2.2基本不等式（分层作业，18大题型）高一数学人教A版必修第一册

分层作业 2.2 基本不等式 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 利用基本不等式比较大小 题型02 利用基本不等式证明不等式 题型03 利用基本不等式求积的最大值 题型04 利用基本不等式求和的最小值 题型05 条件等式求最值 题型06 基本不等式的内容辨析 B组 能力进阶 题型01 二次或二次（或一次）商式的最值 题型02 基本不等式的实际应用 题型03 凑项、凑系数 题型04 分离或裂项 题型05 消元法 题型06 构建目标不等式 题型07 利用基本不等式求最值的常见题型及求解技巧 C组 思维拔高 题型01 基本不等式恒成立问题 题型02 基本不等式“1”的妙用求最值 题型03 基本不等式的几何图形中的应用 题型04 基本不等式的推广 题型05 与三个实数有关的最值问题 利用基本不等式比较大小题型01 1．设，则下列不等式中正确的是 A． B． C． D． 2．（24-25高二上·浙江杭州·期末）某工厂第一年的年产量为A，第二年的年产量的增长率为，第三年的年产量的增长率为，这两年的年产量的平均增长率为，则（   ） A． B． C． D． 3．小王从甲地到乙地再返回甲地，其往返的时速分别为a和b（a<b），其全程的平均时速为v，则 （    ） A．a<v< B．v= C．<v< D．v= 4．（25-26高一上·山东滕州·月考）若，，且，则，，2ab，中最小的一个是（   ） A．2ab B． C． D． 5．已知x，y，z都是正数，则，，这三个数（    ） A．都大于2 B．都小于2 C．至多有一个大于2 D．至少有一个不小于2 6．已知实数a，b，c满足，，且，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 7．希罗平均数（Heronianmean）是两个非负实数的一种平均，若，是两个非负实数，则它们的希罗平均数.记，，则从小到大的关系为______.（用“≤”连接） 8．（25-26高一上·宁夏银川·月考）加油是燃油车用户经常要做的事情，加油时可以有两种不同的策略，第一种是不考虑油价的升降，每次加油的数量一定；第二种是不考虑油价的升降，每次加油所花费的钱数一定．为了比较哪种加油方式更经济，请回答以下问题： (1)你认为用下列哪一个标准去比较多次加油哪种策略更经济是合适的？ A．多次加油的钱数总和； B．多次加油的油量总量； C．多次加油的平均单价. (2)为得到一般结论，我们先假定加油两次，设两次加油的单价分别为元/升和元/升，如果两次加油都采用第一种策略，设每次加油升，如果两次加油都采用第二种策略，设每次加油元，请用上面你选择的标准比较哪种策略更经济； (3)类比上面的研究过程，比较加油三次哪种策略更经济； (4)归纳（2），（3）的结论，你能得到更为一般的数学结论吗？（只写出结论，不用证明） 利用基本不等式证明不等式题型02 1．（25-26高一上·四川广安·月考）和的大小. （2）已知，都是正数，求证：. 2．（25-26高一上·上海·月考）已知，且，求证： (1)； (2)． 3．（25-26高一上·江西赣州·月考）已知，且.求证： (1)； (2). 4．（1）已知正实数，且，求证：． （2）已知正实数，且，求证： （3）已知，都是正数，且，求证：． 5．（24-25高一上·四川达州·月考），，.求证：. （2）已知正数满足，求的最小值 6．（25-26高一上·河南平顶山·月考）对于题目：已知，，且，求最小值. 甲同学的解法：因为，，所以，， 从而，所以的最小值为. 乙同学的解法：因为，，所以. 所以的最小值为. (1)你认为哪位同学的解法正确，哪位同学的解法有错误？错误的请说明理由. (2)为巩固学习效果，老师布置了另外两道题，请你解决： （i）已知，，且，求的最小值； （ii）设，，都是正数，求证：. 7．已知． (1)若，证明：； (2)若，证明：； (3)若，证明． 8．（24-25高一上·上海·期中）已知实数满足． (1)若满足， 求证：且． (2)求证：并将上述不等式加以推广，把的分子1改为另一个大于1的自然数p，使得对任意的恒成立， 求的值． (3)从另一角度推广，自然数满足什么条件时，不等式 对任意恒成立． 利用基本不等式求积的最大值题型03 1．已知，，则的最大值为（    ） A．6 B．9 C．12 D．36 2．（25-26高三上·山西吕梁·月考）若且，则的最大值为（　　） A．1 B．2 C．4 D．16 3．已知，，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 4．中国南宋著名数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为，三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半.已知周长为12，，则此三角形面积最大时，=（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·上海·期中）设，若，则的最大值为__________. 6．已知，则的最大值为______． 7．若，且，则的最大值为____． 8．已知正实数满足． (1)求的最小值及此时的值； (2)求的最大值及此时的值； (3)求的最小值及此时的值． 利用基本不等式求和的最小值题型04 1．已知，则的最小值是（    ） A． B． C． D．3 2．当时，函数（    ） A．有最大值 B．有最小值 C．有最大值4 D．有最小值4 3．已知，则取得最小值时的值为（   ） A．3 B．2 C．4 D．5 4．已知，为正实数，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·上海·期末）已知两实数、满足，则的最小值为______． 6．（24-25高一上·上海·期末）已知，且，则的最小值为________． 7．（25-26高一上·广东茂名·联考）已知，，且. (1)求的最小值； (2)求的最小值； 8．（1），比较与的大小； （2）已知，求代数式的最小值及取最小值时的值. 条件等式求最值题型05 1．（24-25高二下·重庆·期末）已知正数x，y满足，则的最小值为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 2．如果正数满足，那么（　　） A．，且等号成立时的取值唯一 B．，且等号成立时的取值唯一 C．，且等号成立时的取值不唯一 D．，且等号成立时的取值不唯一 3．已知，，且，则的最小值为（    ）． A．4 B．6 C．8 D．12 4．若圆关于直线对称，则的最小值为 A．1 B．5 C． D．4 5．，，且，则ab的最小值为________． 6．已知点在直线上，则的最小值是_______． 7．已知，且，若当取最小值时有，则的取值范围是__________. 8．（24-25高一·河北·月考）《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂：从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法． 阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体代入：（4）整体求和等． 例如，，求证：．证明：原式． 波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到第一个藤菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长”类似问题，我们有更多的式子满足以上特征． 阅读材料二：基本不等式，当且仅当时等号成立，它是解决最值问题的有力工具．例如：在的条件下，当为何值时，有最小值，最小值是多少？ 解：，即，当且仅当，即时，有最小值，最小值为2． 请根据以上阅读材料解答下列问题： (1)已知，求的值； (2)若正数满足，求的最小值． 基本不等式的内容辨析题型06 1．下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 2．下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 3．若，且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·辽宁鞍山·期末）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（25-26高一上·上海·月考）下列函数中，最小值为2的是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·山东威海·期中）下列各式中，最小值是2的有________. ①    ②    ③    ④， 7．已知正数，满足，若，则________． 8．我们知道，当时，如果把按照从大到小的顺序排成一列的话，一个美丽、大方、优雅的均值不等式链便款款的、含情脉脉的降临在我们面前.这个均值不等式链神通巨大，可以解决很多很多的由定值求最值问题. (1)填空写出补充完整的该均值不等式链； (2)如果定义：当时，为间的“缝隙”.记与间的“缝隙”为，与间的缝隙为，请问、谁大？给出你的结论并证明. 二次或二次（或一次）商式的最值题型01 1．函数的最小值是（    ） A． B． C． D． 2．已知，则 的最大值是（    ） A． B． C．2 D．7 3．（24-25高一上·上海·月考）设正实数满足，则当取得最大值时，的最大值为（    ） A．9 B．1 C． D．4 4．对任意正实数、，记．当取得最大值时，的值为（    ） A． B． C． D． 5．函数(）的最大值为______． 6．已知且，则的最大值为____． 7．（1）设，且，求的最小值； （2）设，求的最小值. 8．（1）已知，求的最大值； （2）已知，求的最大值． 基本不等式的实际应用题型02 1．若矩形的面积为100，则该矩形周长的最小值是（    ） A． B．20 C． D．40 2．（24-25高一上·江苏无锡·期中）一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到以下信息：每月土地占地费（单位：km）成反比，每月库存货物费（单位：万元）与成正比；若在距离车站10km处建仓库，则和分别为2万元和8万元.这家公司应该把仓库建在距离车站（    ）千米处，才能使两项费用之和最小. A．3 B．4 C．5 D．6 3．（25-26高一上·安徽·联考）如图所示，某小区要建造一个一面靠墙的无盖长方体垃圾池，垃圾池的容积为50m3，为了合理利用地形，要求垃圾池靠墙一面的长为5m，如果池底每平方米的造价为200元，池壁每平方米的造价为180元（不计靠墙一面的造价），设垃圾池的高为，墙高5m.当垃圾池的总造价最低时，垃圾池的高应为（    ） A． B．3 C． D．4 4．（25-26高一上·湖南邵阳·期中）汽车现在已经是我们出行不可分离的工具，小明由于经常出差，每次出差需要加油两次，两次加油单价不同.现有两种方案，第一种方案：第一次加油元，第二次加油元；第二种方案：第一次加油升，第二次加油升；请你比较下这两种方案，哪种方案更经济实惠（ ） A．第一种 B．第二种 C．不确定 D．一样实惠 5．（24-25高一上·广西河池·期中）完成下面问题： (1)现用篱笆围一个面积为的矩形花园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？ (2)用一段长为25m的篱笆围成一个矩形花园，当这个矩形的边长为多少时，花园的面积最大？最大面积是多少？ 6．已知某公司计划生产一批产品总共万件（），其成本为万元，若将其销售价格定为万元/万件． (1)将该批产品的利润（万元）表示为的函数； (2)当广告宣传总费用为多少万元时，该公司的利润最大?最大利润为多少万元? 7．某企业要建造一个形如长方体的体育馆，其地面面积为540平方米，高为6米.已知甲工程队报价如下：馆顶的造价为每平方米200元，由于利用现成的水泥地面，因此地面不需要花钱，体育馆前、后两侧墙壁的造价为每平方米300元，左、右两侧墙壁的造价为每平方米500元.设体育馆前墙长为x米. (1)当前墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？ (2)现有乙工程队也参与该体育馆的建造竞标，其给出的整体报价为（）元，且报价低的工程队竞标成功.若无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围. 8．徐州是两汉文化发源地.汉文化旅游节期间，徐州东站向汉文化景区和云龙湖景区两个方向发送游客接驳车．设向汉文化景区发x车，向云龙湖景区发y车（）．调度中心每天在两个方向投入固定管理费：汉文化景区方向每天3万元．云龙湖景区方向每天5万元．这些固定管理费按各方向车次平均分摊．已知两个方向每车平均分摊的固定管理费之和为1万元． (1)求总车次的最小值，并写出此时一组x，y的值． (2)为保障游客体验，每车需配备志愿者：汉文化景区每车配2名志愿者，云龙湖景区每车配3名志愿者．设志愿者总数为． （ⅰ）求两方向车次乘积xy的最小值． （ⅱ）求志愿者总数T的最小值，并写出此时一组x，y的值． 凑项、凑系数题型03 1．（25-26高一下·河南信阳·质检）的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 2．已知，则的最小值为（   ） A． B．0 C．4 D．8 3．设实数x满足，则函数的最小值为（    ） A． B． C． D．6 4．已知，则的最值为（   ） A．最小值2 B．最大值2 C．最小值3 D．最大值3 5．（24-25高一上·广东广州·月考）已知，则的最小值为______. 6．若，则的最小值为___________. 7．已知，为正实数，且，则的最小值为________． 8．（1）当时，求函数的最小值； （2）已知正数，满足，求的最大值. 分离或裂项题型04 1．（25-26高一上·广东珠海·月考）函数的最小值是（   ） A．-3 B．-1 C．0 D．4 2．（25-26高三上·广东·质检）设，，当取最小值时，__________. 3．设为正实数，且，则的最小值为________. 4．已知实数，，则的最大值为______. 5．已知正实数a，b，满足，则的最大值为___． 消元法题型05 1．若正数满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D．2 2．已知，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C． D． 3．已知且，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D． 4．若x2+2xy＝4，且x，y∈[0，+∞），则x+y的最小值为______________． 5．若正数，满足，则的最大值为_______. 6．若正实数，满足，则的最大值为______． 7．若正实数满足，则的最小值是__________. 8．已知正数，满足，则的最大值为______． 构建目标不等式题型06 1．（24-25高三上·广东深圳·期末）已知，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．已知，且，则的最小值是（　　） A．5 B．25 C．36 D．64 3．已知，则的最小值为 A．2 B． C． D．4 4．已知，，且满足，则的最大值为_______. 5．若，且满足，则的最小值为________，的最小值为________． 6．若非零实数，满足，则的最大值为_________. 7．（24-25高三上·福建福州·质检）表示三个数中的最大值，对任意的正实数x，y，则的最小值是________． 8．问题：正数，满足，求的最小值.其中一种解法是：，当且仅当，且时，即且时取等号，学习上述解法并解决下列问题： (1)若正实数，满足，求的最小值； (2)若正实数，，，满足，且，试比较和的大小，并说明理由； (3)若，利用（2）的结论，求代数式的最小值，并求出使得最小的的值. 利用基本不等式求最值的常见题型及求解技巧题型07 1．（24-25高一上·上海·期中）设非负实数，满足，则下列说法正确的是（   ） A．的最大值是 B．的最小值是 C．的最小值是 D．的最小值是 2．（25-26高二下·重庆·质检）已知，为正实数，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·重庆·月考）已知均为正实数，且，则下列选项错误的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 4．（24-25高二下·重庆·期末）已知，，，且，则的最小值为（   ） A． B． C．1 D． 5．已知实数满足，则的取值范围是 A． B． C． D． 6．已知函数在上存在最小值，则实数的取值范围是__________. 7．（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·期中），求的最小值； （2），求的最小值； （3）已知求最大值. 基本不等式恒成立问题题型01 1．当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ）. A． B． C． D． 2．（24-25高三上·福建·月考）若，则恒成立的一个充分条件是（    ） A． B． C． D． 3．已知正实数，满足，且不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知不等式对任给，恒成立，则实数a的取值范围是______. 5．已知，，且，若不等式恒成立，则的最大值为______． 6．（24-25高一上·重庆·月考）存在正数，使得不等式成立，则的最大值是______. 7．已知关于的不等式的解集为或，当，且时，有恒成立，求的取值范围. 8．（24-25高一上·江苏徐州·期中）某同学在网上查阅资料时，无意间发现“笛卡尔积”是一个很有趣的问题．设，是任意两个非空集合，则称集合，为“与的笛卡尔积”，并记集合中的元素个数为． (1)若，，求与； (2)若，，求； (3)若，，为素数，且对任意的恒成立，求实数的最大值，并写出当取到最大值时一组符合条件的，． 基本不等式“1”的妙用求最值题型02 1．（24-25高一上·陕西·月考）已知实数，且，则的最小值是（   ） A．4 B．6 C． D．2 2．（24-25高一上·陕西咸阳·月考）已知，则的最小值为（    ） A．13 B．19 C．21 D．27 3．已知，，且，则的最小值是（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 4．（25-26高一上·四川·期中）已知且，，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 5．若，，且，则的最小值是（    ） A．43 B．49 C．39 D．36 6．已知，，，则的最小值为___________． 7．设，，且，若的最小值为4，则实数a的值为___________ 8．（1）问题：正数a，b满足，求的最小值．其中一种解法是： ， 当且仅当且时，即且时取等号． 学习上述解法并解决下列问题： 若实数a，b，x，y满足，试比较和的大小，并指明等号成立的条件； （2）利用（1）的结论，求的最小值，并求出使得取最小值时m的值． 基本不等式的几何图形中的应用题型03 1．（25-26高一上·江苏淮安·期中）若直角三角形的面积为32，则两条直角边的和的最小值是（   ） A． B．8 C．16 D． 2．（24-25高一上·贵州贵阳·期中）如图，是圆的直径，点是上一点，．过点作垂直于的弦，连接．可证，因而．由于小于或等于圆的半径，我们教材中利用该图作为一个说法的几何解释，这个说法正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．对，都有，当且仅当时等号成立 D．对，都有，当且仅当时等号成立 3．（24-25高一上·辽宁·期中）《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有图形如图所示，为线段上的点，且，，为的中点，以为直径作半圆，过点作的垂线交半圆于，连接，则该图形可以完成的无字证明为（    ） A． B． C． D． 4．如图所示的“大方图”称为赵爽弦图，它是由中国数学家赵爽于公元3世纪在给《周髀算经》“勾股网方图”作注时给出的一种几何平面图，记载于赵爽“负薪余日，聊观《周》”一书之中.他用数学符号语言将其表示为“若直角三角形两直角边为，斜边为（、、均为正数）.则，”.某同学读到此书中的“赵爽弦图”时，出于好奇，想用软钢丝制作此图，他用一段长的软钢丝作为的长度（制作其它边长的软钢丝足够用），请你给他算一算，他能制作出来的“赵爽弦图”的最小面积为（   ） A．9 B．18 C．27 D．36 5．古希腊数学家欧几里得所著《几何原本》中的“几何代数法”，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”如图，为线段中点，为上的一点以为直径作半圆，过点作的垂线，交半圆于.连接，，，过点作的垂线，垂足为.设，，则图中线段，线段，线段______；由该图形可以得出，，的大小关系为______. 6．已知正方形ABCD的边长为2，E，F分别为AD，AB上的点，当的周长为4时，面积的最大值为__________. 7．（24-25高一上·辽宁大连·月考）设矩形）的周长为20，如图所示，把它沿对角线对折后，交于点P，设，则的最大面积为________． 8．数形结合是研究数学问题的常用方法，试解决以下问题.       (1)如图，是圆的直径，点是上一点，，过点作垂直于的弦，连接，利用这个图形，我们可以得到基本不等式的几何解释：长不超过圆的半径，即.若取的中点，连接，试用表示的长度（直接写出结果），比较与圆半径大小，并给出代数证明. (2)如图，直角三角形与直角三角形相似，三点共线，，根据与的长度大小关系，试写出一个用表示的不等式，并给出代数证明. 基本不等式的推广题型04 1．权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设正数a，b，x，y，满足，当且仅当时，等号成立．则函数的最小值为（    ） A．16 B．25 C．36 D．49 2．基本不等式是均值不等式“链”中的一环（时），而利用该不等式链我们可以解决某些函数的最值问题，例如：求的最小值我们可以这样处理：，即，当且仅当时等号成立.那么函数（）的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·河北邯郸·质检）已知a，b，c，d为正实数，利用基本不等式证明（1）.确定（2），并指出等号成立的条件，然后解（3）中的问题. (1)请根据基本不等式，证明； (2)请根据（1）中的结论，确定与的大小关系（无须推导）； (3)①求的最小值； ②若，求的最小值； ③如图，把一块长为6的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，再将它的边沿虚线折转做成一个无盖的方底盒子，问切去的正方形边长是多少时，才能使盒子的容积最大？ 与三个实数有关的最值问题题型05 1．定义表示，，中的最小值．已知实数，，满足，，则（    ） A．的最大值是 B．的最大值是 C．的最小值是 D．的最小值是 2．（25-26高一上·湖北·月考）已知实数a，b，，设，，这三个数的最大值为，则的最小值为__________. 3．（24-25高一上·浙江·期中）设．注： (1)证明：； (2)若，求的最小值． 4．（25-26高一上·广东惠州·期中）根据题意，求解下列问题： (1)已知，，且满足，求的最小值； (2)已知，求最小值； (3)已知，，，，求的最大值. 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 2.2 基本不等式 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 利用基本不等式比较大小 题型02 利用基本不等式证明不等式 题型03 利用基本不等式求积的最大值 题型04 利用基本不等式求和的最小值 题型05 条件等式求最值 题型06 基本不等式的内容辨析 B组 能力进阶 题型01 二次或二次（或一次）商式的最值 题型02 基本不等式的实际应用 题型03 凑项、凑系数 题型04 分离或裂项 题型05 消元法 题型06 构建目标不等式 题型07 利用基本不等式求最值的常见题型及求解技巧 C组 思维拔高 题型01 基本不等式恒成立问题 题型02 基本不等式“1”的妙用求最值 题型03 基本不等式的几何图形中的应用 题型04 基本不等式的推广 题型05 与三个实数有关的最值问题 利用基本不等式比较大小题型01 1．设，则下列不等式中正确的是 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用基本不等式和不等式的传递性即可选出答案. 【详解】∵，由基本不等式得，∴ 故选：B. 2．（24-25高二上·浙江杭州·期末）某工厂第一年的年产量为A，第二年的年产量的增长率为，第三年的年产量的增长率为，这两年的年产量的平均增长率为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意列出方程，然后利用基本不等式求解可得结果. 【详解】由题意得，，则， 因为，即 所以， 所以，当且仅当时取等号. 故选：B. 3．小王从甲地到乙地再返回甲地，其往返的时速分别为a和b（a<b），其全程的平均时速为v，则 （    ） A．a<v< B．v= C．<v< D．v= 【答案】A 【分析】设甲乙两地相距，则平均速度，结合基本不等式，即可得出结果. 【详解】设甲乙两地相距，则平均速度， 又∵，∴， ∵，∴， ∴，故选A． 【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，熟记基本不等式即可， 属于基础题型. 4．（25-26高一上·山东滕州·月考）若，，且，则，，2ab，中最小的一个是（   ） A．2ab B． C． D． 【答案】A 【分析】首先根据基本不等式比较大小，再作差比较，即可判断. 【详解】因为，，且，，， ，由条件可知，，则， 所以，即，所以四个数中最小的是. 故选：A 5．已知x，y，z都是正数，则，，这三个数（    ） A．都大于2 B．都小于2 C．至多有一个大于2 D．至少有一个不小于2 【答案】D 【分析】将三个代数式求和，结合基本不等式得到总和的最小值，再通过特例排除和反证法判断各选项正误. 【详解】首先计算三个代数式的和： 已知x，y，z均为正数，由基本不等式：对任意正数a，有，当且仅当时等号成立， 因此，当且仅当时等号成立，对选项逐一判断： 对于A项：当时，三个代数式的值均为2，不满足都大于2，故A错误； 对于B项：若三个数都小于2，则三者之和小于6，与三者之和矛盾，故B错误； 对于C项：取，此时，存在两个数大于2，故C错误； 对于D项：假设三个数都小于2，则三者之和小于6，与三者之和矛盾，因此三个数至少有一个不小于2，故D正确. 6．已知实数a，b，c满足，，且，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用基本不等式得到，两式相减得到，作差得到，从而得到答案. 【详解】因为，由基本不等式得， 故， 因为，，两式相减得， ， 故，所以， 故， 所以. 故选：B 7．希罗平均数（Heronianmean）是两个非负实数的一种平均，若，是两个非负实数，则它们的希罗平均数.记，，则从小到大的关系为______.（用“≤”连接） 【答案】 【分析】根据基本不等式相关知识并利用作差法逐个比较大小即可. 【详解】由基本不等式可知，，当且仅当时等号成立； 因为， 当且仅当，即时等号成立，所以； 因为， 当且仅当，即时等号成立，所以； 综上所述，，当且仅当时等号成立. 故答案为： 8．（25-26高一上·宁夏银川·月考）加油是燃油车用户经常要做的事情，加油时可以有两种不同的策略，第一种是不考虑油价的升降，每次加油的数量一定；第二种是不考虑油价的升降，每次加油所花费的钱数一定．为了比较哪种加油方式更经济，请回答以下问题： (1)你认为用下列哪一个标准去比较多次加油哪种策略更经济是合适的？ A．多次加油的钱数总和； B．多次加油的油量总量； C．多次加油的平均单价. (2)为得到一般结论，我们先假定加油两次，设两次加油的单价分别为元/升和元/升，如果两次加油都采用第一种策略，设每次加油升，如果两次加油都采用第二种策略，设每次加油元，请用上面你选择的标准比较哪种策略更经济； (3)类比上面的研究过程，比较加油三次哪种策略更经济； (4)归纳（2），（3）的结论，你能得到更为一般的数学结论吗？（只写出结论，不用证明） 【答案】(1)C； (2)第二种策略更经济； (3)第二种策略更经济； (4)在多次加油的情况下，油价不全相等时，每次加油所花费的钱数一定的策略总比每次加油的数量一定的策略更经济 【分析】（1）由多次加油的钱数总和、油量总量及平均单价的意义判断. （2）求出两种策略的平均单价，利用基本不等式比较大小即可. （3）求出两种策略的平均单价，利用作商法，结合基本不等式比较大小即可. （4）由（2）（3）总结出一般性结论. 【详解】（1）对于A，多次加油的钱数总和：总花费受总油量影响，策略不同导致总油量不同，无法直接比较经济性； 对于B，多次加油的油量总量：总油量受油价变化影响，但未考虑总花费，无法反映成本效率； 对于C，多次加油的平均单价：定义为总花费除以总油量，即单位油量的平均成本，能直接衡量经济性（平均单价越低越经济）， 所以合适的是C. （2）第一种策略，两次加油的平均单价为； 第二种策略，两次加油的平均单价为， 而，当且仅当时取等号，因此当时，， 所以第二种策略更经济. （3）设三次加油的单价分别为元/升、元/升和元/升，， 第一种策略，每次加油升，三次加油的平均单价为； 第二种策略，每次加油元，三次加油的平均单价为， 则 ，即， 当且仅当时取等号，当不全相等时，， 所以第二种策略更经济. （4）由(2)(3)可以归纳出更一般结论：在多次加油的情况下，油价不全相等时，每次加油所花费的钱数一定的策略总比每次加油的数量一定的策略更经济. 利用基本不等式证明不等式题型02 1．（25-26高一上·四川广安·月考）和的大小. （2）已知，都是正数，求证：. 【答案】 （1） （2）∵，由均值不等式得，. 由不等式的性质，得，当且仅当且时，等号成立，即证. 【分析】（1）利用作差法比较大小即可； （2）根据基本不等式及不等式性质证明即可. 【详解】（1）， 所以 （2）略 2．（25-26高一上·上海·月考）已知，且，求证： (1)； (2)． 【答案】(1) 证明：对，有，所以，平方得， 所以，当且仅当时，等号成立，得证． (2) 证明：，即证，也即证， 只需证 ，即证，即证，由（1）可知成立， 所以成立． 【分析】（1）直接利用基本不等式求证即可； （2）对原不等式平方，变形结合（1）中结论即可求证． 【详解】（1）略 （2）略 3．（25-26高一上·江西赣州·月考）已知，且.求证： (1)； (2). 【答案】(1)证明：，且， 所以. 因为，当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立. 所以，当且仅当时，等号成立. 所以得证. (2)证明：，且， . 因为，当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立. 所以，当且仅当时，等号成立. 所以，即，当且仅当时，等号成立. 所以得证. 【分析】（1）利用，对进行变形，再根据基本不等式求证即可； （2）先求的展开式，再利用进行变形，并根据基本不等式求得的取值范围，从而证得. 【详解】（1）略； （2）略. 4．（1）已知正实数，且，求证：． （2）已知正实数，且，求证： （3）已知，都是正数，且，求证：． 【答案】（1）由均为正实数，且， 则 ， 当且仅当，即时等号成立， 故. （2）由均为正实数，且， 则，当且仅当，即时等号成立， ，当且仅当，即时等号成立， ，当且仅当，即时等号成立， 所以， 则，当且仅当时等号成立. （3）由均为正实数，且， 则 ， 当且仅当，即时等号成立， 故. 【分析】（1）利用“1”的代换，结合基本不等式，即可证明结论. （2）根据题设及基本不等式易得，，，将这三个式子相加即可求证. （3）利用“1”的代换，结合基本不等式，即可证明结论. 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 5．（24-25高一上·四川达州·月考），，.求证：. （2）已知正数满足，求的最小值 【答案】（1）证明:由题意可得， 所以， 当且仅当时取等号； （2）18 【分析】（1）由基本不等式的乘“1”法得到即可； （2）先将条件等式变形为，再利用基本不等式求解即可； 【详解】（1）略； （2）由可， 即， 所以， 当且仅当时取等号， 所以的最小值为18. 6．（25-26高一上·河南平顶山·月考）对于题目：已知，，且，求最小值. 甲同学的解法：因为，，所以，， 从而，所以的最小值为. 乙同学的解法：因为，，所以. 所以的最小值为. (1)你认为哪位同学的解法正确，哪位同学的解法有错误？错误的请说明理由. (2)为巩固学习效果，老师布置了另外两道题，请你解决： （i）已知，，且，求的最小值； （ii）设，，都是正数，求证：. 【答案】(1) 甲错误，乙正确，理由如下： 同学甲的解法中，取等号时，，此时，不符合要求，故错误. 同学乙恒等变换后，直接用基本不等式，满足基本不等式的使用条件“一正”“二定”“三相等”解法正确； (2)（i）； （ii）因为，，为正数，结合基本不等式， ，当且仅当取等号， ，当且仅当取等号， ，当且仅当取等号， 以上三式相加有， 即，当且仅当时取等号. 【分析】（1）根据使用基本不等式的前提及等号成立条件判断甲乙解法是否正确即可； （2）（i）由题设，且，应用基本不等式求最小值，注意取值条件；（ii）利用基本不等式证明不等式即可. 【详解】（1）略 （2）（i），则， ， 当且仅当，即时等号成立； （ii）略 7．已知． (1)若，证明：； (2)若，证明：； (3)若，证明． 【答案】(1)证明：要证，因为，两边同时平方，即证. 展开得，已知，所以即证， 也就是证，即证. 对于，有，已知，所以，则， 当且仅当时等号成立. 所以得证. (2)证明：根据二项式，将，代入可得： 整理得 因为，所以 已知，可得，即 ，当且仅当时取等号. 同时，由第一问可知（当且仅当时等号成立）. 将和代入可得： ，当且仅当时等号成立. 综上，若，得证. (3)证明：因为，所以， 以上三个式子相加得， 所以，当且仅当时等号成立， 因为，且，所以， 所以，所以. 【分析】（1）化简所求不等式，结合基本不等式来证得不等式成立. （2）通过对进行展开，结合已知条件以及基本不等式来证明. （3）利用综合法以及基本不等式来证得不等式成立. 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 8．（24-25高一上·上海·期中）已知实数满足． (1)若满足， 求证：且． (2)求证：并将上述不等式加以推广，把的分子1改为另一个大于1的自然数p，使得对任意的恒成立， 求的值． (3)从另一角度推广，自然数满足什么条件时，不等式 对任意恒成立． 【答案】(1)证明：因为且， 所以，且， 所以且. (2)证明：由，可得，， 则 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即， 则. 因为对任意的恒成立， 即为恒成立， 而，所以. 又为自然数，所以或. (3). 【分析】（1）根据不等式的性质即可证明； （2）展开，利用基本不等式即可证明； （3）由题意可得恒成立，展开即可证明. 【详解】（1）略 （2）或，证明略； （3）不等式对任意恒成立， 即为恒成立， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即， 所以当自然数满足时，不等式 对任意恒成立． 利用基本不等式求积的最大值题型03 1．已知，，则的最大值为（    ） A．6 B．9 C．12 D．36 【答案】B 【分析】根据题意，结合基本不等式，即可求解. 【详解】因为，且， 由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为. 故选：B. 2．（25-26高三上·山西吕梁·月考）若且，则的最大值为（　　） A．1 B．2 C．4 D．16 【答案】B 【分析】利用基本不等式求解即可. 【详解】由基本不等式可得：， 所以，当且仅当时等号成立； 所以的最大值为； 故选：B 3．已知，，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依题意可得，再利用基本不等式计算可得. 【详解】解：因为，即，所以，又，， 则，当且仅当，时，等号成立. 故选：A 4．中国南宋著名数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为，三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半.已知周长为12，，则此三角形面积最大时，=（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由秦九韶公式可得关于，的式子，再利用基本不等式求出得最大值时三角形各边长，再求． 【详解】由题可知，，可得， 则， 当且仅当时，取得等号， 所以此时三角形为等边三角形，故． 故选：C 5．（24-25高一上·上海·期中）设，若，则的最大值为__________. 【答案】 【分析】根据基本不等式直接求解即可. 【详解】解：因为，， 所以根据基本不等式得， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即，当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为 故答案为： 6．已知，则的最大值为______． 【答案】1 【分析】根据基本不等式即可求出的最大值. 【详解】由题意， 在中， ， 当且仅当时取等号， 即， 故答案为：. 7．若，且，则的最大值为____． 【答案】## 【分析】由,结合并进行构造，借助基本不等式求解即可. 【详解】由，得，， 由， 当且仅当，即时，等号成立. 即，即． 故答案为：. 8．已知正实数满足． (1)求的最小值及此时的值； (2)求的最大值及此时的值； (3)求的最小值及此时的值． 【答案】(1)，此时 (2)的最大值是，此时 (3)的最小值是3，此时 【分析】（1）对已知等式两边平方结合基本不等式即可求解； （2）利用基本不等式推论即可求解； （3）将所求式子变形为，结合基本不等式即可求解. 【详解】（1）由基本不等式有， 所以，等号成立当且仅当满足题意； （2）由基本不等式推论有，等号成立当且仅当， 所以的最大值是； （3）一方面，另一方面，所以， 从而，等号成立当且仅当， 所以的最小值是3. 利用基本不等式求和的最小值题型04 1．已知，则的最小值是（    ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】根据基本不等式可求最小值. 【详解】因为，所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是. 故选：C. 2．当时，函数（    ） A．有最大值 B．有最小值 C．有最大值4 D．有最小值4 【答案】A 【分析】利用基本不等式可直接得到函数的最值. 【详解】，， ，当且仅当时等号成立， 故选：A 3．已知，则取得最小值时的值为（   ） A．3 B．2 C．4 D．5 【答案】A 【分析】根据基本不等式求最值，考查等号成立的条件即可求解. 【详解】，则，当且仅当，即时等号成立. 故选：A 4．已知，为正实数，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】原式可化为：， 因为 ，由基本不等式，当且仅当 ，即 时取等号． 所以原式的最小值为： 5．（25-26高一上·上海·期末）已知两实数、满足，则的最小值为______． 【答案】 【分析】根据重要不等式计算即可. 【详解】因为两实数、满足，则， 当且仅当或时取等号. 故的最小值为. 6．（24-25高一上·上海·期末）已知，且，则的最小值为________． 【答案】 【分析】根据基本不等式可求和的最小值. 【详解】因为，所以由基本不等式可得： ， 当且仅当时，等号成立，所以的最小值为. 故答案为：. 7．（25-26高一上·广东茂名·联考）已知，，且. (1)求的最小值； (2)求的最小值； 【答案】(1)16 (2)9 【分析】（1）利用基本不等式构建不等式求出的最值即可； （2）基本不等式“1的妙用”求最值. 【详解】（1）由，，得， 当且仅当，即，时取等号. 则，而，解得， 所以的最小值为16. （2）由，，，得， 因此， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为9. 8．（1），比较与的大小； （2）已知，求代数式的最小值及取最小值时的值. 【答案】（1）；（2）的最小值20， 【分析】（1）利用基本不等式即可得解； （2）由（1）知，，再利用基本不等式即可得解. 【详解】（1），， ，当且仅当，即时，等号成立. 所以. （2）由（1）知， ，当且仅当时取等号， 显然要使成立，需满足，解得 综上可知，当，代数式取得最小值20. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 条件等式求最值题型05 1．（24-25高二下·重庆·期末）已知正数x，y满足，则的最小值为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】化简得到，再结合基本不等式即可求出. 【详解】因，则， 因x，y为正数，则，得，等号成立时， 则的最小值为. 故选：C 2．如果正数满足，那么（　　） A．，且等号成立时的取值唯一 B．，且等号成立时的取值唯一 C．，且等号成立时的取值不唯一 D．，且等号成立时的取值不唯一 【答案】A 【详解】正数满足，∴ 4=，即，当且仅当a=b=2时，“=”成立；又4=，∴ c+d≥4，当且仅当c=d=2时，“=”成立；综上得，且等号成立时的取值都为2，选A． 3．已知，，且，则的最小值为（    ）． A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】A 【分析】利用基本不等式和消元思想对本题目进行求解. 【详解】解：已知，且xy+2x+y=6， y= 2x+y=2x+=2(x+1)，当且仅当时取等号， 故2x+y的最小值为4. 故选:A 4．若圆关于直线对称，则的最小值为 A．1 B．5 C． D．4 【答案】D 【详解】由题设直线过圆心 即 故选 5．，，且，则ab的最小值为________． 【答案】36 【分析】利用基本不等式以及不等式的性质求解. 【详解】因为，，所以， 即，解得， 当且仅当时，即时，取等号. 故答案为：36. 6．已知点在直线上，则的最小值是_______． 【答案】4 【分析】由已知可得，然后对利用基本不等式求解即可 【详解】因为点在直线上， 所以，即， 所以， 当且仅当，即时取等号 故答案为：4 7．已知，且，若当取最小值时有，则的取值范围是__________. 【答案】 【分析】先判断，当且仅当时等号成立，根据对勾函数的单调性可得，解不等式即可得答案. 【详解】由于，当且仅当时等号成立. . 由于对勾函数在上单调递减，上单调递增， 若取最小值时有，则，即. 解得， 又由于，所以的取值范围是. 故答案为:. 8．（24-25高一·河北·月考）《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂：从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法． 阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体代入：（4）整体求和等． 例如，，求证：．证明：原式． 波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到第一个藤菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长”类似问题，我们有更多的式子满足以上特征． 阅读材料二：基本不等式，当且仅当时等号成立，它是解决最值问题的有力工具．例如：在的条件下，当为何值时，有最小值，最小值是多少？ 解：，即，当且仅当，即时，有最小值，最小值为2． 请根据以上阅读材料解答下列问题： (1)已知，求的值； (2)若正数满足，求的最小值． 【答案】(1)1； (2)． 【分析】（1）根据已知得，即可得结果； （2）根据已知得 ，应用基本不等式求最值即可. 【详解】（1）由题意，得； （2）由，则 ，当且仅当，即时，等号成立． 有最小值，此时有最大值， 从而有最小值，即有最小值． 基本不等式的内容辨析题型06 1．下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据基本不等式即可判断选项A是否正确，对选项B化简可得，由此即可判断B是否正确；对选项C、D通过举例即可判断是否正确. 【详解】A.由基本不等式可知，故A不正确； B.，即恒成立，故B正确； C.当时，不等式不成立，故C不正确； D.当时，不等式不成立，故D不正确. 故选：B. 2．下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式成立的条件依次判断各选项即可得答案. 【详解】解：对于A选项，当时，不等式显然不成立，故错误； 对于B选项，成立的条件为，故错误； 对于C选项，当时，不等式显然不成立，故错误； 对于D选项，由于，故，正确. 故选：D 3．若，且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对于ABD，举例判断，对于C，利用基本不等式判断. 【详解】对于A，若，则满足，且，而，所以A错误， 对于B，若，则满足，且，而，所以B错误， 对于C，因为，所以，所以，当且仅当，即时取等号，而，所以取不到等号，所以，所以C正确， 对于D，若，则满足，且，而，所以D错误， 故选：C 4．（24-25高二下·辽宁鞍山·期末）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由充分必要条件的定义判断． 【详解】成立时，可以有，此时不成立，不充分， 成立时，，因此有，必定成立，因此是必要的， 所以是必要不充分条件， 故选：B． 5．（25-26高一上·上海·月考）下列函数中，最小值为2的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合基本不等式（均值不等式）的使用条件“一正、二定、三相等”逐一分析即可． 【详解】对于A，函数（），当时，， 当且仅当时取等号；当时，， 又，当且仅当时取等号， 所以此时，因此，函数无最小值，故A错误； 对于B，函数，当时，，； 当时，，，因此，函数无最小值，故B错误； 对于C，，当且仅当，即时取等号， 此时，所以函数最小值为2，故C正确； 对于D，令，则，函数变为（）， 函数在时单调递增，故当时，y取得最小值，故D错误． 故选：C． 6．（25-26高一上·山东威海·期中）下列各式中，最小值是2的有________. ①    ②    ③    ④， 【答案】① 【分析】通过基本不等式来分析每个选项式子的最小值即可.. 【详解】对于①，，当且仅当，即时，等号成立， 则的最小值为2，故①满足题意； 对于②，当时，，故②不满足题意； 对于③，，当且仅当等号成立， 因为，所以无解，所以等号不成立， 所以，故③不满足题意； 对于④，因为，所以， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以，故④不满足题意. 故答案为：① 7．已知正数，满足，若，则________． 【答案】6 【分析】化简不等式，利用基本不等式求出，即可得出的值. 【详解】由题意，由，得， 即，故． 又，所以， 当且仅当即时，等号成立， 此时，解得或，则， 所以. 故答案为：. 8．我们知道，当时，如果把按照从大到小的顺序排成一列的话，一个美丽、大方、优雅的均值不等式链便款款的、含情脉脉的降临在我们面前.这个均值不等式链神通巨大，可以解决很多很多的由定值求最值问题. (1)填空写出补充完整的该均值不等式链； (2)如果定义：当时，为间的“缝隙”.记与间的“缝隙”为，与间的缝隙为，请问、谁大？给出你的结论并证明. 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】（1）由题得；（2）（当且仅当时取等号），再利用作差比较法证明即可. （1） （2）（当且仅当时取等号） 证明：∵ 又∵ （当且仅当时取=号）. ∴，∴ ∴（当且仅当时取=号）. 【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，考查作差比较法证明不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 二次或二次（或一次）商式的最值题型01 1．函数的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，利用基本不等式求最小值即可. 【详解】因为，所以，当且仅当，即时等号成立. 所以函数的最小值是. 故选：D. 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，考查学生的计算求解能力，属于基础题. 2．已知，则 的最大值是（    ） A． B． C．2 D．7 【答案】A 【分析】化简  为，利用均值不等式求解即可. 【详解】 ， ，， 当且仅当，即时，等号成立， 所以  的最大值为 故选：A 3．（24-25高一上·上海·月考）设正实数满足，则当取得最大值时，的最大值为（    ） A．9 B．1 C． D．4 【答案】D 【分析】首先根据，变形，利用基本不等式求最值，根据最值的条件，代入，再利用二次函数求最值. 【详解】由题意可知，， 所以， 因为，所以，当，即时，等号成立， 此时取最大值为1，， 所以， 当时，上式取得最大值4，所以的最大值为4. 故选：D 4．对任意正实数、，记．当取得最大值时，的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由不等式的基本性质得出，利用基本不等式求出的最大值，可得出的最大值，利用等号成立的条件可得出、的值，即可得出的值. 【详解】因为、都为正实数，且，故， 由题意可得，， 由不等式的性质可得， ，故，可得， 当且仅当时，即当时， 此时且时，取最大值， 此时. 5．函数(）的最大值为______． 【答案】## 【详解】 ，，当且仅当时取等号， 即函数(）的最大值为． 6．已知且，则的最大值为____． 【答案】 【分析】利用基本不等式计算可得. 【详解】因为，当且仅当时取等号， 所以，当且仅当时取等号， 所以的最大值为. 故答案为： 7．（1）设，且，求的最小值； （2）设，求的最小值. 【答案】（1）1；（2）. 【分析】（1）根据已知条件直接利用基本不等式求解即可； （2）对化简变形得，然后利用基本不等式求解即可. 【详解】（1）因为，所以， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为1； （2）因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立 所以的最小值为. 8．（1）已知，求的最大值； （2）已知，求的最大值． 【答案】（1）1；（2）． 【分析】（1）先将变形为，再利用基本不等式求解； （2）先将变形为，再利用基本不等式求解. 【详解】（1），， 原式， 当且仅当，即时，等号成立，故所求最大值为1． （2），， ， 当且仅当，即时取等号，的最大值为． 基本不等式的实际应用题型02 1．若矩形的面积为100，则该矩形周长的最小值是（    ） A． B．20 C． D．40 【答案】D 【分析】设矩形的长为，宽为，根据面积得，结合基本不等式求得周长的最小值． 【详解】设矩形的长为，宽为，周长为，则，， 所以， 当且仅当时，等号成立. 所以周长的最小值为. 故选：D. 2．（24-25高一上·江苏无锡·期中）一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到以下信息：每月土地占地费（单位：km）成反比，每月库存货物费（单位：万元）与成正比；若在距离车站10km处建仓库，则和分别为2万元和8万元.这家公司应该把仓库建在距离车站（    ）千米处，才能使两项费用之和最小. A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】先求得的解析式，然后利用基本不等式来求得正确答案. 【详解】设，则； 设，则， 所以总费用， 当且仅当时等号成立. 故选：C 3．（25-26高一上·安徽·联考）如图所示，某小区要建造一个一面靠墙的无盖长方体垃圾池，垃圾池的容积为50m3，为了合理利用地形，要求垃圾池靠墙一面的长为5m，如果池底每平方米的造价为200元，池壁每平方米的造价为180元（不计靠墙一面的造价），设垃圾池的高为，墙高5m.当垃圾池的总造价最低时，垃圾池的高应为（    ） A． B．3 C． D．4 【答案】C 【分析】利用长方体垃圾池的容积及长与高表示宽，再求各面面积，得出总造价，利用基本不等式求最值. 【详解】由题意，无盖长方体垃圾池的容积为，长为5m，高为，宽，， 则总造价， 当且仅当，即时取等号，且， 所以当垃圾池的高为时，垃圾池总造价最低. 故选：C. 4．（25-26高一上·湖南邵阳·期中）汽车现在已经是我们出行不可分离的工具，小明由于经常出差，每次出差需要加油两次，两次加油单价不同.现有两种方案，第一种方案：第一次加油元，第二次加油元；第二种方案：第一次加油升，第二次加油升；请你比较下这两种方案，哪种方案更经济实惠（ ） A．第一种 B．第二种 C．不确定 D．一样实惠 【答案】A 【分析】分别设两次加油的单价，计算全程的均价，结合基本不等式比较大小即可判断. 【详解】设第一次加油的单价为元/升，第二次加油的油单价为元/升， 则方案一的均价：，当且仅当时等号成立； 方案二的均价：，当且仅当时等号成立； 又两次加油单价不同， 则方案一的均价，方案二的均价， 所以， 故选：A. 5．（24-25高一上·广西河池·期中）完成下面问题： (1)现用篱笆围一个面积为的矩形花园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？ (2)用一段长为25m的篱笆围成一个矩形花园，当这个矩形的边长为多少时，花园的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1)当且仅当时，所用篱笆最短，最短为32. (2)当这个矩形花园的边长为时，花园的面积取最大值，花园的面积最大值为. 【分析】(1)是考查基本不等式应用中，两个正数的积为定值时，求两个正数和的最小值； (2)是考查基本不等式应用中，两个正数的和为定值时，求两个正数积的最大值. 【详解】（1）设矩形花园的长为，宽为 由题意可知：（面积） 由得 ∴当且仅当时，所用篱笆最短，最短为32m. （2）已知（周长），矩形花园的面积为 由 当且仅当时．上式等号成立 ∴当这个矩形花园的边长为时，花园的面积取最大值，花园的面积最大值为. 6．已知某公司计划生产一批产品总共万件（），其成本为万元，若将其销售价格定为万元/万件． (1)将该批产品的利润（万元）表示为的函数； (2)当广告宣传总费用为多少万元时，该公司的利润最大?最大利润为多少万元? 【答案】(1)， (2)宣传费用为万元时，利润最大为万元． 【分析】（1）根据利润与成本及产量的关系直接列式； （2）利用基本不等式求最值. 【详解】（1），； （2）， ， ， 当即宣传费用为万元时，利润最大为万元． 7．某企业要建造一个形如长方体的体育馆，其地面面积为540平方米，高为6米.已知甲工程队报价如下：馆顶的造价为每平方米200元，由于利用现成的水泥地面，因此地面不需要花钱，体育馆前、后两侧墙壁的造价为每平方米300元，左、右两侧墙壁的造价为每平方米500元.设体育馆前墙长为x米. (1)当前墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？ (2)现有乙工程队也参与该体育馆的建造竞标，其给出的整体报价为（）元，且报价低的工程队竞标成功.若无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围. 【答案】(1)30米 (2) 【分析】（1）根据题意求出报价的表达式，再根据基本不等式即可得解； （2）根据题意可知对任意的恒成立，分离参数对任意的恒成立，进而变形利用基本不等式求的范围即可. 【详解】（1）因为体育馆前墙长为x米，地面面积为540平方米， 所以体育馆的左、右两侧墙的长度均为（）米， 设甲工程队报价为y元， 则， 因为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当前墙的长度为30米时，甲工程队报价最低为324000元. （2）根据题意可知对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 所以对任意的恒成立， 因为， ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以， 故当时，无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功， 8．徐州是两汉文化发源地.汉文化旅游节期间，徐州东站向汉文化景区和云龙湖景区两个方向发送游客接驳车．设向汉文化景区发x车，向云龙湖景区发y车（）．调度中心每天在两个方向投入固定管理费：汉文化景区方向每天3万元．云龙湖景区方向每天5万元．这些固定管理费按各方向车次平均分摊．已知两个方向每车平均分摊的固定管理费之和为1万元． (1)求总车次的最小值，并写出此时一组x，y的值． (2)为保障游客体验，每车需配备志愿者：汉文化景区每车配2名志愿者，云龙湖景区每车配3名志愿者．设志愿者总数为． （ⅰ）求两方向车次乘积xy的最小值． （ⅱ）求志愿者总数T的最小值，并写出此时一组x，y的值． 【答案】(1)最小值为，，. (2)(i)60，(ii)的最小值为，，. 【分析】根据题意列出关系式，利用不等式与“1”的代换进行求解。 【详解】（1）由题意可得汉文化景区每车分摊固定管理费为万元， 云龙湖景区每车分摊固定管理费为万元，且 ， 因为为正整数，故， 当时，成立， 故的最小值为，此时，. （2）(i)由于，， 则，整理得， 当且仅当，时等号成立. 因此的最小值为60. (ii)， 因为为正整数，故， 当时，成立且， 故的最小值为， 凑项、凑系数题型03 1．（25-26高一下·河南信阳·质检）的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据基本不等式求解即可. 【详解】因为，所以. 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 2．已知，则的最小值为（   ） A． B．0 C．4 D．8 【答案】B 【分析】由，利用基本不等式求解即可. 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为0. 故答案为：B. 3．设实数x满足，则函数的最小值为（    ） A． B． C． D．6 【答案】A 【分析】将函数变形为，再根据基本不等式求解即可得答案. 【详解】由题意，所以， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以函数的最小值为. 故选：A 4．已知，则的最值为（   ） A．最小值2 B．最大值2 C．最小值3 D．最大值3 【答案】C 【分析】配凑目标式，利用基本不等式，即可求得目标式的最值. 【详解】因为，故，当且仅当时取得最小值3； 令，对函数，其在单调递减，在单调递增，无最大值. 故时，无最大值. 故选：C. 5．（24-25高一上·广东广州·月考）已知，则的最小值为______. 【答案】 【分析】求出的范围，根据基本不等式即可求出的最小值. 【详解】，， ， 当且仅当时，等号成立， 故的最小值为. 故答案为：. 6．若，则的最小值为___________. 【答案】##0.75 【分析】由题可得，然后由基本不等式可得答案. 【详解】， 当且仅当，即时取等号. 故答案为： 7．已知，为正实数，且，则的最小值为________． 【答案】 【分析】利用结合基本不等式求解即可 【详解】由题则则 则 当且仅当即等号成立 故答案为 【点睛】本题考查基本不等式求最值，考查配凑定值的技巧，是基础题 8．（1）当时，求函数的最小值； （2）已知正数，满足，求的最大值. 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）因为，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以函数的最小值为14； （2）因为，且， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为. 分离或裂项题型04 1．（25-26高一上·广东珠海·月考）函数的最小值是（   ） A．-3 B．-1 C．0 D．4 【答案】B 【分析】由，结合基本不等式即可求解. 【详解】因为， 所以，则： ， 当且仅当时，取等号， 所以的最小值为， 故选：B 2．（25-26高三上·广东·质检）设，，当取最小值时，__________. 【答案】1 【分析】对进行换元，消去变量，再结合基本不等式的取等条件建立方程，求解参数即可. 【详解】令，则，即 ， 当且仅当时取等，解得（负根舍去）. 故答案为：1 3．设为正实数，且，则的最小值为________. 【答案】 【分析】令，将所求代数式转化为关于的代数式，再结合基本不等式及1的代换求解即可. 【详解】∵ ,令， ∴， ∴， ∴ 又∵ ∴； 当且仅当时，即时取得最小值， ∴的最小值为. 故答案为： 4．已知实数，，则的最大值为______. 【答案】2 【分析】利用分离常数法，把分子降为一次式，再可以利用基本不等式结合条件即得. 【详解】因为， 又因为，，所以可由平方均值不等式得：， 取等号条件是，即， 所以上式可变为：， 取等号条件是：，即，结合， 可得取到最大值的条件是：. 故答案为：2 5．已知正实数a，b，满足，则的最大值为___． 【答案】 【分析】由已知进行分离，然后进行换元，结合基本不等式进行求解即可． 【详解】解：因为正实数，，满足， 则， 因为，，， 所以，当且仅当时取等号， 令，， 则原式 ， 当且仅当，即时取等号，此时取得最大值， 故答案为：. 消元法题型05 1．若正数满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】根据题意可得，利用基本不等式求解. 【详解】由可得， ， 当且仅当，即时，等号成立，此时符合题意. 所以的最小值为. 故选：A. 2．已知，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C． D． 【答案】D 【分析】由已知可得且、，再由，应用基本不等式求其最小值，注意取值条件. 【详解】由，，即，易知， 所以， 当且仅当时等号成立，此时， 所以的最小值为. 故选：D 3．已知且，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】B 【分析】变换，代入计算得到答案. 【详解】设，，，，，， 解得，即， 故. 当且仅当，即，时等号成立， 故选：B 4．若x2+2xy＝4，且x，y∈[0，+∞），则x+y的最小值为______________． 【答案】2 【分析】由已知解出y，然后把y换成x，利用基本不等式即可求解． 【详解】解：由已知x2+2xy＝4且x，y∈[0，+∞），可得：， 所以， 当且仅当，即x＝2时取等号， 此时x+y的最小值为2， 故答案为：2． 5．若正数，满足，则的最大值为_______. 【答案】2 【分析】根据得出，得出，，根据的范围求出的范围即可. 【详解】，，，所以，即，， 根据二次函数的性质可知时，上式取得最大值2. 故答案为：2. 6．若正实数，满足，则的最大值为______． 【答案】 【分析】由已知得a＝，代入＝＝＝﹣2 （）2+，然后结合二次函数的性质可求． 【详解】 因为正实数a，b满足b+3a＝2ab，所以a＝， 则＝＝＝﹣2 （）2+， 当，即b＝2 时取得最大值． 故答案为：． 【点睛】思路点睛：b+3a＝2ab，可解出，采用二元化一元的方法减少变量，转化为的一元二次函数，利用一元二次函数的性质求最值. 7．若正实数满足，则的最小值是__________. 【答案】9 【分析】双变量最值，采取消元手段或者基本不等式处理即可. 【详解】解析一:， 则，等号成立时. 所以的最小值是9. 解析二:， 则， 等号成立时所以的最小值是9. 故答案为：9. 8．已知正数，满足，则的最大值为______． 【答案】 【分析】由条件得，进而得，由基本不等式可得解. 【详解】由，得， 由，得， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立，、 所以的最大值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是利用等量代换实现二元换一元，进而可利于基本不等式求最值. 构建目标不等式题型06 1．（24-25高三上·广东深圳·期末）已知，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用利用基本不等式化简已知条件，从而求得正确答案. 【详解】依题意，， 即， 由于，所以， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为. 故选：B 2．已知，且，则的最小值是（　　） A．5 B．25 C．36 D．64 【答案】B 【分析】根据基本不等式可得出关于的不等式，即可解得的最小值. 【详解】因为，所以， 即，解得（舍去）， 所以，当且仅当时取等号， 所以的最小值是. 故选：B. 3．已知，则的最小值为 A．2 B． C． D．4 【答案】D 【分析】根据题意，结合基本不等式，得到，令，得，解不等式，即可得出结果. 【详解】因为， 所以， 当且仅当取等号； 令，则，即， 解得或（舍）， 的最小值为4.（当且仅当时取得） 故选D 【点睛】本题主要考查由基本不等式求最值问题，熟记基本不等式即可，属于常考题型. 4．已知，，且满足，则的最大值为_______. 【答案】2 【分析】先由条件配方，再由基本不等式即可得到. 【详解】因，，，得. 再由，得，所以. 所以的最大值为2. 故答案为：2. 5．若，且满足，则的最小值为________，的最小值为________． 【答案】 6 【分析】第①问通过对已知等式变形结合基本不等式求解；第②问通过换元法化简，再结合已知等式利用基本不等式求最小值． 【详解】①因为，当且仅当时等号成立，又， 所以， 所以，即， 所以，解得（，故舍去）或， 所以，即的最小值为6． ②令，， ，解得， ， ，， ，当且仅当，即时取等号， 最小值为，此时， 故答案为：6，． 6．若非零实数，满足，则的最大值为_________. 【答案】 【分析】设出，，则，故，由基本不等式求出，得到. 【详解】令，，则， 所以， 因为，所以, 所以，所以， 从而，当且仅当时，等号成立， 故取得最大值. 故答案为：. 7．（24-25高三上·福建福州·质检）表示三个数中的最大值，对任意的正实数x，y，则的最小值是________． 【答案】2 【分析】设,因，则得,借助于基本不等式可得,验证等号成立的条件，即得. 【详解】设,则 因，则得，又因，则有. 当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为2. 故答案为: 2. 【点睛】思路点睛：本题解题的思路在于，先根据的含义，设出，即得，将问题转化为求的最小值，而这可以利用基本不等式求得，同时需验证等号成立的条件即得. 8．问题：正数，满足，求的最小值.其中一种解法是：，当且仅当，且时，即且时取等号，学习上述解法并解决下列问题： (1)若正实数，满足，求的最小值； (2)若正实数，，，满足，且，试比较和的大小，并说明理由； (3)若，利用（2）的结论，求代数式的最小值，并求出使得最小的的值. 【答案】(1) (2)，理由如下： ， 又，当且仅当时等号成立， 所以， 所以，当且仅当，即同号时等号成立. 此时，满足； (3)时，取得最小值 【分析】（1）由题知，进而根据基本不等式“1”的用法求解即可； （2）由题知，进而结合判断即可； （3）令，，构造，进而结合（2）的结论求解即可. 【详解】（1）解： ，，，则， 所以，， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值是. （2）略 （3）解：令，，构造， 所以，即，因此，， 所以， 取等号时，即，结合，解得，， 即，. 所以时，取得最小值. 利用基本不等式求最值的常见题型及求解技巧题型07 1．（24-25高一上·上海·期中）设非负实数，满足，则下列说法正确的是（   ） A．的最大值是 B．的最小值是 C．的最小值是 D．的最小值是 【答案】C 【分析】对于ABC：利用基本不等式以及乘“1”法逐项分析判断；对于D：根据题设条件反推即可. 【详解】因为非负实数x，y满足， 对于选项A：因为， 当且仅当时，等号成立， 所以的最大值是，故A错误； 对于选项B：因为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值是，故B错误； 对于选项C：因为， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值是，故C正确； 对于选项D：因为，为非负实数， 若的最小值是，当且仅当时成立， 但此时不满足，所以不是的最小值，故D错误； 故选：C. 2．（25-26高二下·重庆·质检）已知，为正实数，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将原式的两个分母整体设为新变量，通过解方程组用新变量表示，代入原式化简后结合基本不等式即可求解最值. 【详解】∵ 为正实数，令，，，， 联立得，解得，. ∵ 为正实数， ∴ ，即，满足基本不等式使用条件. 所以. 则，当且仅当，即时取等号. 此时，，均为正实数，等号可取. ∴ 原式，即最大值为. 3．（24-25高一上·重庆·月考）已知均为正实数，且，则下列选项错误的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】B 【分析】利用基本不等式可判断AC的正误，利用“1”的代换可判断B的正误，利用换元法结合常数代换可判断D的正误. 【详解】选项A：时取等， 得的最大值为，故A对； 选项B：， 当且仅当时取等，故的最小值为，故B错 选项C：时取等， 故的最大值为，故C对； 选项D：换元，令，则， 故 ， 当且仅当取等号，故的最小值为，故D正确； 故选：B. 4．（24-25高二下·重庆·期末）已知，，，且，则的最小值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】根据基本不等式可得，再次利用基本不等式即可求解. 【详解】由于，故， ，当且仅当时，取等号， ，当且仅当时，原式取得最小值， 故选：D. 5．已知实数满足，则的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据得，再结合基本不等式得，进而得答案. 【详解】解： 即， 由，，， 所以， 即，当且仅当或时取等号， 综上所述，的取值范围是. 故选：C 6．已知函数在上存在最小值，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】利用对勾函数的性质，对实数进行讨论可得其取值范围. 【详解】已知在上存在最小值, 当时，函数为对勾函数，在处取得最小值， 为使最小值点落在区间内，需，解得， 当时，函数单调递增，在区间内不存在最小值点， 因此实数的取值范围是. 7．（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·期中），求的最小值； （2），求的最小值； （3）已知求最大值. 【答案】（1）4；（2）4；（3）. 【分析】（1）（2）应用基本不等式求函数的最小值，注意取值条件； （3）由基本不等式及凑配法求乘积的最大值，注意取值条件. 【详解】（1）由题设，当且仅当时取等号，故的最小值为4； （2）由，， 当且仅当时取等号，则的最小值为4； （3）当时，,当，则， 当且仅当时取等号，则的最大值为. 基本不等式恒成立问题题型01 1．当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据基本不等式求的最小值即可. 【详解】因为，故， 当且仅当，即时取等号，故. 故选：D 2．（24-25高三上·福建·月考）若，则恒成立的一个充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用基本不等式求得，所以，结合各选项可知恒成立的一个充分条件为. 【详解】当时，，当且仅当时等号成立， 因为恒成立，所以， 因为，， 其中，所以， 结合各选项知恒成立的一个充分条件为. 故选：B. 3．已知正实数，满足，且不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对题目等式变形得，再利用乘“1”法即可得到答案. 【详解】因为正实数,满足，所以， 则：， 当且仅当时取等号，因为不等式恒成立，所以． 故选：B． 4．已知不等式对任给，恒成立，则实数a的取值范围是______. 【答案】 【分析】利用参数分离法将不等式进行转化，利用基本不等式求出式子的最大值即可得到结论． 【详解】解：∵x＞0，y＞0， ∴不等式等价为a恒成立， 设m，则m＞0， 平方得m2＝（）2111+1＝2， 当且仅当x＝y时取等号， ∴m2≤2，则0<m ∴要使a恒成立， 则a， 故答案为[，+∞） 【点睛】本题主要考查不等式恒成立问题，利用参数分离法以及基本不等式求出最值是解决本题的关键．综合性较强． 5．已知，，且，若不等式恒成立，则的最大值为______． 【答案】## 【分析】根据对进行消元后，转化为求单变量函数的最小值问题进行求解. 【详解】当时，不成立，所以. 由得. 因为，，所以，解得，即. 所以， 令，则，于是. 令，，则. 由对勾函数的图象知，在上单调递减，故. 所以，即的最大值为. 故答案为：. 6．（24-25高一上·重庆·月考）存在正数，使得不等式成立，则的最大值是______. 【答案】 【分析】分离参数再构造出，最后利用基本不等式即可. 【详解】， 则， 当且仅当，即时等号成立. 的最大值为. 故答案为：. 7．已知关于的不等式的解集为或，当，且时，有恒成立，求的取值范围. 【答案】 【分析】根据不等式的解集先求出的值，再利用基本不等式中“1”的代换将恒成立等价转化成关于的一元二次不等式，解之即可. 【详解】因为关于的不等式的解集为或， 所以和1是方程的两根，则有，解得：， 所以， 则 （当且仅当，也即时取等号） 因为恒成立，也即，解得：， 所以实数的取值范围为. 8．（24-25高一上·江苏徐州·期中）某同学在网上查阅资料时，无意间发现“笛卡尔积”是一个很有趣的问题．设，是任意两个非空集合，则称集合，为“与的笛卡尔积”，并记集合中的元素个数为． (1)若，，求与； (2)若，，求； (3)若，，为素数，且对任意的恒成立，求实数的最大值，并写出当取到最大值时一组符合条件的，． 【答案】(1)，，，，，，，，，，，． (2) (3)6，，． 【分析】（1）根据所给定义计算可得； （2）根据所给定义计算可得； （3）首先分析可得，，或，，分两种情况讨论，分别求出或的最小值，即可求出的取值范围，进而可得出符合题意的.. 【详解】（1）因为，，且，， 所以，，，，，， ，，，，，． （2）因为，，所以，，，， 所以，，，， 故． （3）因为，，且为素数， 所以，或，． 当，时，，又， 当且仅当，即时，取等号， 又为素数，所以等号不成立； 当，时，， 当且仅当，即时，取等号． 所以当时，取得最大值6． 此时符合条件的一组集合是：，． （答案不唯一，只要满足，即可）． 【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有： （1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思； （2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言； （3）将已知条件代入新定义的要素中； （4）结合数学知识进行解答. 基本不等式“1”的妙用求最值题型02 1．（24-25高一上·陕西·月考）已知实数，且，则的最小值是（   ） A．4 B．6 C． D．2 【答案】A 【分析】根据基本不等式的“1”的妙用求解. 【详解】， 于是， 当，即时取等号， 结合，即时，的最小值是. 故选：A 2．（24-25高一上·陕西咸阳·月考）已知，则的最小值为（    ） A．13 B．19 C．21 D．27 【答案】D 【分析】由均值不等式计算可得结果. 【详解】由题意，， 当且仅当，即，时取等号. 故选：D. 3．已知，，且，则的最小值是（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【解析】由，则，化简用均值不等式求最值. 【详解】由题意可得， 则， 当且仅当，时等号成立， 故的最小值为9. 故选：C. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”，“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 4．（25-26高一上·四川·期中）已知且，，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】运用基本不等式中“1的代换”即可得解. 【详解】，， 当且仅当时，等号成立. 故选：D. 5．若，，且，则的最小值是（    ） A．43 B．49 C．39 D．36 【答案】B 【分析】通过已知条件等式，结合“1”的代换，利用基本不等式求解最值. 【详解】因为，所以， 已知， 由，得， 则 ， 当且仅当，则由，解得， 即当且仅当时，等号成立. 所以的最小值为. 故选：B. 6．已知，，，则的最小值为___________． 【答案】## 【分析】合理分析给定式子，利用‘1’的代换结合基本不等式解决即可. 【详解】，， ，，，故，即， 故， 当且仅当，时取等，此时解得，， 故的最小值为， 故答案为： 7．设，，且，若的最小值为4，则实数a的值为___________ 【答案】 【分析】变形得，展开利用基本不等式求最小值，然后根据题中最小值列方程求解. 【详解】， 当且仅当，即时等号成立， 又的最小值为4， ，得 故答案为：. 8．（1）问题：正数a，b满足，求的最小值．其中一种解法是： ， 当且仅当且时，即且时取等号． 学习上述解法并解决下列问题： 若实数a，b，x，y满足，试比较和的大小，并指明等号成立的条件； （2）利用（1）的结论，求的最小值，并求出使得取最小值时m的值． 【答案】（1），当且仅当且x、y同号时等号成立； （2）当时，取得最小值. 【分析】根据常值代换法和构造法，基本不等式和的转换思想解决即可． 【详解】（1）， 又，当且仅当时等号成立， 所以， 即，当且仅当且x，y同号时等号成立．此时x，y满足. （2）令，构造求出， 由，可得且故， 由（1）结论可得. 取等号时，由解得，此时. 即当时，取得最小值. 【点睛】思路点睛：本题考查基本不等式求最值，具体思路如下： （1）利用“1”的代换，可得，再根据基本不等式可得：，结合不等式的基本性质，可比较与的大小. （2）利用换元法，令，，构造，其中，，再结合（1）中的结论可求的最小值. 基本不等式的几何图形中的应用题型03 1．（25-26高一上·江苏淮安·期中）若直角三角形的面积为32，则两条直角边的和的最小值是（   ） A． B．8 C．16 D． 【答案】C 【分析】设直角三角的两条直角边分别为，进而得，再根据基本不等式即可得的最小值. 【详解】设直角三角的两条直角边分别为， 因为直角三角形的面积为32， 所以，即， 所以，当且仅当时等号成立， 所以两条直角边的和的最小值是. 故选：C 2．（24-25高一上·贵州贵阳·期中）如图，是圆的直径，点是上一点，．过点作垂直于的弦，连接．可证，因而．由于小于或等于圆的半径，我们教材中利用该图作为一个说法的几何解释，这个说法正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．对，都有，当且仅当时等号成立 D．对，都有，当且仅当时等号成立 【答案】C 【分析】根据题意，结合小于或等于圆的半径求解即可. 【详解】由题意，由于小于或等于圆的半径，是圆的直径， 且，， 所以，当且仅当时等号成立. 故选：C. 3．（24-25高一上·辽宁·期中）《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有图形如图所示，为线段上的点，且，，为的中点，以为直径作半圆，过点作的垂线交半圆于，连接，则该图形可以完成的无字证明为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由可得． 【详解】，，，而（重合时取等号）， 因此有． 故选：D． 4．如图所示的“大方图”称为赵爽弦图，它是由中国数学家赵爽于公元3世纪在给《周髀算经》“勾股网方图”作注时给出的一种几何平面图，记载于赵爽“负薪余日，聊观《周》”一书之中.他用数学符号语言将其表示为“若直角三角形两直角边为，斜边为（、、均为正数）.则，”.某同学读到此书中的“赵爽弦图”时，出于好奇，想用软钢丝制作此图，他用一段长的软钢丝作为的长度（制作其它边长的软钢丝足够用），请你给他算一算，他能制作出来的“赵爽弦图”的最小面积为（   ） A．9 B．18 C．27 D．36 【答案】B 【分析】根据题意可得，结合基本不等式即可得的最小值. 【详解】由题可知， 则，即，所以，当且仅当时，等号成立 又“赵爽弦图”的面积为， 所以当时，“赵爽弦图”的最小面积为. 故选：B. 5．古希腊数学家欧几里得所著《几何原本》中的“几何代数法”，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”如图，为线段中点，为上的一点以为直径作半圆，过点作的垂线，交半圆于.连接，，，过点作的垂线，垂足为.设，，则图中线段，线段，线段______；由该图形可以得出，，的大小关系为______. 【答案】 ## 【分析】由即可得，再由图中线段大小关系即可得. 由题知，，， 由于， 所以，则，即，解得， 利用直角三角形的边的关系，得. 当O和C重合时，， 所以，即. 故答案为：；. 6．已知正方形ABCD的边长为2，E，F分别为AD，AB上的点，当的周长为4时，面积的最大值为__________. 【答案】 【分析】设，，，根据已知有，再应用基本不等式求的最大值，即可求面积的最大值. 【详解】设，，，则， 因为的周长为4，所以， 因为，当且仅当时取等号， 故，则，则面积满足 故面积的最大值为 故答案为：. 7．（24-25高一上·辽宁大连·月考）设矩形）的周长为20，如图所示，把它沿对角线对折后，交于点P，设，则的最大面积为________． 【答案】## 【分析】设，由图形对称可得，，在中，由勾股定理可得，求出，利用基本不等式求出最值. 【详解】设，由题可得，则， 又，，，， 在中，，即， 解得， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 所以面积的最大值为. 故答案为：. 8．数形结合是研究数学问题的常用方法，试解决以下问题.       (1)如图，是圆的直径，点是上一点，，过点作垂直于的弦，连接，利用这个图形，我们可以得到基本不等式的几何解释：长不超过圆的半径，即.若取的中点，连接，试用表示的长度（直接写出结果），比较与圆半径大小，并给出代数证明. (2)如图，直角三角形与直角三角形相似，三点共线，，根据与的长度大小关系，试写出一个用表示的不等式，并给出代数证明. 【答案】(1)，大于等于圆的半径，证明： 当且仅当时取等号. 故，即大于等于圆的半径； (2)，证明： 利用勾股定理得，， 由已知，，， 所以，又， 所以，故， 证明：， 当且仅当时取等号， 所以 【分析】（1）结合图形用勾股定理求解即可. （2）利用勾股定理求解出大小，结合图形得到大小关系，利用做差的方式证明结论. 【详解】（1）    连结因为为直径，为圆心，所以 又因为 所以为圆的半径， ， 故大于等于圆的半径， 证明略 （2）略 基本不等式的推广题型04 1．权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设正数a，b，x，y，满足，当且仅当时，等号成立．则函数的最小值为（    ） A．16 B．25 C．36 D．49 【答案】B 【分析】结合所给权方和不等式计算即可得. 【详解】由，则，， 故， 当且仅当，即时，等号成立. 故选：B. 2．基本不等式是均值不等式“链”中的一环（时），而利用该不等式链我们可以解决某些函数的最值问题，例如：求的最小值我们可以这样处理：，即，当且仅当时等号成立.那么函数（）的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用题干中的知识，参照基本不等式的解法求解即可. 【详解】因为， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以（）的最小值为. 故选：B. 3．（25-26高一上·河北邯郸·质检）已知a，b，c，d为正实数，利用基本不等式证明（1）.确定（2），并指出等号成立的条件，然后解（3）中的问题. (1)请根据基本不等式，证明； (2)请根据（1）中的结论，确定与的大小关系（无须推导）； (3)①求的最小值； ②若，求的最小值； ③如图，把一块长为6的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，再将它的边沿虚线折转做成一个无盖的方底盒子，问切去的正方形边长是多少时，才能使盒子的容积最大？ 【答案】(1) 由基本不等式，（当且仅当时取等号）， （当且仅当时取等号）， 又（当且仅当时取等号）， 所以（当且仅当时取等号）. (2)； (3)①3；②3；③边长是1时，容积最大. 【分析】（1）两次应用基本不等式证明； （2）由（1）涉及的两个不等式确定； （3）①②将问题转化为符合（2）中不等关系的形式，并利用（2）结论求最值；③设边长，并利用（2）关系求容积最值. 【详解】（1）略 （2）当两个变量时，，即（当且仅当时取等号）； 当四个变量时，（当且仅当时取等号）； 所以当三个变量时，（当且仅当时取等号）. （3）①， 当且仅当，即时取等号； ② 当且仅当时取等号； ③设切去的正方形边长为， 则盒子的容积， 当且仅当，即时取等号. 所以当切去的正方形边长为1时，盒子的容积最大. 与三个实数有关的最值问题题型05 1．定义表示，，中的最小值．已知实数，，满足，，则（    ） A．的最大值是 B．的最大值是 C．的最小值是 D．的最小值是 【答案】B 【分析】由题先分析出实数，，一负两正，然后利用基本不等式放缩求出最小值的最大值即可. 【详解】因为，所以在，，中，负数的个数为1或3， 又，所以在，，中，1个为负数，2个为正数，不妨设，则． 因为，所以，因为，所以，则， 故的最大值是，无最小值． 故选：B. 2．（25-26高一上·湖北·月考）已知实数a，b，，设，，这三个数的最大值为，则的最小值为__________. 【答案】 【分析】先把化成，再利用基本不等式求其最小值，即可得到的最小值. 【详解】由题意可得，，， 即有， 由， 可得，当且仅当，即时，取得最小值； 同理可得在时，取得最小值； 在时，取得最小值. 则，即.可得M的最小值为. 故答案为： 3．（24-25高一上·浙江·期中）设．注： (1)证明：； (2)若，求的最小值． 【答案】(1)证明：， ． 均不为0，则， ． (2) 【分析】（1）根据公式，结合条件，即可求解； （2）首先根据条件得到，再利用表示，最后根据基本不等式，即可求解. 【详解】（1）略 （2）由可知． ， 当且仅当时，取等号，． 的最小值为. 4．（25-26高一上·广东惠州·期中）根据题意，求解下列问题： (1)已知，，且满足，求的最小值； (2)已知，求最小值； (3)已知，，，，求的最大值. 【答案】(1)18 (2)9 (3) 【分析】（1）利用“1”的妙用，把转化为，然后利用基本不等式求解； （2）将通过变形转化为，然后利用基本不等式求解； （3）首先将原式化简整理为，然后根据均值不等式并将代入得：，最后根据二次函数求解最大值即可. 【详解】（1）由可得：，又，， 所以， 当且仅当，即时成立，结合，可知：取等条件为，. 因此可得：的最小值为. （2）因为，所以，， 当且仅当，即时取等. 因此可得：函数在上的最小值为. （3） ， 的最大值为. 当且仅当，即，时等号成立. 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $