北京市京源学校2026-2027学年上学期10月阶段学情检测九年级数学试题

2026—2027学年度第一学期学科诊断 数学 姓名：____________班级：____________考号：____________ 一．选择题（本题共16分，每小题2分）下列各题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1．若，则下列各式成立的是（ ） A． B． C． D． 2．如图，，若，，，则的长是（ ） A． B． C． D． 3．把一根长为的铁丝弯成一个长方形，设这个长方形的一边长为，它的面积为，则与之间的函数关系式为（ ） A． B． C． D． 4．将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，得到的抛物线是（ ） A． B． C． D． 5．关于二次函数，下列说法正确的（ ） A．函数图象开口向下 B．函数图象的对称轴是：直线 C．该函数有最大值 D．当时，随的增大而增大 6．如图，在三角形纸片中，，，．沿虚线剪下的涂色部分的三角形与相似的是（ ） A． B． C． D． 7．据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理．如图，墨子和他的学生做了世界上第个小孔成倒像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图所示的小孔成像实验中，若蜡烛火焰的高度为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则物距是（ ） A． B． C． D． 8．如图，抛物线交轴于点和，交轴于点，抛物线的顶点为．下列结论正确的是（ ） ①若，则 ②当时，且的最小值为 ③抛物线上有两点和，若，且，则 ④当时，对于抛物线上两点、，若，则 A．②③ B．①② C．③④ D．②④ 二．填空题（本题共16分，每小题2分） 9．已知是关于的二次函数，那么的值为________． 10．如图，中，，，，当________时，． 11．生活中到处可见黄金分割的美，很多叶片本身都蕴含着黄金分割的比例，在大自然中呈现出优美的样子．如图，点、、在一条直线上，点是的黄金分割点，如果长为，那么的长为________． 12．如图，，，则为________． 13．已知抛物线经过点，．试比较和的大小：________（填“”，“”或“”） 14．已知二次函数的图象顶点坐标是，那么一次函数的图象不经过第________象限． 15．如图，在平行四边形中，，．过点作直线交所在的直线于点，交所在的直线于点，若，则的长为________． 16．抛物线经过原点，且与轴的正半轴交于点，顶点的坐标为． （1）的值为________． （2）若为抛物线上一动点，其横坐标为，作轴，且点在一次函数的图象上．当时，的最大值是________． 三．解答题（本题共68分，第21和27小题7分，其余各小题6分） 17．如图所示，图中的小方格都是边长为的正方形，与是以点为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上． （1）画出位似中心，并直接写出与的相似比为________； （2）以位似中心为旋转中心，把按顺时针方向旋转得到，画出． 18．已知抛物线顶点是且经过点． （1）求该抛物线的解析式； （2）求该抛物线与轴的交点坐标． 19．已知二次函数． （1）用列表描点法，在如图所示的坐标系中画出这个二次函数的图象： （2）根据图象写出当为正数时的取值范围为________． （3）当时，的取值范围为________． 20．如图，中，为上一点，连接，是上的一点，．求证：． 21．如图，抛物线的图象与轴交于的、两点，与轴交于点，抛物线的顶点为． （1）求点、、坐标； （2）点是抛物线上一动点，当的面积为时，求所有符合条件的点的坐标． 22．先阅读下列解题过程，然后解答问题． 解一元二次不等式：． 解：①设，解得，． 所以，抛物线与轴的交点坐标为和． ②画出二次函数的大致图象（如图一所示）． ③由图象知： 当或时，函数图象位于轴上方，此时，即， 所以，一元二次不等式的解集为：，或． 通过对上述的学习，用类似的方法解一元二次不等式：． 解：①设，解之，得________， 所以，抛物线与轴的交点坐标为________． ②请在图二中画出二次函数的大致图象． ③由图象知： 当________时，函数图象位于轴下方，此时，即， 所以，一元二次不等式的解集为：________． 23．已知，中，，，是的中点，交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，求的值． 24．小商品市场一经营者将进价为每件元的某种小商品按每件元出售，一天可售出件．后来经过市场调查，发现这种小商品单价每降低元，其销量可增加件． （1）该经营者经营这种商品原来一天可获利润________元． （2）设该小商品每件降价元，该经营者一天可获利润元． ①若该经营者经营该商品一天要获利润元，每件商品应降价多少元？ ②当________时，该经营者所获利润最大，最大利润为________元． 25．根据背景素材，探究解决问题． 测算广告牌的高度 背景素材：如图，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内，反射光线和入射光线分别位于法线两侧；入射角等于反射角，这就是光的反射定律． 问题解决：如图，为测量某广告牌的高度，小军站在点处不动，将镜子移动至处，小军恰好通过镜子看到广告牌顶端，测出；再将镜子移动至处，恰好通过镜子看到广告牌的底端，测出小军的眼睛离地面的距离，，．求这个广告牌的高度． 26．如图，在矩形中，，，动点以的速度从点出发，沿向点移动，同时动点以的速度从点出发，沿向点移动，设、两点移动的时间为秒，为多少时，以、、为顶点的三角形与相似？ 27．如图，在中，，，为边上一点，连接，过点作交于点，交于点，连接． （1）求证：． （2）若，求证：． （3）在（2）的条件下，的值为________． 学科网（北京）股份有限公司 $