3.2.1 单调性与最大（小）值（第一课时）课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

3.2.1 单调性与最大（小）值 （第一课时） 函数的单调性 新课导入 作出以下函数图象，观察它们的变化趋势 思考：三个函数形式不同，它们的x变大时，y分别怎么变化？ 新课导入 在初中，我们利用函数图象研究过函数值随自变量的增大而增大（减小）的性质，这一性质叫做函数的单调性. x y O 观察函数f(x)=x2的图象 图象在y轴左侧部分从左到右是下降的，也就是说 当_______时，y随x的增大而_____. 即任取,那么当时，有___________ 这时我们就说函数在区间上是单调递减的. 同理，若任取,那么当时，有___________ 这时我们就说函数在区间上是单调递增的. 减小 新课导入 增函数　一般地，设函数 的定义域为，若对于区间 上任意两个自变量的值 ，当时都有，则称 在区间 上为增函数，也说它在 D 上单调递增. 减函数　若在同一前提下恒有，则称在区间 上为减函数，也说它在 上单调递减. 说明　在区间上为增函数，此时叫作的一个单调递增区间；减函数的情形类似，相应地叫作单调递减区间. 例题讲解 例题讲解 方法归纳 用定义证明函数单调性的方法： ①在定义域内任取x1，x2，且x1<x2 ②做差f(x1)-f(x2)，并通过因式分解、配方等方法，进行变形 ③判断f(x1)-f(x2)的符号，当符号不确定时，进行分类讨论 ④根据定义得出结论 取值 做差 变形 定号 结论 例题讲解 针对训练 针对训练 例题讲解 解： 先画出函数的图象，由于绝对值的作用，把x轴下方的部分翻折到上方， 可得函数＝|x2－4x＋3|的图象，如图所示． 由图可知，函数在(－∞，1)和(2,3]上单调递减， 在[1,2]和(3，＋∞)上单调递增， 故函数的单调递增区间为[1,2]，(3，＋∞)， 单调递减区间为(－∞，1)，(2,3]． 针对训练 针对训练 例题讲解 例4　(1)已知函数. ①若函数在区间(－∞，3]上是增函数，则实数的取值范围是________； ②若函数的单调递增区间是(－∞，3]，则实数的值为________． 例题讲解 例4　(2)若函数在区间[1,2]上不具有单调性，则实数的取值范围为________． 利用函数的单调性求参数范围：其方法是根据函数的单调性，构建含参数的方程(组)或不等式(组)进行求解，或先得到图象的升降情况，再结合图象求解．　　 针对训练 例题讲解 例题讲解 函数单调性的应用 比较函数值的大小：解决此类问题时，应根据函数的性质(如对称性等)将自变量转化到函数的同一个单调区间上，利用单调性比较大小． 解函数不等式：求解此类问题，主要是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域． 例5：(2)已知函数f(x)＝x2＋bx＋c图象的对称轴为直线x＝2，则下列关系式正确的是(　　) A．f(－1)＜f(1)＜f(2) B．f(1)＜f(2)＜f(－1) C．f(2)＜f(1)＜f(－1) D．f(1)＜f(－1)＜f(2) 针对训练 例题讲解 例6　已知函数f(x)＝是R上的增函数，则a的取值范围是(　　) A．－3≤a＜0 B．a≤－2 C．a＜0 D．－3≤a≤－2 例题讲解 例题讲解 例6　已知函数f(x)＝是R上的增函数，则a的取值范围是(　　) A．－3≤a＜0 B．a≤－2 C．a＜0 D．－3≤a≤－2 分段函数的单调性：若一个分段函数在它的定义域内单调递增（递减），则说明该函数图象从左到右必须呈现持续上升（或下降）的规律，即后段函数的图象必须在前段函数图象的上方（或下方）. 例题讲解 课堂总结 单调性定义 增：若x1<x2，则f(x1)<f(x2) 函数的单调性 单调性的证明与判定 单调性的应用 减：若x1<x2，则f(x1)<f(x2) 定义法 图象法 1．(多选)下列四个函数在(－∞，0)上为增函数的是 (　　) A．y＝|x|＋1　　　　　 B．y＝ C．y＝－ D．y＝x＋ 解析： y＝|x|＋1＝－x＋1(x<0)在(－∞，0)上为减函数；y＝＝－1(x<0)在(－∞，0)上既不是增函数也不是减函数；y＝－＝x(x<0)在(－∞，0)上是增函数；y＝x＋＝x－1(x<0)在(－∞，0)上也是增函数．故选C、D. 2．试用函数单调性的定义证明：f(x)＝在(1，＋∞)上单调递减． 证明：f(x)＝2＋，设x1>x2>1， 则f(x1)－f(x2)＝－＝， 因为x1>x2>1， 所以x2－x1<0，x1－1>0，x2－1>0，所以f(x1)<f(x2)， 所以f(x)在(1，＋∞)上是减函数． 例3：做出函数f(x)＝|x2－4x＋3|的图象，并指出它的单调区间 3.写出下列各函数的单调区间： (1)y＝|2x－1|； (2)y＝x2＋2|x|＋3. [解]　(1)y＝|2x－1|＝ 结合图象知函数的单调递增区间为，单调递减区间为. 3.写出下列各函数的单调区间： (1)y＝|2x－1|； (2)y＝x2＋2|x|＋3. (2)y＝－x2＋2|x|＋3＝作出函数的图象如图所示，由图可知，函数的增区间为(－∞，－1)和(0,1)；减区间为(－1,0)和(1，＋∞)． [解析]　(1)f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3＝－(x＋a＋1)2＋(a＋1)2＋3. 因此函数的单调递增区间为(－∞，－a－1]． ①由f(x)在(－∞，3]上是增函数知3≤－a－1， 解得a≤－4，即实数a的取值范围为(－∞，－4]． ②由题意得－a－1＝3，a＝－4. [解析]　 (2)函数f(x)的对称轴方程为x＝－，要使函数f(x)在区间[1,2]上不单调，则1＜－＜2，解得－4＜a＜－2. 4．已知函数f(x)＝ax2－x＋a＋1在(－∞，2)上单调递减，则a的取值范围是(　　) A. B. C．[2，＋∞) D．[0,4] 解析：当a＝0时f(x)＝－x＋1满足条件； 当a≠0时，由题可知a＞0且－＝≥2得0＜a≤. 综上所述，a∈.故选B. $