1.4 充分条件与必要条件（突破疑难）-【学而思】2026-2027学年高一数学必修第一册课时作业（人教版·新教材）

1.4　充分条件与必要条件 知识易错易混 【知识导图】 【易错易混】 混淆充分条件与必要条件 (1)若p⇒q,则p是q的充分条件,所谓“充分”,即要使q成立,有p成立就足够了;q是p的必要条件,所谓“必要”,即q是p成立的必不可少的条件,缺其不可. (2)对于充要条件,要熟悉它的同义词语.“p是q的充要条件”可以说成“p与q是等价的”“q成立当且仅当p成立”“q成立必须且只需p成立”等. 例1 使“x≤-或x≥3”成立的一个充分不必要条件是 (　 ) A.x<0 B.x≥0 C.x∈{-1, 3, 5} D.x≤-或x≥3 [答案] C [解析] 对于A,由x<0不能推出x≥3或x≤-,反之也不能,则“x<0”是“x≤-或x≥3”的既不充分也不必要条件;对于B,由x≥0不能推出x≥3或x≤-,反之也不能,则“x≥0”是“x≤-或x≥3”的既不充分也不必要条件;对于C,由x∈{-1,3,5}可以推出x≥3或x≤-,反之不能,则“x∈{-1,3,5}”是“x≤-或x≥3”的充分不必要条件;对于D,“x≤-或x≥3”是“x≤-或x≥3”的充要条件.故选C. 解题方法拓展 【方法解读】 充分条件、必要条件的判断方法 定义法:①确定条件p是什么,结论q是什么; ②尝试由条件p推结论q,由结论q推条件p; ③确定条件p和结论q的关系. 若p⇒q,q⇒/ p,则p是q的充分不必要条件;若p⇒/ q,q⇒p,则p是q的必要不充分条件;若p⇒q,q⇒p,则p是q的充要条件;若p⇒/ q,q⇒/ p,则p是q的既不充分也不必要条件. 传递法:若p是q的充分条件,q是s的充分条件,即p⇒q,q⇒s,则有p⇒s,即p是s的充分条件; 若p是q的必要条件,q是s的必要条件,即q⇒p,s⇒q,则s⇒p,即p是s的必要条件; 若p是q的充要条件,q是s的充要条件,即p⇔q,q⇔s,则p⇔s,即p是s的充要条件. 集合法:对于带有否定性的命题或比较难判断的命题,常借助集合思想把抽象、复杂问题形象化,直观化. 用集合法判断时,要尽可能用Venn图、数轴、直角坐标系等辅助解题,图形的形象、直观能简化解题过程,降低思维难度. 例2 已知p:x>0,y>0,q:xy>0,则q是p的 (　 ) A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 [答案] B [解析] 由x>0,y>0,可得xy>0,但若xy>0,不一定可得x>0,y>0,也可能x<0,y<0.所以p⇒q,但q⇒/ p,所以q是p的必要条件.故选B. 例3 “x>-1”是“x>1”的 (　 ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 [答案] B [解析] 因为{x|x>1}⫋{x|x>-1},所以“x>-1”是“x>1”的必要不充分条件.故选B. 例4 已知p是r的充分不必要条件,q是r的充分条件,s是r的必要条件,q是s的必要条件,则下列说法正确的是 (　 ) A.r是q的充分不必要条件 B.p是q的充分不必要条件 C.r是q的必要不充分条件 D.r是s的充分不必要条件 [答案] B [解析] 由题知p⇒r,r⇒/p,q⇒r,r⇒s,s⇒q,则r⇒q且q⇒r,故A,C不正确;p⇒q,q⇒/p,故B正确;r⇒s且s⇒r,故D不正确.故选B. 【教材拓展】 强基固本 例5 条件p:△ABC的内心与外心重合,条件q:△ABC是正三角形,则p是q的什么条件? 证明:充分性:如图,设点G既是△ABC的外心,也是△ABC的内心, D,E,F分别是BC,AB,AC的中点, 则则△AGF≌△CGF,所以∠GAF=∠GCF, 由AG,CG是角平分线得∠CAB=∠ACB,同理可得∠CAB=∠CBA, 则∠CAB=∠ACB=∠CBA,即△ABC是正三角形; 必要性:当△ABC是正三角形时,角平分线所在直线和三角形的边的中垂线所在直线重合, 则其内心和外心重合. 所以p是q的充要条件. 学科网（北京）股份有限公司 $