1.2 集合间的基本关系（突破疑难）-【学而思】2026-2027学年高一数学必修第一册课时作业（人教版·新教材）

1.2　集合间的基本关系 知识易错易混 【知识导图】 【易错易混】 ⌀与0,{0},{⌀}的关系 空集是不含任何元素的集合,且规定⌀⊆⌀,任何时候 x∈⌀都不成立. {⌀}不是空集,{⌀}中含有一个元素⌀.⌀作为元素,则⌀∈{⌀};⌀作为集合,则⌀⊆⌀. {0}是含有一个元素0的集合,与空集不同,0∈{0},0∉⌀,0∉{⌀}. 例1 (多选题)下列关系式正确的是 (　 ) A.0∉⌀ B.⌀⊆{⌀} C.⌀∈{0} D.⌀∈{⌀} [答案] ABD [解析] 对于A,空集中不含有任何元素,故A正确;对于B,空集是非空集合的子集,则⌀⊆{⌀},故B正确;对于C,应该用“⊆”符号,即⌀⊆{0},故C错误;对于D,⌀是集合{⌀}中的元素,即⌀∈{⌀},故D正确.故选ABD. 解题方法拓展 【方法解读1】 分类讨论之集合关系求参 已知两集合A,B,当B⊆A时,如果A是一个确定的集合,而集合B不确定,运算时要考虑B为空集的情况,切不可漏掉. 例2 已知集合A={x|1≤x<3},B={x|1≤x≤a}. (1)若A⫋B,求实数a的取值范围; (2)若B⊆A,求实数a的取值范围. 解:(1)由集合A={x|1≤x<3},B={x|1≤x≤a},且A⫋B,可得a≥3, 所以实数a的取值范围是{a|a≥3}. (2)由集合A={x|1≤x<3},B={x|1≤x≤a}, 且B⊆A,得当B=⌀时,a<1,满足题意; 当B≠⌀时,所以1≤a<3. 综上可知,a<3,即实数a的取值范围是{a|a<3}. 【方法解读2】 集合子集与真子集个数 求集合子集的个数时,可根据集合中元素的个数来计算,因为集合中有n个元素,且每个元素都有两种可能,即在子集中或不在子集中,所以子集有2n个,真子集和非空子集各有(2n-1)个,非空真子集有(2n-2)个. 例3 满足关系{1,2,3}⊆A⫋{0,1,2,3,4,5}的集合A的个数为　　　　.  [答案] 7 [解析] 方法一(列举法):满足条件的集合A可以是{1,2,3},{0,1,2,3},{1,2,3,4},{1,2,3,5},{0,1,2,3,4},{0,1,2,3,5},{1,2,3,4,5},共7个. 方法二(计数法):由题意得,集合A中一定含有1,2,3,可能含有0,4,5,但不同时含有0,4,5,所以集合A的个数为23-1=7. 【教材拓展】 强基固本 例4 已知集合M={1,2,3,4,5,6},集合A⊆M,定义M(A)为A中元素的最小值,当A取遍M的所有非空子集时,对应的M(A)的和记为S6,则S6=　　　　.  [答案] 120 [解析] 集合M的非空子集共有(26-1)个,其中最小值为1的有25个,最小值为2的有24个,…,最小值为6的有20个,所以S6=25×1+24×2+23×3+22×4+21×5+20×6=120. 学科网（北京）股份有限公司 $