25.1 一元二次方程的概念 教学设计 - 2026-2027 学年人教版数学九年级上册

25.1 一元二次方程的概念 教学设计 2026—2027学年人教版数学九年级上册 课题名称 一元二次方程的概念 课型 新授课 教学资源 多媒体课件 教学内容解析 内容：一元二次方程的概念、一般形式ax²+bx+c=0（a≠0）及各项系数、方程的根的概念。 内容解析 本课时是人教版（2024）九年级上册第二十五章“一元二次方程”的起始概念课（教材P1—P4）。教材通过三个实际问题（人体雕像、无盖方盒、排球邀请赛）列出三个方程，引导学生观察共同点，归纳出一元二次方程的定义；进而给出一般形式ax²+bx+c=0（a≠0），明确二次项、一次项、常数项及其系数；最后给出根的概念。本课时是后续学习解法和实际应用的概念基础。 目标与目标解析 1. 数学抽象：经历从实际问题列出方程、归纳共同特征的过程，理解一元二次方程的概念。 2. 符号意识：掌握一般形式ax²+bx+c=0（a≠0），能正确指出二次项、一次项、常数项及系数。 3. 推理能力：理解a≠0的必要性；能根据定义判断一个方程是否为一元二次方程。 4. 运算能力与模型观念：能将方程化为一般形式；理解根的概念，会代入检验；能从简单实际问题中列出一元二次方程。 单元整体目标 对应课标要求：能根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型。本课时完善了初中方程体系（一元一次方程→二元一次方程组→分式方程→一元二次方程）。 教学重点 一元二次方程的概念及一般形式；各项系数的识别。 教学难点 理解a≠0的必要性；将方程化为一般形式时移项变号与系数带符号。 学情分析 学生已学习一元一次方程、二元一次方程组和分式方程，掌握了整式的去括号、移项、合并同类项，具备从实际问题列方程的经验。可能出现的困难：①对“整式、一元、二次”三个条件把握不全；②判断时只看表面形式，不先化简；③确定系数时漏掉前面的符号；④忽视a≠0的条件。 困惑点 ①不理解为什么规定a≠0；②看到x²项就认为是一元二次方程，不先化简；③把系数当成正数，忽略负号；④含参数时不知道要同时考虑次数为2和二次项系数不为0。 教学策略分析（为什么学·学什么·怎么学） 为什么学：一元二次方程是初中最后一类整式方程，是后续学习解法、根与系数关系和二次函数的基础。 学什么：一元二次方程的定义（三个条件）、一般形式ax²+bx+c=0（a≠0）、各项名称与系数、根的概念。 怎么学：从三个实际问题列方程出发，类比一元一次方程归纳定义；通过正反例辨析三个条件；讲练结合，强调先化简再判断、系数带符号。 教学环节 学习任务设计 师生活动 评价要点 设计意图 一、 创设情境 列方程 （约12 分钟） 【复习】我们学过哪些方程？什么叫一元一次方程？ 答：一元一次方程——只含一个未知数、未知数次数为1、等号两边都是整式的方程。 【问题1·教材P1章引言】设计人体雕像，全身高5m，腰以上与腰以下的比等于腰以下与全身的比。设腰以下为x m，列方程。 由题意得 = ，即 x² = 5(5−x)，整理得 x²+5x−25 = 0 ① 【问题2·教材P2】长100cm、宽50cm矩形铁皮，四角切去边长x cm的正方形，折成无盖方盒，底面积3600cm²。 盒底长(100−2x)cm、宽(50−2x)cm，列方程 (100−2x)(50−2x)=3600，整理得 x²−75x+350 = 0 ② 【问题3·教材P2】排球邀请赛，单循环赛制，赛程7天、每天4场共28场，设邀请x支球队。 总场次为 = 28，整理得 x²−x−56 = 0 ③ 教师出示三个实际问题，引导学生设未知数、找等量关系、列方程并化简。 学生独立列式，教师巡视指导。 学生能否正确列出并化简方程。 从实际问题抽象方程，体会建模思想。 二、 归纳定义 （约10 分钟） 【思考】方程①②③有什么共同点？ 引导学生从三方面观察： ①都是整式方程；②都只含一个未知数；③未知数的最高次数都是2。 【归纳定义】只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程。 【一般形式】任何一个一元二次方程，经过整理都可化为： ax² + bx + c = 0 （a≠0） 其中 ax² 是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项。 【议一议】为什么规定a≠0？若a=0，则方程变为bx+c=0，就不是二次方程了。b、c可以为0。 【即时辨析】下列哪些是一元二次方程？ ①3x²−5x+6=0； ②x²+ = 1； ③x²−2y=0； ④x³−x²=0； ⑤(x−2)(x+3)=x²−6。 答案： 只有①是。②分母含未知数，不是整式方程；③含两个未知数；④最高次数是3；⑤化简后二次项抵消，得x=0，是一元一次方程。 教师引导学生对比一元一次方程，归纳三个共同点。 学生尝试给一元二次方程下定义。 讨论a≠0的必要性。 学生独立辨析，说明理由。 学生能否说出三个条件；理解a≠0的理由。 类比归纳，从特殊到一般。 三、 例题精讲 （约10 分钟） 【教材P3 例1】将方程 3x(x−1)=5(x+2) 化成一元二次方程的一般形式，并写出二次项系数、一次项系数和常数项。 解： 去括号，得 3x²−3x = 5x+10； 移项、合并同类项，得一般形式： 3x² − 8x − 10 = 0。 二次项系数为 3，一次项系数为 −8，常数项为 −10。 【注意】①移项要变号；②按x的降幂排列；③系数要连同前面的符号一起写。 【根的概念】使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做这个方程的解（根）。 【例2】下列哪些数是方程 x²−x−6=0 的根？−2，−1，0，1，2，3。 解： 把x=−2代入：左边=4+2−6=0=右边，所以x=−2是根； 把x=3代入：左边=9−3−6=0=右边，所以x=3是根。 其余数代入均不成立。所以方程的根是 x=−2 和 x=3。 【注意】一元二次方程可以有两个根。判断方法：代入方程，看左右两边是否相等。 教师板书例1规范步骤。 学生代入检验例2。 强调移项变号和系数带符号。 学生能否正确化为一般形式；能否正确检验根。 规范步骤，落实重点。 四、 巩固练习 （约10 分钟） 【练习1·教材P4】将下列方程化为一般形式，并写出各项系数： （1）5x²−1=4x； （2）4x²=81； （3）4x(x+2)=25； （4）(3x−2)(x+1)=8x−3。 答案： （1）5x²−4x−1=0；二次项系数5，一次项系数−4，常数项−1； （2）4x²−81=0；二次项系数4，一次项系数0，常数项−81； （3）4x²+8x−25=0；二次项系数4，一次项系数8，常数项−25； （4）3x²−7x+1=0；二次项系数3，一次项系数−7，常数项1。 【练习2】当m为何值时，方程 (m−1)x^|m|⁺¹ + 2mx−3=0 是关于x的一元二次方程？ 答案： 需满足：|m|+1=2 且 m−1≠0，即 m=±1 且 m≠1，所以 m=−1。 【练习3】若x=2是方程 x²+kx−2=0 的一个根，求k的值。 答案： 把x=2代入：4+2k−2=0，解得 k=−1。 【练习4·辨析】下列说法是否正确？“因为ax²+bx+c=0中a是二次项系数，所以a一定是正数。” 答案： 不对。a是二次项系数，可以是正数也可以是负数，只要a≠0即可。系数要连同符号一起看。 学生独立完成练习，教师巡视。 选取典型错误（移项不变号、漏掉负号、忽略a≠0）讲评。 学生能否正确化一般形式、识别系数、检验根。 分层练习，及时巩固。 五、 总结与 作业 （约3 分钟） 【课堂小结】 1. 一元二次方程定义三要素：整式方程；只含一个未知数；未知数最高次数是2。 2. 一般形式：ax²+bx+c=0（a≠0）。a≠0是关键；b、c可以为0。 3. 根：使方程左右两边相等的未知数的值；一元二次方程可以有两个根。 4. 注意：先化简再判断；系数带符号；a≠0。 【布置作业】 1. 教材第4页 练习第1、2题； 2. 习题25.1 第1、2、3题； 3. 思考题：一元二次方程的根有几个？怎样求？ 学生自主归纳，教师补充。 学生能否完整叙述定义和一般形式。 构建知识体系。 板书设计 25.1 一元二次方程的概念 一、定义（三要素） 整式方程 + 一个未知数 + 最高次数2 二、一般形式：ax²+bx+c=0（a≠0） ax² 二次项，系数a；bx 一次项，系数b；c 常数项 三、根：使左右两边相等的未知数的值 注意：a≠0；先化简再判断；系数带符号 学科网（北京）股份有限公司 $