1对称轴为x=a,开口向上，此时 f(x)在[a,+o∞)上单调递增， 要使函数f(x)存在最小值， 只需{021≥a2-2a2+1·解得a≤-1， 综上可得a∈(-o,一1]U{0}.故选：ABC. 8.ACD由定义知函数的最大值与最小值差的绝对值小于1.选 项A,f(x)=-x,x∈(-1,1).取41=分2=-分，则 1)-)1=(号）-f(-合)=1，不满足1条 件“：选项Bx)=x+2x[1,2],任取1<<<2 f)-f(m)=西+2 --2-1-2西2-2 ，其 T172 中x1-x2<0,x1x2>0,当1≤x1<x2≤V2时，x12-2<0, f(x1)-f(x2)>0,f(1)>f(x2),f(x)递减：当√2≤x1<x2 ≤2时，x1x2-2>0,f(1)-f(x2)<0,f(1)<f(x2),f(x) 递增，即f(x)在[1，w2]上单调递减，在[V2,2]上单调递增， 所以f(x)的最小值为f(巨)=2√瓦，最大值为f(1)=f(2)= 3,所以对任意的1x2∈[1,2]，都有1f(x1)-f(x2)|≤3 2E<1,所以x)=x+兰[1,2]满足1条件”：选项C 八)=-子在[号0]上华羽递成，在01门上单网递 增0)=-是1)=1-是=-1(-号)=(-号)月 3 3= 2 -8所以f(x)的最大值为-，最小值为-号， 19 -是-(-)川=1，所以f()=2-号，∈ 号，1门不满足L条件选项D,画数x)=在1,5) 上单调递增，显然不满足“L条件”，故选：ACD. 9.答案：2 解析：设t=/1一x(t≥0)，则x=1一t2, 所以原函数可化为：y=一t2+2t+1(t≥0)， 由二次函数性质，当t=1时，函数取最大值2 故答案为：2. 19