3.2.1 函数的基本性质（第一·课时：单调性与最大（小）值）课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

3.2 函数的基本性质 第三章 函数的概念与性质 第一课时：单调性与最大（小）值 亮亮图文旗舰店 https://liangliangtuwen.tmall.com 目录 contents 1 函数的单调性 2 单调性与最大（小）值 3 提分训练 课程导入 01.气温场景：某市一天24小时的气温变化图，气温随时间先升后降，曲线直观呈现"上升"与"下降"的变化趋势。 02.股票场景：某股票一年价格走势图，价格有涨有跌，如何用数学语言精确描述"随着时间增加，价格在上升"？ 如何用数学语言描述函数的"上升"与"下降" 新知探究 1. 函数的单调性 ①增函数 设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I： 定义：如果对于区间D内的任意两个自变量的值x1、x2，当x1<x2时， 都有f(x1)<f(x2)， 那么就说函数f(x)在区间D上是增函数。 几何特征：增函数的图象从左到右是上升的。 核心点睛：定义中"任意"二字至关重要，不能用特殊值代替任意值；x1、x2必须在同一单调区间内，且具有大小关系。 新知探究 ②减函数 设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I： 定义：如果对于区间D内的任意两个自变量的值x1、x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)， 那么就说函数f(x)在区间D上是减函数。 几何特征：减函数的图象从左到右是下降的。 核心点睛：增函数与减函数的定义形式对称，关键区别在于f(x1)与f(x2)的不等号方向：增函数同向，减函数反向。 新知探究 2.单调性与单调区间： 如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数在这一区间具有（严格的）单调性。 单调区间：函数y=f(x)是增函数或减函数的区间D，叫做函数的单调区间。 在单调区间上，增函数的图象上升，减函数的图象下降。 函数的单调性是对某个区间而言的，单独的点不讨论单调性 💡 核心点拨 书写单调区间时，端点是否包含取决于定义域；多个单调区间之间用"，"或"和"连接，不能用"∪"符号。 小试牛刀 例1：下列函数中，在(－∞，0]内为增函数的是(　　) A．y＝x2－2 B．y＝ C．y＝1＋2x D．y＝－(x＋2)2 C 小试牛刀 【分析】逐个判断选项函数在(-∞,0]上的增减性，对比选出增函数． 【解析】 解：函数y＝x2－2在(－∞，0]内是减函数； 函数y＝在(－∞，0)内图象是下降的，也不是增函数； y＝1＋2x在R上都是增函数，所以在(－∞，0]上是增函数． 故选：C． 目录 contents 1 函数的单调性 2 单调性与最大（小）值 3 提分训练 新知探究 用定义证明函数f(x)在区间D上的单调性，遵循"取值—作差—变形—定号—结论"五步： 第一步·取值：任取x1、x2∈D，且x1<x2 第二步·作差：计算f(x1)−f(x2) 第三步·变形：通过因式分解、配方、通分等方法，将差式变形为易于判断符号的形式 第四步·定号与结论：判断f(x1)−f(x2)的正负： 若f(x1)−f(x2)<0，则为增函数； 若f(x1)−f(x2)>0，则为减函数； 最后下结论。 3.定义法证明单调性的步骤： 新知探究 4.性质法判断复合函数单调性： ①f(x),g(x)在公共区间上的单调性如下: 函数 y=f(x) y=g(x) y=f(x)+g(x) y=f(x)-g(x) 增减性 增 增 增 不确定 增 减 不确定 增 减 减 减 不确定 减 增 不确定 减 新知探究 4.性质法判断复合函数单调性： ②复合函数单调性的判断依据如下: 由函数u=g(x)与函数y=f(u)复合,得到函数y=f(g(x)),其单调性如下: 函数 u=g(x) y=f(u) y=f(g(x)) 增减性 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 新知探究 5.函数单调性的应用： ①.利用函数的单调性求解最大(小)值 　　若函数f(x)在区间[a,b]上单调递增(减),则函数f(x)在x=a处取得最小(大)值f(a),在x=b处取得最大(小)值f(b). 若函数f(x)在区间[a,b]上单调递减(增),在区间[b,c]上单调递增(减),则函数f(x)在x=b处取得最小(大)值f(b). ②.利用函数的单调性解不等式 　　利用函数的单调性解不等式主要依据函数单调性的定义和性质,将符号“f ”脱掉,列出关于未知量的不等式(组),然后求解,此时注意函数的定义域. 新知探究 ③.根据函数的单调性确定参数的取值范围 (1)利用单调性的定义:在单调区间内任取x1,x2,且x1<x2,由f(x1)-f(x2)<0(或f(x1)-f(x2)>0)恒成立求参数的取值范围. (2)利用具体函数本身所具有的特征:如二次函数的图象被对称轴一分为二,可根据对称轴相对于所给单调区间的位置建立关于参数的不等式(组),解不等式(组),求出参数的取值范围. 注意:①若某个函数在区间[a,b]上是单调的,则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的. ②对于定义域上单调的分段函数求参问题,一般从两方面考虑:一方面考虑每个分段区间上 函数具有相同的单调性,由此列出相关式子;另一方面要考虑分界点处函数值之间的大小关 系,由此列出另外的式子,从而解得参数的取值范围. 小试牛刀 例2、已知函数f(x)=,则以下结论正确的是(　　) A. f(x)在(-1,+∞)上单调递增　　 B. f(x)在(-∞,-1)上单调递减 C. f(x)在(1,+∞)上单调递增　　 D. f(x)在(-1,1)上单调递减. C 小试牛刀 【分析】先对函数变形化简，再逐一判断每个选项区间内函数增减性． 【解析】 解：易得f(x)===1- 画出函数f(x)的图象,如图所示. 所以函数f(x)在(-∞,1)和(1,+∞)上均单调递增,故选C. 目录 contents 1 函数的单调性 2 单调性与最大（小）值 3 提分训练 提分训练 题型1 定义法判断或证明函数单调性 1、对于函数y＝f(x)，在给定区间上有两个数x1，x2，且x1<x2，使f(x1)<f(x2)成立， 则y＝f(x)(　　) A．一定是增函数 B．一定是减函数 C．可能是常数函数 D．单调性不能确定 D 提分训练 题型1 定义法判断或证明函数单调性 【解析】 解：A.∵只存在两个数满足x1<x2,f(x1)<f(x2)，不是区间内任意两个数，∴不一定是增函数， B.∵存在x1<x2,f(x1)<f(x2)，不满足减函数的条件，∴一定不是减函数， C.∵常数函数所有函数值相等，不会出现f(x1)<f(x2)，∴不可能是常数函数， D.∵仅有一组x1,x2满足条件，无法判断区间整体变化趋势，∴单调性不能确定，符合题意 故选：D 提分训练 题型1 定义法判断或证明函数单调性 2、若函数f(x)在区间(a，b)上是增函数，在区间(b，c)上也是增函数，则函数f(x)在区间(a，b)∪(b，c)上(　　) A．必是增函数 B．必是减函数 C．是增函数或减函数 D．无法确定单调性 D 提分训练 题型1 定义法判断或证明函数单调性 【解析】 解：函数在区间(a，b)∪(b，c)上无法确定单调性． 如y＝－在(0，＋∞)上是增函数，在(－∞，0)上也是增函数， 但在(－∞，0)∪(0，＋∞)上并不具有单调性． 故选：D． 提分训练 题型2 函数的最值 3、函数f(x)=x²−4x+7在区间[0,3]上的最大值和最小值分别是（ ） A．7，3 B．7，2 C．3，2 D．以上都不对 A 提分训练 题型2 函数的最值 【解析】 解：f(x)=x²−4x+7=(x−2)²+3，对称轴为x=2 因为2∈[0,3]，开口向上，所以最小值为f(2)=3 比较端点：f(0)=7，f(3)=4， 所以最大值为f(0)=7 综上，最大值为7，最小值为3 故选：A. 提分训练 题型2 函数的最值 4、已知函数f(x)是定义在[−1,1]上的增函数，且f(x−1)<f(1−3x)，求x的取值范围 [0,) 提分训练 题型2 函数的最值 【解析】 解：因为f(x)是定义在[−1,1]上的增函数，且f(x−1)<f(1−3x)， 根据增函数的性质可得：−1≤x−1≤1，−1≤1−3x≤1，且x−1<1−3x 由−1≤x−1≤1得0≤x≤2； 由−1≤1−3x≤1得0≤x≤； 由x−1<1−3x得x< 取交集得0≤x< 所以x的取值范围是[0,) 追求卓越 $