精品解析：浙江省宁波市鄞州第二实验中学2026-2027学年八年级上学期9月学情自测数学试卷

鄞州第二实验中学2026学年第一学期9月阶段性测试 初二年级数学学科试题 考生须知： 1．本卷共4页满分100分，考试时间90分钟； 2．答题前，在答题卷指定区域完成相应内容的填写和填涂考试号，所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效； 3．本次考试期间不得使用电子产品，包括计算器； 4．考试结束后，只需上交答题纸． 一．选择题（每小题3分，共10小题） 1. 以下中国知名科技公司的商标中是轴对称图形的为（ ） A. B. C. D. 2. 以下长度的三条线段，不能组成三角形的是(    ) A. 、、 B. 、、 C. 、、 D. 、、 3. 下列选项中的a、b的值，可以作为命题“若，则”是假命题的反例是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 若等腰三角形的一个角是，则它的底角为（ ） A. B. C. 或 D. 或 5. 下列各图中，的边上的高线，其中作法正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 下面是作角等于已知角的尺规作图过程，要说明，需要证明，则这两个三角形全等的依据是（ ） A. 边边边 B. 边角边 C. 角边角 D. 角角边 7. 如图，已知，，下列条件中，无法判定的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，平分交于点，过点作交于点，则的大小是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，是边长为4的等边三角形，点在上，过点作，垂足为，延长到点，使，连接交于点，则的长为（ ） A. 1 B. 1.8 C. 2 D. 2.5 10. 如图，在中，，平分交于点，平分交于点，、交于点．则下列说法一定正确的是（ ） ①；②，③若，则；④；⑤． A. ①③④ B. ①③④⑤ C. ③④⑤ D. ①②④⑤ 二．填空题（每题4分，共6小题） 11. “等腰三角形的两个底角相等．”请写出它的逆命题：__________． 12. 如图，在中，，，则等于______度． 13. 如图，分别是的高和角平分线，，则____°． 14. 如图，为内一点，平分，，，若，，则的长为____． 15. 已知等腰三角形一腰上的中线将它周长分成15cm和12cm 两部分，则这个等腰三角形的底边长是________． 16. 如图，已知中，，D为上一点，且，则的度数是_________． 三．解答题（共6小题） 17. 如图，在中， ，求证：． 证明∶∵． ∴________． 即________________． 在和中， ∵________________． ∴ (________)． 18. 在劳动植树节活动中，两个班的学生分别在M，N两处参加植树劳动，现要在道路的AB，AC交叉区域内设一个茶水供应点P，使P到两条道路的距离相等，且使PM＝PN，请同学们用圆规、直尺在图中画出供应点P的位置，保留画图痕迹，不要证明． 19. 如图，在和中，，，，，交于点P． （1）求证：． （2）若，求的度数． 20. 如图，中，的垂直平分线分别交、于点E、F，且，作交于点D． （1）若，求∠的度数． （2）若，的周长为，求的长． 21. 如图所示，已知中，，厘米，厘米，点为的中点．如果点在线段上以每秒厘米的速度由点向点运动，同时，点在线段上以每秒厘米的速度由点向点运动，设运动时间为（秒）． （1）用含的式子表示的长度是________； （2）若点，的运动速度相等，经过秒后，与是否全等，请说明理由； （3）若点，的运动速度不相等，当点的运动速度为多少时，能够使与全等？ 22. 【初步探索】 （1）如图1，在四边形中，，，，分别是，上的点，且，探究图中、、之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论是________________． 【灵活运用】 （2）如图2，若在四边形中，，，，分别是，上的点，且，上述结论是否仍然成立，请说明理由． 【拓展延伸】 （3）已知在四边形中，，，若点在的延长线上，点在的延长线上，如图3，仍然满足；若，直接写出的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 鄞州第二实验中学2026学年第一学期9月阶段性测试 初二年级数学学科试题 考生须知： 1．本卷共4页满分100分，考试时间90分钟； 2．答题前，在答题卷指定区域完成相应内容的填写和填涂考试号，所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效； 3．本次考试期间不得使用电子产品，包括计算器； 4．考试结束后，只需上交答题纸． 一．选择题（每小题3分，共10小题） 1. 以下中国知名科技公司的商标中是轴对称图形的为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，熟知轴对称图形：如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．据此逐项判断即可． 【详解】解：A选项中的图形能够找到一条直线，使图形沿直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； B、C、D选项中的图形都找不到一条直线，使两旁的部分完全重合，所以不是轴对称图形； 故选：A． 2. 以下长度的三条线段，不能组成三角形的是(    ) A. 、、 B. 、、 C. 、、 D. 、、 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形两边之和大于第三边逐项判断即可． 【详解】解：A.，故A不能组成三角形，符合题意； B.，故B能组成三角形，不符合题意； C.，故C能组成三角形，不符合题意； D.，故D能组成三角形，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查的是三角形的三边关系，三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，熟练掌握三角形三边关系定理是解题的关键． 3. 下列选项中的a、b的值，可以作为命题“若，则”是假命题的反例是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是命题的真假判断，要证明命题“若，则”为假，需找到反例，即成立但不成立，逐一验证各选项即可解答． 【详解】解：选项A：，，成立，，结论成立，不符合反例； 选项B：，，成立，，结论成立，不符合反例； 选项C：，，成立，结论不成立，符合反例； 选项D：，，不成立，不符合反例条件． 故选：C． 4. 若等腰三角形的一个角是，则它的底角为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】分的角是顶角和底角时，结合等腰三角形两底角相等和三角形内角和为计算即可． 【详解】解：分两种情况讨论： 若的角是底角，则底角为， 此时顶角为，符合三角形内角和定理； 若的角是顶角， ∵等腰三角形两底角相等，三角形内角和为， ∴底角为， ∴该等腰三角形的底角为或． 5. 下列各图中，的边上的高线，其中作法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形高线的作法解答即可． 【详解】解：如图所示，过点B作，交的延长线于点D，则即为所求作． 6. 下面是作角等于已知角的尺规作图过程，要说明，需要证明，则这两个三角形全等的依据是（ ） A. 边边边 B. 边角边 C. 角边角 D. 角角边 【答案】A 【解析】 【详解】解：由作法易得，，，， ， 两个三角形全等的依据是边边边， 故选：A． 7. 如图，已知，，下列条件中，无法判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、，，，则，不符合题意； B、，，，则，不符合题意； C、由得到，而，，则，不符合题意； D、，，，不能证明全等，该选项符合题意． 8. 如图，在中，，，平分交于点，过点作交于点，则的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由DE∥AC，推出∠ADE=∠DAC，只要求出∠DAC的度数即可解决问题． 【详解】∵∠B=44°，∠C=56°，∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C =80°． ∵AD平分∠BAC，∴∠DAC∠BAC=40°． ∵DE∥AC，∴∠ADE=∠DAC=40°． 故选D． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 9. 如图，是边长为4的等边三角形，点在上，过点作，垂足为，延长到点，使，连接交于点，则的长为（ ） A. 1 B. 1.8 C. 2 D. 2.5 【答案】C 【解析】 【分析】过作的平行线交于，通过证明≌，得，再由是等边三角形，即可得出． 【详解】解：过作的平行线交于， ， 是等边三角形， ，， 是等边三角形， ， 在中和中， ， ≌， ， 于，是等边三角形， ， ， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 10. 如图，在中，，平分交于点，平分交于点，、交于点．则下列说法一定正确的是（ ） ①；②，③若，则；④；⑤． A. ①③④ B. ①③④⑤ C. ③④⑤ D. ①②④⑤ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，中线的性质，熟练地利用角平分线作辅助线，构建三角形全等是解题的关键．利用角平分线和三角形内角和定理即可判断①；利用中线性质可判断②；证明可判断③；作的平分线交于点，证，，再利用线段的和差可判断④；过分别作点，于点，利用角平分线性质得，则，再利用全等三角形面积相等即可判断⑤． 【详解】解：①在中，， ， 平分，平分， ，， ，故①正确； ②当是的中线时，， 而题中只能确定平分，无法得出是的中线，故②错误； ③， ， 在和中， ， ， ， ，故③正确； ④如图，作的平分线交于点， 由①得， ， ， ， 在和中， ， ， 同理：， ，， ，故④正确； ⑤过分别作点，于点， 由④知，为的角平分线， ， ， ，， ，故⑤正确． 综上所述：正确的有①③④⑤， 故选：B． 二．填空题（每题4分，共6小题） 11. “等腰三角形的两个底角相等．”请写出它的逆命题：__________． 【答案】有两个角相等的三角形是等腰三角形 【解析】 【分析】根据互逆命题的定义，将原命题的题设和结论互换，即可得到原命题的逆命题 【详解】解：将原命题改写为“如果一个三角形是等腰三角形，那么这个三角形的两个底角相等”， 其中题设为“一个三角形是等腰三角形”，结论为“这个三角形的两个底角相等”， 互换题设和结论后，得到逆命题为“有两个角相等的三角形是等腰三角形” 12. 如图，在中，，，则等于______度． 【答案】70 【解析】 【分析】本题主要考查三角形的外角性质，直接利用三角形的外角性质进行求解即可． 【详解】解：∵是的外角， ∴， 故答案为：70． 13. 如图，分别是的高和角平分线，，则____°． 【答案】20 【解析】 【分析】先根据已知条件得，，再根据三角形内角和定理求出，然后求出，最后根据得出答案． 【详解】解：∵分别是的高和角平分线， ∴于点D，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 14. 如图，为内一点，平分，，，若，，则的长为____． 【答案】2 【解析】 【分析】此题主要考查了等腰三角形的判定，角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，理解角平分线的定义，熟练掌握等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 延长交于点，根据角平分线的定义及垂直的定义得，，利用可证明，得出，，可得，根据等角对等边得出，即可得的长． 【详解】解：如图，延长交于， ∵平分，， ∴，， 在和中，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为： 15. 已知等腰三角形一腰上的中线将它周长分成15cm和12cm 两部分，则这个等腰三角形的底边长是________． 【答案】7cm或11cm． 【解析】 【分析】设等腰三角形的腰长、底边长分别为xcm，ycm，根据题意列二元一次方程组，注意没有指明具体是哪部分的长为15，故应该列两个方程组求解． 【详解】解：∵等腰三角形的周长是15cm+12cm=27cm， 设等腰三角形的腰长、底边长分别为xcm，ycm，由题意得 或， 解得：或， ∴等腰三角形的底边长是7cm或11cm． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质、解二元一次方程组，能根据等腰三角形的性质列出方程组，利用分类讨论思想求解是解答的关键． 16. 如图，已知中，，D为上一点，且，则的度数是_________． 【答案】20° 【解析】 【分析】延长至点E使，连接，证明是等边三角形，设，则，再证明，即可得到结果． 【详解】解：如图，延长至点E使，连接． ∴， ∵， ∴． ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴设，则．在与中， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案是． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，准确分析计算是解题的关键． 三．解答题（共6小题） 17. 如图，在中， ，求证：． 证明∶∵． ∴________． 即________________． 在和中， ∵________________． ∴ (________)． 【答案】 ；；；；；． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定，根据线段的和差关系，推出，利用证明，即可． 【详解】略 18. 在劳动植树节活动中，两个班的学生分别在M，N两处参加植树劳动，现要在道路的AB，AC交叉区域内设一个茶水供应点P，使P到两条道路的距离相等，且使PM＝PN，请同学们用圆规、直尺在图中画出供应点P的位置，保留画图痕迹，不要证明． 【答案】 ∠BAC的平分线和MN的垂直平分线的交点P即为所求，如图， 【解析】 【分析】因为P到两条道路的距离相等，且使PM＝PN，所以P应是∠BAC的平分线和MN的垂直平分线的交点． 【详解】略 【点睛】此题考查了基本作图以及线段垂直平分线的性质和角平分线的性质，需仔细分析题意，结合图形，利用线段的垂直平分线和角的平分线的性质是解答此题的关键． 19. 如图，在和中，，，，，交于点P． （1）求证：． （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 即， 在与中， ， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定及三角形内角和，熟练掌握全等三角形的性质与判定及三角形内角和是解题的关键； （1）由题意易得，然后可得，进而问题可求证； （2）由全等三角形的性质可得，然后根据三角形内角和可进行求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 20. 如图，中，的垂直平分线分别交、于点E、F，且，作交于点D． （1）若，求∠的度数． （2）若，的周长为，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由线段的垂直平分线得到，则，而，则； （2）由等腰三角形得到，那么的周长，化为，即可求解． 【小问1详解】 解：∵垂直平分， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴ ∵ ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴的周长 ， ∵， ∴． 21. 如图所示，已知中，，厘米，厘米，点为的中点．如果点在线段上以每秒厘米的速度由点向点运动，同时，点在线段上以每秒厘米的速度由点向点运动，设运动时间为（秒）． （1）用含的式子表示的长度是________； （2）若点，的运动速度相等，经过秒后，与是否全等，请说明理由； （3）若点，的运动速度不相等，当点的运动速度为多少时，能够使与全等？ 【答案】（1） （2）解：，理由如下： ∵P、Q的运动速度相等， ∴1秒后，，则， ∵D为的中点， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． （3）a为． 【解析】 【分析】（1）先根据题意用含t的式子表示出，进而由即可解答； （2）根据速度相等得到，，结合点为的中点，推出，即可由证得结论； （3）分两种情况讨论，①当时；②当时；根据全等三角形的对应边相等，求得对应的a的值即可． 【小问1详解】 解：根据题意可知， ∵， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由题意知，，，，， ∵， ∴①当时，，即， ∵， ∴，与P、Q的运动速度不相等矛盾，故舍去； ②当时，，， ∴，， ∴，， 即点P、Q的运动速度不相等时，点Q的运动速度a为时，能够使与全等． 22. 【初步探索】 （1）如图1，在四边形中，，，，分别是，上的点，且，探究图中、、之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论是________________． 【灵活运用】 （2）如图2，若在四边形中，，，，分别是，上的点，且，上述结论是否仍然成立，请说明理由． 【拓展延伸】 （3）已知在四边形中，，，若点在的延长线上，点在的延长线上，如图3，仍然满足；若，直接写出的度数． 【答案】（1）； （2）解：成立，理由如下： 如图，延长到点，使，连接， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故上述结论仍然成立； （3）． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，四边形的内角和等知识，正确添加辅助线，构造全等三角形成为解题的关键． （1）延长到点，使，连接，可判定，进而得出，再判定，可得出，据此即可得出结论； （2）延长到点，使，连接，先判定，进而得出，再判定得出； （3）先根据四边形的内角和以及已知条件可得的度数，在延长线上取一点，使得，连接，先判定，再判定得出，最后根据，推导得到，然后将代入计算即可． 【详解】解：（1）如图，延长到点，使，连接， 在和中， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， 故答案为：； （2）略 （3）∵，， ， 如图，在延长线上取一点，使得，连接， ，， ， 在和中， ， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ，即， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $