第三章 函数的概念与性质 单元测试卷（一）-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

函数的概念与性质单元测试卷（一） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 班级：________ 姓名：________ 得分：________ 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.集合，，下列不能表示从到的函数的是（   ） A．： B．： C．： D．： 2. 函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 3．下列各组函数中，是同一个函数的有（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 4．函数 的图象大致是（    ） A． B ． C． D． 5．已知定义在上的奇函数满足对于任意的都有．若，则（ ） A． B． C． D．不能确定 6．已知函数是定义域为的奇函数，且，若函数在上单调递增，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 7．已知函数满足，若函数与图象的交点为，，…，，则（ ） A． B． C． D． 8．已知定义在上函数，对任意的且，都有，若函数为奇函数，且，则（ ） A． B． C． D．以上都不对 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知幂函数，其中，则下列说法正确的是（    ） A． B．恒过定点 C．若时， D．若时，关于轴对称 10．已知函数，则（    ） A． B．若，则 C．函数在上单调递减 D．函数在的值域为 11．已知函数，则（    ） A．的值域是 B．若，且，则 C．的图象是中心对称图形 D．存在直线，使得的图象关于直线对称 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．函数，当m取___________时是反比例函数，当m取___________时是幂函数，当m取___________时，幂函数的图像不过原点. 13．函数的单调递减区间为__________． 14．已知函数满足：对任意都有成立，那么实数的取值范围是_______________________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.已知函数是定义在上的奇函数，且当时，． （1）现已画出函数在轴左侧的图象，如图所示，请补全函数的图象； （2）求出函数的解析式； （3）若方程恰有3个不同的解，求的取值范围． 16．已知幂函数为偶函数． (1)求幂函数的解析式，并判断在上的单调性 (2)解不等式． 17．已知二次函数. （1）若是偶函数，求m的值； （2）函数在区间上的最小值记为，求的最大值； （3）若函数在上是单调增函数，求实数m的取值范围. 18. 已知函数是定义在上的偶函数，且，. (1)求的解析式； (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明； (3)对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 19.已知函数的定义域为R，并且满足下列条件：对任意，都有，，当时，. (1)求； (2)证明：为奇函数； (3)解不等式. 2 / 11 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 函数的概念与性质单元测试卷（一）答案 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 班级：________ 姓名：________ 得分：________ 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.集合，，下列不能表示从到的函数的是（   ） A．： B．： C．： D．： 【答案】C 【解】A选项，，当时，， 且对每一个，有唯一确定的与其对应，故A能表示从A到B的函数； B选项，，当时，， 且对每一个，有唯一确定的与其对应，故B能表示从A到B的函数； C选项，，当时，,不是的子集，故C不能表示从A到B的函数； D选项，，当时，， 且对每一个，有唯一确定的与其对应，故D能表示从A到B的函数； 2. 函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解】由题意知，解得且，所以定义域为. 3．下列各组函数中，是同一个函数的有（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【解】对于A项，，，所以，与不为同一个函数，故A项错误； 对于B项，的定义域为R，的定义域为，定义域不一致，所以，与不为同一个函数，故B项错误； 对于C项，的定义域为，的定义域为，且与表达式一直为同一个函数，故C项正确； 对于D项，解，可得或， 所以定义域为.解可得，， 所以，定义域为. 所以，与的定义域不一致，故D项错误. 4．函数 的图象大致是（    ） A． B ． C． D． 【答案】D 【解】由函数，可得函数的定义域为， 且满足， 所以函数为奇函数，其图象关于原点对称，可排除A选项， 又由当时，，可得在上单调递增， 当时，，可得在上单调递减，所以D选项符合题意. 5．已知定义在上的奇函数满足对于任意的都有．若，则（ ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【解】为定义在上的奇函数，， ，是以为周期的周期函数， . 6．已知函数是定义域为的奇函数，且，若函数在上单调递增，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解】是定义域为的奇函数，故， 定义域为， ， 故是偶函数， 又在上单调递增，故在上单调递减， 是定义域为的奇函数，，故， 故， 当时，， 而在上单调递增，故； 其中， 当时，， 而在上单调递减，故； 当时，，满足不等式． 综上，． 7．已知函数满足，若函数与图象的交点为，，…，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解】因为，所以， 所以图象关于直线对称； 的图象如图所示： 由图知的图象关于直线对称； 所以函数与图象的交点也关于直线对称， 设关于对称的点的横坐标为，则， 所以当是偶数时，， 当是奇数时，， 所以， 8．已知定义在上函数，对任意的且，都有，若函数为奇函数，且，则（ ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】B 【解】由题可知，定义在上函数，且， 由于，则在区间上单调递减， 因为函数为奇函数，则， 当时，则，即， 又因为图象关于原点对称，则图象关于点对称， 所以，在上单调递减， 因为 设，则， 则有， 又因为，则. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知幂函数，其中，则下列说法正确的是（    ） A． B．恒过定点 C．若时， D．若时，关于轴对称 【答案】ABD 【解】因为函数是幂函数， 所以，则，故正确； 根据幂函数的图象恒过定点，故正确； 当时，，故函数上单调递增， 则，故错误； 当时，，定义域为，且， 故为偶函数，关于轴对称，故正确. 10．已知函数，则（    ） A． B．若，则 C．函数在上单调递减 D．函数在的值域为 【答案】BD 【解】作出分段函数图象：    对A，，故A错误； 对B，当时，，舍去； 当时，（舍）或，则，故B正确； 对C，当时，， 结合图象可得，在上单调递增，故C错误； 对D，由图象可知当时，，，故在的值域为，D正确． 11．已知函数，则（    ） A．的值域是 B．若，且，则 C．的图象是中心对称图形 D．存在直线，使得的图象关于直线对称 【答案】ACD 【解】对于A项，因为， 所以，的值域是，故A项正确； 对于B项，，，但是，故B项错误； 对于C项，由A知，可知该函数图象可由先向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到.又的图象关于点对称，所以的图象关于点对称，故C正确； 对于D项，因为函数的图象关于直线以及对称. 由，可知该函数图象可由先向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到.所以，的图象关于直线以及直线对称，故D项正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．函数，当m取___________时是反比例函数，当m取___________时是幂函数，当m取___________时，幂函数的图像不过原点. 【答案】2 2 【解】若函数是反比例函数，则 ； 若函数是幂函数，则， 当时，，函数不经过原点， 当时，，函数经过原点. 13．函数的单调递减区间为__________． 【答案】 【解】由，解得， 所以函数的定义域为， 令， 在单调递增， 因为函数在单调递增，在单调递减， 由复合函数的单调性知：在单调递减. 故答案为： 14．已知函数满足：对任意都有成立，那么实数的取值范围是_______________________． 【答案】 【解】，解得. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.已知函数是定义在上的奇函数，且当时，． （1）现已画出函数在轴左侧的图象，如图所示，请补全函数的图象； （2）求出函数的解析式； （3）若方程恰有3个不同的解，求的取值范围． 【答案】（1）详见解答 （2） （3） 【解】函数f(x)的图象如下： （2）因为f(x)为奇函数，则f(-x)=- f(x)当x时， f(-x)=- f(x)= 故f(x) （3）由（1）中图象可知：y=f(x)与y=a的图象恰好有三个不同的交点 16．已知幂函数为偶函数． (1)求幂函数的解析式，并判断在上的单调性 (2)解不等式． 【答案】(1)，在上单调递增，证明见解析；(2) 【解】（1）由题意得，解得或， 当时，，显然不是偶函数， 当时，，定义域为，关于原点对称， 且，所以为偶函数. 在上单调递增 （2）因为为偶函数且在上单调递增，所以在单调递减，所以，即，解得，又因为，解得，且，综上不等式得解集为. 17．已知二次函数. （1）若是偶函数，求m的值； （2）函数在区间上的最小值记为，求的最大值； （3）若函数在上是单调增函数，求实数m的取值范围. 【答案】（1）；（2）最大值为0；（3）或. 【解】（1）是偶函数，， 即，解得： （2），二次函数对称轴为，开口向上 ①若，即，此时函数在区间上单调递增，所以最小值. ②若，即，此时当时，函数最小，最小值. ③若，即，此时函数在区间上单调递减，所以最小值. 综上，作出分段函数的图像如下， 由图可知，的最大值为0. （3）要使函数在上是单调增函数，则在上单调递增且恒非负，或单调递减且恒非正， 或，即或，解得或. 所以实数m的取值范围是：或. 18. 已知函数是定义在上的偶函数，且，. (1)求的解析式； (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明； (3)对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)(2)在上单调递减，证明见解析(3) 【解】（1）由题可得， 经检验为偶函数，所以. （2）在上单调递减， 证明：任取，且，则， 所以 ， 因为，所以，又， 所以，从而，故在上单调递减. （3）由题可知对恒成立， 即对恒成立， 即对恒成立， 因为，所以，所以 所以，所以. 19.已知函数的定义域为R，并且满足下列条件：对任意，都有，，当时，. (1)求； (2)证明：为奇函数； (3)解不等式. 【解】（1）令，则，， 令，，则， ，，. （2）证明：函数的定义域为，则定义域关于原点对称， 对任意，都有， 由（1）知，. 令，则，即， 是奇函数. （3）任取，且，所以 ，则由题意得， 所以， ， ，在上为减函数. 因为， ，解得， 的解集为. 2 / 11 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $