3.2.2奇偶性同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

湖南省平江县颐华学校高一数学作业 第7节 奇偶性 姓名：___________ 班级：___________ 考号：___________ 得分：___________ 一、单项选择题（每小题 5 分，共 40 分） 1. 下列函数中，为偶函数的是（ ） A. f(x) = x + 1 B. f(x) = C. f(x) = D. f(x) = 2. 函数 f(x) = + x 的图象关于（ ） A. y 轴对称 B. 直线 y = x 对称 C. 原点对称 D. 直线 y = −x 对称 3. 已知 f(x) 是定义在 R 上的奇函数，且 f(1) = 2，则 f(−1) =（ ） A. 2 B. −2 C. 0 D. 1 4. 函数 f(x) = − 2|x| 的图象（ ） A. 关于 x 轴对称 B. 关于 y 轴对称 C. 关于原点对称 D. 关于直线 y = x 对称 5. 若 f(x) 是偶函数，且在 [0, +∞) 上 f(x) = x − 1，则 f(x) < 0 的解集为（ ） A. (−1, 1) B. (−∞, −1) ∪ (1, +∞) C. (1, +∞) D. (−∞, −1) 6. 已知 f(x) 是奇函数，且当 x > 0 时 f(x) = − 2x，则当 x < 0 时 f(x) =（ ） A. − 2x B. + 2x C. − + 2x D. − − 2x 7. 若函数 f(x) = + bx + 3a + b 是偶函数，定义域为 [a − 1, 2a]，则 a + b =（ ） A. 0 B. C. 1 D. −1 8. 已知 f(x) 是奇函数，且在 [3, 7] 上是增函数，最小值为 5，则 f(x) 在 [−7, −3] 上是（ ） A. 增函数且最小值为 −5 B. 增函数且最大值为 −5 C. 减函数且最小值为 −5 D. 减函数且最大值为 −5 二、多项选择题（每小题 6 分，共 18 分。全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有错选得 0 分） 9. 下列函数中，既不是奇函数也不是偶函数的是（ ） A. f(x) = x + 1 B. f(x) = + 1 C. f(x) = |x + 1| D. f(x) = 5 10. 已知函数 f(x) 是 R 上的偶函数，且在 (−∞, 0] 上是减函数，则下列关系成立的是（ ） A. f(−2) < f(3) B. f(−2) = f(2) C. f(−1) > f(−3) D. f(0) < f(−1) 11. 若函数 f(x) = (x + 1)(x + a) 为偶函数，则下列结论正确的是（ ） A. a = −1 B. f(x) = − 1 C. f(x) 的最小值为 1 D. f(x) 的图象关于 y 轴对称 三、填空题（每小题 5 分，共 15 分） 12. 若 f(x) 是定义在 R 上的奇函数，且 f(2) = 3，则 f(−2) + f(0) =________。 13. 已知 f(x) 是偶函数，且 f(3) = 5，则 f(−3) =________。 14. 若函数 f(x) = + (a − 1)x + 2 是偶函数，则 a =________。 四、解答题（共 27 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 判断下列函数的奇偶性： （1）f(x) = + ； （2）f(x) = − 2x； （3）f(x) = + x； （4）f(x) = 0，x ∈ [−1, 3]。 16. 已知 f(x) 是定义在 R 上的奇函数，且当 x > 0 时，f(x) = − x + 1。 （1）求 f(0) 的值； （2）求 f(x) 的解析式； （3）求 f(−2) 的值。 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省平江县颐华学校高一数学作业 第7节 奇偶性（详细解析） 姓名：___________ 班级：___________ 考号：___________ 得分：___________ 一、单项选择题 1. 下列函数中，为偶函数的是（ ） A. f(x) = x + 1 B. f(x) = C. f(x) = D. f(x) = 【答案】 B 【解析】 偶函数满足 f(−x) = f(x)。A f(−x) = −x+1 ≠ f(x)；B f(−x) = = = f(x)，是偶函数；C f(−x) = − = −f(x)，是奇函数；D f(−x) = − = −f(x)，是奇函数。 2. 函数 f(x) = + x 的图象关于（ ） A. y 轴对称 B. 直线 y = x 对称 C. 原点对称 D. 直线 y = −x 对称 【答案】 C 【解析】 f(−x) = + (−x) = − − x = −(+x) = −f(x)，是奇函数，图象关于原点对称。 3. 已知 f(x) 是定义在 R 上的奇函数，且 f(1) = 2，则 f(−1) =（ ） A. 2 B. −2 C. 0 D. 1 【答案】 B 【解析】 奇函数满足 f(−x) = −f(x)，故 f(−1) = −f(1) = −2。 4. 函数 f(x) = − 2|x| 的图象（ ） A. 关于 x 轴对称 B. 关于 y 轴对称 C. 关于原点对称 D. 关于直线 y = x 对称 【答案】 B 【解析】 f(−x) = − 2|−x| = − 2|x| = f(x)，是偶函数，图象关于 y 轴对称。 5. 若 f(x) 是偶函数，且在 [0, +∞) 上 f(x) = x − 1，则 f(x) < 0 的解集为（ ） A. (−1, 1) B. (−∞, −1) ∪ (1, +∞) C. (1, +∞) D. (−∞, −1) 【答案】 A 【解析】 x ≥ 0 时 f(x) = x − 1 < 0，得 0 ≤ x < 1。由偶函数对称性，x < 0 时 −x > 0，f(x) = f(−x) = −x − 1 < 0，得 x > −1。综上 −1 < x < 1。 6. 已知 f(x) 是奇函数，且当 x > 0 时 f(x) = − 2x，则当 x < 0 时 f(x) =（ ） A. − 2x B. + 2x C. − + 2x D. − − 2x 【答案】 D 【解析】 当 x < 0 时，−x > 0，f(−x) = − 2(−x) = + 2x。由奇函数 f(x) = −f(−x) = −( + 2x) = − − 2x。 7. 若函数 f(x) = + bx + 3a + b 是偶函数，定义域为 [a − 1, 2a]，则 a + b =（ ） A. 0 B. C. 1 D. −1 【答案】 B 【解析】 偶函数定义域关于原点对称：a − 1 + 2a = 0，a = 。偶函数不含奇次项：b = 0。故 a + b = 。 8. 已知 f(x) 是奇函数，且在 [3, 7] 上是增函数，最小值为 5，则 f(x) 在 [−7, −3] 上是（ ） A. 增函数且最小值为 −5 B. 增函数且最大值为 −5 C. 减函数且最小值为 −5 D. 减函数且最大值为 −5 【答案】 B 【解析】 奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同，故在 [−7,−3] 上也是增函数。f(3) = 5（最小值），则 f(−3) = −5。在 [−7,−3] 上递增，最大值 f(−3) = −5。 二、多项选择题 9. 下列函数中，既不是奇函数也不是偶函数的是（ ） A. f(x) = x + 1 B. f(x) = + 1 C. f(x) = |x + 1| D. f(x) = 5 【答案】 AC 【解析】 A f(−x) = −x + 1，既不等于 f(x) 也不等于 −f(x)，非奇非偶；B f(−x) = +1 = f(x)，偶函数；C f(−x) = |−x+1| ≠ f(x) 且 ≠ −f(x)，非奇非偶；D f(−x) = 5 = f(x)，偶函数。 10. 已知函数 f(x) 是 R 上的偶函数，且在 (−∞, 0] 上是减函数，则下列关系成立的是（ ） A. f(−2) < f(3) B. f(−2) = f(2) C. f(−1) > f(−3) D. f(0) < f(−1) 【答案】 ABD 【解析】 偶函数在 [0,+∞) 上递增（与 (−∞,0] 单调性相反）。 A f(−2) = f(2) < f(3)，正确； B f(−2) = f(2)，正确； C f(−1) 与 f(−3)：在 (−∞,0] 上递减，−1 > −3，故 f(−1) < f(−3)，C 错； D f(0) < f(1) = f(−1)，正确。 11. 若函数 f(x) = (x + 1)(x + a) 为偶函数，则下列结论正确的是（ ） A. a = −1 B. f(x) = − 1 C. f(x) 的最小值为 1 D. f(x) 的图象关于 y 轴对称 【答案】 ABD 【解析】 f(x) = + (a+1)x + a。偶函数不含奇次项，故一次项系数 a + 1 = 0，即 a = −1，A 对；此时 f(x) = (x+1)(x−1) = − 1，B 对；由 ≥ 0 得 f(x) ≥ −1，最小值为 −1，C 错；偶函数的图象关于 y 轴对称，D 对。 三、填空题 12. 若 f(x) 是定义在 R 上的奇函数，且 f(2) = 3，则 f(−2) + f(0) =________。 【答案】 −3 【解析】 奇函数 f(−2) = −f(2) = −3，f(0) = 0（奇函数在 0 处有定义时），故和为 −3。 13. 已知 f(x) 是偶函数，且 f(3) = 5，则 f(−3) =________。 【答案】 5 【解析】 偶函数 f(−3) = f(3) = 5。 14. 若函数 f(x) = + (a − 1)x + 2 是偶函数，则 a =________。 【答案】 1 【解析】 偶函数不含奇次项，故 a − 1 = 0，a = 1。 四、解答题 15. 判断下列函数的奇偶性： （1）f(x) = + ； （2）f(x) = − 2x； （3）f(x) = + x； （4）f(x) = 0，x ∈ [−1, 3]。 【答案】 （1）偶函数；（2）奇函数；（3）非奇非偶；（4）非奇非偶 【解析】 （1）定义域 R，f(−x) = 2 + 3 = + = f(x)，偶函数。 （2）定义域 R，f(−x) = − 2(−x) = − + 2x = −( − 2x) = −f(x)，奇函数。 （3）f(−x) = − x，既不等于 f(x) 也不等于 −f(x)，非奇非偶。 （4）定义域 [−1,3] 不关于原点对称，非奇非偶。 16. 已知 f(x) 是定义在 R 上的奇函数，且当 x > 0 时，f(x) = − x + 1。 （1）求 f(0) 的值； （2）求 f(x) 的解析式； （3）求 f(−2) 的值。 【答案】 （1）0；（2）f(x) = ；（3）−3 【解析】 （1）奇函数在 x = 0 处有定义，故 f(0) = 0。 （2）当 x < 0 时，−x > 0，f(−x) = − (−x) + 1 = + x + 1。由奇函数 f(x) = −f(−x) = − − x − 1。 （3）f(−2) = −f(2) = −(4 − 2 + 1) = −3。 学科网（北京）股份有限公司 $