专题12 二次函数与几何图形的综合问题6大题型36题（期中专项训练）九年级数学上学期新教材北师大版

专题12 二次函数与几何图形的综合问题 基础·固本强基 题型1 线段周长问题（重难点） 题型2 面积问题（重难点） 提升·进阶突破 题型3 角度问题（重难点） 题型4 相似三角形问题（重难点） 拔高·压轴破难 题型5 特殊三角形问题（重难点） 题型6 特殊四边形（重难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 线段周长问题（共6小题） 【模型】结合抛物线与几何点坐标，表示线段长度，建立函数，求解线段、周长的最值问题。 【步骤】设出动点横坐标，用解析式表示点坐标，写出线段、周长表达式，结合自变量范围求出对应最值。 【易错】线段长度注意加绝对值，自变量受图形约束，不要忽略取值范围，周长表达式化简时易出现计算符号错误。 1．（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上，过点作轴的垂线，交抛物线另一侧于点，点，在线段上，且关于轴对称，分别过点，作轴的垂线交抛物线于点，，则四边形的周长的最大值为（） A．8 B．10 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的性质、抛物线的对称性及四边形周长的计算，熟练掌握二次函数的表达式求解与最值分析是解题的关键．先求出抛物线表达式，设出点C坐标，进而表示出其他点坐标，得出四边形周长的表达式，再利用二次函数性质求最大值． 【详解】解：由题意知四边形为矩形． 将点代入抛物线， 得， 解得， ∴抛物线的解析式为． 设点的坐标为， 由抛物线的对称性得点的坐标为， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∴，， ∴四边形的周长为， ∴当时，四边形的周长的最大值为10． 2．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图，已知二次函数的图象交x轴于A，B两点（A在B左边），交y轴于C点，点P是直线上方抛物线上一动点（不与A，C重合），则P点到直线距离的最大值是______． 【答案】 【分析】本题是二次函数的综合题，求最大值的问题．作于点H，作轴于点N，交于点M，先求得直线的解析式为，当取最大值时，P点到直线的距离有最大值，设，．用表示的长，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：令，则， 解得或， 令，则， ∴，，，， ∵， ∴， 作于点H，作轴于点N，交于点M， 设直线的解析式为， 将代入得，，解得， ∴直线的解析式为， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 当取最大值时，P点到直线的距离有最大值， 设，． ∴． ∴． ∵， ∴当时，． ∴． 故答案为：． 3．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图，二次函数（是常数，且）的图像与轴相交于点、（点在点的左侧），与轴相交于点，动点在对称轴上，连接、、、．当的最小值等于时，则的值为_____． 【答案】4 【分析】本题主要考查了二次函数综合，勾股定理，可求出点B和点C的坐标，得到线段的长，由对称性可知，则当三点共线时，的值最小，即此时的值最小，最小值为线段的长，由勾股定理求出的长，再根据的最小值等于，可建立关于m的方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， 在中，当时，， 当时，，整理得，即， 解得，， ∴，，， ∴； 由对称性可知， ∴， ∴当三点共线时，的值最小，即此时的值最小，最小值为线段的长， 在中，由勾股定理得， ∵的最小值等于， ∴， 解得， 故答案为：4． 4．（25-26九年级上·辽宁铁岭·阶段检测）如图，矩形中，与交于点O，分别在和上取点M、N，使得．若，则的最小值为________． 【答案】 【分析】本题可先根据矩形性质确定各点坐标相关条件，建立平面直角坐标系，将点M、N坐标用含变量的式子表示，再依据两点间距离公式列出的表达式，最后通过完全平方公式求其最小值． 【详解】解：在矩形中，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 由勾股定理得：， 如图，以B为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立坐标系．过点M作于点G，则， 设， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，取得最小值，最小值为2， 即的最小值为． 故答案为： 5．（26-27九年级上·全国·期中）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，直线经过B，C两点，点A的坐标为，P是第一象限内抛物线上的一个动点，于点Q，设点P的横坐标为n． (1)求抛物线的函数解析式； (2)求线段的最大值，并求此时n的值； (3)在（2）的条件下，当线段取最大值时，若M是x轴正半轴上一动点，N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B，P，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)当时，线段有最大值，最大值为； (3)存在．点M的坐标为、、． 【分析】（1）将代入求出，进而求出直线的函数解析式，得到点B的坐标为，将，代入中求解即可； （2）由题意可知，得到，过点P作轴于点E，交于点F，根据勾股定理求出，根据点P的横坐标为可知，，则，求出解析式，进而根据二次函数的性质作答即可； （3）由（2）得取最大值时，P点坐标为，分两种情况根据平行四边形的性质作答即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴点C的坐标为． 将代入中，得， ∴直线的函数解析式为． 当时，，∴点B的坐标为． 将，代入中， 得解得 ∴抛物线的函数解析式为． （2）解：，， ， ． 如图，过点P作轴于点E，交于点F， ， ． ， ． ∵点P的横坐标为， ，， ， ． ，， ∴当时，线段有最大值，最大值为． （3）解：由（2）得取最大值时，P点坐标为，已知， 设（，M在x轴正半轴），以B、P、M、N为顶点的四边形是平行四边形，分两种情况：为平行四边形的边或为平行四边形的对角线. ①当为平行四边形的边时，如图， 可知， 此时N的纵坐标为4， 代入抛物线， 解得或（对应点P，舍去）， 即． ∴， 由平行四边形对边平行且相等，得 或 即或； ②当为平行四边形的对角线时，如图， 根据平行四边形的性质可知，， 即，， 解得：，， 即 将代入得， 解得​， 当时，， 当时，（舍去）， ∴M点为； 综上所述，∴点M的坐标为、、． 6．（26-27九年级上·辽宁·期中）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点（点在点的左侧），与轴交于点，二次函数的图象经过点． (1)求二次函数的表达式； (2)如图1，直线与两个图象分别交于点P，点，与轴交于点． ①当点在线段上时，求的最大值； ②设点，Q到直线的距离之和为时，求的值． (3)二次函数与二次函数组成新的函数，若该函数图象上有点，，且点与不重合，点的横坐标为，点的横坐标为，点，，之间（含，，两点）的图象对应函数的最大值与最小值均不随的变化而变化，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)① 8；②或5 (3) 或 【分析】（1）求出点B的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）①可证明二次函数和二次函数 的图象都经过点C，则当点在线段上时，点P在点Q上方或者二者点P与点Q重合，根据题意可得，则 ，据此可得答案；②当时，如图所示，连接，，，，可证明 ，则，此时方程无解，不符合题意； 当时，如图所示，过点P和点Q分别作直线的垂线，垂足分别为M、N，设直线与交于点F，可证明 都是等腰直角三角形，则可推出，进而得到，则 ，解得或（舍去）；同理可求出时，； （3）求出二次函数 的顶点坐标为；过顶点E作平行x轴的直线交与点D，求出点D的坐标，分两种情况，①当点H在点D和点O中间，点G在点E和B中间时和当当点G在点D和点O中间，点H在点E和B中间时，根据题意列出关于m的不等式组，求解即可． 【详解】（1）解：在中，当时，， 解得或， ∴， ∵二次函数 的图象经过点， ∴ ， ∴， ∴二次函数 的解析式为． （2）解：①在中，当时，， 在 ，中，当时，， ∴二次函数和二次函数的图象都经过点C， 又∵两个二次函数的图象都经过点B，且二次函数的图象开口向上，二次函数的图象开口向下， ∴当点在线段上时，点P在点Q上方或者二者点P与点Q重合， 由题意得，， ∴ ， ∵，， ∴当时，有最大值，最大值为8； ②由（2）①得， ∴， ∴， 当时，如图所示，连接，，，， ∵， ∴ ， ∵点到直线的距离之和为， ∴， ∴， 由（2）①可得， ∴，此时方程无解，不符合题意； 当时，如图所示，过点P和点Q分别作直线的垂线，垂足分别为M、N，设直线与交于点F， ∵， ∴； ∵直线轴， ∴， ∴，都是等腰直角三角形， ∴ ， ∴ ， ∵点到直线的距离之和为， ∴， ∴， 同理可得 ， ∴ ， 解得或（舍去）； 当时，如图所示，过点P和点Q分别作直线的垂线，垂足分别为M、N，设直线与交于点F， ∵， ∴； ∵直线轴， ∴， ∴ 都是等腰直角三角形， ∴ ， ∴ ， ∵点到直线的距离之和为， ∴， ∴ ， 同理可得 ， ∴ ， 解得（舍去）或； 综上所述，或； （3）解：∵， ∴， 过顶点E作平行x轴的直线交与点D， 则点D的纵坐标为：， 把代入， 解得， 根据题意，分两种情况： ①如下图：当点H在点D和点C之间（包括端点），点G在点E和B之间（包括端点）时，点，，之间（含，，两点）的图象对应函数的最大值与最小值均不随的变化而变化， ， 则需满足：， 解得：； ②如下图：当点G在点D和点O之间（包括端点），点H在点E和B之间（包括端点）时，点，，之间（含，，两点）的图象对应函数的最大值与最小值均不随的变化而变化， 则需满足：， 解得， 综上所述， 或． 题型2 面积问题（共6小题） 【模型】由抛物线上点的坐标，分割图形表示面积，构建函数，求解几何图形面积以及面积最值。 【步骤】写出各点坐标，运用割补法把图形拆分，表示出面积函数，结合自变量范围求解面积值或最值。 【易错】割补拆分图形容易出错，注意坐标转化线段长度，勿忘自变量取值范围，避免直接套用顶点求面积最值。 7．（25-26九年级上·吉林·期中）如图，抛物线与直线相交于点A、B，连接、，则的面积是（   ） A．3 B．4 C．6 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了抛物线和三角形面积，令得一元二次方程，求解可得点A，B的坐标，进一步由三角形面积公式可得结论． 【详解】解：对于 令，得 解得，，， ∴，， ∴    ∴． 故选：C． 8．（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，直线与抛物线交于，两点，点是轴上的一个动点，当的周长最小时，的面积为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的性质、一次函数的性质、轴对称—最短路径问题、勾股定理和等腰直角三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据轴对称，可以求得使得的周长最小时点的坐标，然后求出点到直线的距离和的长度，即可求得的面积． 【详解】解：联立得， 解得或， 点的坐标为，点的坐标为， ， 作点关于轴的对称点，连接与轴的交于，则此时的周长最小， 点的坐标为，点的坐标为， 设直线的函数解析式为， ∴， 解得， 直线的函数解析式为， 当时，， 即点的坐标为， 过点作于点D， 将代入直线中，得， ∵点的坐标为， ∴直线与轴的夹角是， ∴是等腰直角三角形， ∴， 的面积， 故选：A． 9．（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）如图为函数和的图象，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】4 【分析】本题考查二次函数图象的平移、平行四边形的面积等知识，掌握相关知识是解题关键． 连接，根据平移的性质得出阴影部分的面积即可． 【详解】解：各点如图所示，连接， 根据抛物线的对称性和平移可得， 函数的图象是由的图象向上平移一个单位长度得到， ∴, ∴四边形为平行四边形， 由图可知，平行四边形的高为2， ∴阴影部分的面积为， 故答案为：4． 10．（24-25九年级上·福建厦门·期中）如图，抛物线与x轴的另一个交点为A，现将抛物线向右平移个单位长度，所得抛物线与x轴交于C，D，与原抛物线交于点P，设的面积为S，则S可用含m的式子表示为______ 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象与坐标轴交点坐标的求法、平移的性质以及三角形面积的求法等知识，作轴于H，设，求出，把代入，得，再根据，即可求解． 【详解】解：如图，作轴于H， 设， 令，则，解得：，， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴， 把代入，得， ∵， ∴． 故答案为：． 11．（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图，已知抛物线与直线交于，两点，点坐标为，轴于点，，则的面积为__________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数和三角形的面积综合题，作轴于点D，求出，将点A的坐标代入可得出抛物线的解析式，从而得出点B、C的坐标，求出、的长，即可得出答案． 【详解】解：作轴于点D，如下图． ， ． ． 点坐标为， ，． ． 点坐标为． 轴于点， 点横坐标为1． 抛物线与直线交于点，点坐标为， ，解得． 则． 当时，，即点坐标为． ． 轴于点， 轴于点． ． 是的高． 故答案为：． 12．（26-27九年级上·天津·期中）已知抛物线的顶点为P，与x轴相交于点和点，与y轴相交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)写出抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴； (3)计算的面积． 【答案】(1) (2)开口向上，顶点坐标， 对称轴为直线 (3)27 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）将抛物线解析式化为顶点式即可得解； （3）利用三角形面积公式计算即可得解． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为P，与x轴相交于点和点，与y轴相交于点， ∴ ， 解得： ， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵，， ∴抛物线开口向上，顶点坐标，对称轴为直线， （3）解：∵抛物线的顶点为P，与x轴相交于点和点， ∴，， ∴的面积． 提升·进阶突破 题型3 角度问题（共6小题） 【模型】结合抛物线上点坐标，利用相等角构造相似或直角三角形，列方程求解点的坐标。 【步骤】根据角度条件转化边角关系，构造相似或直角三角形，列方程，联立抛物线解析式求出对应点坐标。 【易错】角度转化几何条件容易考虑不全，存在多解情况易漏解，坐标计算符号易错，要检验结果是否满足角度条件。 13．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，已知抛物线的图象与轴交于点和点，与轴交于点．点是抛物线上的一动点，且满足，则点横坐标是______． 【答案】或 【分析】本题考查的是求解二次函数的解析式，二次函数与角度问题. 连接，取，连接交抛物线于，证明，，可得，即，求解直线为，再进一步解答即可；如图，关于直线对称的，证明，可得，同理可得：的解析式为：，记直线与抛物线的交点为，再进一步求解即可. 【详解】解：令，则， 令，则， 解得或， ∴，，， 如图，连接，取，连接交抛物线于， ∵，，， ∴，，而， ∴，， ∴， ∴，即， 设直线为， ∴，解得：， ∴直线为， 联立得， 解得：（舍去）或； 关于直线对称的， ∴，，， ∴， ∴， 同理可得：的解析式为：，记直线与抛物线的交点为， ∴， 联立得， 解得：（舍去）或；， 综上：点横坐标是或. 故答案为：或. 14．（24-25九年级上·山东德州·阶段检测）如图抛物线的图像与轴，轴分别交于A、B、C三点，点在抛物线上，若请你写出点Q的坐标__________． 【答案】 【分析】，令，可求，当时，，即，如图，作于，过作轴于，过作于，设，证明，则，由，可求，则，待定系数法求直线的解析式为，联立，求解作答即可． 【详解】解：， 令， 解得，， ∴， 当时，，即， 如图，作于，过作轴于，过作于，设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为， 联立， 解得，，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数与角度综合，一次函数解析式，全等三角形的判定与性质，二次函数与坐标轴的交点等知识．熟练掌握二次函数与角度综合，一次函数解析式，全等三角形的判定与性质，二次函数与坐标轴的交点是解题的关键． 15．（25-26九年级上·天津河北·期中）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，且点在轴正半轴上，与轴交于点，且，点是抛物线上一动点． (1)求该抛物线的解析式及点的坐标； (2)若点在第四象限时，求当面积最大时点的坐标及该面积的最大值； (3)当点在抛物线上时，且时，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)，最大面积为 (3)或 【分析】本题主要考查了二次函数的综合问题，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）利用点和得出，然后代入得解析式，再求点B． （2）先求出直接的解析式，过点P作交于点E，则，然后根据二次函数的性质即可得出答案． （3）分两种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵，抛物线与轴交于点和点，且点在轴正半轴上， ∴，即， 将代入， 得：， 解得 ∴ 抛物线解析式为． 令，得， 解得， ∴ （2）解：设的解析式为：， 则，解得， 则的解析式为：， 如下图：过点P作交与点E， 则，， ∴， ∴， 当时，S取得最大值为1， ∴． （3）解：当点P在上方时，如下图， 设直线解析式为， ∵ 则， 解得 则直线解析式为， ∵， ∴， 设直线解析式为， ∵， ∴， ∴， 则直线解析式为， 联立解析式得， 解得：，或（舍去） 点P坐标为； 当点P在下方时，如图中点，设、与y轴分别交于点E、F，如图， 则点， ∵ 又∵，， ∴， ∴， ∴ 设直线解析式为， 则，解得 ∴直线解析式为 联立解析式得， 解得或（舍去） ∴ 综上所述：当点P坐标为或． 16．（25-26九年级上·安徽亳州·期中）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，点是直线下方抛物线上的点． (1)求的值； (2)连接，过点作轴于点，交于点，若，求点的坐标； (3)如图，点是直线上方的抛物线上一动点，当时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）利用待定系数法求出值，进而即可求解； （）由二次函数解析式可得，进而得到，即得，再利用待定系数法可得直线的解析式为，设，则，可得，即得到，求出的值即可求解； （）设直线交轴于，可证，得到，得到，即得直线解析式为，联立一次函数和二次函数解析式，求出方程组的解即可求解； 本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的几何应用，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点， ∴， 解得， ∴； （2）解：由（）得抛物线的解析式为， 把代入，得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 设直线的解析式为，把和代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∴， 解得， ∴； （3）解：如图，设直线交轴于， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得直线的解析式为， 由，解得或， ∵点是直线上方的抛物线上一动点， ∴． 17．（25-26九年级上·重庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，为线段上面一个动点． (1)求抛物线及直线的解析式； (2)求周长的最小值，并求出此时点的坐标； (3)在该抛物线上是否存在点使得，如果存在请直接写出所有符合条件的点点的坐标；如果不存在请说明不存在的理由． 【答案】(1)， (2)的周长最小为12， (3)存在，或． 【分析】本题考查二次函数的综合应用，解直角三角形，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）作点关于的对称点，连接，易得四边形为正方形，求出点坐标，进而得到当点在线段上时，的周长最小为的长，求出直线的解析式，联立两条直线的解析式求出点坐标即可； （3）分点在上方和下方，2种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点，与轴交于点， ∴抛物线的解析式为， 把代入，得， 解得， ∴； 设直线的解析式为，把，代入得， ∴； （2）作点关于的对称点，连接， ∵，， ∴， ∴， ∵对称， ∴， ∴， ∴四边形为菱形， ∵， ∴四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∵点在线段上， ∴， ∴的周长为， ∴当点在线段上时，的周长最小为， 设直线的解析式为， 则：，解得， ∴， 联立，解得； 故； （3）存在； 作点关于轴的对称点，连接，作，则：，则：， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴ 当点在直线上方时，作交于点，作轴， 由（2）可知，， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 同法可得，直线的解析式为， 联立，解得或； ∴； 当点在直线得下方时，延长至点，使，连接， ∵， ∴， ∴， ∵，， 由中点坐标公式可知：， 同法可得，直线的解析式为， 联立，解得或； ∴； 综上：或． 18．（25-26九年级下·四川绵阳·期中）如图，已知抛物线过点、，抛物线与x轴的另一交点B在x轴的正半轴上，过点A作直线交抛物线于点D，． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线下方的抛物线上一点，连接交于点E，连接，，设的面积为S，点P的横坐标为t，求S关于t的函数关系式，并求S的最大值及此时点P的坐标； (3)在（2）问的结论下，过点P作于点H，取的中点Q，连接交抛物线于点M，将绕点P逆时针方向旋转至，求N的坐标． 【答案】(1) (2)S关于t的函数关系式为，S的最大值为，此时点P的坐标为 (3) 【分析】（1）由题意可得，由平行线的性质可得，从而得出，结合正切的定义的，即，设抛物线的解析式为，再利用待定系数法计算即可得出结果； （2）先求出直线的解析式为，从而可得直线的解析式为，联立，求得，由题意可得，连接，作轴，交于点，则，表示出，再由，且点在上，得出保持不变，且，最后再由计算即可得出结果； （3）由（2）可得，则，求出点的坐标为，从而可得直线的解析式为，联立，求出，作交于点，由旋转的性质可得：，则为等腰直角三角形，从而可得，过点作直线轴，作直线于点，作直线于点，则，证明，得出，，设，则，由，求出，从而可得，进而求出直线的解析式为，设点，由旋转的性质可得，由勾股定理可得，，则，计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 设抛物线的解析式为， 将、、代入解析式可得， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：设直线的解析式为， 将，代入解析式可得：， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵， ∴设直线的解析式为， 将代入解析式可得， ∴， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：或， ∴， ∵设点P的横坐标为t， ∴， 如图，连接，作轴，交于点，则， ∴， ∵，且点在上， ∴保持不变，且， ∵， ∴ ， ∵， ∴当时，取得最大值为，此时， ∴S关于t的函数关系式为，S的最大值为，此时点P的坐标为； （3）解：由（2）可得， ∵于点H， ∴， ∵为的中点，， ∴点的坐标为，即， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：或， ∴， 如图，作交于点， 由旋转的性质可得：， ∴为等腰直角三角形， ∴， 过点作直线轴，作直线于点，作直线于点，则， ∴， ∴， ∴， ∴，， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴点的横坐标为，点的纵坐标为，即， 设直线的解析式为， 将、代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 设点， 由旋转的性质可得， ∵，， ∴， 整理可得：， 解得：或（不符合题意，舍去）， 当时，， ∴． 题型4 相似三角形问题（共6小题） 【模型】依托抛物线上点坐标得到线段，分情况讨论三角形相似，列比例方程求解动点坐标。 【步骤】求出相关点坐标，写出线段长度，分类讨论相似对应关系，列比例式，联立求解并检验结果。 【易错】相似对应情况较多容易漏解，找错对应边导致比例写错，坐标运算符号易出错，求出坐标后务必回代验证。 19．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）已知过点的抛物线与两坐标轴交于点A，C，如图所示，连接，第一象限内有一动点M在抛物线上运动，过点M作交y轴于点P．当点P在点A上方，且与相似时，点M的坐标为______． 【答案】或 【分析】由两点坐标公式可求，由勾股定理可证，分两种情况讨论，由相似三角形的判定和锐角三角函数可求解． 【详解】解：如图，过点M作于E，    ∵抛物线过点， ∴， ∴， ∴点，抛物线解析式为， 当时，则， ∴， ∴点， ∵点，点，点， ∴， ∵， ∴， 设点， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴点， 当时， ∴， ∴， ∴， ∴点， 综上所述：点M坐标为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，相似三角形的判定，锐角三角函数，勾股定理的逆定理等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 20．（25-26九年级上·安徽安庆·期中）如图，在中，，，，是边的中点，交于点直角绕顶点旋转，使得边于线段交于点，边与线段交于点． (1)判断与是否相似，如果相似，请写出证明过程； (2)设的长为，的面积为，求与的函数关系式，并写出的取值范围； (3)探求，，三者数量关系，并说明理由． 【答案】(1) 解：与相似， ， ， ， ， ， ，， ， ； (2)，； (3) 解：， 证明：由（2）得，，， 由勾股定理得， ， ，， ， ． 【分析】本题考查的是相似三角形知识的综合运用，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，注意函数思想在解题中的灵活运用． （1）根据垂直的定义、同角的余角相等得到，，根据相似三角形的判定定理证明即可； （2）根据相似三角形的性质、直角三角形的性质用表示出的长，根据三角形的面积公式计算即可； （3）根据（2）的结论、结合图形，运用函数思想进行计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：，，， ，， 是边的中点， ，，， ， ， ，即， 解得：， ， ，； （3）略 21．（2025·江苏苏州·中考真题）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，已知B点的坐标为，C点的坐标为．    (1)求抛物线的解析式； (2)图1中，点P为抛物线上的动点，且位于第二象限，过P，B两点作直线l交y轴于点D，交直线于点E．是否存在这样的直线l：以C，D，E为顶点的三角形与相似？若存在，请求出这样的直线l的解析式；若不存在，请说明理由． (3)图2中，点C和点关于抛物线的对称轴对称，点M在抛物线上，且，求M点的横坐标． 【答案】(1) (2) (3)的横坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可； （2）存在直线l ，证明得到，求出A点坐标即可求出D点坐标，再利用待定系数法求直线解析式即可； （3）连接，，作交BC于H，求出，进一步可求出或，分情况讨论，即可求出M的横坐标为或． 【详解】（1）抛物线过两点， ∴，解得：， ∴函数解析式为：； （2）存在直线l使得以C，D，E为顶点的三角形与相似， 当时，以C，D，E为顶点的三角形与相似， ∴， 在和中，， ∴， ∴， 解，得：（不符合题意，舍去），， ∴， ∴， 设过，的解析式为， 则，解得：， ∴直线BD的解析式为：； （3）连接，作交于， ∵抛物线对称轴为直线：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴或， 当，如图：    由点的坐标得，直线解析式为：， 解方程， 解得：或3（舍去）， ∴M的横坐标为； 当，如图：    同理可得，直线解析式为：， 解方程， 解得：（舍去）或， ∴M的横坐标为， 综上所述：的横坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数综合，难度较大，解题的关键是熟练掌握待定系数法求一次函数解析式，求抛物线解析式，掌握勾股定理，正切函数． 22．（23-24九年级下·山东菏泽·期中）如图，抛物线与轴交于，两点，且，与轴交于点，连接，抛物线对称轴为直线，为第三象限内抛物线上一动点，过点作于点，与交于点，设点的横坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)当线段的长度最大时，求点的坐标； (3)抛物线上是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形与相似？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点的坐标为 (3)存在点，使得以点，，为顶点的三角形与相似，此时的值为或或或 【分析】（1）点A、B的坐标分别为，则，求出点A、B的坐标，再运用待定系数法求出抛物线的表达式即可； （2）运用待定系数法求出直线的解析式为，设点，则点，则，即可求解； （3）以点O，D，E为顶点的三角形与相似，则或，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴设则 ∴点A、B的坐标分别为， 又抛物线对称轴为直线， ∴， 解得， ∴点A、B的坐标分别为， 代入，得：， 解得，， ∴抛物线的表达式为； （2）解：对于，当时， ∴， 设直线的解析式为， 把代入得， 解得，， ∴直线的解析式为， ∵点的横坐标为， ∴点，则点， ∴ ∴ ∵ ∴当时，线段的长度最大， 此时，点的坐标为； （3）解：抛物线上存在点，使得以点，，为顶点的三角形与相似，理由如下： ∵点， ∴ ∵， ∴ 当时，， 即， 整理得， 解得，，； 当时，， 即， 整理得， 解得，，； 综上所述，存在点，使得以点，，为顶点的三角形与相似，此时的值为或或或 【点睛】本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 23．（24-25九年级下·四川广安·期中）如图，已知直线与轴、轴分别交于点，抛物线过点，且与轴交于另一个点． (1)求该抛物线的表达式； (2)点是直线下方抛物线上的动点． ①连接与线段交于点，则当为线段中点时，求出点坐标． ②过点作，垂足为，且以点、、为顶点的三角形与相似，请直接写出符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】（1）根据直线求得点的坐标为，点的坐标为，再将其代入抛物线中，利用待定系数法即可求解； （2）①设点的坐标为，其中，根据中点坐标公式得点的坐标为，将其代入，可得，解方程即可求解； ②根据题意求得点的坐标为，可得，，过点作轴，，先证，则，再分两种情况：当时，，当时，，分别讨论即可求解． 【详解】（1）解：对于直线，当时，，即点的坐标为， 当时，，即点的坐标为， 将，代入抛物线中， 可得，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）①设点的坐标为，其中， ∵点为线段中点， ∴点的坐标为， 将其代入，可得：， 整理得：，即， 解得：， 当时，， ∴点的坐标为； ②对于抛物线，令，即，解得：，， ∴点的坐标为， ∴， ∵点的坐标为， ∴， ∵， ∴， 过点作轴，， ∴，则， ∴， ∴，则， 当时，，即：， ∴，即： 而，则，， 将点代入得， 解得：（舍去），则， 即此时，点的坐标为； 当时，，即：， ∴，即： 而，则，， 将点代入得， 解得：（舍去），则， 即此时，点的坐标为； 综上，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合题，涉及用待定系数法求函数的解析式、相似三角形的判定和性质、等知识点，正确作出辅助线是解题的关键．注意此题要运用分类讨论思想． 24．（23-24九年级上·山东青岛·期中）如图所示，矩形，，E为边上一点，．点P从点B出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点Q从点C出发，沿方向匀速运动，速度为．设运动时间为（）．      解答下列问题： (1)当t为何值时，以P、Q、B为顶点的三角形和相似： (2)设五边形的面积为S（），求S与t之间的函数关系式； (3)连接，取中点F，连接，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使?若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)当或时，以P、Q、B为顶点的三角形和相似； (2) (3)存在某一时刻t,使，t的值为． 【分析】（1）分或两种情形，分别利用列出方程即可； （2）作于H，将五边形面积转化为梯形面积减去的面积即可； （3）根据平行线的性质得，再利用直角三角形斜边上中线的性质得，再利用三角函数列出方程即可． 【详解】（1）解：由题意得，，，，，， ∴， 由勾股定理得，， ∵,, ∴,, 当时，， ∴， 解得， 当时， ， ∴， 解得， 综上所述，当或时，以P、Q、B为顶点的三角形和相似； （2）， 如图，作于H，    则， ， ∴， ， ∴； （3）存在某一时刻，使得， 如图，作于M，    同理可得：，，， ∵，， ∴， ∵为的中线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即存在某一时刻t,使，t的值为． 【点睛】本题是相似形综合题，主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上中线的性质，三角函数等知识，利用三角函数表示线段的长是解题的关键． 拔高·压轴破难 题型5 特殊三角形问题（共6小题） 【模型】结合抛物线点坐标，利用等腰、直角三角形特征，列方程，求解满足条件的动点坐标。 【步骤】写出点的坐标，分情况讨论特殊三角形边角条件，列出等式方程，求解并检验点是否符合题意。 【易错】等腰、直角三角形存在多种情况，极易出现漏解；坐标运算符号容易出错，求出结果后要检验图形是否真实存在。 25．（23-24九年级上·吉林长春·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣4ax+4（a＜0）交x轴正半轴于点A，交y轴于点B，线段BC⊥y轴交此抛物线于点D，且CD＝BC，则△ABC的面积为（　　） A．24 B．12 C．6 D．3 【答案】B 【分析】由可得点坐标与对称轴所在直线解析式，从而求出点坐标，再通过求出长度，通过三角形面积底高求解． 【详解】解：抛物线对称轴为直线， 点为， 点坐标为， ． ， ， ． ． 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，坐标与图形，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 26．（23-24九年级上·福建龙岩·期中）如图，抛物线交轴分别于点，交轴正半轴于点，抛物线顶点为．下列结论：①；②；③时，；④当是等腰直角三角形时；⑤点是抛物线对称轴上的一点，若，则周长的最小值为．其中，错误的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数综合，二次函数图象的性质，勾股定理，根据对称性先求出抛物线对称轴为直线，再由对称性计算公式得到，由此可判断①；根据当时，即可判断②；当时，有最大值，最大值，则，据此可判断③；当是等腰直角三角形时，则 ，设，则，解方程求出点C坐标，进而利用待定系数法求出a的值即可判断④；如图，连接交抛物线的对称轴于，连接，由对称性可得，则当三点共线时，最小，即此时的周长最小，利用勾股定理求出的长即可判断⑤． 【详解】解：∵抛物线交轴分别于点， ∴抛物线对称轴为直线， ∴， ∴，即，故①正确； ∵当时，， ∴，故②正确； ∵抛物线开口向下，称轴为直线， ∴时，有最大值，最大值， ∵， ∴， ∴，故③正确， 当是等腰直角三角形时，则 ， 设， ∴， ∴（负值舍去）； ∴， ∴抛物线的解析式为， 把代入得到，故④错误， 如图，连接交抛物线的对称轴于，连接， 由对称性可得， ∴的周长， ∴当三点共线时，最小，即此时的周长最小， ∴的周长最小值， ∵，， ∴周长最小值为，故⑤错误． 故选：C． 27．（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）已知抛物线经过点．若抛物线顶点为，它与轴交于两点，且为等边三角形．请回答下列问题： （1）的值为__________； （2）若抛物线顶点在第三象限，则顶点坐标为__________． 【答案】 【分析】（1）抛物线顶点，与轴交于，，则，由于是等边三角形，顶点到轴距离为，顶点纵坐标绝对值为高，可得，代入，化简得，解得； （2）顶点在第三象限，需满足横坐标，即，纵坐标，当时，顶点横坐标，纵坐标，符合第三象限． 【详解】（1）解：由题意，，　 ∴， 抛物线顶点为， 设， ∵， ∵为等边三角形， ∴ 即 ∵， ∴， ∵，　 ∴， ． （2）解：或， ∵抛物线顶点在第三象限, ∴, 即, 故舍去, 将代入得， ∵抛物线顶点在第三象限， ∴顶点坐标为． 28．（25-26九年级下·陕西·期中）如图，抛物线（b、c为常数）分别与轴交于点、，与轴交于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点是抛物线的顶点，连接，点是抛物线的对称轴上的点，如果是以为腰的等腰三角形，请你求出所有满足条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为或或 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数综合—特殊三角形问题，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）利用待定系数法计算即可得出结果； （2）先求出点的坐标为，点的坐标为，再分两种情况：当时，点位于点位置，过点作于点；当时，点位于点和点位置；分别计算即可得出结果． 【详解】（1）解：分别将、代入中，得： ， 解得， 该抛物线的函数表达式为． （2）解：令，则， 点的坐标为， ， 点的坐标为， ①当时，点位于点位置，过点作于点，如图， 则点的坐标为， ， ， 点的纵坐标为， 点的坐标为； ②当时，点位于点和点位置，如图， ，，， ， 点的纵坐标为，点的纵坐标为， 点的坐标为，点的坐标为， 综上所述，点的坐标为或或． 29．（25-26九年级下·吉林长春·期中）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线（是常数）经过点．点在抛物线上，其横坐标为，过点作轴交直线于点． (1)求该抛物线对应的函数表达式及顶点坐标； (2)求线段的最小值； (3)连接、，为直角三角形时，求的值； (4)点关于点对称点为点，点关于点对称点为点，连接、、，构成四边形，直线分四边形为两部分，两部分的面积分别为，，若，直接写出的取值范围． 【答案】(1) 抛物线函数表达式为，顶点坐标为 (2) (3)或 (4)或 【分析】（1）将点代入抛物线解析式，求得，进而可得到函数解析式，然后将其化为顶点式，进而可求出顶点坐标； （2）设点横坐标为，则，进而可表示出点坐标，然后写出的表达式，再通过二次函数性质即可求解； （3）由图象可知，为直角三角形时，有两种情况，或，分情况解答即可； （4）画出图形，先用表示出，再根据题干给的面积关系分情况讨论，当时，当时，分别列出不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， 将代入抛物线解析式得： 解得， ∴抛物线对应的函数表达式为， 对解析式配方得， 因此顶点的坐标为； （2）解：设点横坐标为，则， ∵轴，交直线于点， ∴， ∴线段的长度为， ∴是关于的开口向上的二次函数，对称轴为直线， 将代入得的最小值为． （3）解：由图象可知，为直角三角形时，有两种情况，或， 当时，， 又∵轴， ∴轴， ∴点纵坐标为， 代入直线解析式得到，解得， 此时，故A点的横坐标为，即； 当时，有， ∵，，， ∴，，， ∴， 化简得到， 解得或， 当时，两点重合，故舍去， ∴， 综上，的值为或． （4）解：∵点关于点对称点为点，点关于点对称点为点， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵，，， ∴点的坐标为，即，点的坐标为， ∴， 设直线与的交点为，过点作，垂足为， ∴点的横坐标为，纵坐标为：， ∴直线分四边形为两部分，分别为以及四边形， ，， 此时， ， ∵直线分四边形为两部分，两部分的面积分别为，，， ∴， 当时，，当时，， ∴，， 当时，有，令，由（2）可知，， ∴， 解得，即， ∴解得到或， 解得到， ∴综上或； 当时，由，令，由（2）可知，， ∴， 解得：，但与矛盾， 此时此种情况不存在； ∴综上，或． 30．（25-26九年级下·湖南长沙·期中）如图1，二次函数与二次函数的图象均过点，，的图象与y轴交于点C． (1)求二次函数的解析式； (2)当时，点P位于第一象限且在二次函数的图象上，直线l过点P且与x轴平行，与二次函数的图象的另一个交点为Q（Q在P左侧），直线l与二次函数的图象的交点为M，N（N在M左侧）．当时，求的面积； (3)如图2，二次函数的图象与一次函数的图象相交于C，H两点，点C在y轴上，点T是二次函数图象的对称轴上的一点． ①若是以A为直角顶点的等腰直角三角形，求二次函数的解析式； ②在①的条件下，点E是上方的抛物线上的一动点，将上方的抛物线沿翻折，点E的对应点为F，连接交于点G，求线段的最大值． 【答案】(1) (2) (3)①② 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）先求出二次函数的解析式为，得到的坐标为，设直线的方程为，令，求出，，推导吹出，列方程求出，则，进而求出直线的解析式为，设直线与的交点为，求出，即可解答； （3）①过点作交二次函数的图象的对称轴于点，设对称轴与轴相交于点，推导出，得到，求出二次函数的解析式为，即可解答； ②先求出直线的解析式为，则，设点，，过点作轴与一次函数的图象交于点，延长交y轴于点P，令直线交x轴于点M，连接，进而推导出为等腰直角三角形，设，得到当时，，根据，即可解答． 【详解】（1）解：把点，代入得 解得 二次函数的解析式为． （2）解：当时，二次函数的解析式为， 令，得, ∴二次函数的图象与轴的交点的坐标为， 设直线的方程为， 令， 整理得， 解得 ， 令， 整理得， 解得， ， 又， ， ， 解得， 把代入，得， 解得，， 点在第一象限， ， 设直线的解析式为，将，分别代入，得 ，解得， ∴直线的解析式为， 设直线与的交点为，将代入， 得， ∴， ， 的面积为． （3）解：①过点作交二次函数的图象的对称轴于点，设对称轴与轴相交于点， ∴， ∴， ∴， ∵是以A为直角顶点的等腰直角三角形， ∴ ∴， ， ， 二次函数的解析式为． ②将代入，得， ∴一次函数的解析式为， 当时， 解得， 则点， 设点，， 过点作轴与一次函数的图象交于点，延长交y轴于点P，令直线交x轴于点M，连接，如图 由翻折，得，， ∴， 将代入，得， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， 设， ， 当时，， ∵， ． 题型6 特殊四边形（共6小题） 【模型】利用抛物线上点坐标，结合平行四边形、菱形等图形性质，分类列方程求动点坐标。 【步骤】分析四边形顶点关系，分情况讨论顶点对应位置，利用对边相等或中点公式，列方程求解动点坐标。 【易错】顶点对应情况多容易漏解，中点公式计算谨防符号出错，求出坐标后检验四点能否构成对应四边形。 31．（23-24九年级上·浙江温州·期中）如图二次函数图象与轴交于，两点（点在轴的负半轴），与轴交于一点，过作轴交图象于点，连结，，若，则点的横坐标为　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】易得四边形为平行四边形，则，求得抛物线的对称轴为直线，利用抛物线的对称性可得，设点的横坐标为，点的横坐标为，于是，再根据根与系数的关系可得，求出即可． 【详解】解：轴，轴， ， ， 又， 四边形为平行四边形， ， 二次函数的对称轴为直线， 根据抛物线的对称性可知，点关于直线的对称点为点， 点的横坐标为2，即， ， 设点的横坐标为，点的横坐标为， ， ， ， 解得：， 点的横坐标为4． 故选：C． 【点睛】本题主要考查平行四边形的判定与性质、二次函数的图象与性质、抛物线与轴的交点坐标，利用平行四边形的性质和抛物线的对称性得出点的横坐标是解题关键． 32．（24-25九年级上·重庆大足·期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形的一边在x轴上，顶点B在x轴正半轴上．若抛物线经过点A、B，则点C的坐标为________． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、菱形的性质，根据抛物线经过点A、B，求出A、B点坐标，长，由勾股定理得出长，得点D的坐标，从而可以求得点C的坐标． 【详解】解：对于 ，令，得， 解得，， ∴, ∴ ∵四边形是菱形， ∴;; ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 33．（25-26九年级上·甘肃陇南·期中）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)在平面内是否存在点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请求出所有满足条件的点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或或 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，平行四边形的性质，二次函数与平行四边形的综合，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据抛物线与轴交于两点，则，，即可得出； （2）理解题意，结合点为顶点的四边形是平行四边形，进行分类讨论，运用中点公式进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于两点， ∴对称轴， ∴， ∴把代入， ∴， 即抛物线的表达式为； （2）解：存在点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形，理由如下： ∵、，，且点为顶点的四边形是平行四边形， ∴当为对角线时， 则， ∴， 解得， ∴点的坐标为； ∴当为对角线时， 则， ∴， 解得， ∴点的坐标为； ∴当为对角线时， 则， ∴， 解得， ∴点的坐标为； 综上所述：点的坐标为或或． 34．（25-26九年级下·上海嘉定·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，抛物线与直线交于、两点，顶点的坐标是，过点作轴，交抛物线于点D，连接． (1)求该抛物线的表达式； (2)求的正切值； (3)点为抛物线上一点，当以、、、为顶点的四边形是梯形时，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为或或 【分析】（1）先求出，设抛物线的解析式为，将代入解析式计算即可得出结果； （2）先求出，，作于点，则，求出，，最后由正切的定义计算即可得出结果； （3）先求出直线的解析式为，再结合梯形的性质，分三种情况：当时；当时；当时，分别计算即可得出结果． 【详解】（1）解：在中，当时，，即， ∵抛物线顶点的坐标是， ∴设抛物线的解析式为， 将代入解析式可得， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵过点作轴， ∴当时，， 解得：，， ∴， 联立， 解得：或， ∴， 如图，作于点， 则， ∴，， ∴； （3）解：设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵以、、、为顶点的四边形是梯形， ∴当时，设直线的解析式为， 将代入解析式可得， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：或， ∴此时点的坐标为； 当时，此时点的纵坐标为， 在中，令，则， 解得：或， ∴此时点的坐标为； 当时，设直线的解析式为， 将代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：或， ∴此时点的坐标为； 综上所述：点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了求一次函数的解析式，求二次函数的解析式，正切的定义，二次函数综合—特殊四边形问题，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 35．（25-26九年级上·广东江门·期中）如图，抛物线经过坐标轴上三点，直线过点和点． (1)求抛物线的解析式； (2)P是直线下方抛物线上一动点，连接，求面积的最大值及此时点的坐标： (3)R是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点S，使得以B，C，R，S为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有满足条件的点坐标：若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)或或 【分析】（1）待定系数法求函数解析式即可； （2）作轴交于点，求出直线的解析式，将的面积转化为二次函数求最值即可； （3）分分别为平行四边形的对角线，进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过坐标轴上三点， ∴设抛物线的解析式为， 把代入，得， 解得， ∴； （2）解：∵， ∴设直线的解析式为，把代入，得， 解得， ∴， 作轴交于点，设，则， ∴， ∴， ∴当时，的面积最大，为，此时． （3）解：存在， ∵， ∴对称轴为直线， 设，， ∵，当以B，C，R，S为顶点的四边形是平行四边形时， ①当为对角线时，，解得， ∴， ∴； ②当为对角线时，，解得， ∴， ∴； ③当为对角线时，，解得， ∴， ∴； 综上：或或． 36．（25-26九年级上·重庆开州·期中）如图，抛物线（）与轴交于点、，与轴交于点．    (1)求抛物线的解析式； (2)连接，点是直线上方抛物线上一动点，当四边形的面积最大时，在轴上是否存在一点，使得的值最大，请求出此时的坐标及的最大值； (3)在（2）的条件下，将原抛物线沿射线方向平移个单位后得到新抛物线，是新抛物线对称轴上一点，是新抛物线上一点，使得、、、四点构成的四边形是平行四边形，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)在轴上存在一点，使得的值最大，此时的坐标为，的最大值为； (3)存在，当、、、四点构成的四边形是平行四边形时，点的坐标为或或 【分析】（1）利用抛物线与轴交于点、代入即可求解抛物线的解析式； （2）首先分析当四边形的面积最大，且的面积为定值，即当的面积最大时，四边形的面积最大，进而推导当最长时，的面积最大，即四边形的面积最大，即可求出点P的坐标，当点P固定后，发现当点P，C，Q三点共线时，为最大值，即利用两点间的距离求解即可； （3）首先分析以、、、四点构成的四边形是平行四边形，存在以为边和以为对角线的两种情况，进而进行分类讨论，发现以为对角线的情况不符合题意，进而只需计算，且的情况即可，首先根据平移求出新抛物线的解析式，即可设，进而利用全等三角形求出点N的坐标，再结合（2）中的长度求解点M的坐标即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点、， ∴，解得：， ∴； （2）解：如图，过点P作轴交于点E，    ∵， ∴， 设直线的解析式为，将，代入，易得：， 设，则， ∵四边形的面积最大，且的面积为定值， ∴当的面积最大时，四边形的面积最大， ∵， ∴当最长时，的面积最大，即四边形的面积最大， ∵， 当时，最长，此时， ∴此时轴上存在一点，使得的值最大， ∵在中，， ∴当点P，C，Q三点共线时，为最大值， ∴， ∴在轴上存在一点，使得的值最大，此时的坐标为，的最大值为； （3）解：将原抛物线沿射线方向平移个单位后得到新抛物线， ∴原抛物线向上平移两个单位长度，向右平移两个单位长度即可得到新抛物线， ∴， ∴的对称轴为直线， ∵，，设，， 以、为边：则且， ∴，即，解得， ∴， 又， ∴， ∴点的坐标为； 以、为边： ∴，即，解得， ∴， ∴， ∴点的坐标为； 以为对角线时： ，同理可得点的坐标为， 综上所述：当、、、四点构成的四边形是平行四边形时，点的坐标为或或． $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题12二次函数与几何图形的综合问题 题型图谱导航总览 题型1线段周长问题（重难点） 基础固本强基 题型2面积问题（重难点） 题型3角度问题（重难点） 提升进阶突破 题型4相似三角形问题（重难点） 题型5特殊三角形问题（重难点） 拔高压轴破难 题型6特殊四边形（重难点） 题型精练·靶向突破 基础固本强基 题型1线段周长问题（共6小题） 【模型】结合抛物线与几何点坐标，表示线段长度，建立函数，求解线段、周长的最值问题。 【步骤】设出动点横坐标，用解析式表示点坐标，写出线段、周长表达式，结合自变量范围求出对应最 值。 【易错】线段长度注意加绝对值，自变量受图形约束，不要忽略取值范围，周长表达式化简时易出现计 算符号错误。 A2,4) y=ax2(a≠0) 1. (25-26九年级上·安徽芜湖期中)如图，在平面直角坐标系中，点 在抛物线 过点A作y轴的垂线，交抛物线另一侧于点B,点C,D在线段AB上，且关于y轴对称，分别过点C, D作x轴的垂线交抛物线于点E,F,则四边形CDFE的周长的最大值为() 1/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.8 B.10 c.25+2 D.8v3-8 2。(25-26九年级上江苏苏州期中)如图，已知二次函数”=--5x+6 的图象交x轴于A,B两点(A 在B左边)，交y轴于C点，点P是直线AC上方抛物线上一动点（不与A,C重合），则P点到直线AC 距离的最大值是 3。(2526九年级上苏苏州期中)如图。二次面致=+-小x+m(m是宿数。且m0》的 图像与x轴相交于点A、B(点A在点B的左侧)，与y轴相交于点C,动点P在对称轴I上，连接AC、 45. BC、PA、PC.当PA+PC的最小值等于45时，则m的值为 4.(25-26九年级上·辽宁铁岭阶段检测)如图，矩形ABCD中，AC与BD交于点O,分别在OD和CB上 取点M、N,使得OM=CN.若AC=2AB=4,则MN的最小值为 2/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D M y=ax2+bx+4 5. (26-27九年级上全国期中)如图，抛物线 与x轴交于A,B两点（点A在点B的左 侧)，与y轴交于点C,直线y=-x+k经过B,C两点，点A的坐标为(-2，O),P是第一象限内抛物线上 的一个动点，P吧1BC于点Q,设点P的横坐标为n 备用图 (1)求抛物线的函数解析式： (2)求线段PQ的最大值，并求此时n的值： (3)在(2)的条件下，当线段PQ取最大值时，若M是x轴正半轴上一动点，N是抛物线上一动点，试判断 是否存在这样的点M,使得以点B,P,M,N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的 坐标；若不存在，请说明理由. 6,(26-27九年级上辽宁期中)如图，在平面直角坐标系中，二次函数乃=-3x-46 的图象与轴交于 点么B(点4在点8的左创)，与'轴交于点C,=次函数-+-4的图象经过点B 3/19 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 备用图 (1)求二次函数的表达式： (2)如图1，直线x=t与两个图象分别交于点P,点Q,与x轴交于点E. ①当点E在线段OB上时，求PQ的最大值： BC 5v2 ②设点P,Q到直线BC的距离之和为5V2时，求'的值. 6)二次函数”=-3x-4(x≤0)与二次函数为=-+-4(0<x<4 组成新的函数片，若该函数图象上 有点G,H,且点G与H不重合，点G的横坐标为m,点H的横坐标为-m+2.5,点G,H,之间（含 G,H,两点)的图象对应函数的最大值与最小值均不随m的变化而变化，直接写出m的取值范围， 题型2面积问题（共6小题） 【模型】由抛物线上点的坐标，分割图形表示面积，构建函数，求解几何图形面积以及面积最值。 【步骤】写出各点坐标，运用割补法把图形拆分，表示出面积函数，结合自变量范围求解面积值或最 值。 【易错】割补拆分图形容易出错，注意坐标转化线段长度，勿忘自变量取值范围，避免直接套用顶点求 面积最值。 7.(25-26九年级上吉林期中)如图，抛物线 y=x2-2x y=3 与直线相交于点A、B,连接 OA OB 则△OAB的面积是() 4/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B A.3 B.4 C.6 D.12 5 8(2526九年级上内蒙古呼和浩特期中)如图，直线y=x与抛物线2-2x+) 2 +2交于A:B两点， 点P是y轴上的一个动点，当△PAB的周长最小时，△PAB的面积为() 10 12 6 A.3 B.5 C.3 D.5 12 上安徽芜湖期中)如图为函数y=2十+1和y,的图象，则图 2+1 6 -x -3-2-101234 10,(24-25九年级上福建厦门期中)如图，抛物线'=-2r+4 与x轴的另一个交点为A,现将抛物线 向右平移m(m>2 个单位长度，所得抛物线与x轴交于C,D,与原抛物线交于点P,设△P℃D的面积为 5/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 S,则S可用含m的式子表示为 山.(2425九年级上浙江温州期中)如图，已知抛物线'= “与直线1B交于A,B两点，点A坐标为 (-2,3),BC1x轴于点C,∠1C0=45°，则△1BC的面积为 12.(26-27九年级上天津期中)已知抛物线'=+伽+C的顶点为P,与x轴相交于点 -1,0和点 B(5,0) C(0,-5) 与y轴相交于点 (1)求抛物线的解析式： (2)写出抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴： (3)计算△PAB的面积. 提升进阶突破 题型3角度问题（共6小题） 【模型】结合抛物线上点坐标，利用相等角构造相似或直角三角形，列方程求解点的坐标。 6/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【步骤】根据角度条件转化边角关系，构造相似或直角三角形，列方程，联立抛物线解析式求出对应点 坐标。 【易错】角度转化几何条件容易考虑不全，存在多解情况易漏解，坐标计算符号易错，要检验结果是否 满足角度条件。 y=-x2+4x-3 13.(25-26九年级上·江苏苏州阶段检测)如图，已知抛物线 的图象与轴交于点1和点B, 与y轴交于点C.点P是抛物线上的一动点，且满足∠PBC=45°-∠AC0,则点P横坐标是 14. （24-25九年级上山东德州阶段检测)如图抛物线”-r+4r- 的图像与轴，’轴分别交于A、 B、C三点，点Q在抛物线上，若∠ACQ=45°请你写出点Q的坐标 459 15.(25-,26九年级上天津河北期中)在平面直角坐标系中，抛物线)=r+c+C与产轴交于点 (-1,0) 和点B,且点B在x轴正半轴上，与y轴交于点C,且OC=2,点P是抛物线上一动点. (1)求该抛物线的解析式及点B的坐标： (2)若点P在第四象限时，求当△BCP面积最大时点P的坐标及该面积的最大值： (3)当点P在抛物线上时，且∠PBA=∠BAC时，求点P的坐标. 7/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 16。(2526九年级上安微毫州期中)如图，抛物线”=+x-3与”轴交于点 A(4,0),B(1,0) 与 轴交于点C,点P是直线AC下方抛物线上的点 图1 图2 (1)求a+b的值： (②)连接ABCP,BC,过点p作PF⊥x轴于点F,交AC于点E,若S.Mc= 号，求点p的标 (3)如图2，点M是直线AC上方的抛物线上一动点，当∠MAO=∠OAC时，求点M的坐标. 17.(25-26九年级上重庆：期中)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=心+x+C与*轴交于1(-2,0） B(6,0) 两点，与'轴交于 C(0,6),D为线段BC上面-个动点. (1)求抛物线及直线BC的解析式； (2)求△AOD周长的最小值，并求出此时D点的坐标： y=ax+bx+ (3)在该抛物线 上是否存在点P使得∠PCB=2∠0C ，如果存在请直接写出所有符合条件的 点P点的坐标：如果不存在请说明不存在的理由。 18.(25-26九年级下·四川绵阳期中)如图，已知抛物线过点 A(-2,0）C(0,-4) 抛物线与x轴的另一 8/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 交点B在x轴的正半轴上，过点A作直线AD‖BC交抛物线于点D,an∠DAB=? 3 (1)求抛物线的解析式： (2)点P是直线BC下方的抛物线上一点，连接DP交BC于点E,连接AE,AP,设△APE的面积为S,点 P的横坐标为t,求S关于t的函数关系式，并求S的最大值及此时点P的坐标； (3)在(2)问的结论下，过点P作PH⊥x于点H取AH的中点Q,连接PQ交抛物线于点M,将PM绕点 P逆时针方向旋转45°至PW,求N的坐标. 题型4相似三角形问题（共6小题） 【模型】依托抛物线上点坐标得到线段，分情况讨论三角形相似，列比例方程求解动点坐标。 【步骤】求出相关点坐标，写出线段长度，分类讨论相似对应关系，列比例式，联立求解并检验结果。 【易错】相似对应情况较多容易漏解，找错对应边导致比例写错，坐标运算符号易出错，求出坐标后务 必回代验证。 19. (23-24九年级上浙江宁波期中)已知过点B(4,)的抛物线y=2-2x+C与两坐标轴交于点4， C,如图所示，连接AC,BC,AB,第一象限内有一动点M在抛物线上运动，过点M作AM⊥MP交y轴于 点P.当点P在点A上方，且△AMP与△ABC相似时，点M的坐标为一 9/19 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 20.(25-26九年级上安徽安庆·期中)如图， Rt△ABC中，∠BAC=90,△MBC=60°，AB=45.M 是BC边的中点，MN⊥BC交AC于点N.直角∠PMO绕顶点M旋转，使得边MP于线段BA交于点P,边 MO AC 与线段 交于点. 0 ()判断△PBM与△QNM是否相似，如果相似，请写出证明过程； (②)设BP的长为x,R1△AP吧的面积为S,求S与x的函数关系式，并写出x的取值范围： )探求BP.POCQ 三者数量关系，并说明理由. 21.(2025江苏苏州中考真题)如图，抛物线'=-+r+ 与x轴交于A,B两点，与y轴交于C点， 3,0) 已知B点的坐标为 C点的坐标为03列 y y个 C C D E B B 图1 图2 10/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求抛物线的解析式： (2)图1中，点P为抛物线上的动点，且位于第二象限，过P,B两点作直线I交y轴于点D,交直线AC于 点E.是否存在这样的直线1：以C,D,E为顶点的三角形与△BOD相似？若存在，请求出这样的直线1 的解析式；若不存在，请说明理由 (3)图2中，点C和点C'关于抛物线的对称轴对称，点M在抛物线上，且∠MBA=∠CBC',求M点的横坐 标. 22.(23-24九年级下·山东菏泽期中)如图，抛物线 =--3与产销交于4，B两点，且OB=301 与y轴交于点C,连接AC,抛物线对称轴为直线=-1，D为第三象限内抛物线上一动点，过点D作 DE⊥OB于点E,与BC交于点F,设点D的横坐标为m. (1)求抛物线的表达式： (②)当线段DF的长度最大时，求D点的坐标： (3)抛物线上是否存在点D,使得以点O,D,E为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，求出m的值： 若不存在，请说明理由. 23.(24-25九年级下四川广安期中)如图，已知直线y=2x-2与x轴、y轴分别交于点C,抛物线 y+c+c过点LC,且与x精交于另一个点B 11/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 备用图 (1)求该抛物线的表达式： (2)点P是直线AC下方抛物线上的动点. ①连接OP与线段AC交于点D,则当D为线段OP中点时，求出点P坐标. ②过点P作P四⊥AC,垂足为P,且以点P、C、为顶点的三角形与△BOC相似，请直接写出符合条件 的点Q的坐标。 24.(23-24九年级上山东青岛期中)如图所示，矩形ABCD,AB=3cm,BC=5cm,E为边AD上一点， ED=lcm.点P从点B出发，沿BE方向匀速运动，速度为lcms;同时，点Q从点C出发，沿CB方向匀 速运动，速度为lcms. 设运动时间为 $)0<1<5). -0 备用图 解答下列问题： (I)当t为何值时，以P、Q、B为顶点的三角形和△ABE相似： (2)设五边形PEDCO的面积为S(cm2),求S与t之间的函数关系式： (3)连接CE,取CE中点P,连接DF,在运动过程中，是否存在某一时刻1，使P吧∥DF?若存在，请求出 t的值：若不存在，请说明理由. 12/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 拔高压轴破难 题型5特殊三角形问题（共6小题） 【模型】结合抛物线点坐标，利用等腰、直角三角形特征，列方程，求解满足条件的动点坐标。 【步骤】写出点的坐标，分情况讨论特殊三角形边角条件，列出等式方程，求解并检验点是否符合题 意。 【易错】等腰、直角三角形存在多种情况，极易出现漏解：坐标运算符号容易出错，求出结果后要检验 图形是否真实存在。 25.(23-24九年级上·吉林长春期中)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2-4+4(a<0)交x轴 1 正半轴于点A,交y轴于点B,线段BCLy轴交此抛物线于点D,且CD=3BC,则△ABC的面积为 ) 1% B D A.24 B.12 C.6 D.3 26。(23-24九年级上福建龙岩期中)如图，抛物线'=+r+C交轴分别于点 (-3,0),B(1,0) 轴正半轴于点D,抛物线顶点为C.下列结论：①2a-b=0;②a+b+c=0;③m≠-1时， a-b>am'+bm:④当AABC是等腰直角三角形时a=2:⑤点p是抛物线对称轴上的一点，若OD=4, 则△PBD周长的最小值为3W2+V0.其中，错误的个数为() 13/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C A B A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 27.(25-26九年级上安徽芜湖期中)已知抛物线'=？++C经过点 1,2) 若抛物线顶点为A,它与x 轴交于两点B,C,且△ABC为等边三角形.请回答下列问题： (1)b的值为 (2)若抛物线顶点在第三象限，则顶点A坐标为 28。(25-26九年级下陕西期中)如图，抛物线=+x+C(d,c为常数)分别与产轴交于点4(-1,0) B(4,0),与'轴交于点C B (1)求该抛物线的函数表达式； (②)点P是抛物线的顶点，连接CP,点P是抛物线的对称轴I上的点，如果△CP№是以CP为腰的等腰三角 形，请你求出所有满足条件的点Q的坐标. y=-x2+bx+4 29.(25-26九年级下·吉林长春期中)在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线 14/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 b是常数)经过点 1,1 .点4在抛物线上，其横坐标为m,过点A作B上轴交直线)=-x+6于点B, (I)求该抛物线对应的函数表达式及顶点M坐标： (2)求线段AB的最小值： (3)连接AM、BM,△ABM为直角三角形时，求m的值： (④点A关于点M对称点为点C,点B关于点M对称点为点D,连接BC、CD、AD,构成四边形ABCD, 直线y=-x+6分四边形ABCD为两部分，两部分的面积分别为S,S,:若3≤3,9，直接写出m的取值 范围。 30.(25-26九年级下·湖南长沙期中)如图1，二次函数 C:y=x2+bx+c 与二次函数 C2:y=a(x+1)(x-3)(a<0) 的图象均过点 A(-1,0)B(3,0)C2 ,‘的图象与y轴交于点C. 图1 图2 (①)求二次函数的解析式： C ②当a=-3时，点P位于第一象限且在二次函数C的图象上，直线1过点P且与x轴平行，与二次函数 的图象的另一个交点为O(Q在P左侧)，直线1与二次函数的图象的交点为M,N(N在M左侧)， 当2PO=MP+QN时，求△BPC的面积； (3)如图2，二次函数的图象与一次函数'=-x+ 的图象相交于C,H两点，点C在y轴上，点T是二次 15/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 函数图象的对称轴上的一点。 ①若4AC C, 是以A为直角顶点的等腰直角三角形，求二次函数的解析式： ②在①的条件下，点B是C 上方的抛物线上的一动点，将 CH 上方的抛物线沿 CH 翻折，点E的对应 点为F,连接EF交CH于点G,求线段EF的最大值. 题型6特殊四边形（共6小题） 【模型】利用抛物线上点坐标，结合平行四边形、菱形等图形性质，分类列方程求动点坐标。 【步骤】分析四边形项点关系，分情况讨论顶点对应位置，利用对边相等或中点公式，列方程求解动点 坐标。 【易错】项点对应情况多容易漏解，中点公式计算谨防符号出错，求出坐标后检验四点能否构成对应四 边形。 31.(23-24九年级上浙江温州期中)如图二次函数'=-2ar+ca<0 图象与”轴交于A,B两点 (点A在x轴的负半轴)，与y轴交于一点C,过C作CD1y轴交图象于点D,连结AC,OD,若 AC∥DO,则点B的横坐标为) B\x A.2 B.3 C.4 D.5 32.(24-25九年级上·重庆大足·期末)如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的一边AB在x轴上，顶 y=x2+x-6 点B在x轴正半轴上.若抛物线 经过点A、B,则点C的坐标为 16/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 33.(25-26九年级上甘肃陇南期中)如图，抛物线”=+r+c与*轴交于 A-3,0,B,0)两点，与' 轴交于点C. B (1)求抛物线的表达式： (2)在平面内是否存在点，使得以点A,B,C,卫为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请求出所有满 足条件的点Q的坐标；如果不存在，请说明理由. 34.(25-26九年级下·上海嘉定期中)如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+1与y轴交于点A,抛物 线与直线=+1交于A、B两点，顶点C的坐标是25)，过点4作ADx轴，交抛物线于点D,连接 BD 5 3 21012345 1 17/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求该抛物线的表达式： (2)求∠ADB的正切值： (3)点E为抛物线上一点，当以A、B、D、E为顶点的四边形是梯形时，请直接写出点E的坐标 35.(25-26九年级上：广东江门期中)如图，抛物线经过坐标轴上 4L,0),B0-3).C(-3,0)三点，直线 过点B和点C. P (1)求抛物线的解析式： (2)P是直线I下方抛物线上一动点，连接PB,PC,求△PBC面积的最大值及此时点P的坐标： (3)R是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点S,使得以B,C,R,S为顶点的四边形是平行四 边形？若存在，请求出所有满足条件的点S坐标：若不存在，请说明理由. 36.(25-26九年级上重庆开州期中)如图，抛物线'=a+r+3(a≠0)与轴交于点 (-3,0) BL,0),与'轴交于点C (1)求抛物线的解析式： (2)连接AC,点P是直线AC上方抛物线上一动点，当四边形ABCP的面积最大时，在x轴上是否存在一 18/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 点0，使符P0-C0的值最大，请求出此时P的坐标及PO-CO 的最大值： AC ,2W (3)在(2)的条件下，将原抛物线沿射线方向平移 个单位后得到新抛物线’，M是新揽物线对称 轴上一点，N是新抛物线上一点，使得P、C、M、N四点构成的四边形是平行四边形，若存在，请求 出点M的坐标，若不存在，请说明理由. 19/19