1.2 集合间的基本关系 课时作业-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

高中数学·人教A版必修第一册　1.2　集合间的基本关系　课时作业 第一章　集合与常用逻辑用语 1.2　集合间的基本关系 课 时 作 业 （建议用时：45分钟） 班级：____________　　姓名：____________　　学号：________　　得分：________ 【学习目标】 1．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集、真子集。 2．了解空集的含义，理解“空集是任何集合的子集”，能正确区分0，{0}，∅等符号。 3．能使用Venn图表达集合间的基本关系，会借助数轴解决含参数的集合关系问题，体会分类讨论与数形结合思想。 【知识梳理】 一、子集 1．定义：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作A⊆B（或B⊇A），读作“A包含于B”（或“B包含A”）。 2．Venn图：在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图。用Venn图表示两个集合间的包含关系与相等关系如下图： 图1　用Venn图表示集合间的关系 3．性质：任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A。 二、集合相等 如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A=B。也就是说，若A⊆B，且B⊆A，则A=B。 证明两个集合相等，常用方法是证明它们互相包含，即“A⊆B且B⊆A”。 三、真子集 如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集，记作A⫋B（或B⫌A）。 例如，{1，2}⫋{1，2，3}；N⫋Z⫋Q⫋R。 四、空集 1．定义：一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为∅。例如，方程x²+1=0的实数根组成的集合就是空集。 2．规定：空集是任何集合的子集，即∅⊆A；空集是任何非空集合的真子集，即若A≠∅，则∅⫋A。 五、重要结论 （1）传递性：若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C；若A⫋B，且B⫋C，则A⫋C。 （2）子集的个数：若集合A中含有n个元素，则A有2n个子集，有2n-1个真子集，有2n-1个非空子集，有2n-2个非空真子集。 集合 所有子集 子集个数 真子集个数 ∅ ∅ 1 0 {a} ∅，{a} 2 1 {a，b} ∅，{a}，{b}，{a，b} 4 3 {a，b，c} ∅，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c} 8 7 六、易错提醒 （1）区分符号：“∈”“∉”表示元素与集合之间的关系；“⊆”“⫋”表示集合与集合之间的关系。例如0∈{0}，∅⫋{0}，{0}⊆{0，1}，而“0⊆{0}”“{0}∈{0，1}”都是错误的写法。 （2）0，{0}，∅，{∅}的区别：0是一个数；{0}是含有一个元素0的集合；∅是不含任何元素的集合；{∅}是以∅为元素的集合，有∅∈{∅}，∅⫋{∅}。 （3）在解决“A⊆B”或“A⫋B”的含参数问题时，若集合A可能为空集，必须优先考虑A=∅的情况，以免漏解。 （4）利用数轴分析含参数的集合关系时，端点能否取等号要单独检验。 【典型例题】 例1　写出集合{a，b，c}的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集。 【解析】按元素个数从少到多依次写出： 含0个元素的子集：∅；含1个元素的子集：{a}，{b}，{c}；含2个元素的子集：{a，b}，{a，c}，{b，c}；含3个元素的子集：{a，b，c}。 所以集合{a，b，c}共有8个子集，其中除{a，b，c}本身外的7个集合都是它的真子集。 【方法总结】写子集时按元素个数分类，做到“不重不漏”，特别注意不要遗漏空集∅和集合本身。 例2　已知集合A={x | -3≤x≤4}，B={x | 2m-1<x<m+1}，若B⊆A，求实数m的取值范围。 【解析】①当B=∅时，满足B⊆A，此时2m-1≥m+1，解得m≥2； ②当B≠∅时，即m<2时，要使B⊆A，借助数轴（如图）可得2m-1≥-3，且m+1≤4，解得m≥-1且m≤3。又m<2，所以-1≤m<2。 综上，实数m的取值范围是{m | m≥-1}。 【方法总结】已知B⊆A求参数时，“B=∅”是最容易遗漏的情况。处理端点时，由于B的端点不包含在B中，所以2m-1=-3时B仍是A的子集，这里的等号可以取到。 例3　已知集合A={x | x²-3x+2=0}，B={x | ax-2=0}，若B⊆A，求实数a组成的集合。 【解析】解方程x²-3x+2=0得x=1或x=2，所以A={1，2}。 ①当a=0时，方程ax-2=0无解，B=∅，满足B⊆A； ②当a≠0时，B={}，由B⊆A得=1或=2，解得a=2或a=1。 综上，实数a组成的集合为{0，1，2}。 【方法总结】方程ax-2=0的一次项系数含参数，要先讨论a=0（即B=∅）的情况。 【课时作业】 A组　基础巩固 一、单项选择题（每小题只有一个选项符合题目要求） 1．下列关系中，正确的是（　　） A．∅∈{0} B．0⊆{0} C．∅⫋{0} D．{1}∈{1，2} 2．集合{1，2，3}的真子集的个数为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 3．已知集合A={-1，0，1}，B={x | x²=1}，则（　　） A．A=B B．A⫋B C．B⫋A D．A∈B 4．已知集合A={x | 0<x<3}，B={x | x<a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是（　　） A．a≥3 B．a>3 C．a≤0 D．a<0 5．已知集合M={x | x是正方形}，N={x | x是矩形}，P={x | x是平行四边形}，则能正确表示集合M，N，P之间关系的Venn图是（　　） 6．已知集合A={1，2，a²}，B={1，a+2}，若B⊆A，则实数a的值为（　　） A．0 B．2 C．0或2 D．0或2或-1 二、多项选择题（每小题有多个选项符合题目要求） 7．已知集合A={x | x²-4=0}，则下列关系正确的有（　　） A．{2}⊆A B．-2∈A C．∅⫋A D．{-2，2}⫋A 8．下列命题中，正确的是（　　） A．空集没有子集 B．任何集合都至少有两个子集 C．空集是任何非空集合的真子集 D．若∅⫋A，则A≠∅ 三、填空题 9．满足{1}⫋M⊆{1，2，3，4}的集合M的个数为________。 10．已知集合A={1，a，b}，B={a，a²，ab}，若A=B，则a+b=________。 11．已知集合A={x | 1<x<2}，B={x | x<a}，若A⫋B，则实数a的取值范围是________。 四、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 12．已知集合A={x∈Z | -1<x<3}。 （1）用列举法表示集合A； （2）写出集合A的所有子集，并求A的非空真子集的个数。 13．已知集合A={x | -1<x≤6}，B={x | a-1≤x≤2a+3}。 （1）若B⊆A，求实数a的取值范围； （2）是否存在实数a，使得A⊆B？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由。 B组　能力提升 五、单项选择题 14．已知集合A={x | x=+，k∈Z}，B={x | x=+，k∈Z}，则（　　） A．A=B B．A⫋B C．B⫋A D．A与B没有公共元素 15．集合M={x | x²-3x-a²+2=0，a∈R}的子集的个数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．不确定 六、多项选择题 16．已知集合A={x | x²+x-6=0}，B={x | mx+1=0}，若B⫋A，则实数m的值可以为（　　） A．0 B．- C． D．- 七、填空题 17．已知非空集合M满足：①M⊆{1，2，3，4，5}；②若a∈M，则6-a∈M。则满足条件的集合M共有________个。 八、解答题 18．已知集合A={x | x<-1或x>4}，B={x | 2a≤x≤a+3}，若B⊆A，求实数a的取值范围。 19．已知集合A={x | x=m²-n²，m∈Z，n∈Z}。 （1）判断8，9，10是否属于集合A，并说明理由； （2）已知集合B={x | x=2k+1，k∈Z}，求证：B⊆A。 【答案及解析】 选择题答案速查 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 14 15 16 答案 C B C A D C ABC CD B C ABC 1．【答案】C 【解析】A：∅与{0}都是集合，不能用“∈”连接，错误；B：0是元素，不能用“⊆”，应为0∈{0}，错误； C：空集是任何非空集合的真子集，∅⫋{0}正确；D：集合与集合之间不能用“∈”，应为{1}⫋{1，2}，错误。故选C。 2．【答案】B 【解析】集合{1，2，3}中有3个元素，其子集个数为2³=8，真子集个数为2³-1=7。故选B。 3．【答案】C 【解析】由x²=1得x=1或x=-1，所以B={-1，1}。B中的元素都在A中，且0∈A，0∉B，所以B⫋A。故选C。 4．【答案】A 【解析】A⊆B，即A中的每一个数都小于a，借助数轴可知a≥3。当a=3时，B={x | x<3}，A⊆B仍成立，所以等号可以取到。故选A。 5．【答案】D 【解析】正方形都是矩形，矩形都是平行四边形，所以M⫋N⫋P，即M在最里层，N在中间，P在最外层。故选D。 6．【答案】C 【解析】因为B⊆A，所以a+2=2或a+2=a²。 ①若a+2=2，则a=0，此时A={1，2，0}，B={1，2}，满足B⊆A； ②若a+2=a²，即a²-a-2=0，解得a=2或a=-1。当a=2时，A={1，2，4}，B={1，4}，满足题意；当a=-1时，a²=1，A中元素重复，不满足互异性，舍去。 所以a=0或a=2。故选C。 7．【答案】ABC 【解析】由x²-4=0得x=±2，所以A={-2，2}。 A：{2}⊆A正确；B：-2∈A正确；C：A是非空集合，∅⫋A正确；D：{-2，2}=A，不是A的真子集，错误。故选ABC。 8．【答案】CD 【解析】A：空集是它自身的子集，错误；B：空集只有一个子集∅，错误； C：由规定知正确；D：∅⫋A说明A中至少有一个元素，所以A≠∅，正确。故选CD。 9．【答案】7 【解析】集合M中必含元素1，且至少还含有2，3，4中的一个元素。相当于求集合{2，3，4}的非空子集的个数，为2³-1=7。 10．【答案】-1 【解析】因为A=B，且a∈A，a∈B，所以1，b与a²，ab分别对应相等，有两种情况： ①a²=1且ab=b：由a²=1得a=±1。若a=1，则A中元素重复，舍去；若a=-1，由ab=b得b=0，此时A={1，-1，0}，B={-1，1，0}，满足题意。 ②a²=b且ab=1：则a³=1，得a=1，A中元素重复，舍去。 所以a=-1，b=0，a+b=-1。 11．【答案】{a | a≥2} 【解析】A⫋B，借助数轴可知a≥2。当a=2时，B={x | x<2}，此时A⫋B仍成立。所以a的取值范围是{a | a≥2}。 12．【解】（1）满足-1<x<3的整数有0，1，2，所以A={0，1，2}。 （2）A的所有子集为：∅，{0}，{1}，{2}，{0，1}，{0，2}，{1，2}，{0，1，2}，共8个。 其中非空真子集要去掉∅和{0，1，2}，所以A的非空真子集有2³-2=6个。 13．【解】（1）①当B=∅时，a-1>2a+3，解得a<-4，此时满足B⊆A； ②当B≠∅时，即a≥-4时，要使B⊆A，需满足a-1>-1，且2a+3≤6（如图），解得a>0且a≤，所以0<a≤。 注意：A的左端点-1不包含在A中，而B的左端点a-1在B中，所以a-1=-1不满足要求，此处不能取等号。 综上，实数a的取值范围是{a | a<-4或0<a≤}。 （2）不存在。理由如下：若A⊆B，则B≠∅，且需满足a-1≤-1，2a+3≥6，即a≤0且a≥，这样的实数a不存在。 所以不存在实数a，使得A⊆B。 14．【答案】B 【解析】A中的元素x=+=，分子2k+1是奇数； B中的元素x=+=，分子k+2是任意整数。 因为奇数都是整数，而整数不一定是奇数，所以A⫋B。故选B。 15．【答案】C 【解析】方程x²-3x-a²+2=0的判别式Δ=(-3)²-4(-a²+2)=9+4a²-8=1+4a²>0恒成立， 所以方程总有两个不相等的实数根，即集合M中恒有2个元素，其子集的个数为2²=4。故选C。 16．【答案】ABC 【解析】解方程x²+x-6=0得x=2或x=-3，所以A={2，-3}。 ①当m=0时，B=∅，满足B⫋A； ②当m≠0时，B={-}，由B⫋A得-=2或-=-3，解得m=-或m=。 所以m的值为0，-或。故选ABC。 17．【答案】7 【解析】由条件②可知，1与5，2与4必须同时属于或同时不属于M，3的“配对数”是它本身。 因此可以把元素分成三组：{1，5}，{2，4}，{3}，集合M由其中若干组（至少一组）合并而成， 所以满足条件的集合M的个数为2³-1=7。 18．【解】①当B=∅时，2a>a+3，即a>3，满足B⊆A； ②当B≠∅时，即a≤3时，要使B⊆A，借助数轴可知，B应整体落在-1的左侧或4的右侧， 所以a+3<-1或2a>4，解得a<-4或a>2。又a≤3，所以a<-4或2<a≤3。 综上，实数a的取值范围是{a | a<-4或a>2}。 19．【解】（1）因为8=3²-1²，9=5²-4²，所以8∈A，9∈A。 假设10∈A，则存在整数m，n，使10=m²-n²=(m+n)(m-n)。 因为(m+n)+(m-n)=2m是偶数，所以m+n与m-n同为奇数或同为偶数。若同为奇数，则(m+n)(m-n)是奇数，不可能等于10；若同为偶数，则(m+n)(m-n)是4的倍数，也不可能等于10。 所以假设不成立，即10∉A。 （2）证明：任取x∈B，则x=2k+1，k∈Z。 因为2k+1=(k+1)²-k²，且k+1∈Z，k∈Z，所以x∈A。 由x的任意性可知，B中的每一个元素都属于A，所以B⊆A。 第 页　共 页 学科网（北京）股份有限公司 $