25.1 一元二次方程的概念教学设计2026—2027学年数学人教版九年级上册

25.1 一元二次方程的概念 教学设计 课题 25.1 一元二次方程的概念 学科 数学 年级 九年级 教材版本 人教版（2024） 课时 第1课时 课型 新授课 教学目标 （1）理解一元二次方程及其相关概念，能够熟练地把一元二次方程化为一般形式。 （2）会应用一元二次方程的解的定义解决有关问题。 （3）在分析、揭示实际问题中的数量关系，并把实际问题转化为数学模型的过程中，感受方程是刻画现实世界中的数量关系的工具，增强对一元二次方程概念的感性认识。 教学重点 通过建立方程，归纳得出一元二次方程的概念、一般形式和一元二次方程的根的概念。 教学难点 通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念。 教学方法 情境教学法、启发式教学、类比迁移、讲练结合 教学准备 多媒体课件、直尺、学案 课后练习 课本P3练习第1—2题，P4习题25.1第1—5题 板书设计 见板书设计部分 教学过程 教学环节 教学内容与教师活动 学生活动 设计意图 一、创设情境， 引入课题 1. 创设情境，引入课题 【探究1】如图，有一块矩形铁皮，长100 cm，宽50 cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出的部分折起，就能制作一个无盖方盒。如果要制作的无盖方盒的底面积为3600 cm²，那么铁皮各角应切去多大的正方形？ 矩形铁皮无盖方盒示意图 分析：设各角切去的正方形铁皮的边长为 cm，则盒底的长为 cm，宽为 cm。根据方盒的底面积为3600 cm²，可列方程。 学生尝试解答，列出方程：。 追问：这个方程还能继续整理吗？ 整理，得 。 【探究2】要组织一次排球邀请赛，赛制为单循环形式（每两支队之间比赛一场）。根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少支球队参赛？ 分析：（1）参赛的每两个队之间都要比赛一场是什么意思？（2）全部比赛场数是多少？ 若设应邀请 个队参赛，每个队要与另外 个队各赛一场，由于每场比赛被两个队重复计算，故全部比赛场数为 。 根据“赛程7天、每天4场”可得方程 ，去分母、整理，得 。 追问：观察这两个整理后的方程，方程中未知数的个数和次数各是多少？它们与一元一次方程有什么不同？ 尝试解答，列出方程 ，整理得 ；列排球赛程方程 ，整理得 ；观察并回答追问 依托教材“无盖方盒”“排球邀请赛”两个现实情境，让学生经历“实际问题→列方程→整理方程”的过程，获得两个典型的一元二次方程实例，淡化列方程难度，重点突出方程特点，感受方程是刻画现实世界数量关系的工具，为归纳概念提供具体素材。 二、类比探究， 归纳概念 2. 类比探究，归纳概念 1. 一元二次方程的定义 观察上面整理得到的两个方程 和 ，学生尝试给这类方程下定义，教师规范并板书： 定义：一般地，如果方程中只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是2，这样的方程叫作一元二次方程。 分析：判定一元二次方程要抓住三个要点——首先它是整式方程，其次未知数的个数是1（一元），再次未知数的最高次数是2（二次），三者缺一不可。 2. 一元二次方程的一般形式 一般形式：，其中 是二次项，a 是二次项系数； 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项。 思考：为什么规定 a≠0？ 若 a=0，则二次项 ax² 消失，方程变为 bx+c=0，是一元一次方程，不再是“二次”方程，所以必须规定 a≠0；而 b、c 可以为 0。 3. 特殊形式 当 时，得 ；当 时，得 ；当 时，得 。它们都是一元二次方程。 4. 一元二次方程的根 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫作一元二次方程的根。 类比：类比一元一次方程的根的概念，可迁移得到一元二次方程的根的概念。 活动：下面哪些数是方程 的根？−4，−3，−2，−1，0，1，2，3，4。 检验：当 x=−3 时，左边=9−15+6=0，右边=0，左边=右边，所以 x=−3 是方程的根；当 x=−2 时，左边=4−10+6=0，右边=0，左边=右边，所以 x=−2 也是方程的根；其余各数代入，左边均不等于 0，都不是方程的根。 归纳：判断一个数是不是方程的根，只需把它代入方程，看左右两边是否相等；方程的根可能不止一个。 观察两方程共同特征，尝试给一元二次方程下定义；认识一般形式 及各项名称，讨论 a≠0 的原因；把 −4～4 逐一代入 检验，找出方程的根 按“观察实例→抽象共性→概括定义→符号表示→关键词辨析→例子巩固”的概念学习一般过程展开，类比一元一次方程迁移获得一元二次方程的定义、一般形式和根的概念，让学生在充分经历探究的基础上掌握概念，突破教学重点。 三、学以致用， 应用新知 3. 学以致用，应用新知 【典例精讲】 例　将方程 化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项。 【答案】 解：去括号，得 ；移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式 。 其中二次项系数为3，一次项系数为−8，常数项为−10。 【讲评要点】 类比一元一次方程的去括号、移项、合并同类项，对原方程进行同解变形，化为一般形式后再写出各项系数；注意一般形式中的“−”是性质符号负号，不是运算符号减号，识别各项系数时必须连同符号一起判断。 【追问】 如果方程中含有 5/x 这样的分式，它还是一元二次方程吗？为什么？ 独立将 去括号、移项、合并同类项，化为 ，指出二次项系数3、一次项系数−8、常数项−10，参与讲评与追问 以例题为载体，示范“去括号→移项→合并同类项→写各项系数”的规范过程，强调“各项系数连同符号判断”，落实将方程化为一般形式并正确指出各项系数这一重点。 四、随堂训练， 巩固新知 4. 随堂训练，巩固新知 （1）在下列方程中，一定是一元二次方程的有（　　） ① ；② ；③ ；④ 。 A．1个　　B．2个　　C．3个　　D．4个 答案：A 解析：①符合定义，是一元二次方程；②中 a 未规定不等于 0，不一定；③化简得 3x−7=0，是一元一次方程；④含有 5/x，是分式方程，不是整式方程。故一定是一元二次方程的只有 1 个。 （2）方程 的解为（　　） A．，　　B．， C．，　　D．， 答案：C 解析：把 x=0 代入，0−0=0，成立；把 x=2 代入，4−4=0，成立，故 x₁=0，x₂=2 都是方程的解。 （3）将方程 化成一元二次方程的一般形式后，其二次项系数是　　，一次项系数是　　。 解析：去括号、移项、合并同类项，得一般形式 ，故二次项系数为3，一次项系数为−7。 答案：3，−7 （4）已知 是关于 x 的一元二次方程，则 a 的值为　　。 解析：根据题意，得 ，且 ，解得 a=−1。 答案：−1 （5）将方程 化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项。 解：去括号，得 ；移项，得 。 其中二次项系数为4，一次项系数为−26，常数项为22。 （6）1275年，我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步。意思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步。设矩形的长为 x 步，列出方程为　　　　。 解析：宽为 步，由“长×宽=面积”得 ，整理得 。 答案： 学生独立完成，教师巡视指导，了解学生掌握情况，并集中订正。 逐题独立完成：判断个数选A；代入检验选C；将 化为 ；由 且 得 a=−1；化简 为 ；按杨辉问题列方程 ；同桌互查、集体订正 通过“判断—选择—填空—解答—数学文化”多层次练习，巩固一元二次方程的判定、一般形式、各项系数与根的概念，加深对概念的理解和运用，对一元二次方程的根的情况形成初步感知，及时反馈学情。 五、课堂小结， 自我完善 5. 课堂小结，自我完善 （1）一元二次方程的概念：只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是2的方程（一元、二次、整式三要点）。 （2）一元二次方程的一般形式 ，能将一个一元二次方程化为一般形式，并正确指出其各项系数。 （3）一元二次方程的根的概念，能判断一个数是否是一个一元二次方程的根（代入—计算—比较）。 思想方法：类比（一元一次方程→一元二次方程）、建模（实际问题→方程模型）、转化（任意形式→一般形式）。 回顾并复述一元二次方程的概念、一般形式 与各项系数、根的概念及检验方法，梳理类比、建模、转化思想 通过小结帮助学生梳理本节课所学内容，强化记忆，注意未知数最高次数为2的同时还要注意二次项系数不能为0，使知识结构化、系统化。 六、布置作业 6. 布置作业 课本P3练习第1—2题，P4习题25.1第1—5题。 要求：先观察并判断方程是否为一元二次方程，再按要求化为一般形式、指出各项系数；注意书写规范，独立完成。 记录作业，明确要求：先判断类型，再化一般形式、指各项系数，规范书写 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率。 板书设计 25.1 一元二次方程的概念 一、定义（三要点） 一元：只含一个未知数 二次：未知数最高次数是2 整式：含未知数的式子都是整式 二、一般形式 ax²（二次项，系数a）｜bx（一次项，系数b）｜c（常数项） 条件：a≠0；b、c 可为 0 三、特殊形式 ax²+c=0（b=0）｜ax²+bx=0（c=0）｜ax²=0（b=c=0） 四、方程的根 使左右两边相等的未知数的值（解） 检验：代入 → 计算 → 比较 副板书 例1 化一般形式 · 随堂训练板演 学生板演区 教学反思 本节课以教材两个实际问题（无盖方盒、排球邀请赛）导入，学生经历“列方程—整理方程—观察特征”的过程，自然引出课题，既分散了列方程的难点，又让学生体会到引入一元二次方程的必要性，增强了对方程与现实生活联系的认识。新授知识层层递进、联系密切，由于学生有一元一次方程的学习经验，学起来较为轻松。 在概念归纳环节，采用类比迁移的方式，由一元一次方程的定义、解、一般形式类比得到一元二次方程的对应概念，降低了认知难度；通过追问辨析和“代入—计算—比较”的检验示范，学生能抓住“一元、二次、整式”三大要点，理解一般形式中 a≠0 的前提条件。 课堂上应充分放手，让学生在分析问题、观察方程找规律、归纳概念的学习过程中发挥主动性，教师适当引导即可。随堂训练采用“判断—选择—填空—解答—数学文化”多层次练习，能较好反馈学情；对含分式（如 5/x）的方程判断仍是易错点，需在后续教学中反复强化，同时关注学生将实际问题转化为方程模型的建模能力培养。 学科网（北京）股份有限公司 $