精品解析：安徽宿州市砀山县第二初级中学2026-2027学年九年级上学期入学数学试题

九年级数学 （北师大版） 注意事项： 1．数学试卷满分150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，“试题卷”共4页，“答题卷”共6页．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题无效． 3．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的） 1. 一元二次方程的一次项系数、常数项分别是（ ） A. 2， B. 2，3 C. 5， D. ，3 【答案】D 【解析】 【详解】解：一元二次方程的一次项系数、常数项分别是，3． 2. 方程经过配方可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先将常数项移到方程右侧，再在方程两边加上一次项系数一半的平方，即可完成配方． 【详解】解：∵， 移项得， 方程两边同时加，得， 整理得． 3. 菱形具有而矩形不一定具有的性质是（ ） A. 两组对边分别平行 B. 对角线互相垂直 C. 两组对角分别相等 D. 对角线互相平分 【答案】B 【解析】 【详解】解：菱形和矩形都属于特殊的平行四边形，首先回忆平行四边形的共有性质：两组对边分别平行、两组对角分别相等、对角线互相平分，因此A、C、D是菱形和矩形都一定具备的性质．而对角线互相垂直是菱形的特有性质，矩形的对角线仅相等且互相平分，不一定互相垂直，所以这是菱形具有而矩形不一定具有的性质． 4. 下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】逐一求出四个选项中所给方程的根或判别式的值，进而判断即可． 【详解】解：A、 解得， ∴方程有两个不相等的实数根； B、 或 解得， ∴方程有两个不相等的实数根； C、 解得 ∴方程有两个相等的实数根； D、 ∴ ∴方程有两个不相等的实数根． 5. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是菱形，顶点A，C的坐标分别是，，点D在x轴上，则菱形的顶点B的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，交于点E，由题意易得轴，，，然后问题可求解． 【详解】解：连接，交于点E，如图所示： ∵点A，C的坐标分别是，， ∴轴，， ∵四边形是菱形， ∴， ∴轴， ∴， ∴菱形的顶点B的坐标． 6. 如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为．求车道的宽度（单位：）．设停车场内车道的宽度为，根据题意所列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：若设停车场内车道的宽度为，则停车位通过平移可合成长为，宽为的矩形， 根据题意得：． 7. 如图，是正方形的对角线，E是上一点，已知，连接，，的延长线交于点F，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用正方形的性质，对角线平分内角得到的度数．因为，所以是等腰三角形，根据等腰三角形内角和定理计算的度数．由平行于，根据平行线内错角相等的性质，得到与的关系．即得的度数． 【详解】∵正方形中，对角线平分内角， ∴． ∵， ∴ ． ∵， ∴． 8. 定义新运算：对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号表示a，b中的较大值，如：，．按照这个规定，若，则x的值是（ ） A. 1或 B. 1或 C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】先得出，再分两种情况：①和②，分别建立方程，解方程即可． 【详解】解：由题意得：，是两个不相等的实数， ∴． ①当时，则， ∵， ∴， 解得或（不符合题设，舍去）； ②当时，则， ∵， ∴， 解得或（不符合题设，舍去）； 综上，的值是或． 9. 如图，在四边形中，，，，交于点.添加一个条件使这个四边形成为一种特殊的平行四边形，则以下说法错误的是（ ） A. 添加“”，则四边形是菱形 B. 添加“”，则四边形是矩形 C. 添加“”，则四边形是菱形 D. 添加“”，则四边形是正方形 【答案】B 【解析】 【分析】依次分析各选项，对各选项进行推导证明即可求出说法错误的选项． 【详解】解：A选项添加AB∥CD，则可得出∠ABD=∠BDC， 由AB=AD，BC=DC，可得出∠ABD=∠ADB，∠BDC=∠CBD， ∴∠ABD=∠ADB=∠BDC=∠CBD， ∴AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴四边形ABCD是菱形； B选项添加∠BAD=90°，无法证明其余的角也是90°，因此无法得到四边形ABCD是矩形； C选项添加OA=OC， 由AB=AD，BC=DC，可得出AC垂直平分BD， ∵OA=OC， ∴BD也垂直平分AC， ∴AB=BC， ∴AB=AD=BC=DC， 所以四边形ABCD是菱形； D选项添加“ ∠ABC=∠BCD=90° ， 由等腰三角形的性质，∠ABD=∠ADB，∠BDC=∠CBD， ∴∠ABC=∠ADC=90°， ∴∠ABC=∠ADC=∠BAC=∠BCD=90°， ∴四边形ABCD是矩形， 由AB=AD， ∴四边形ABCD是正方形． 故选B． 【点睛】本题考查了等腰三角形、菱形、矩形、正方形、线段的垂直平分线、平行线等内容，解决本题的关键是逐项分析和推导论证，本题一图多用，能较好的检测学生的基础知识与技能，加深学生对相关知识点的融会贯通． 10. 如图，四边形是矩形，，，点P是边上一点（不与点A，D重合），连接，．点M，N分别是，的中点，连接，，，点E在边上，，则的最小值是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】根据直角三角形的斜边中线的性质可得，转化所求最值为，再依据将军饮马模型解答即可． 【详解】解：∵点分别是的中点， ， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴的最小值就是的最小值， 找到点关于直线的对称点，连接、， 则， 当点三点共线时，的最小值就是， 在中，， ， ∴的最小值. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 若是关于x的一元二次方程的一个根，则的值是_________． 【答案】2026 【解析】 【分析】利用方程的根满足原方程，将已知根代入方程得到与的关系式，再整理后代入所求代数式计算即可． 【详解】解：将代入得， 整理得：， 等式两边同除以得， 移项得， 变形得， 因此． 12. 若是一元二次方程的根，则的值为_________． 【答案】0 【解析】 【分析】根据一元二次方程的求根公式得到，，，然后代入求解． 【详解】解：∵是一元二次方程的根， ∴，，， ∴． 13. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点B的坐标为，点E在边上．将沿折叠，点C落在点F处．若点F的坐标为，则点D的坐标为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据勾股定理可求出，根据翻折可得出，然后根据正方形的性质即可求解． 【详解】解：∵点B的坐标为，点F的坐标为， ∴，， ∵， ∴， ∵翻折， ∴， ∵正方形， ∴，， ∴， ∴点D的坐标为. 14. 如图，四边形和都是菱形且点A，B，E在同一条直线上，点B，C，G在同一条直线上，已知． （1）_________°； （2）连接，点H是的中点，连接，若，则________． 【答案】 ①. 60 ②. 【解析】 【分析】（1）因为菱形对边平行且对角相等，所以利用同旁内角互补求出∠A的度数． （2）连接，，，设与交于点O，可得和都是等边三角形，得，．由菱形性质和勾股定理求出 ，得．运用菱形性质求出，运用勾股定理求出，运用直角三角形斜边中线性质即可求出结果． 【详解】（1）由题意可知，． （2）连接，，，设与交于点O，如图， ∵四边形和都是菱形，，， 和都是等边三角形， 又， ，． ∵四边形是菱形， ，， ， ． ∵，， ∴， ， ， 又点H是的中点， ． 【点睛】 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，解决本题的关键是掌握配方法．根据配方法解一元二次方程即可． 【详解】解：， ， ， ， ∴， 解得，． 16. 如图，网格中每一个小正方形的边长为1个单位长度． （1）请在所给的平面直角坐标系中画出以线段为边的格点菱形（顶点均在格点上），并写出点D的坐标________________； （2）线段的长为________________，菱形的面积等于________________． 【答案】（1）菱形如图所示，点 （2），35 【解析】 【分析】（1）根据菱形的定义画图即可；然后写出点D的坐标； （2）利用勾股定理求出的长；利用割补法求解菱形的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， 菱形的面积等于． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，在矩形中，对角线与相交于点O，于点E，于点F，连接．求证：． 【答案】证明：∵四边形是矩形， ，，， ． 于点E，于点F， ． 又∵， ． ． ∵在等腰和等腰中，，， ， ． 【解析】 【分析】根据矩形的性质得到，然后证明，得到，推出，即可得到． 【详解】略 18. 习题课上，数学老师展示了一道习题及两位同学错误的解答过程： 解方程：． 甲同学： 解：方程两边同时除以， 得．………………第一步 去括号，得．…………第二步 移项、合并同类项，得．…第三步 乙同学： 解：移项，得．…第一步 分解因式，得．……第二步 则或，………………第三步 解得．………………………第四步 （1）分别写出甲同学、乙同学的解答过程中是从第几步开始出现错误的； （2）请你写出正确的解答过程． 【答案】（1）甲同学的解答过程是从第一步开始出现错误的；乙同学的解答过程是从第二步开始出现错误的. （2） 解：正确的解答过程如下： 移项，得 分解因式，得 化简整理，得 于是，得 或 解得． 【解析】 【分析】这是一道关于用因式分解法解一元二次方程的题目． （1）甲同学是从第一步开始就出错了；因为他在方程两边同时除以了一个可能为的整式，就违背了等式的性质，有可能导致一元二次方程丢根；乙同学是从第二步开始就出错了，因为他在因式分解时，括号前面是减号去掉括号后括号内的各项没有都变号； （2）通过因式分解法解二元一次方程即可． 【小问1详解】 解：甲同学的解答过程是从第一步开始出现错误的；乙同学的解答过程是从第二步开始出现错误的. 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．在解方程的过程中要正确使用等式的性质，去括号时要注意符号问题． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，菱形中，对角线，相交于点O，延长至点E，使得，连接并延长交的延长线于点F． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：∵四边形是菱形， ，， ． 在和中， ，，， ． （2）10 【解析】 【分析】（1）利用“”证明即可； （2）根据菱形的性质得出，，设，则．根据勾股定理得出，解方程即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ． ∵四边形是菱形， ，． 设，则． 在中，由勾股定理，得， 即， 解得：， ． 20. 已知关于的一元二次方程 （1）求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）已知5是关于的方程的一个根，而这个方程的两个根恰好是等腰三角形的两条边长． ①求的值； ②求的周长． 【答案】（1）见解析 （2）①；②的周长为 【解析】 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出，由此可证出不论取何值，方程必有两个不相等的实数根； （2）①先把代入方程得，②将代入得方程为，利用因式分解法解方程，再利用等腰三角形的性质和三角形三边的关系确定三角形三边长，然后计算对应的三角形周长． 【小问1详解】 证明：∵， ∴无论取何值，方程总有两个不相等的实数根． 【小问2详解】 ①把代入方程，得，解得； ②当时，原方程变为， 整理，得，解得，． ∵该方程的两个根恰好是等腰三角形的两条边长，且不存在三边为，，5的等腰三角形． ∴等腰三角形的腰为5，底边为， ∴的周长为． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 六、（本题满分12分） 21. 定义：若关于x的一元二次方程中的常数项是该方程的一个根，则该一元二次方程就叫作常数根一元二次方程． （1）已知关于x的方程是常数根一元二次方程，求c的值； （2）如果关于x的方程是常数根一元二次方程，求m的值； （3）若关于x的常数根一元二次方程中不含零根，求证：关于y的方程是常数根一元二次方程． 【答案】（1）， （2）， （3）证明：∵关于x的常数根一元二次方程中不含零根， ∴方程的一个根为，且， 将代入方程，得，即． ， ． ∴将代入方程，得左边右边， 是关于y的方程的一个根， ∴关于y的方程是常数根一元二次方程． 【解析】 【分析】（1）将代入求解即可； （2）将代入，然后求解即可； （3）将代入得到，然后将代入方程即可证明． 【小问1详解】 解：根据题意，该方程的一个根为， 代入方程得，，即， 解得，； 【小问2详解】 解：根据题意，该方程的一个根为， 代入该方程，得， 因式分解，得，即， 即或， 解得，； 【小问3详解】 略 七、（本题满分12分） 22. 在矩形中，点E，F分别在边，上，将矩形沿折叠，使点A的对应点P落在边上，点B的对应点为点G，交于点H． （1）如图①，当时，求证：； （2）如图②，当点P是的中点时，连接，判断线段，和之间的数量关系，并加以证明． 【答案】（1）证明：∵四边形是矩形， ， ． 由折叠可知， ， ． 又， ． （2）解：，证明如下： 延长，，相交于点K，如图． ∵四边形是矩形， ，， ，． ∵点P为的中点， ， ， ，． 由折叠可知， ， ∴直线是的垂直平分线． ． 又， ． 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质可得，结合直角三角形的性质和折叠的性质可得，即可得出结论； （2）延长，，相交于点K，判断出，进而判断出，得出，，即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 八、（本题满分14分） 23. 如图①，四边形为正方形，点E为对角线上一点，连接，． （1）求证：； （2）如图②，过点E作，交边于点F，以，为邻边作矩形． （i）求证：矩形是正方形； （ii）连接，，如图③，若正方形的边长为3，，求的长． 【答案】（1）证明：∵四边形为正方形， ，， 又∵， ， ． （2）（i）证明：如图，作于点M，于点N， ， ∴四边形是矩形， ． ∵点E是正方形对角线上的点， ， ． ， ， ． 又∵， ， ， 又∵四边形是矩形， ∴矩形是正方形． （ii） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质得到，，然后证明，即可得到； （2）（i）作于点M，于点N，利用角平分线的性质得到，证明，得到，即可证明矩形是正方形； （ii）证明，得到，，然后求出，然后利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：（i）略； （ii）∵四边形和四边形是正方形， ，． ， ． ， ，． 又， ， ∵正方形的边长为3， ∴， ∴， ， ∵， ． ∴在中，由勾股定理得，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学 （北师大版） 注意事项： 1．数学试卷满分150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，“试题卷”共4页，“答题卷”共6页．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题无效． 3．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的） 1. 一元二次方程的一次项系数、常数项分别是（ ） A. 2， B. 2，3 C. 5， D. ，3 2. 方程经过配方可变形为（ ） A. B. C. D. 3. 菱形具有而矩形不一定具有的性质是（ ） A. 两组对边分别平行 B. 对角线互相垂直 C. 两组对角分别相等 D. 对角线互相平分 4. 下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是菱形，顶点A，C的坐标分别是，，点D在x轴上，则菱形的顶点B的坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为．求车道的宽度（单位：）．设停车场内车道的宽度为，根据题意所列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，是正方形的对角线，E是上一点，已知，连接，，的延长线交于点F，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 定义新运算：对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号表示a，b中的较大值，如：，．按照这个规定，若，则x的值是（ ） A. 1或 B. 1或 C. 或 D. 或 9. 如图，在四边形中，，，，交于点.添加一个条件使这个四边形成为一种特殊的平行四边形，则以下说法错误的是（ ） A. 添加“”，则四边形是菱形 B. 添加“”，则四边形是矩形 C. 添加“”，则四边形是菱形 D. 添加“”，则四边形是正方形 10. 如图，四边形是矩形，，，点P是边上一点（不与点A，D重合），连接，．点M，N分别是，的中点，连接，，，点E在边上，，则的最小值是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 若是关于x的一元二次方程的一个根，则的值是_________． 12. 若是一元二次方程的根，则的值为_________． 13. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点B的坐标为，点E在边上．将沿折叠，点C落在点F处．若点F的坐标为，则点D的坐标为_______． 14. 如图，四边形和都是菱形且点A，B，E在同一条直线上，点B，C，G在同一条直线上，已知． （1）_________°； （2）连接，点H是的中点，连接，若，则________． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 解方程：． 16. 如图，网格中每一个小正方形的边长为1个单位长度． （1）请在所给的平面直角坐标系中画出以线段为边的格点菱形（顶点均在格点上），并写出点D的坐标________________； （2）线段的长为________________，菱形的面积等于________________． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，在矩形中，对角线与相交于点O，于点E，于点F，连接．求证：． 18. 习题课上，数学老师展示了一道习题及两位同学错误的解答过程： 解方程：． 甲同学： 解：方程两边同时除以， 得．………………第一步 去括号，得．…………第二步 移项、合并同类项，得．…第三步 乙同学： 解：移项，得．…第一步 分解因式，得．……第二步 则或，………………第三步 解得．………………………第四步 （1）分别写出甲同学、乙同学的解答过程中是从第几步开始出现错误的； （2）请你写出正确的解答过程． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，菱形中，对角线，相交于点O，延长至点E，使得，连接并延长交的延长线于点F． （1）求证：； （2）若，，求的长． 20. 已知关于的一元二次方程 （1）求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）已知5是关于的方程的一个根，而这个方程的两个根恰好是等腰三角形的两条边长． ①求的值； ②求的周长． 六、（本题满分12分） 21. 定义：若关于x的一元二次方程中的常数项是该方程的一个根，则该一元二次方程就叫作常数根一元二次方程． （1）已知关于x的方程是常数根一元二次方程，求c的值； （2）如果关于x的方程是常数根一元二次方程，求m的值； （3）若关于x的常数根一元二次方程中不含零根，求证：关于y的方程是常数根一元二次方程． 七、（本题满分12分） 22. 在矩形中，点E，F分别在边，上，将矩形沿折叠，使点A的对应点P落在边上，点B的对应点为点G，交于点H． （1）如图①，当时，求证：； （2）如图②，当点P是的中点时，连接，判断线段，和之间的数量关系，并加以证明． 八、（本题满分14分） 23. 如图①，四边形为正方形，点E为对角线上一点，连接，． （1）求证：； （2）如图②，过点E作，交边于点F，以，为邻边作矩形． （i）求证：矩形是正方形； （ii）连接，，如图③，若正方形的边长为3，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $