精品解析：北京市京源学校2026-2027学年上学期10月阶段学情检测九年级数学试题

2026—2027学年度第一学期学科诊断 数学 一．选择题（本题共16分，每小题2分）下列各题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 若，则下列各式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用比例的性质得出x，y之间关系进而得出答案． 【详解】A、可以化成：5x=3y，故此选项错误； B、可以化成：xy=15，故此选项错误； C、可以化成：5x=3y，故此选项错误； D、可以化成：3x=5y，故此选项正确. 故选D. 【点睛】此题主要考查了比例的性质，正确掌握比例的基本性质是解题关键． 2. 如图，，若，则的长是（ ） A. 10 B. 5 C. 9 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，根据得出，代入数值计算出，进而可求的长． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 故选D． 3. 把一根长为的铁丝弯成一个长方形，设这个长方形的一边长为，它的面积为，则与之间的函数关系式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查的是根据实际问题列二次函数关系式，根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键． 要求长方形的面积，需求出长方形相邻两边的长度，根据长方形的周长公式可计算出长方形另一边的长为；接下来，根据长方形的面积公式即可得到与的函数关系式． 【详解】解：设这个长方形的一边长为，周长是， 另一边长是， 与的函数关系式为：． 选项、、都不正确，选项正确． 故选：． 4. 将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，得到的抛物线是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线平移的性质，即可求解． 【详解】解：将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，得到的抛物线为： ． 故选：D 【点睛】此题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减． 5. 关于二次函数，下列说法正确的（ ） A. 函数图象开口向下 B. 函数图象的对称轴是：直线 C. 该函数有最大值 D. 当时，随的增大而增大 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握图象开口，对称轴直线，最值，增减性是关键． 根据二次函数顶点式得到图形开口，对称轴直线，最大值，增减性，由此即可求解． 【详解】解：二次函数， ∵，图象开口向上，顶点坐标为，对称轴直线为，最小值为，当时，随的增大而增大， ∴故A、B、C选项错误，不符合题意，只有D选项正确，符合题意； 故选：D ． 6. 如图，在三角形纸片中，，，．沿虚线剪下的涂色部分的三角形与相似的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定，正确利用相似三角形两边比值相等且夹角相等的两三角形相似是解题的关键． 根据相似三角形的判定分别进行判断即可得出答案． 【详解】解：A：∵，对应边， 故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与不相似，故该选项不合题意； B：∵，对应边， 即：，， 故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与相似，故该选项符合题意； C：∵，对应边， 故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与不相似，故该选项不合题意； D：∵，对应边， 故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与不相似，故该选项不合题意． 故选：B． 7. 据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理．如图1，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图2所示的小孔成像实验中，若蜡烛火焰的高度为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则物距是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用，解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题． 过点O作，根据 ，，从而得到，，然后证明，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答． 【详解】 解：过点O作，垂足为E，延长交于点F， ，， ，，， ， ， ∵蜡烛火焰的高度为6cm ，像距为15cm ，蜡烛火焰倒立的像的高度是 9 cm ，物距为 ， 解得：， 物距是． 故选：B． 8. 如图，抛物线交x轴于点和，交y轴于点，抛物线的顶点为D．下列结论正确的是（ ） ①若，则 ②当时，且y的最小值为 ③抛物线上有两点和，若，且，则 ④当时，对于抛物线上两点，若，则 A. ②③ B. ①② C. ③④ D. ②④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，关键是对二次函数性质的掌握．先根据抛物线解析式求出抛物线的对称轴和顶点坐标，当时，点A坐标为，根据对称性可求出点B坐标，从而判断①；根据函数的图象可判断②；根据抛物线的对称轴和二次函数的性质可判断③；当时求出函数解析式，再求出A，B坐标，根据m的取值范围得出的取值范围，从而判断④． 【详解】解：∵， ∴对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，点A坐标为， ∴点B坐标为， ∴，故①错误； ∵，抛物线开口向上，抛物线与x轴的交点为点和， ∴当时，x的取值范围为，且最小值为，故②正确； ∵对称轴为直线，，且， ∴到x轴的距离小于到x轴的距离， ∴，故③错误； 当时，， 令，则， 解得， ∴， 若，则， ∴， ∴，故④正确． ∴正确的有②④， 故选：D． 二．填空题（本题共16分，每小题2分） 9. 已知是关于的二次函数，那么的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题关键．根据二次函数的定义，列出关于的不等式组并求解，即可获得答案． 【详解】解：∵是关于的二次函数， ∴且， 解得． 故答案为：． 10. 如图，中，，，，当________时，． 【答案】10 【解析】 【分析】根据相似三角形的性质得出，即，求出，即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：， ∴当时，． 11. 生活中到处可见黄金分割的美，很多叶片本身都蕴含着黄金分割的比例，在大自然中呈现出优美的样子．如图，点、、在一条直线上，点P是的黄金分割点（），如果长为，那么的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了黄金分割，黄金分割是指把一条线段分割为两部分，使其中较长部分与全长之比等于另一部分与这部分之比，且其比值是一个无理数，用分数表示为是解答本题的关键． 【详解】解：由题知， 点是的黄金分割点（）， ； （）． 故答案为：． 12. 如图，，，则为______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据的比，可得的比，利用面积比是相似比的平方，可得，从而可得答案． 【详解】， ， 相似比为，即， ， ； 故答案为：3． 13. 已知抛物线经过点，．试比较和的大小：______（填“＞”，“＜”或“＝”） 【答案】> 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，比较两个点离对称轴的远近即可得到、的大小关系． 【详解】解：∵ ∴抛物线对称轴为直线，开口向上， ∵ ∴离对称轴较近， ∴． 故答案为：>． 14. 已知二次函数的图象顶点坐标是，那么一次函的图象不经过第______象限． 【答案】二 【解析】 【分析】此题考查二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质，关键是根据抛物线的顶点坐标求得m、n的数值． 根据题意得出，，进一步利用一次函数的性质得出答案即可． 【详解】解：∵的图象的顶点坐标是， ∴， ∴一次函数， ∴图象经过一、三、四象限，不经过第二象限． 故答案为：二． 15. 如图，在平行四边形中，，．过点作直线交所在的直线于点，交所在的直线于点，若，则的长为______． 【答案】5或 【解析】 【分析】如图1，由，得到，列比例式解出的长度，即可求出；当点E在的延长线上时，如图2，还是通过，得到比例式求出的长度，即可求出． 【详解】解：在中，，，， 当点E在边上时，如图1， ∵ ∴， ∴． ∵， ∴， ∴ ∴， ∴； 当点E在的延长线上时，如下图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ ∴， ∴； 综上所述，的长为5或． 16. 抛物线经过原点，且与x轴的正半轴交于点A，顶点C的坐标为． （1）a的值为________． （2）若P为抛物线上一动点，其横坐标为t，作轴，且点Q在一次函数的图象上．当时，的最大值是________． 【答案】 ①. 1 ②. 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数综合，求二次函数解析式，正确求出二次函数解析式是解题的关键。 （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求联立两函数解析式，求出两函数的交点坐标，设，，由函数图象可得，当时，在的上方，则，据此求解即可． 【详解】解：（1）把代入中，得，解得． 故答案为：1． （2）由（1）得抛物线的表达式为， 联立，解得，， 抛物线与直线的交点坐标为，． 设，，由函数图象可得，当时，在的上方， 当时，， 当时，PQ的最大值是． 故答案为：． 三．解答题（本题共68分，第21和27小题7分，其余各小题6分） 17. 如图所示，图中的小方格都是边长为的正方形，与是以点为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上． （1）画出位似中心，并直接写出与的相似比； （2）以位似中心为旋转中心，把按顺时针方向旋转得到，画出． 【答案】（1） 图中点为所求； 与的位似比等于； （2） 如图所示：为所求． 【解析】 【分析】本题主要考查了作位似图形，作旋转图形， （1）连接并延长，连接并延长，两延长线交于点；由，即可得出与的位似比为； （2）分别将点、、绕点O顺时针旋转得到点，然后顺次连接即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 已知抛物线顶点是且经过点． （1）求该抛物线的解析式； （2）求该抛物线与轴的交点坐标． 【答案】（1） （2）该抛物线与轴的交点坐标为 【解析】 【分析】（1）由抛物线顶点是可设抛物线的解析式为，再将代入抛物线解析式求出的值即可； （2）令即可求出该抛物线与轴的交点坐标． 【小问1详解】 解：抛物线顶点是， 设抛物线的解析式为， 抛物线经过点， ， 解得：， 抛物线的解析式为，即； 【小问2详解】 解：令，则， 该抛物线与轴的交点坐标为． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的图象与性质，根据抛物线顶点是设抛物线的解析式为是解题的关键． 19. 已知二次函数． （1）用列表描点法，在如图所示的坐标系中画出这个二次函数的图象； （2）根据图象写出当y为正数时x的取值范围为_______． （3）当时，y的取值范围为_______． 【答案】（1）画出函数图象，如图：     （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质．正确画出二次函数的图象，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． （1）求出表格中的函数值，利用描点法画出函数图象即可； （2）结合图象，找到时，的取值范围即可； （3）图象法，确定函数的最大值和最小值即可得解． 【小问1详解】 解：∵， 列表如下： x … 0 1 2 3 … y … 0 3 4 3 0 … 【小问2详解】解：由图象可知：当为正数时，； 故答案为：； 【小问3详解】 解：由图象，可知：当时，函数值先增大后减小，抛物线关于直线对称， ∴和时的函数值相同，为最小值，， 当时，有最大值为：， ∴； 故答案为：． 20. 如图，中，为上一点，连接，是上的一点，．求证：． 【答案】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴，且， ∴． 【解析】 【分析】由平行四边形的性质可得，可得，，即可证． 【详解】略 21. 如图，抛物线的图象与轴交于、两点，与轴交于点，抛物线的顶点为． （1）求点、、坐标； （2）点是抛物线上一动点，当的面积为时，求所有符合条件的点的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由，可得关于的一元二次方程，解方程，可得点与点的坐标，根据顶点式可得点的坐标； （2）设点的坐标为，由，求出的值，代入方程中解，即可得点的坐标． 【小问1详解】 解：当时，，解得， 由图知，点在轴左侧，点在轴右侧，所以． 由知，点的坐标为． 【小问2详解】 设点的坐标为， 的面积为， ， 又，． 点在抛物线上， ， 解得． 符合条件的点的坐标为． 22. 先阅读下列解题过程，然后解答问题． 解一元二次不等式：． 解：①设，解得：，． 所以，抛物线与轴的交点坐标为和． ②画出二次函数的大致图象（如图一所示）． ③由图象知： 当或时，函数图象位于轴上方，此时，即， 所以，一元二次不等式的解集为：，或． 通过对上述的学习，用类似的方法解一元二次不等式：． 解：①设，解之，得：______， 所以，抛物线与轴的交点坐标为______． ②请在图二中画出二次函数的大致图象． ③由图象知： 当______时，函数图象位于轴下方，此时，即， 所以，一元二次不等式的解集为：______． 【答案】①，；和； ②画出二次函数的大致图象（如图所示）， ③， 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系、二次函数的图象、抛物线与轴的交点坐标、熟练掌握二次函数与不等式的关系是解决问题的关键． ①设，解方程，得出抛物线与轴的交点坐标； ②画出二次函数的大致图象； ③由图象可知：当时函数图象位于轴下方，此时，即，即可得出结果． 【详解】解：①设，解之，得：，， 所以，抛物线与轴的交点坐标为和， 故答案为：，；和； ②略 ③由图象知： 当时，函数图象位于轴下方，此时，即，所以，一元二次不等式的解集为：． 故答案为：，． 23. 已知，中，，，是的中点，交的延长线于点．若． （1）求证：； （2）求的值． 【答案】（1）证明：∵，， ∴，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）利用余角的性质得到，利用直角三角形斜边中线的性质结合等腰三角形的性质可得，进而得到，即可证得结论； （2）根据相似三角形的性质可得，设，表示出即可解决问题． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， 设， 则， ∴， ∴． 24. 小商品市场一经营者将进价为每件80元的某种小商品按每件100元出售，一天可售出100件．后来经过市场调查，发现这种小商品单价每降低1元，其销量可增加10件． （1）该经营者经营这种商品原来一天可获利润________元． （2）设该小商品每件降价x元，该经营者一天可获利润y元． ①若该经营者经营该商品一天要获利润2090元，每件商品应降价多少元？ ②当x取何值时，该经营者所获利润最大？最大利润为多少元？ 【答案】（1）2000 （2）①每件商品应降价1元或9元；②该经营者所获最大利润为2250元 【解析】 【分析】本题综合考查了利用基本数量关系求二次函数解析式，以及二次函数和一元二次方程之间的关系． （1）根据利润单件利润商品的件数求出即可； （2）①根据降价后的单件利润降价后销售的商品的件数，列出方程，求出未知数的值； ②首先得出与的函数关系，利用二次函数最值即可得出答案． 【小问1详解】 解：原来每件利润为元，一天销售件， 原来一天可获利润元 故答案为：． 【小问2详解】 解：①设该商品每件降价元．依题意，得， 即， 解得，． 故每件商品应降价元或元． ②根据题意，得． 当时，元． 故当时，该经营者所获利润最大，且最大利润为元． 25. 根据背景素材，探究解决问题． 测算广告牌的高度 背景素材：如图，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内，反射光线和入射光线分别位于法线两侧；入射角等于反射角，这就是光的反射定律． 问题解决：如图，为测量某广告牌的高度，小军站在点处不动，将镜子移动至处，小军恰好通过镜子看到广告牌顶端，测出；再将镜子移动至处，恰好通过镜子看到广告牌的底端，测出小军的眼睛离地面的距离，，．求这个广告牌的高度． 【答案】 【解析】 【分析】先根据光的反射定律，得出，再证明，结合两个三角形相似的性质，列出相似比代值，作差求解即可得到答案． 【详解】解：由光的反射定律可知，入射角等于反射角， ∴的余角等于的余角，即， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∵， ∴，解得； 同理，由光的反射定律可知，， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵，，， ∴， ， ∴，解得， ∴． 26. 如图，在矩形中，，，动点P以的速度从A点出发，沿向C点移动，同时动点Q以的速度从点C出发，沿向点B移动，设P、Q两点移动的时间为t秒，t为多少时，以P、Q、C为顶点的三角形与相似？ 【答案】或 【解析】 【分析】分类讨论：①，②，逐个分析求解即可． 【详解】解：在矩形中，， ∴， 由题意，有， ∴， ∴①当时，如答图1， ，， ， ，即， 解得秒； ②当时，如答图2， ，， ， ，即， 解得秒， 综上所述，为秒与秒时，与相似． 27. 如图，在中，，，为边上一点，连接，过点作交于点，交于点，连接． （1）求证：． （2）若，求证：． （3）在（2）的条件下，求的值． 【答案】（1） 证明：， ， 又， ， ， ， ； （2） 证明：中，，， ，， ， ，， ， ， ， ， ， 即； （3）的值为． 【解析】 【分析】（1）由，推得，结合即可证明； （2）由等腰直角三角形性质、勾股定理得，，由可推得，，利用两角相等可证，利用相似三角形性质即可证明； （3）由（1）、（2）推得，进而推出、，结合勾股定理得，再利用两角相等分别得到，，根据相似三角形的性质推出，则，由此式结合即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由（1）、（2）得：，，， ，， ， 即， ， ， ， 中，， ， ，， ， ，， ，， ， 又， ， 即， ， ， 即， ， ， 即的值为． 【点睛】本题考查的知识点是相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形性质、勾股定理，比例的性质等知识点，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年度第一学期学科诊断 数学 一．选择题（本题共16分，每小题2分）下列各题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 若，则下列各式成立的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，，若，则的长是（ ） A. 10 B. 5 C. 9 D. 3. 把一根长为的铁丝弯成一个长方形，设这个长方形的一边长为，它的面积为，则与之间的函数关系式为（ ） A. B. C. D. 4. 将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，得到的抛物线是（　　） A. B. C. D. 5. 关于二次函数，下列说法正确的（ ） A. 函数图象开口向下 B. 函数图象的对称轴是：直线 C. 该函数有最大值 D. 当时，随的增大而增大 6. 如图，在三角形纸片中，，，．沿虚线剪下的涂色部分的三角形与相似的是（　　） A. B. C. D. 7. 据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理．如图1，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图2所示的小孔成像实验中，若蜡烛火焰的高度为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则物距是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，抛物线交x轴于点和，交y轴于点，抛物线的顶点为D．下列结论正确的是（ ） ①若，则 ②当时，且y的最小值为 ③抛物线上有两点和，若，且，则 ④当时，对于抛物线上两点，若，则 A. ②③ B. ①② C. ③④ D. ②④ 二．填空题（本题共16分，每小题2分） 9. 已知是关于的二次函数，那么的值为______． 10. 如图，中，，，，当________时，． 11. 生活中到处可见黄金分割的美，很多叶片本身都蕴含着黄金分割的比例，在大自然中呈现出优美的样子．如图，点、、在一条直线上，点P是的黄金分割点（），如果长为，那么的长为______． 12. 如图，，，则为______． 13. 已知抛物线经过点，．试比较和的大小：______（填“＞”，“＜”或“＝”） 14. 已知二次函数的图象顶点坐标是，那么一次函的图象不经过第______象限． 15. 如图，在平行四边形中，，．过点作直线交所在的直线于点，交所在的直线于点，若，则的长为______． 16. 抛物线经过原点，且与x轴的正半轴交于点A，顶点C的坐标为． （1）a的值为________． （2）若P为抛物线上一动点，其横坐标为t，作轴，且点Q在一次函数的图象上．当时，的最大值是________． 三．解答题（本题共68分，第21和27小题7分，其余各小题6分） 17. 如图所示，图中的小方格都是边长为的正方形，与是以点为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上． （1）画出位似中心，并直接写出与的相似比； （2）以位似中心为旋转中心，把按顺时针方向旋转得到，画出． 18. 已知抛物线顶点是且经过点． （1）求该抛物线的解析式； （2）求该抛物线与轴的交点坐标． 19. 已知二次函数． （1）用列表描点法，在如图所示的坐标系中画出这个二次函数的图象； （2）根据图象写出当y为正数时x的取值范围为_______． （3）当时，y的取值范围为_______． 20. 如图，中，为上一点，连接，是上的一点，．求证：． 21. 如图，抛物线的图象与轴交于、两点，与轴交于点，抛物线的顶点为． （1）求点、、坐标； （2）点是抛物线上一动点，当的面积为时，求所有符合条件的点的坐标． 22. 先阅读下列解题过程，然后解答问题． 解一元二次不等式：． 解：①设，解得：，． 所以，抛物线与轴的交点坐标为和． ②画出二次函数的大致图象（如图一所示）． ③由图象知： 当或时，函数图象位于轴上方，此时，即， 所以，一元二次不等式的解集为：，或． 通过对上述的学习，用类似的方法解一元二次不等式：． 解：①设，解之，得：______， 所以，抛物线与轴的交点坐标为______． ②请在图二中画出二次函数的大致图象． ③由图象知： 当______时，函数图象位于轴下方，此时，即， 所以，一元二次不等式的解集为：______． 23. 已知，中，，，是的中点，交的延长线于点．若． （1）求证：； （2）求的值． 24. 小商品市场一经营者将进价为每件80元的某种小商品按每件100元出售，一天可售出100件．后来经过市场调查，发现这种小商品单价每降低1元，其销量可增加10件． （1）该经营者经营这种商品原来一天可获利润________元． （2）设该小商品每件降价x元，该经营者一天可获利润y元． ①若该经营者经营该商品一天要获利润2090元，每件商品应降价多少元？ ②当x取何值时，该经营者所获利润最大？最大利润为多少元？ 25. 根据背景素材，探究解决问题． 测算广告牌的高度 背景素材：如图，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内，反射光线和入射光线分别位于法线两侧；入射角等于反射角，这就是光的反射定律． 问题解决：如图，为测量某广告牌的高度，小军站在点处不动，将镜子移动至处，小军恰好通过镜子看到广告牌顶端，测出；再将镜子移动至处，恰好通过镜子看到广告牌的底端，测出小军的眼睛离地面的距离，，．求这个广告牌的高度． 26. 如图，在矩形中，，，动点P以的速度从A点出发，沿向C点移动，同时动点Q以的速度从点C出发，沿向点B移动，设P、Q两点移动的时间为t秒，t为多少时，以P、Q、C为顶点的三角形与相似？ 27. 如图，在中，，，为边上一点，连接，过点作交于点，交于点，连接． （1）求证：． （2）若，求证：． （3）在（2）的条件下，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $