25.2 降次-解一元二次方程 讲义 2026-2027学年人教版九年级数学上册

降次——解一元二次方程 人教版九年级上册 · 第二十五章 一元二次方程 · 25.2 一、学习目标 1. 会用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程，理解“降次”的基本思想。 2. 能根据方程的特点，选择简便、合适的解法。 3. 掌握根的判别式 △=b²−4ac，会判定一元二次方程根的情况，并能解决含参问题。 4. 掌握根与系数的关系（韦达定理），会进行对称式求值。 二、知识点睛 基础知识 实例剖析 直接开平方法：形如 (x+m)²=n（n≥0）的方程，直接开平方得 x+m=±，即 x=−m±；当 n<0 时，方程没有实数根。 (x+5)²=9 → x+5=±3 → x=−2 或 x=−8。 配方法：通过配成完全平方式的方法解方程。步骤：①两边除以二次项系数，使二次项系数为 1；②移项，把常数项移到右边；③两边都加上一次项系数一半的平方；④写成 (x+m)²=n，再开平方。 x²−6x−10=0 → x²−6x=10 → x²−6x+9=19 → (x−3)²=19 → x=3±。 公式法：ax²+bx+c=0（a≠0），当 △=b²−4ac≥0 时，求根公式 x=。步骤：①化一般形式并确定 a、b、c；②计算 △；③代入公式。 2x²−3x−1=0，a=2，b=−3，c=−1，△=9+8=17，x=(3±)/4。 根的判别式：△=b²−4ac。①△>0，有两个不相等的实数根；②△=0，有两个相等的实数根；③△<0，没有实数根。△≥0 ⇔ 方程有实数根。 x²−3x+3=0，△=9−12=−3<0，所以原方程没有实数根。 因式分解法：先把方程一边化为 0，另一边分解成两个一次因式的乘积，令每个因式等于 0，再求解。依据：若 A·B=0，则 A=0 或 B=0。 x²−3x+2=0 → (x−1)(x−2)=0 → x=1 或 x=2。 解法的选择：①形如 (x+m)²=n 用直接开平方法；②二次项系数为 1 且一次项系数为偶数，用配方法；③一边能因式分解（或可变形分解）用因式分解法；④一般情况用公式法（通用）。 (x+3)²=1 直接开平方；x²−5x=0 提公因式 x(x−5)=0。 根与系数的关系（韦达定理，拓展）：若 x₁、x₂ 是 ax²+bx+c=0（a≠0）的两个根，则 x₁+x₂=，x₁·x₂=。前提：a≠0 且 △≥0。 x²−3x−1=0 的两根 x₁、x₂：x₁+x₂=3，x₁x₂=−1。 配完全平方的常用式子：(a+b)²=a²+2ab+b²，(a−b)²=a²−2ab+b²。配方时，补上“一次项系数一半的平方”。 对 x²+6x 配方：一次项系数 6 的一半是 3，加上 3²=9，得 (x+3)²−9。 因式分解常用方法：提公因式、公式法（平方差 a²−b²、完全平方）、十字相乘。 x²−5x+6=(x−2)(x−3)；x²−9=(x+3)(x−3)。 三、经典例题（解法） 例1　用配方法解方程 2x²−3x−1=0，配方正确的是（　） A. (x−)²=　　B. (x−)²=　　C. (x−)²=　　D. (x−)²= 解：两边除以 2，得 x²−()x−1/2=0，配方得 (x−)²=+=。选 A。 例2　等腰三角形的两边长分别是方程 x²−10x+21=0 的两个根，则这个三角形的周长为（　） A. 17 或 13　　B. 13 或 21　　C. 17　　D. 13 解：(x−3)(x−7)=0，两根为 3、7。等腰三角形：三边 3、3、7 不成立（3+3<7）；三边 3、7、7 成立，周长 17。选 C。 例3　关于 x 的方程 (x+5)²=m−1 有两个实数根，则 m 的取值范围是（　） A. m>0　　B. m≥1　　C. m>1　　D. m≠1 解：直接开平方需 m−1≥0，即 m≥1。选 B。 例4　当 a=　　时，代数式 a²−6a−9 有最小值，最小值是　　。 解：a²−6a−9=(a−3)²−18，所以当 a=3 时取最小值 −18。填 a=3，−18。 例5　解方程： （1）(2x+3)²−1=3； 解：(2x+3)²=4，2x+3=±2，解得 x=- 或 x=− 。 （2）2x²+3x−2=0； 解：因式分解 (2x−1)(x+2)=0，解得 x= 或 x=−2。 （3）x²−2x+1=25； 解：(x−1)²=25，x−1=±5，解得 x=6 或 x=−4。 （4）2x²−4x−1=0； 解：a=2，b=−4，c=−1，△=16+8=24，x= = 。 （5）(2x+3)²=3(x+2)²； 解：移项并展开：(2x+3)²−3(x+2)²=0，得 x²−3=0，所以 x=±。 （6）2x(x+3)=6(x+3)； 解：2x(x+3)−6(x+3)=0，(x+3)(2x−6)=0，解得 x=−3 或 x=3。 例6　用配方法解方程 3x²−6x−1=0，写出完整过程。 解：二次项系数化为 1，得 x²−2x− =0；移项，得 x²−2x= ；配方，两边都加上 1²，得 x²−2x+1=+1=，即 (x−1)²=；开平方，得 x−1=±=±，所以 x=1±，即 x=1+ 或 x=1−。 四、强化训练（解法） 1. 用配方法解一元二次方程 x²−6x−10=0 时，下列变形正确的为（　） A. (x+3)²=1　　B. (x−3)²=1　　C. (x+3)²=19　　D. (x−3)²=19 2. 用配方法将二次三项式 a²−4a+5 变形，结果是（　） A. (a−2)²+1　　B. (a+2)²−1　　C. (a+2)²+1　　D. (a−2)²−1 3. 若关于 x 的方程 x²−6x+8=0 的两个实数根恰好是等腰△ABC 的两边长，则△ABC 的周长为（　） A. 8　　B. 10　　C. 12　　D. 8 或 10 4. 代数式 x²−2x+5 的最小值是（　） A. 1　　B. 4　　C. 6　　D. 10 5. 解方程： （1）2(x+3)²−25=0； （2）3x²−6x+3=0； （3）4x²−4x+1=x²+6x+9； （4） x²+6x=0； （5）2x²−4=x(x−2)。 五、根的判别式专题 知识回顾：对于 ax²+bx+c=0（a≠0），△=b²−4ac。△>0 两个不相等的实数根；△=0 两个相等的实数根；△<0 没有实数根；△≥0 有实数根。 例1　关于 x 的一元二次方程 x²−2ax+a²+1=0 的根的情况是（　） A. 没有实数根　　B. 有两个不相等的实数根　　C. 有两个相等的实数根　　D. 与 a 的取值有关 解：△=4a²−4(a²+1)=−4<0，没有实数根。选 A。 例2　关于 x 的一元二次方程 2x²−3x+k=0 有实数根，则实数 k 的取值范围是（　） A. k<9/8　　B. k≤9/8　　C. k≥9/8　　D. k<−9/8 解：△=9−8k≥0，所以 k≤9/8。选 B。 例3　若关于 x 的一元二次方程 (m+1)x²−2x+1=0 有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围是（　） A. m<0 且 m≠−1　　B. m≥0　　C. m≤0 且 m≠−1　　D. m<0 解：m+1≠0 且 △=4−4(m+1)>0，即 m≠−1 且 m<0。选 A。 例4　若关于 x 的方程 mx²−3x+1=0 有实数根，则 m 的取值范围是（　） 解：当 m=0 时，方程化为 −3x+1=0，有实数根 x=，符合；当 m≠0 时，需 △=9−4m≥0，即 m≤。综合得 m≤。 例5　有一边长为 3 的等腰三角形，它的两边长是方程 x²−4x+k=0 的两根，求 k 的值。（开放讨论） 解：两根之和为 4。若 3 为底、两腰是方程的两根且相等，则 △=16−4k=0，k=4，两根为 2，三边 2、2、3 成立；若 3 为腰，则 3 是方程的根，代入得 k=3，另一根为 1，三边 3、3、1 成立。所以 k=3 或 k=4，答案不唯一，依题意理解而定。 例6　关于 x 的一元二次方程 x²−(k+3)x+2k+2=0。 （1）求证：方程总有两个实数根。 证：△=(k+3)²−4(2k+2)=k²+6k+9−8k−8=(k−1)²≥0，所以方程总有两个实数根（k=1 时两个相等）。 （2）若方程有一个根小于 1，求 k 的取值范围。 解：由求根公式 x=，得 x₁=k+1，x₂=2。有一个根小于 1，即 k+1<1，所以 k<0。 强化训练： 1. 若关于 x 的一元二次方程 x(x+1)+ax=0 有两个相等的实数根，则实数 a 的值为（　） A. −1　　B. 1　　C. −2 或 2　　D. −3 或 1 2. 若关于 x 的一元二次方程 kx²+2x+1=0 没有实数根，则 k 的值可以是（　） A. −2　　B. 0　　C. 1　　D. 3 3. 若关于 x 的方程 x²−2kx+k²−k+1=0 有实数根，则实数 k 的取值范围是（　） A. k≤1　　B. k≥1　　C. k≥1 且 k≠0　　D. k≤1 且 k≠0 4. 已知关于 x 的方程 x²+ax+a−2=0，判断其根的情况。 5. 已知关于 x 的方程 x²+(2a+1)x+a²+a=0。 （1）若该方程的一个根为 1，求 a 的值及该方程的另一根； （2）求证：不论 a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根。 6. 若关于 x 的一元二次方程 x²+mx+4=0 有两个相等的实数根，求 m 的值。 六、一元二次方程的根与系数的关系专题 知识回顾：若 x₁、x₂ 是 ax²+bx+c=0（a≠0）的两根，则 x₁+x₂=，x₁·x₂=。常用变形：x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²−2x₁x₂；。 例1　已知 a、b 是方程 x²−2024x+1=0 的两个根，则 a+b 的值为　　。 例2　已知 a、b 是一元二次方程 x²−2x−3=0 的两个根，则 (a+1)(b+1) 的值为　　。 例3　设 a、b 是方程 x²+x−2019=0 的两个实数根，则 a²+2a+b 的值为　　。 例4　若一元二次方程 2x²−4x−1=0 的两根为 m、n，则 3m²−4m+n² 的值为　　。 例5　已知关于 x 的一元二次方程 x²+(2k+3)x+k²=0 有两个不相等的实数根 x₁、x₂。 （1）求 k 的取值范围； （2）若 =−1，求 k 的值。 例6　已知关于 x 的一元二次方程 x²−(m+2)x+m−1=0。 （1）求证：无论 m 取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两个实数根为 x₁、x₂，且 x₁²+x₂²−x₁x₂=9，求 m 的值。 强化训练： 1. 已知方程 x²+x−2=0 的两根分别为 x₁、x₂，则 的值为　　。 2. 已知 x₁、x₂ 是一元二次方程 x²−3x−5=0 的两个实数根，则 (x₁−x₂)²+3x₁x₂ 的值是　　。 3. 若 m、n 是一元二次方程 x²+3x−9=0 的两个根，则 m²+4m+n 的值是（　） A. 4　　B. 5　　C. 6　　D. 12 4. 已知关于 x 的方程 x²+(2k−1)x+k²−1=0 有两个实数根 x₁、x₂。 （1）求实数 k 的取值范围； （2）若 x₁²+x₂²=16+x₁x₂，求实数 k 的值。 5. 已知关于 x 的一元二次方程 x²−px+1=0（p 为常数）有两个不相等的实数根 x₁、x₂。 （1）填空：x₁+x₂=　　，x₁·x₂=　　； （2）求 与 x₁+ 的值； （3）已知 x₁²+x₂²=2p+1，求 p 的值。 6. 已知 x₁、x₂ 是方程 x²−3x−1=0 的两个实数根，则 x₁²x₂+x₁x₂² 的值是　　。 7. 若方程 x²−4x+m=0 的一个根是 1，利用根与系数的关系求 m 的值及另一根。 七、易错点提醒 1. 直接开平方时漏掉“±”号，导致丢根。 2. 配方法忘记先把二次项系数化为 1，或加错“一次项系数一半的平方”。 3. 计算判别式 △=b²−4ac 时，把 b、c 的符号抄错。 4. 因式分解法要把方程化为一边为 0 的形式，避免“约去含有未知数的因式”。 5. 使用韦达定理前要先确认 a≠0 且 △≥0，避免在方程无实数根时滥用。 6. 含参数二次项系数的方程，要同时考虑二次项系数 ≠ 0。 八、课堂训练 （评分规则：第 1—4 题每题 3 分，第 5、6 题每题 8 分，第 7、8 题每题 6 分，共 40 分） 1. 关于 x 的方程 (a−2)−5x+6=0 是一元二次方程，则 a 的值是（　） A. −2　　B. 2　　C. ±2　　D. 4 2. 将方程 x²−6x−4=0 进行配方变形，下列正确的是（　） A. (x−6)²=13　　B. (x−6)²=9　　C. (x−3)²=13　　D. (x−3)²=9 3. 若关于 x 的一元二次方程 (a−1)x²+x−=0 有两个不相等的实数根，则 a 的取值范围是（　） 4. 已知 m、n 是一元二次方程 x²−3x−1=0 的两个实数根，则 + 的值为（　） A. 3　　B. −3　　C. 　　D. − 5. 用适当方法解方程：2x²+4x−1=0。 6. 已知关于 x 的方程 x²−4x+k+1=0 有两个实数根。 （1）求 k 的取值范围； （2）设方程两实数根分别为 x₁、x₂，且 =x₁x₂−1，求实数 k 的值。 7. 用因式分解法解方程：2x²−3x+1=0。 8. 已知关于 x 的方程 x²−2x+a−2=0 有两个相等的实数根，求 a 的值及此时方程的根。 九、参考答案 例1：A；例2：C（17）；例3：B（m≥1）；例4：a=3，最小值 −18；例5：（1）x=- 或 x=− ；（2）x= 或 −2；（3）x=6 或 −4；（4）x=；（5）x=±；（6）x=−3 或 3。 强化训练（解法）：1. D（(x−3)²=19）；2. A（(a−2)²+1）；3. B（周长 10）；4. B（最小值 4）；5.（1）x=−3±；（2）x=1（两个相等的根）；（3）x=− 或 4；（4）x=0 或 −6；（5）x=−1±。 判别式专题：例1 A；例2 B（k≤9/8）；例3 A（m<0 且 m≠−1）；例4 m≤9/4；例5 k=3 或 4（开放讨论）；例6（1）△=(k−1)²≥0；（2）k<0。 判别式强化：1. A（a=−1）；2. 选 D（k=3，需 k>1）；3. B（k≥1）；4. △=(a−2)²+4>0，恒有两个不相等的实数根；5.（1）a=−1 时另一根 0，a=−2 时另一根 2；（2）△=1>0，恒有两个不相等实数根。 根与系数的关系专题：例1 2024；例2 0；例3 2018；例4 6；例5（1）k>− ，（2）k=3；例6（1）△=m²+8>0，（2）m=1 或 −2。 根与系数的关系强化：1. ；2. 14；3. C（6）；4.（1）k≤，（2）k=−2；5.（1）x₁+x₂=p，x₁x₂=1；（2）=p与 x₁+ =p；（3）p=3。 课堂训练：1. A（a=−2）；2. C（(x−3)²=13）；3. a> 且 a≠1；4. B（−3）；5. x=；6.（1）k≤3，（2）k=−5。 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 降次——解一元二次方程 人教版九年级上册 · 第二十五章 一元二次方程 · 25.2 一、学习目标 1. 会用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程，理解“降次”的基本思想。 2. 能根据方程的特点，选择简便、合适的解法。 3. 掌握根的判别式 △=b²−4ac，会判定一元二次方程根的情况，并能解决含参问题。 4. 掌握根与系数的关系（韦达定理），会进行对称式求值。 二、知识点睛 基础知识 实例剖析 直接开平方法：形如 (x+m)²=n（n≥0）的方程，直接开平方得 x+m=±，即 x=−m±；当 n<0 时，方程没有实数根。 (x+5)²=9 → x+5=±3 → x=−2 或 x=−8。 配方法：通过配成完全平方式的方法解方程。步骤：①两边除以二次项系数，使二次项系数为 1；②移项，把常数项移到右边；③两边都加上一次项系数一半的平方；④写成 (x+m)²=n，再开平方。 x²−6x−10=0 → x²−6x=10 → x²−6x+9=19 → (x−3)²=19 → x=3±。 公式法：ax²+bx+c=0（a≠0），当 △=b²−4ac≥0 时，求根公式 x=。步骤：①化一般形式并确定 a、b、c；②计算 △；③代入公式。 2x²−3x−1=0，a=2，b=−3，c=−1，△=9+8=17，x=(3±)/4。 根的判别式：△=b²−4ac。①△>0，有两个不相等的实数根；②△=0，有两个相等的实数根；③△<0，没有实数根。△≥0 ⇔ 方程有实数根。 x²−3x+3=0，△=9−12=−3<0，所以原方程没有实数根。 因式分解法：先把方程一边化为 0，另一边分解成两个一次因式的乘积，令每个因式等于 0，再求解。依据：若 A·B=0，则 A=0 或 B=0。 x²−3x+2=0 → (x−1)(x−2)=0 → x=1 或 x=2。 解法的选择：①形如 (x+m)²=n 用直接开平方法；②二次项系数为 1 且一次项系数为偶数，用配方法；③一边能因式分解（或可变形分解）用因式分解法；④一般情况用公式法（通用）。 (x+3)²=1 直接开平方；x²−5x=0 提公因式 x(x−5)=0。 根与系数的关系（韦达定理，拓展）：若 x₁、x₂ 是 ax²+bx+c=0（a≠0）的两个根，则 x₁+x₂=，x₁·x₂=。前提：a≠0 且 △≥0。 x²−3x−1=0 的两根 x₁、x₂：x₁+x₂=3，x₁x₂=−1。 配完全平方的常用式子：(a+b)²=a²+2ab+b²，(a−b)²=a²−2ab+b²。配方时，补上“一次项系数一半的平方”。 对 x²+6x 配方：一次项系数 6 的一半是 3，加上 3²=9，得 (x+3)²−9。 因式分解常用方法：提公因式、公式法（平方差 a²−b²、完全平方）、十字相乘。 x²−5x+6=(x−2)(x−3)；x²−9=(x+3)(x−3)。 三、经典例题（解法） 例1　用配方法解方程 2x²−3x−1=0，配方正确的是（　） A. (x−)²=　　B. (x−)²=　　C. (x−)²=　　D. (x−)²= 例2　等腰三角形的两边长分别是方程 x²−10x+21=0 的两个根，则这个三角形的周长为（　） A. 17 或 13　　B. 13 或 21　　C. 17　　D. 13 例3　关于 x 的方程 (x+5)²=m−1 有两个实数根，则 m 的取值范围是（　） A. m>0　　B. m≥1　　C. m>1　　D. m≠1 例4　当 a=　　时，代数式 a²−6a−9 有最小值，最小值是　　。 例5　解方程： （1）(2x+3)²−1=3； （2）2x²+3x−2=0； （3）x²−2x+1=25； （4）2x²−4x−1=0； （5）(2x+3)²=3(x+2)²； （6）2x(x+3)=6(x+3)； 例6　用配方法解方程 3x²−6x−1=0，写出完整过程。 四、强化训练（解法） 1. 用配方法解一元二次方程 x²−6x−10=0 时，下列变形正确的为（　） A. (x+3)²=1　　B. (x−3)²=1　　C. (x+3)²=19　　D. (x−3)²=19 2. 用配方法将二次三项式 a²−4a+5 变形，结果是（　） A. (a−2)²+1　　B. (a+2)²−1　　C. (a+2)²+1　　D. (a−2)²−1 3. 若关于 x 的方程 x²−6x+8=0 的两个实数根恰好是等腰△ABC 的两边长，则△ABC 的周长为（　） A. 8　　B. 10　　C. 12　　D. 8 或 10 4. 代数式 x²−2x+5 的最小值是（　） A. 1　　B. 4　　C. 6　　D. 10 5. 解方程： （1）2(x+3)²−25=0； （2）3x²−6x+3=0； （3）4x²−4x+1=x²+6x+9； （4） x²+6x=0； （5）2x²−4=x(x−2)。 五、根的判别式专题 知识回顾：对于 ax²+bx+c=0（a≠0），△=b²−4ac。△>0 两个不相等的实数根；△=0 两个相等的实数根；△<0 没有实数根；△≥0 有实数根。 例1　关于 x 的一元二次方程 x²−2ax+a²+1=0 的根的情况是（　） A. 没有实数根　　B. 有两个不相等的实数根　　C. 有两个相等的实数根　　D. 与 a 的取值有关 例2　关于 x 的一元二次方程 2x²−3x+k=0 有实数根，则实数 k 的取值范围是（　） A. k<9/8　　B. k≤9/8　　C. k≥9/8　　D. k<−9/8 例3　若关于 x 的一元二次方程 (m+1)x²−2x+1=0 有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围是（　） A. m<0 且 m≠−1　　B. m≥0　　C. m≤0 且 m≠−1　　D. m<0 例4　若关于 x 的方程 mx²−3x+1=0 有实数根，则 m 的取值范围是 　 例5　有一边长为 3 的等腰三角形，它的两边长是方程 x²−4x+k=0 的两根，求 k 的值。（开放讨论） 例6　关于 x 的一元二次方程 x²−(k+3)x+2k+2=0。 （1）求证：方程总有两个实数根。 证：△=(k+3)²−4(2k+2)=k²+6k+9−8k−8=(k−1)²≥0，所以方程总有两个实数根（k=1 时两个相等）。 （2） 若方程有一个根小于 1，求 k 的取值范围。 强化训练： 1. 若关于 x 的一元二次方程 x(x+1)+ax=0 有两个相等的实数根，则实数 a 的值为（　） A. −1　　B. 1　　C. −2 或 2　　D. −3 或 1 2. 若关于 x 的一元二次方程 kx²+2x+1=0 没有实数根，则 k 的值可以是（　） A. −2　　B. 0　　C. 1　　D. 3 3. 若关于 x 的方程 x²−2kx+k²−k+1=0 有实数根，则实数 k 的取值范围是（　） A. k≤1　　B. k≥1　　C. k≥1 且 k≠0　　D. k≤1 且 k≠0 4. 已知关于 x 的方程 x²+ax+a−2=0，判断其根的情况。 5. 已知关于 x 的方程 x²+(2a+1)x+a²+a=0。 （1）若该方程的一个根为 1，求 a 的值及该方程的另一根； （2）求证：不论 a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根。 6. 若关于 x 的一元二次方程 x²+mx+4=0 有两个相等的实数根，求 m 的值。 六、一元二次方程的根与系数的关系专题 知识回顾：若 x₁、x₂ 是 ax²+bx+c=0（a≠0）的两根，则 x₁+x₂=，x₁·x₂=。常用变形：x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²−2x₁x₂；。 例1　已知 a、b 是方程 x²−2024x+1=0 的两个根，则 a+b 的值为　　。 例2　已知 a、b 是一元二次方程 x²−2x−3=0 的两个根，则 (a+1)(b+1) 的值为　　。 例3　设 a、b 是方程 x²+x−2019=0 的两个实数根，则 a²+2a+b 的值为　　。 例4　若一元二次方程 2x²−4x−1=0 的两根为 m、n，则 3m²−4m+n² 的值为　　。 例5　已知关于 x 的一元二次方程 x²+(2k+3)x+k²=0 有两个不相等的实数根 x₁、x₂。 （1）求 k 的取值范围； （2）若 =−1，求 k 的值。 例6　已知关于 x 的一元二次方程 x²−(m+2)x+m−1=0。 （1）求证：无论 m 取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两个实数根为 x₁、x₂，且 x₁²+x₂²−x₁x₂=9，求 m 的值。 强化训练： 1. 已知方程 x²+x−2=0 的两根分别为 x₁、x₂，则 的值为　　。 2. 已知 x₁、x₂ 是一元二次方程 x²−3x−5=0 的两个实数根，则 (x₁−x₂)²+3x₁x₂ 的值是　　。 3. 若 m、n 是一元二次方程 x²+3x−9=0 的两个根，则 m²+4m+n 的值是（　） A. 4　　B. 5　　C. 6　　D. 12 4. 已知关于 x 的方程 x²+(2k−1)x+k²−1=0 有两个实数根 x₁、x₂。 （1）求实数 k 的取值范围； （2）若 x₁²+x₂²=16+x₁x₂，求实数 k 的值。 5. 已知关于 x 的一元二次方程 x²−px+1=0（p 为常数）有两个不相等的实数根 x₁、x₂。 （1）填空：x₁+x₂=　　，x₁·x₂=　　； （2）求 与 x₁+ 的值； （3）已知 x₁²+x₂²=2p+1，求 p 的值。 6. 已知 x₁、x₂ 是方程 x²−3x−1=0 的两个实数根，则 x₁²x₂+x₁x₂² 的值是　　。 7. 若方程 x²−4x+m=0 的一个根是 1，利用根与系数的关系求 m 的值及另一根。 七、易错点提醒 1. 直接开平方时漏掉“±”号，导致丢根。 2. 配方法忘记先把二次项系数化为 1，或加错“一次项系数一半的平方”。 3. 计算判别式 △=b²−4ac 时，把 b、c 的符号抄错。 4. 因式分解法要把方程化为一边为 0 的形式，避免“约去含有未知数的因式”。 5. 使用韦达定理前要先确认 a≠0 且 △≥0，避免在方程无实数根时滥用。 6. 含参数二次项系数的方程，要同时考虑二次项系数 ≠ 0。 八、课堂训练 （评分规则：第 1—4 题每题 3 分，第 5、6 题每题 8 分，第 7、8 题每题 6 分，共 40 分） 1. 关于 x 的方程 (a−2)−5x+6=0 是一元二次方程，则 a 的值是（　） A. −2　　B. 2　　C. ±2　　D. 4 2. 将方程 x²−6x−4=0 进行配方变形，下列正确的是（　） A. (x−6)²=13　　B. (x−6)²=9　　C. (x−3)²=13　　D. (x−3)²=9 3. 若关于 x 的一元二次方程 (a−1)x²+x−=0 有两个不相等的实数根，则 a 的取值范围是（　） 4. 已知 m、n 是一元二次方程 x²−3x−1=0 的两个实数根，则 + 的值为（　） A. 3　　B. −3　　C. 　　D. − 5. 用适当方法解方程：2x²+4x−1=0。 6. 已知关于 x 的方程 x²−4x+k+1=0 有两个实数根。 （1）求 k 的取值范围； （2）设方程两实数根分别为 x₁、x₂，且 =x₁x₂−1，求实数 k 的值。 7. 用因式分解法解方程：2x²−3x+1=0。 8. 已知关于 x 的方程 x²−2x+a−2=0 有两个相等的实数根，求 a 的值及此时方程的根。 1 学科网（北京）股份有限公司 $