精品解析：浙江省宁波市鄞州春晓中学强基班2025-2026学年八年级上学期9月数学阶段测试试题

浙江省宁波市鄞州春晓中学强基班2025-2026学年 八年级上学期9月数学阶段测试试题 一、填空题 1. 如图，M是的边的中点，平分于点N，且，则的周长是________． 2. 如图，等腰直角中，，的平分线交于，过作的垂线，垂足为，和的延长线相交于，若，则___________． 3. 如图，在三角形中，点D在边上，，G为中点，延长线交于点E，则 ______． 4. 已知是正内一点，，，，则___________． 5. 已知方程组有非负整数解，则正整数m的值有______个． 6. 已知正整数m和n有大于1的最大公约数，并且满足，则________． 二、解答题 7. 正方形和正方形的边长分别为3和1，将正方形绕点A逆时针旋转． （1）当旋转至图1位置时，连接，，则线段和的关系为______； （2）在旋转过程中，当点G，E，D在同一直线上时，求线段的长． 8. （1）阅读理解：问题：如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：． 思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题． 方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题； 方法2：延长到点，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题． 结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明． （2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接，当时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由； （3）问题拓展：如图3，在四边形中，，，过点作，垂足为点，请写出线段、、之间的数量关系． 9. 在中，，，P为直线上一点，连接，将绕点P顺时针旋转得到，连接． （1）当点P在线段上时，如图1，求证：； （2）当点P在的延长线上时，如图2，线段，，之间又有怎样的数量关系，写出你的猜想，并给予证明； （3）当点P在的延长线上时，如图3，直接写出线段，，之间的数量关系_____． 10. 设，，，为或，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $6学科网 命组卷网 浙江省宁波市鄞州春晓中学强基班2025-2026学年 八年级上学期9月数学阶段测试试题 一、填空题 L.如图，M是△MBC的边BC的中点，MN平分 ∠BAC,BN⊥AN 于点N,且 AB=10,BC=15,MN= 3,则△ABC的周长是 【答案】41 【解析】 【分析】本题主要考查了中位线定理和全等三角形的判定及性质.延长线段BN交AC于E,证明 △ABN≌AAEN 可得N为E的中点：由已知可得是△BC CE 的中位线，由中位线定理可得的 长，即可求解 【详解】解：如图，延长线段BN交AC于E. 第1页/共22页 6学科网组卷网 N. :AN平分∠BAC, .∠BAN=∠EAN, 又.1N=AW,∠AWB=∠ANE=90 ∴.△ABN≌△AEN, .AE=AB=10,BN NE 又M是△ABC的边BC的中点， .CE=2MN=2×3=6, ∴.△ABC的周长是AB+BC+AC=10+15+10+6=41, 故答案为：41. 2.如图，等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，∠CBA的平分线交AC于D,过C作BD的垂线，垂足为 E CE BA F CE=5BD= 和的延长线相交于，若 ，则 D 【答案】10 【解析】 第2页/共22页 学科网命组卷网 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键 根据题意利用角边角可证△BEF≌△BEC,进而得到CF=2EC，再用角角边证明△ABD≌△ACF 得到BD=CF即可得出结果. 【详解】解：BE平分∠ABC, ∴.∠ABD=∠DBC, 又BE⊥ECJ ∴.∠BEC=∠BEF=90° 在△BEF和△BEC中， ∠ABD=∠DBC, BE=BE, ∠BEF=∠BEC, :∴ABEF≌aBEC(ASA) .EF=EC CF=2EC ,即 .AABC ∠BAC=90° 是等腰直角三角形且 .AB=AC∠CAF=90° Rt△ABD,∠ABD+∠ADB=90° 中， RtABEF,∠ABD+∠F=90° 中 ∴.∠ADB=∠F, 在△MBD和△AC 中， ∠ADB=∠F ∠BAD=∠FAC=90° AB=AC 第3页/共22页 6学科网 命组卷网 ∴.△ABD≌△ACF(AAS) ..BD=CF .CF=2EC=10 ∴.BD=2CE=10. 故答案为：10. 3.如图，在三角形ABC中，点D在边BC上，BD=3CD,G为AD中点，BG延长线交AC于点E, BG 则GE G 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中位线定理和平行线分线段成比例定理.熟练掌握三角形的中位线定理和平 行线分线段成比例定理是解题的关键. BG=1 构造三角形中位线可以得出GP∥AC,然后按比例设参数，由平行线分线段成比例性质可得GE 【详解】解：取CD中点F,连接FG, B DFC ,点G、F分别为AD、CD中点， 第4页/共22页 6学科网命组卷网 ,GF△ACD 是 的中位线， .GFIAC 设CF=DF=x,则CD=2x, BD=3CD ∴.BD=6x .GF∥AC BG_BF-1x-7 .GE FC x 故答案为：7. 4.已知P是正△ABC内一点，PA=1,PB=2,∠APB=150°，则PC= B 【答案】V5 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于 旋转角；旋转前、后的图形全等.也考查了等边三角形的性质和勾股定理.把△CBP绕点B顺时针旋转 得到△ABE 60° EP BE=BP=2AE=CP∠EBP=60° ，连接，根据旋转的性质得 可判断 △BPE EP=BP=2∠BPE=60°∠APB=150°∠APE=90° 为等边三角形，所以 ,而 ,则 然后在 第5页/共22页 学科网 命组卷网 Rt△AP 中根据勾股定理计算 PC 止，从而得到气 的长 【详解】解：，△ABC为等边三角形， ∴.CA=CB∠ACB=60° 小如图，把 CBP 绕点B顺时针旋转60得到△MBE 60° EP 连接 E B ∴.BE=BP=2AE=CP∠EBP=60° ∴.△BPE为等边三角形， .EP=BP=2∠BPE=60° .APB=150° ∴.∠APE=150°-60°=90° 在Rt△APE中，AP=1,PE=2, .AE=√PE2+AP2=V5 :.PC=5 故答案为： 5 x-y=2 5.己知方程组mx+y=6有非负整数解，则正整数m的值有一个. 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组和非负整数解的应用.熟练掌握解二元一次方程组的方法和非负整 第6页/共22页 命学科网命组卷网 数解的应用是解题的关键. 首先解含参方程组，得到x,少的表达式，再根据x,y是非负整数找出正整数m的所有可能取值即可. P x= m+1 【详解】解：解方程组x-y=2得 6-2m, y= mx+y=6 m+1 ,方程组的解是非负整数 :x≥20，y≥0 8 -≥0① m+1 即 6-2m ≥0②' m+l ,方程组的解是非负整数，且m为正整数， .x和y为非负整数， 8 由m+1为非负整数可知，m+1为8的正约数， ,m为正整数， .m+1≥2， .m+1可取2,4,8， 解得m可取1,3,7， 6-20=2 V= 6-2③)=0 当m=1时， y= 1+1,符合题意：当m=3时，3+1，符合题意：当m=7时， 6-2(⑦)=-1 V= 7+1,不符合题意： 综上，正整数m的值有1和3，共2个 故答案为：2. 第7页/共22页 6学科网 命组卷网 6.已知正整数m和1有大于1的最大公约数，并且满足m+m=371,则m= 【答案】196 【解析】 【分析】 【详解】理由：设k是，n的最大公约数，则m和n可以表示 m=ka,n=仙k>1,a,b均为正整 数) 于是，m'+n=(a3+h=(k2a23+b)=371=7×53 因为k>1且7与53都是质数， k2a3+b>k2a3≥k2>k 所以k=7且ka+b=53 即49x+h=53.由a,b是正整数，得a=lb=4 所以m=7,n=28 ,mn=7×28=196 二、解答题 7.正方形ABCD和正方形AEFG的边长分别为3和1，将正方形AEFG绕点A逆时针旋转. 图1 备用图 备用图 (1)当旋转至图1位置时，连接BE,DG,则线段BE和DG的关系为一： (2)在旋转过程中，当点G,E,D在同一直线上时，求线段BE的长， 【答案】(1)BE=DG,BE⊥DG 第8页/共22页 6学科网命组卷网 V34+V2√34-V2 (2)BE的长度为2一或2 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握勾股定理、正方形的 性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键， (I)由正方形的性质知AE=AG,AB=AD,∠GAD=∠BAE,即可得： △ABE2aADG(SMS),由 全等的性质和互余关系可得DH=90°，即得BE与DG的关系： (2)由题意画出图像，分G,E,D依次共线与E、G、D依次共线分别求DG的长，即可得BE的长.. 【小问1详解】 解： ABCD AEFG 和 为正方形， ∴.AG=AEAB=AD .∠GAE=∠BAD=90°. .∠BAD+∠DAE=∠GAE+∠DAE, .∠GAD=∠BAE ∴.△ABE≌△ADG(SAS) .BE=DG∠ABE=∠ADG :∠ABE+∠AHB=90°，∠AHB=∠EHD」 ∴.∠HID+∠HDI=90°， 第9页/共22页 6学科网6组卷网 .∠DIH=90° ∴.BE⊥DG 故答案为BE=DG,BE⊥DG」 【小问2详解】 解：①当G,E,D依次共线时，过点A作AM⊥DG于点M, .AG=AE=1,∠EAG=90°， AM-ME-MG- 2 w-a0w-号 DG=DM+MG=34+ 2,故BE=34+5 2 1章 ②当E、G、D依次共线时，过点A作AN⊥DG于点N, :AG=AE=1.∠EAG=90°. AN=NE-NG=2 2, :0N=v0-w2-9-写-4 22 .DG=DN-NG=34-2 ,放E=34-V 2 第10页/供22页 6学科网命组卷网 √34+V2√34-V2 综上所述，BE的长度为2或2· 8.(1)阅读理解：问题：如图1，在四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC,∠A+∠C=180°，求 证：DA=DC. 思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题。 方法l:在BC上截取BM=BA,连接DM,得到全等三角形，进而解决问题； 方法2：延长BA到点N,使得BN=BC,连接DN,得到全等三角形，进而解决问题. 结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明. (2)问题解决：如图2，在(1)的条件下，连接AC,当∠DAC=60°时，探究线段AB,BC,BD之 间的数量关系，并说明理由； (3)问题拓展：如图3，在四边形ABCD中，∠A+∠C=180°，DA=DC,过点D作DE⊥BC,，垂 足为点E,请写出线段AB、CE、BC之间的数量关系. B A B E D D 图1 图2 图3 【答案】 (I)方法1：在BC上截取BM=BA,连接DM, 第11页/共22页 6学科网 组卷网 M D 图① BD∠ABC 平分 ∴.∠ABD=∠CBD 在△ABD和△MBD中， BD=BD ∠ABD=∠MBD BA=BM :.△ABD≌AMBD(SAS) .∠A=∠BMD,AD=MD .∠BMD+∠CMD=180°∠C+∠A=180° ∴.∠C=∠CMD ∴.DM=DC :DA=DC: 方法2：延长AB到N,使BN=BC,连接DN, B 图1② 第12页/供22页 6学科网 命组卷网 .BD ∠ABC 平分 ∴.∠NBD=∠CBD 在△NBD和△CBD中， BD=BD ∠NBD=∠CBD BN=BC :∴ANBD≌aCBD(SAS) .∠BND=∠CND=CD .∠NAD+∠BAD=180°∠C+∠BAD=180° ∴.∠BND=∠NAD .DN DA ..DA=DC: (2)AB,BC,BD之间的数量关系为AB+BC=BD. 方法1：理由如下： 如图2，在BD上截取BF=AB,连接AF, 图2 由(1)知∠BAD+∠BCD=180°. ∴.∠ABC+∠DAC=180° 第13页/供22页 6学科网命组卷网 :∠DAC=60°. ∴.∠ABC=120°. .∠ABD=∠DBC=60° ∴.△ABF为等边三角形， ∴.AB=AF=BF,∠BAF=60° AD=DC ∴.△ADC为等边三角形， .AD=AC∠DAC=60° ∴.∠DAF=∠BAC ∴.△ABC≌△AFD(SAS) .DF=BC ∴.BD=BF+DF=AB+BC 方法2：理由：延长CB到P,使BP=BA,连接AP, 图2 由(1)知AD=CD, :∠DAC=60°， .△ADC是等边三角形， .AC=AD∠ADC=60° 第14页/供22页 6学科网6组卷网 :∠BCD+∠BAD=180° .∠ABC=360°-180°-60°=120° .∠PBA=180°-∠ABC=60° BP=BA, .△ABP为等边三角形， .∠PAB=60°AB=AP .∠DAC=60°. ∴.∠PAB+∠BAC=∠DAC+∠BAC 即∠PAC=∠BAD. 在△PAC和△BAD中， PA=BA ∠PAC=∠BAD AC=AD ∴.△PAC≌△BAD(SAS) ∴.PC=BD PC=BP+BC=AB+BC .AB+BC=BD (3)BC-BA=2CE」 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定： (I)方法1：在BC上裁取BM=BA,连接DM,证明△MBD≌△MBD(SAS),得出∠A=∠BMD, 第15页/供22页 命学科网命组卷网 AD=MD ∠C=∠CMD,DM=DC ,进而得出 ,则 ,等量代换即可得证；方法2，延长1B到N, 到，使 BN=BC,连接DN,证明△NBD≌aCBD(SAS,得出∠BND=∠C,ND=CD,进而得出 ∠BND=∠NADDN=DA ，则 ，等量代换即可得证 (2)AB,BC,BD之间的数量关系为AB+BC=BD.方法1：在BD上截取BF=AB,连接AF, 由()知∠BAD+∠BCD=180°，得出△ABF,△ADC为等t边三角形，证明△MBC≌AMFD(SAS) 得出DF=BC,进而即可得证；方法2：延长CB到P,使BP=BA,连接AP,由D知AD=CD, 则△ADC,△ABP是等边三角形，证明△PAC≌△BMD(SM),得出PC=BD,进而即可得证： (3)线段AB、CE、BC之间的数量关系为BC-AB=2CE,连接BD,过点D作DF⊥AB于点F, 证明△DF4≌△DEC(AAS),RtBDFS≌和RtBDE(HL),得出BF=BE,进而即可得证. 【详解】(1)略 (2)略 (3)线段AB、CE、BC之间的数量关系为BC-AB=2CE. 连接BD,过点D作DF⊥AB于点F, B E 图3 .∠BAD+∠C=180°∠BAD+∠FAD=180° ∠FAD=∠C, 第16页/供22页 6学科网 组卷网 在△DFA和△DEC中， ∠DFA=∠DEC ∠FAD=∠C DA=DC ∴.ADFA≌ADEC(AAS) ∴.DF=DEAF=CE 在Rt△BDF和Rt△BDE中， BD=BD DF=DE ∴.RtABDF≌RtABDE(HL) ∴.BF=BE, .BC=BE+CE=BA+AF+CE=BA+2CE .BC-BA=2CE )在△1BC中，AB=1C,∠B1C=90,P为直线MB上一点，连接PC,将PC 绕点P顺时针旋转 得到PD 90 连接BD D B E B 图1 图2 图3 第17页/供22页 6学科网 组卷网 (L)当点P在线段AB上时，如图1，求证：BC-BD=V2BP, (2)当点P在BA的延长线上时，如图2，线段BC,BD,BP之间又有怎样的数量关系，写出你的猜 想，并给予证明； (3)当点P在AB的延长线上时，如图3，直接写出线段BC,BD,BP之间的数量关系一 【答案】(1) 证明：过点P作PE⊥AB,交BC于点E. ·AB=AC∠BAC=90 :∠ABC=450 易证△PBE为等腰直角三角形， BE=2BP PB=PE ·∠BPD+∠DPE=90°∠DPE+∠EPC=90 :∠BPD=∠EPC PB=PE 在 与 中 ∠BPD=∠EPC △PBD△PEC PD=PC :△PBD=aPEC(SAS) 第18页/供22页 6学科网6组卷网 :BD=EC BC-EC=BE. .BC-BD=2BP (2) 解： BC+BD=V2BP理由如下： 过点D作DE⊥AB于点E, P A D B ∠DPE+∠EPC=90°∠EPC+∠PCA=90 &∠DPE=∠PCA ∠DPE=∠PCA 与 中， ∠DEP=∠PAC=90° △DPE△PCA PD=PC ·.ADPE=aPCA(AAS) ∴AP=DE,AC=PE=AB, ∴.BE=AP=DE, BE=BD 易 √2， .BC=24B ÷aC=a(-4=(r-)-=ap8） 第19页/共22页 命学科网命组卷网 BC+BD=2BP (3)BD-BC=2BP 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等及其性质，旋转的性质，等腰直角三角形，解直角三角形一边角关系.熟 练掌握三角形全等及其性质，旋转的性质，等腰直角三角形，解直角三角形一边角关系， Q)构造等腰直角三角形，得到BE=V2BP,PB=PE接若等量代换可证明∠BPD=∠EPC,利用 SAS判定证明△PBD=△PEC,从而可知BD=BC,即可得到BC-BD=V2BP (2)等量代换得到∠DPE=∠PCA,利用AAS判定证明△DPE兰△PCA,可知对应边AP=DE,进一步 BD BE= 可证明BE=AP=DE,在等腰直角三角形BDE中，易证 √2，结合BC=√2AB变形即可得到 BC+BD=2BP (3)等量代换可证明∠EPC=∠BPD,利用SAS判定证明△BPD三aEPC,进而可知对应边BD=EC, 解等樱直角三角形可得BE=V2BP,代换即可得出结论BD-BC=V2BP 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：BD-BC=V2BP 过点P作PE⊥AB,交CB的延长线于点E. 第20页/共22页 6学科网6组卷网 E B 图3 由旋转可知PC=PD,∠DPC=90°， &2∠DPC=∠BPE=900 :∠DPC+∠BPC=∠BPE+∠BPC 即∠EPC=∠BPD. :AB=AC∠BAC=900 :∠ABC=∠ACB=450 ÷∠P3E=∠ABC=45° :∠PBE=∠PEB=450 .BP PE, .ABPD =EPC(SAS) :BD=EC 在Rt△BPE中，BP=PE, BE=2BP 第21页/供22页 命学科网命组卷网 .CE-BC=BE :.BD-BC=2BP 10设，，…，0w5为+1或1，求证：名+2x+3x++2005xws≠0」 【答案】 证明：设S=+26+3x++205m,而元，，…，xm5为+1或1， 故S的奇偶性与1+2+3++2005的奇偶性相同， 1+2+3+..+2005=2011015,结果为奇数， 故S≠0，即+2x+3x,++2005x05≠0 【解析】 【分析】本题考查了奇数与偶数的认识，实数奥数问题综合.分析式子的奇偶性是解题的关键. 由题意 S=x+2x,+3x,++2005.x05的奇偶性与+2+3+…+2005的奇偶性相同，根据 1+2+3+.+2005的结果知其为奇数，则结论成立. 【详解】略 第22页/共22页