专题11 二次函数的最值与实际应用问题7大题型46题（期中专项训练）九年级数学上学期新教材北师大版

专题11 二次函数的最值与实际应用问题 基础·固本强基 题型1 二次函数的最值问题（重难点） 题型2 拱桥问题（重点） 题型3 销售问题（重点） 提升·进阶突破 题型4 投球问题（重点） 题型5 喷水问题（难点） 拔高·压轴破难 题型6 图形问题（难点） 题型7 图形运动问题（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 二次函数的最值问题（共10小题） 【模型】依托抛物线顶点性质，结合自变量取值范围，确定二次函数的最大值与最小值。 【步骤】确定开口方向与顶点，判断顶点横坐标是否在取值区间，对比端点函数值，确定函数最终最值。 【易错】忽略自变量取值范围，直接取顶点当作最值；区间端点的函数值容易遗漏，符号计算失误也会造成最值求解错误。 1．（25-26九年级下·陕西榆林·期中）已知二次函数（为常数），当时，该二次函数的最大值与最小值的差为（   ） A．9 B． C．1 D．4 【答案】D 【分析】根据二次函数解析式得到二次函数图象开口向下，对称轴直线为，得到离对称轴越远值越小，则当时，二次函数取得最大值，当时，二次函数取得最小值，由此即可求解． 【详解】解：二次函数（为常数）， ∵， ∴二次函数图象开口向下，对称轴直线为， 当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，离对称轴越远值越小， ∵，则， ∴当时，二次函数取得最大值，最大值为， 当时，二次函数取得最小值，最小值为， ∴， 故选：D ． 2．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，已知二次函数的图象，关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法正确的是（    ） A．有最大值，无最小值 B．有最大值，有最小值 C．有最大值，有最小值 D．有最大值，有最小值 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的最值及二次函数的图象，应用数形结合的思想求解是解题的关键． 直接根据函数的图象确定顶点坐标、开口方向及对称轴，得取值范围内的最大值为，由对称性可知时，由图知时，，故时，函数有最大值，有最小值． 【详解】解：由函数图象可知，此函数的顶点坐标为，对称轴为， ∵此抛物线开口向下， ∴此函数有最大值，最大值为； ∵关于对称轴对称的点为，此时对应的函数值， 当时，， ∴当时，，即函数有最大值，有最小值． 故选：C． 3．（25-26九年级上·浙江湖州·期中）已知二次函数，当时，y随x增大而减小，则的最大值为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的最值问题，先求出原函数的对称轴为直线，当时，函数开口向下，则在对称轴右侧y随x增大而减小，可得，进而得到；当时，函数开口向上，则在对称轴左侧y随x增大而减小，可得，进而得到，据此分别求出两种情形下的最大值即可得到答案． 【详解】解：由题意得，二次函数对称轴为直线， 当，即时，， ∴此时函数开口向下， ∴在对称轴右侧y随x增大而减小， ∵当时，y随x增大而减小， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，随m的增大而增大， ∴当时，； 当，即时，， ∴此时函数开口向上， ∴在对称轴左侧y随x增大而减小， ∵当时，y随x增大而减小， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， ∵， ∴的最大值为． 故答案为：． 4．（25-26九年级下·浙江温州·期中）如图，在矩形中，为对角线，于点，交于点，则的最大值为________． 【答案】 【分析】证明，得到，设，勾股定理得到，将的最大值转化为二次函数求最值即可. 【详解】解：∵矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴当时，的值最大，为. 5．（25-26九年级下·山东泰安·期中）已知二次函数． (1)当时，求此抛物线与y轴的交点坐标； (2)若抛物线过点，，，且，求m的取值范围； (3)在第（2）问的条件下，当时，y有最大值为1，求t的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）先求出函数解析式，再令，即可求解． （2）由点，得，抛物线的对称轴是直线，求出，得出抛物线关系式为：，即可得抛物线开口向下，点关于对称轴的对称点是，根据，得出或，求解即可． （3）先求出对称轴为直线，分三种情况：①当时，②当时，③当时，分别列式求解即可． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 因此，抛物线与y轴的交点坐标为． （2）解：由题意得，抛物线的对称轴是直线， ， ∴抛物线关系式为：， 抛物线开口向下，点关于对称轴的对称点是， ， 或， 或， 即． （3）解：，对称轴为直线， ①当，即时，则， 解得：，（舍去）； ②当时，，此种情况不成立； ③当，即时， 则，解得：，（舍去）； 综上所述，或． 6．（25-26九年级下·河南安阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象经过，两点． (1)求该抛物线的表达式； (2)点P是直线上方抛物线上的一个动点，过点P向x轴作垂线，交线段于点Q，求线段的最大值； (3)连接，将线段沿x轴向右平移个单位长度，若线段与抛物线无交点，请直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）利用待定系数法直线解析式为，设，则，可求出，然后根据二次函数的性质求解即可； （3）利用待定系数法求出平移前线段的解析式为，可得平移后线段的解析式为，由二次函数的对称性可得点的对称点为，再分别求出当线段经过和时对应的值，结合图象即可得出答案． 【详解】（1）解：∵抛物线的图象经过，两点， ∴， 解得， ∴； （2）解：设直线解析式为， 则， 解得， ∴直线解析式为， ∵轴， ∴设，则， ∴ ， ∴当时，取最大值为； （3）解：设平移前线段的解析式为， 代入得， 解得：， 平移前线段的解析式为， ， 抛物线对称轴为， 点关于对称轴的对称点， 线段向右平移个单位长度， 平移后线段的解析式为， 当平移后线段经过，则， 解得：， 当平移后线段经过，则， 解得：， 结合图象得，若线段与抛物线无交点，的取值范围为或． 7．（25-26九年级下·河南南阳·期中）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点，P是抛物线上的任意一点，设点P的坐标为，过点P作轴于点M，作轴于点N． (1)求抛物线的函数表达式． (2)当时，是否存在一点P，使得的长度最大？若存在，求出m的值及的最大值；若不存在，请说明理由． (3)若在矩形内部的抛物线上的点的纵坐标y随x的增大而增大，请直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2)存在， (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据题意得出．确定当时，，然后确定，结合二次函数的性质求解即可； （3）根据题意得出抛物线的对称轴为直线，设点C关于对称轴对称的点为D，则，然后结合函数图象分情况分析即可求解． 【详解】（1）解：∵点在抛物线上， ∴， 解得． ∴抛物线的函数表达式为． （2）存在．∵点P的坐标为，为抛物线上任意一点， ∴． 令， 解得或． ∴． ∴当时，． ∴． ∵， ∴当时，有最大值，最大值为． （3）∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 设点C关于对称轴对称的点为D，则． 如图，分情况讨论： ①当时，此时y随x的增大而增大． ②当时，抛物线不在矩形内部，不符合题意． ③当时，此时y随x的增大而增大． ④当时，抛物线不在矩形内部，不符合题意． ⑤当时，y随x的增大而减小，不符合题意． 综上所述，m的取值范围为或． 8．（25-26九年级下·重庆沙坪坝·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点左侧），且，与轴交于点，连接． (1)求抛物线解析式； (2)已知点是直线上方抛物线上一动点（且在对称轴左侧），过点作轴交于点，过点作交对称轴于点，点是对称轴上一点满足，点是对称轴上一动点，连接，当取得最大值时，求点的坐标及的最小值； (3)在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点是点的对应点，点是新抛物线上的一点，若，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2)；； (3)或 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）直线的解析式为：．直线的解析式为：．设，且，则， 则， 过点Q作于点Y，则，设，根据中点坐标公式，得，，过点D作轴于点H，则，过点F作于点G，过点P作于点N，交于点R，故的最小值为；连接交于点T，求解即可． （3）向右平移个单位长度，向上平移个单位长度， 故平移后抛物线的解析式为，根据题意，得，此时；过点作，交于点，延长交抛物线于点k，此时的k符合题意，设，求得，设直线的解析式为，根据题意，得，此时；求解即可． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于，两点（点在点左侧），且，与轴交于点， ， ， 故， 解得， 故抛物线的解析式为． （2）解：根据抛物线解析式为， 得，抛物线的对称轴为直线， 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：． 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：． 设，且， 则， 则， ∵，， 设直线的解析式为：， ， 解得， 故直线的解析式为：， 当时，． 故， 过点Q作于点Y， 则， ， ， 设，根据中点坐标公式，得， ， ， ， ， ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， ∴当，取得最大值， ∴，，， 过点D作轴于点H， 则， 取点， 则， 作直线， 根据题意，得， 故，， ， ， ， 过点F作于点G， 则， 故， 过点P作于点N，交于点R， 故的最小值为； 连接交于点T， ， 轴， ， ，， ， ，， ， ， ， ； 故的最小值为． （3）解：根据题意，得， 由，得， 故， 故， 由抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线， 故向右平移个单位长度，向上平移个单位长度， 故平移后抛物线的解析式为， 故点， 故点在抛物线的对称轴上，设直线：与对称轴的交点为， 此时，且，． 连接，则， 故， 设直线与y轴的交点为， 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：， ， ， 故四边形是平行四边形， ， ， 延长交抛物线于点K， ， ， ， 此时的k符合题意， 此时直线的解析式为， 根据题意，得， 整理，得， 解得或， 当时，，此时； 当时，，此时与重合，舍去； 设抛物线的对称轴与x轴交于点，与y轴交于点， 根据题意，得，， ， ， 过点作，交于点， ， ， ， ， 延长交抛物线于点K，此时的K符合题意， 设， 则， 整理，得， 解得， 故， 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：， 根据题意，得， 整理，得， 解得或， 当时，，此时； 当时，，此时与重合，舍去； 综上所述，符合要求的点或． 9．（25-26九年级下·宁夏银川·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点在轴正半轴上，抛物线经过，，三点，顶点为．    (1)点的坐标________，点的坐标________ (2)求抛物线的解析式及点，的坐标； (3)探究在内部能否截出面积最大的矩形（顶点，，，在各边上，且其中有两个顶点在线段上）？若能，求出矩形面积的最大值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)； (2)点的坐标为；顶点的坐标为． (3)能截出面积最大的矩形，矩形面积的最大值为 【分析】（1） 令一次函数的求与轴交点，令求与轴交点； （2） 将、坐标代入抛物线解析式，求出、，再令求点坐标，用顶点坐标公式或配方法求顶点坐标； （3） 设矩形的一边长，利用相似三角形表示另一边长，建立面积的二次函数表达式，求其最大值． 【详解】（1）解：对于直线， 当时，， 解得， 所以点的坐标为； 当时，， 所以点的坐标为 故答案为：； （2）解：将，代入，得， 解得， 所以抛物线解析式为． 令，则， 即， 解得，， 因为点在轴正半轴上， 所以点的坐标为． ， 所以顶点的坐标为． （3）解：能截出面积最大的矩形． 设矩形中，、在上，在上，在上，矩形的高为， 直线的解析式：设为， 将，代入，得，解得， 所以； 直线的解析式为． 当时，在中，，在中，， 所以矩形的长为， 矩形面积， ， 当时，有最大值，． 答：能截出面积最大的矩形，矩形面积的最大值为 10．（25-26九年级下·重庆开州·期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的函数图像与x轴交于A，两点，抛物线的对称轴为直线，抛物线与y轴交于点C．      (1)求该抛物线的函数表达式； (2)在直线下方的抛物线上有一动点P，连接，已知点，过点D作直线轴，点M为直线l上一动点，轴，垂足为N，连接，当的面积取得最大值时，求的最小值； (3)将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新的抛物线，D为的中点，在新抛物线上存在一点Q使得，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标． 【答案】(1) (2) (3)Q点的坐标为或 【分析】（1）利用二次函数的性质列方程组求得a、b的值即可解答； （2）先利用待定系数法可得直线的解析式为，设点过点P，如图：作轴交于点G， 则点，进而得到，利用二次函数的性质可得当时，面积最大，即；再说明四边形是平行四边形，可得，由于两点之间线段最短可知，此时的值最小，最后根据勾股定理以及线段的和差即可解答； （3）先求得平移后的函数解析式，再求得，然后分当时，和当，与y轴的交点为点E时两种情况求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的函数图像与x轴交于， ∴， ∵抛物线的对称轴为， ∴， 联立，解得：． ∴． （2）解：∵， ∴当时，，即， 当时，即，解得：或4， ∵， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入可得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 设点， 如图：作轴交于点G， 则点， ∴， ∵， ∴ ∴当时，面积最大 ∴， 现将点P沿的方向向上平移5个单位到 作点B关于直线l的对称点， 连接交直线l于点M，则， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 由于两点之间线段最短可知，此时的值最小， ∵，， ∴， ∴的最小值为． （3）解：∵直线的解析式为， ∴可设抛物线沿射线向下平移t个单位长度，再向右平移个单位长度得到新的抛物线， ∵， ∴， ∴抛物线沿射线向下平移4个单位长度，再向右平移8个单位长度得到新的抛物线， ∵， ∴， ∵点D为中点， ∴， 如图，当时，， 设直线的解析式为，把代入得：，解得：， ∴直线的解析式为， 由，解得（不合，舍去）或， ∴； ②如图，当，与y轴的交点为点E时， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴，解得：, ∴ ∴， 设直线的解析式为，把、代入得， ，解得：， ∴直线的解析式为， 由，解得（不合，舍去）或， ∴； 综上，当时，Q点的坐标为或. 题型2 拱桥问题（共6小题） 【模型】把拱桥实物抽象成抛物线，建立平面直角坐标系，利用二次函数求解高度、宽度等实际量。 【步骤】合理建立坐标系，设出二次函数解析式，代入已知点求系数，再将条件代入求解对应高度或宽度。 【易错】坐标系选取不同解析式不一样，单位务必统一，看清所求位置，不要混淆横坐标与实际水平距离。 11．（25-26九年级上·云南玉溪·期中）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，则水面下降时，水面宽度为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握待定系数法求解析式，自变量的值的计算是关键． 根据题意建立平面直角坐标系，运用待定系数法得到解析式为，结合题意把代入计算即可求解． 【详解】解：如图所示，建立平面直角坐标系， ∴抛物线过， 设抛物线的解析式为， 把代入得，，即， 解得，， ∴二次函数解析式为， ∵水面下降，即， ∴， 整理得，， ∴， 解得，， ∴， ∴水面宽度为， 故选：B ． 12．（25-26九年级上·山东临沂·期中）某湖面上有一座抛物线型拱桥，按如图所示的方式建立平面直角坐标系，得到抛物线的函数解析式为，正常水位时，水面宽为，此时拱顶O到水面的距离为_______． 【答案】4 【分析】本题考查了二次函数的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键． 根据题意可得：把代入，进行计算，即可求解． 【详解】解：水面宽为， 的横坐标为， 把代入， 得：， ， 此时拱顶到水面的距离为， 故答案为：4． 13．（25-26九年级上·甘肃张掖·期末）如图是搭建一座蔬菜大棚的横截面，其形状可以用抛物线表示，施工队计划在大棚正中搭建一个矩形脚手架，点在抛物线上，若，则脚手架的高度为_________米． 【答案】6 【分析】本题考查了二次函数的应用问题，设出点D的坐标并代入解析式是解题的关键．设，然后用m表示D点的坐标，将D点坐标代入抛物线解析式求出m，从而可得到的值． 【详解】解：，矩形脚手架在大棚正中， 设，，则， D点坐标为， 将代入， 得， 解得或（舍）， ， 故答案为：6． 14．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）如图是呈抛物线型的拱桥，当拱顶离水面3m时，水面宽为4m．若以通过拱顶点的水平直线为轴，过点的竖直直线为轴建立平面直角坐标系． (1)求出该抛物线的解析式． (2)若水面下降1m，则此时水面宽度为多少m．（结果允许保留根号的形式） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象性质是解题的关键． （1）设抛物线的解析式为，将，代入解析式，求出的值，得到抛物线解析式即可； （2）当水面下降，即时，列方程为，求出的值，从而求出此时水面宽度即可． 【详解】（1）解：建立如图所示的平面直角坐标系， 设抛物线的解析式为， 将，代入，， 得， 解得， 因此，该抛物线的解析式为； （2）解：由（1）知：， 当水面下降，即时， ， 解得或， 此时水面宽度为， 答：此时水面宽度为． 15．（25-26九年级上·广东江门·期中）如图1，某大桥是中承式悬索拱桥，大桥的主拱肋是抛物线的一部分（如图2），跨径为，拱高为，抛物线顶点C到桥面的距离为． (1)请以所在直线为x轴，直线为y轴，建立平面直角坐标系，求该抛物线所对应的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； (2)若河水水位上涨，假设水位比所在直线高出，这时位于水面上的拱肋的跨径是多少？ 【答案】(1)抛物线对应的函数关系式是 (2)位于水面上的拱肋的跨径是 【分析】本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题． （1）首先建立直角坐标系，设抛物线的函数关系式为，把已知坐标代入解析式可解； （2）把代入函数关系式求出x的解即可． 【详解】（1）解：以所在直线为x轴，直线为y轴，建立直角坐标系， 如图所示：设抛物线所对应的函数关系式为， 由题意得，，， ∴． ∴，． ∴抛物线对应的函数关系式是． （2）解：当水位比所在直线高出时，将代入函数关系式得 ， ∴， ∴由题意：， ∴位于水面上的拱肋的跨径是． 16．（25-26九年级上·北京·期中）某公园内人工湖上有一座拱桥（横截面如图所示），跨度为4米．在距点A水平距离为x米的地点，拱桥距离水面的高度为y米．小路同学根据学习函数的经验，对y和x之间的关系进行了探究． 经过测量，得出了y和x的几组对应值，如上表．将表中数据对应的点描在坐标系中，发现拱桥距离水面的高度y（单位：米）与水平距离x（单位：米）近似满足二次函数关系． x/米 0 0.6 1 1.8 2 2.4 3 3.6 4 y/米 0.88 1.90 2.38 2.86 2.88 2.80 2.38 1.6 0.88 (1)根据表中数据写出桥墩露出水面的高度______米； (2)求y与x之间的函数关系式； (3)公园欲开设游船项目，现有长为5.7米，宽为2.2米，露出水面高度为2.16米的游船．为安全起见，公园要在水面上的C，D两处设置警戒线，并且，要求游船能从C，D两点之间安全通过，则C处距桥墩距离至少为______米． 【答案】(1)0.88 (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握生活问题数学化，建立抛物线模型解答，是解题的关键． （1）根据表格中时y的取值即可求解高度； （2）由待定系数法求解即可； （3）先令，求解x的值，即可得在距点水平距离的地点，由此可求． 【详解】（1）由表格可知，当时，， ∵拱桥距离水面的高度为米， ∴桥墩露出水面的高度米； 故答案为：0.88； （2）解：由（1）知，当时，， 设与之间的函数关系式为， 由表格可知，当时，；当时，； ∴，解得， ∴， 与之间的函数关系式为； （3）解：令，即， 整理可得， 解得（舍），， ∴处距桥墩距离至少为米， 故答案为：． 题型3 销售问题（共6小题） 【模型】构建二次函数销售模型，总利润等于单件利润乘以销量，利用函数求解利润最值。 【步骤】设价格变动未知数，表达单件利润与销售量，列出利润函数，结合取值范围求出最大或最小利润。 【易错】理清涨价降价对销量的影响，自变量要符合实际取值，勿忽略整数限制，分清单件利润与总利润。 17．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）将进货价格为40元的商品按单价45元售出时，能卖出150个，已知该商品单价每上涨1元，其销售量就减少5个，设这种商品的售价上涨元时，获得的利润为元，则下列关系式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题关键是理解“单价每上涨1元，其销售量就减少5个”的含义．根据利润计算公式，每个商品的利润为售价减进货价，上涨元后每个商品的利润为元，销售数量因上涨元减少个，那么现在的销量为个，然后利用利润等于每个商品的利润乘以销售数量，列出式子即可． 【详解】解：设这种商品的售价上涨元时，获得的利润为元， 那么， 故选：B． 18．（24-25九年级上·黑龙江大庆·期中）某商店购进一批单价为8元的商品，如果按每件10元出售，每天可以销售100件，经调查发现，销售单价每提高1元，销售量相应减少10件，则销售价提高______元时，可以使每天的销售利润最大． 【答案】4 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．设销售价提高元时，每天的销售利润为元，根据利润（销售价进价）销售量建立函数关系式，利用二次函数的性质求解即可得． 【详解】解：设销售价提高元时，每天的销售利润为元， 由题意得： ， 由二次函数的性质可知，当时，取得最大值， 即销售价提高4元时，可以使每天的销售利润最大， 故答案为：4． 19．（25-26九年级上·陕西安康·期中）信阳毛尖又称豫毛峰，是中国十大名茶之一，也是河南省著名特产之一．已知一批信阳毛尖每罐的进价为30元，售价定为50元/罐时，每天可销售60罐，为了促进销售，商家决定采取适当的降价措施，经调查发现，售价每降低2元，每天销量可增加20罐（销售单价不低于进价），则商家降价能获得的最大利润为_____元． 【答案】1690 【分析】设降价金额为元，根据“总利润=每罐利润×销售量”列出二次函数关系式，利用二次函数的性质求最大值即可． 【详解】解：设商家降价元，每天获得的利润为元， ∵ 每罐进价为元，原售价为元， ∴ 降价后每罐利润为元． ∵ 售价每降低元，销量增加罐，原销量为罐， ∴ 降价元后，销售量为罐， 又∵销售单价不低于进价， ∴， 解得， 总利润， ∵ ，二次函数开口向下，在顶点处取得最大值，顶点的横坐标为，满足， 将代入得， 因此商家降价能获得的最大利润为元． 20．（25-26九年级上·广东汕头·期中）潮阳区某特产店销售潮式酥糖礼盒，每盒的成本为24元．调查发现：当每盒售价为40元时，每天可售出32盒；售价每降低1元，每天就多售出4盒．设每盒降价x元，每天销售该礼盒的利润为y元． (1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)当每盒降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)； (2)当每盒降价4元（即售价为36元）时，每天的销售利润最大，最大利润为576元 【分析】（1）根据总利润等于单盒利润乘以销量列出函数关系式进行求解即可； （2）利用二次函数的性质求最值即可. 【详解】（1）解：降价后每盒的利润为元，每天的销售量为盒． 由题意，． 又且， ∴． （2）解： ． ∵， ∴抛物线开口向下，当时y有最大值576． 答：当每盒降价4元时，每天的销售利润最大，最大利润为576元． 21．（25-26九年级下·四川自贡·期中）2026年央视春晚在浙江义乌设立分会场，一只因缝制失误而嘴角下撇的毛绒小马“哭哭马”意外走红，成为春晚热销品．某电商平台数据显示，该毛绒小马1月份销量为20万件，3月份销量已增至24.2万件． (1)求该电商平台“哭哭马”1月到3月销量的月平均增长率． (2)义乌某店铺以每件15元的价格购进“哭哭马”，当售价为30元/件时，日销量为70件．市场调查发现，售价每降低1元，日销量可增加10件，为使销售利润最大，则每件应降价多少元？ 【答案】(1) (2)4元 【分析】（1）设月平均增长率为x，根据该毛绒小马1月份销量为20万件，3月份销量已增至24.2万件列方程求解即可； （2）设降价y元，利润为w元．求出w的函数解析式，根据二次函数的性质作答即可． 【详解】（1）解：设月平均增长率为x， ， 解得：（舍）， 答：月平均增长率为； （2）解：设降价y元，利润为w元． ∴当时，w有最大值． 答：为使销售利润最大，每件应降价4元． 22．（26-27九年级上·甘肃·期中）2025年五一假期期间，定西凤凰城景区某特产店销售A，B两类特产．A类特产的进价为50元/件，B类特产的进价为60元/件．已知购买1件A类特产和1件B类特产需132元，购买4件A类特产和7件B类特产需744元． (1)求A类特产和B类特产每件的售价． (2)A类特产供货充足，按原价销售每天可售出60件．市场调查反映，若每降价1元，每天可多售出10件（每件售价不低于进价）．设每件A类特产降价x元，每天的销售量为y件，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． (3)在（2）的条件下，由于B类特产供货紧张，每天只能购进100件且能按原价售完．设该店每天销售这两类特产的总利润为w元，求w与x的函数关系式，并求出每件A类特产降价多少元时，总利润w最大，最大利润是多少元．（利润售价进价） 【答案】(1)A售价每件60元，B售价每件72元 (2) (3)；A类特产每件降价2元时，每天销售的总利润最大，最大利润为1840元 【分析】（1）设每件A类特产的售价为x元，则每件B类特产的售价为元，根据购买4件A类特产和7件B类特产需744元建立方程求解即可； （2）根据每降价1元，每天可多售出10件（每件售价不低于进价）列出对应的函数关系式即可； （3）列出w关于x的函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设每件A类特产的售价为x元，则每件B类特产的售价为元， 根据题意得． 解得． 则每件B类特产的售价为（元）． 答：A类特产的售价为60元/件，B类特产的售价为72元/件． （2）解：由题意得， ∵A类特产进价50元/件，售价为60元/件，且每件售价不低于进价 ∴， ∴． （3）解：由题意得， ， ， ∴当时，w有最大值1840． ∴A类特产每件降价2元时，每天销售的总利润最大，最大利润为1840元． 提升·进阶突破 题型4 投球问题（共6小题） 【模型】将抛球运动轨迹抽象为抛物线，借助二次函数求解投球高度、水平距离等实际问题。 【步骤】建立平面直角坐标系，求出抛物线解析式，代入横坐标求高度，代入纵坐标求解对应水平距离。 【易错】注意自变量实际取值范围，区分水平距离与横坐标，看清落地条件，单位统一，避免脱离实际场景计算。 23．（25-26九年级上·吉林长春·期中）一个被击打的小球从地面弹起后距地面高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间具有的函数关系为，则小球从弹起到落地所用的时间为（    ） A． B． C．4 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．此题为数学建模题，关键在于读懂小球从飞出到落地即飞行的高度为0时的情形，借助二次函数解决实际问题． 根据关系式，令求得t的值，即小球从飞出到落地所用的时间． 【详解】解：依题意，令得： ∴， 得：， 解得：（舍去）或， ∴即小球从飞出到落地所用的时间为， 故选：C． 24．（25-26九年级上·江苏连云港·期中）沙包投箱游戏：将无盖圆柱体箱子放在水平地面上，沙包从点处抛出，其竖直高度（单位：m）与水平距离（单位：m）近似满足函数关系．建立如图所示的坐标系（正方形为箱子主视图，其边长为，x轴经过箱子底面中心），点的坐标为，点的坐标为，若要使得沙包能落入箱内，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是正确理解题意求出二次函数解析式． 由题意得，，，然后将点，代入求出此时的，再将点，代入求出此时的，即可求解范围． 【详解】解：由题意得，，， 将点，代入，则， 解得； 将点，代入，则， 解得； ∴要使得沙包能落入箱内，则的取值范围是， 故选：A． 25．（25-26九年级下·江苏徐州·期中）如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线运行，其中是铅球离初始位置的水平距离，是铅球离地面的高度．若铅球抛出时离地面的高度为，则铅球掷出的水平距离为__________． 【答案】8 【分析】根据题意得到，当时，，解一元二次方程即可． 【详解】解：铅球抛出时离地面的高度为， ， ， 当时，， 解得或（舍去）， 铅球掷出的水平距离为． 26．（25-26九年级上·陕西安康·期中）如图，小静和小林在玩沙包游戏，沙包（看成点）抛出后，在空中的运动轨迹可看作抛物线的一部分，小静和小林分别站在点和点处，测得距离为，若以点为原点，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，小林在距离地面的处将沙包抛出，其运动轨迹为抛物线的一部分，小静恰在点处接住，然后跳起将沙包回传，其运动轨迹为抛物线的一部分． (1)求，的值． (2)小林在轴上方的高度上，且到点水平距离不超过的范围内可以接到沙包，若小林成功接到小静的回传沙包，求的整数值． 【答案】(1)， (2)的整数值为， 【分析】（1）待定系数法求出抛物线表达式即可求出的值，再利用，求出函数值即可求出的值． （2）根据题意确定的坐标范围是，代入坐标求出的取值范围，根据为整数要求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得， 将代入抛物线，得 ， 解得． ∴抛物线＋2， ∴时，， ∴． （2）解：∵小林在轴上方的高度上，且到点水平距离不超过的范围内可以接到沙包， ∴此时，点的坐标范围是． 当抛物线经过点时， ， 解得 当抛物线经过点时， ， 解得 ∴ ∵为整数， ∴符合条件的的整数值为，． 27．（25-26九年级上·陕西西安·期中）实心球是某地中考体育项目之一，小军在某次掷实心球训练中，实心球被掷出后的运动路线可以看作是如图所示的抛物线的一部分，已知小军投掷时出手点距地面（即），实心球的落地点在点处，且球运动至最高点时距地面，距出手点的水平距离为．设实心球掷出后距地面的竖直高度为，距出手点的水平距离为．以所在直线为轴，所在直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求图中抛物线的函数解析式； (2)若实心球投掷成绩（即出手点与落地点的水平距离）不小于为满分，请判断小军本次投掷实心球能否得满分． 【答案】(1) (2)小军第一次投掷实心球不能得满分 【分析】（1）设抛物线的表达式为，将代入解得即可； （2）令，解得，与比较即可． 【详解】（1）解：由题意，可知抛物线最高点的坐标为， 设抛物线的表达式为， 将代入， 得， 解得． ∴本次掷实心球时运动路线所在抛物线的表达式为； （2）解：令， 解得（负值已舍去）， ∴实心球出手点与着陆点的水平距离为． ，即， ， ∴小军本次投掷实心球不能得满分． 28．（26-27九年级上·辽宁大连·期中）小明是一名篮球爱好者，他想知道自己每次投进的篮球在空中运行达到最高点时离地面的高度．当学习到二次函数内容的时候，老师说篮球的运行弧线可以近似看成是一条抛物线，他受到了启发，想好了解决问题的思路并且和几位队友开展了探究与实践活动，记录如下： 活动主题 测量某一次投进篮筐的篮球在空中运行达到最高点时离地面的高度 活动准备 1．查询操场上国际标准篮球架上面篮筐的离地高度； 2．准备皮尺、三角板等测量工具． 设计方案 如图1，小明负责把篮球投进篮筐，同时安排第一位队友负责手持三角板确定篮球到最高点对应的地面位置，安排第二位队友用皮尺测量位置与小明投篮站立位置点的水平距离，第三位队友负责手持三角板确定篮筐中心与地面对应点，并测量水平距离． 采集数据 经测量，小明的出手高度，，．经查询篮筐的高，且、、在一条直线上，和都垂直于． 确定思路 小组成员经过讨论确定，以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图2的平面直角坐标系，则抛物线的顶点在轴上，可设抛物线解析式为，分析数据得、两点的坐标，进而求出抛物线的解析式，再利用解析式求出点的坐标，从而解决问题． 根据以上信息，解决下列问题： (1)求抛物线的表达式； (2)求这次投进篮筐的篮球在空中运行达到最高点时离地面的高度． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）分析数据得、两点的坐标，再利用待定系数法求出抛物线的解析式； （2）根据抛物线解析式求出顶点坐标，即可得解． 【详解】（1）解：由题意得，，， 将点、的坐标代入得，， 解得 抛物线的解析式为； （2）解：抛物线的顶点在轴上，当时，， 抛物线的顶点坐标， 这次投进篮筐的篮球在空中运行达到最高点时离地面的高度为． 题型5 喷水问题（共6小题） 【模型】把水流轨迹抽象为抛物线，建立坐标系，利用二次函数求解喷水高度、射程等实际量。 【步骤】建立合适平面直角坐标系，求抛物线解析式，代入自变量，计算水流高度、最远喷射距离。 【易错】分清喷头位置坐标，注意自变量实际范围，不要混淆射程与横坐标，单位统一，检验结果是否符合现实。 29．（24-25九年级上·山东威海·期中）广场有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管喷出，长为．水流在各个方向上沿抛物线路径落到水池．某方向上抛物线路径的形状如图所示，已知落点B到点O的距离为．建立如图所示的平面直角坐标系，水流喷出的高度与水平距离之间满足函数关系，则水流喷出的最大高度是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际进行求解． 由题意可得，抛物线经过点和，把上述两个点坐标代入二次函数表达式，可求出a和c的值，则抛物线的解析式可求出，再把抛物线解析式化为顶点式即可求出水流喷出的最大高度． 【详解】解：由题意可得，抛物线经过点和， 把上述两个点坐标代入二次函数表达式得： ， 解得：， ∴函数表达式为：， ∵， ∴函数有最大值， ∴当时，y取得最大值，此时， 即水流喷出的最大高度为． 故选：B． 30．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）某游乐场的圆形喷水池中心有一雕塑，从点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为轴，点为原点建立直角坐标系，点在轴上，轴上的点、为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为．则的长为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的应用，把代入求出点坐标即可求解，求出点坐标是解题的关键． 【详解】解：把代入得， ， 解得，（不合，舍去）， ∴点， ∴， ∴， 故选：． 31．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图1是某城市广场音乐喷泉，出水口处的水流呈抛物线形，该水流喷出的高度（）与水平距离（）之间的关系如图2所示，点为该水流的最高点，点为该水流的落地点，且，垂足为点，．若，，则的长为______． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式． 根据题意可得点，设抛物线的解析式为，把点代入，可求出抛物线的解析式，然后令，即可求解． 【详解】解：∵，，，， ∴点， 设抛物线的解析式为， 把点代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为， 当时，， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴点C的坐标为， ∴， 即的长为． 故答案为： 32．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）某游乐园要建造一个直径为的圆形喷水池，计划在喷水池的周边安装一圈喷水头，使喷出的水柱距池中心处达到最高，高度为．如图，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系．若要在喷水池的中心设计一个装饰物，使各方向喷出的水柱在此汇合，则这个装饰物应设计为多少高度？ 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，设当时的函数解析式为，利用待定系数法求出对应的函数解析式，再求出该函数与y轴的交点坐标即可得到答案． 【详解】解：设当时的函数解析式为， 把代入得，解得， ∴第一象限内的函数解析式为， 在中，当时，， ∴抛物线与y轴交于点， ∴这个装饰物应设计为． 33．（25-26九年级上·陕西渭南·期中）某村庄为吸引游客，沿绿道旁的河流边打造喷水景观，为保持绿道地面干燥，水柱呈抛物线状喷入河流中．如图是其截面图，已知绿道路面宽米，当水柱离喷水口处水平距离为2米时，水柱离地面的垂直距离最大，其最大值为4米．以喷水口为原点，路面为轴，过点作的垂线为轴，建立平面直角坐标系． (1)求水柱所在抛物线的函数解析式； (2)出于安全考虑，在河道的坝边处竖直向上安装护栏，若护栏高度为米，判断水柱是否会喷射到护栏上，并说明理由． 【答案】(1) (2) 解：水柱不会喷射到护栏上 理由如下： 当时，， ， 水柱不会喷射到护栏上． 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据题意列出函数解析式是解题的关键； （1）设该抛物线的函数表达式为，根据该抛物线经过原点，得出，即可求解； （2）将得出，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，得抛物线的顶点坐标为， 设该抛物线的函数表达式为， 该抛物线经过原点， ，解得． 该抛物线的函数表达式为． （2）略 34．（25-26九年级下·江苏盐城·期中）【问题情境】 某公园要在广场建造一个喷泉景观．在广场中央处安装一个垂直于地面且高为米的花形柱子，在柱子顶端处安置一个喷头向外喷水（喷头大小忽略不计），水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过的任一平面上抛物线路径如图1所示．为使水流形状较为美观，设计者设计水流在距的水平距离为3米时达到最大高度，此时离地面米． 【模型建构】 (1)以点为原点建立如图2所示的平面直角坐标系，水流到的水平距离为x米，水流喷出的高度为米，请求出在第一象限内的抛物线对应的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）； 【模型应用】 (2)某次李师傅正在喷泉景观内维护设备，喷头意外喷水，但是身高米的李师傅刚好笔直的站在地面上却没有被水淋到，此时他离花形柱子的水平距离为米，求的取值范围； (3)为了美观，在离花形柱子10米处的地面，处安装射灯，射灯射出的光线与地面成角，如图3所示，光线交汇点G在花形柱子的正上方，且米，求光线与抛物线水流之间的最小距离． 【答案】(1) (2) (3)米 【分析】（1）根据题意可知，第一象限内的抛物线的顶点坐标为，设该抛物线的函数表达式为，利用待定系数法求解即可； （2）令，根据抛物线开口向下，由函数图象可求出的取值范围； （3）作的平行线，使它与抛物线相切，分别交轴，轴于点，，过点作，垂足为，根据射灯射出的光线与地面成角得到，进而得到点G和点F的坐标，利用待定系数法求出直线的函数表达式，根据，求出直线的函数表达式，进而求出点的坐标，根据射灯射出的光线与地面成，得到，从而求出的长． 【详解】（1）解：根据题意得：第一象限内的抛物线的顶点坐标为， 设该抛物线的函数表达式为， 将点代入得：， 解得：， 则第一象限内的抛物线对应的函数表达式为：； （2）解：根据题意，令， 解得：或 ，抛物线开口向下， 当时，， 的取值范围为； （3）解：如图所示，作的平行线，使它与抛物线相切，分别交轴，轴于点，，过点作，垂足为， ， ， 射灯射出的光线与地面成角， ， ， ， ， ， 设直线的函数表达式为， 将点和代入得： ， 解得： 直线的函数表达式为， ， 设直线的函数表达式为， 联立直线与抛物线的函数表达式， 整理得：， 直线与抛物线相切，只有一个交点， ， 解得：， 直线的表达式为：， 令，则， ， ， ， ， ， ， 光线与抛物线水流之间的最小距离为米． 【点睛】本题考查二次函数与一次函数的应用、解直角三角形，熟练掌握二次函数的图象性质是解题的关键． 拔高·压轴破难 题型6 图形问题（共6小题） 【模型】设图形边长为未知数，构造二次函数，表达面积，利用函数求解图形面积的最值问题。 【步骤】设出图形相关边长，用含未知数式子表示各边，列出面积函数，结合取值范围求解面积最值。 【易错】边长必须大于 0，留意自变量实际限制，几何关系推导不要出错，分清边长表达式，避免列式出现错误。 35．（26-27九年级上·湖北·期中）用一条的绳子围成一个矩形，矩形的面积可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先设矩形一边长为，再结合周长表示另一边长，从而得到面积的二次函数表达式，接着配方求出矩形的最大面积为，根据面积不能超过最大值，对比选项选出答案． 【详解】解：设这个矩形的一条边长为，面积为， ∵这个矩形的周长是， ∴另一边长为：， ∴， ∵， ∴当为时，矩形面积最大，最大面积为：， ∴， 选项C ：，符合题意． 36．（24-25九年级上·河北石家庄·期末）如图，某建筑队在一边靠墙处，计划用15米长的铁栅栏围成一个长方形仓库，仓库总面积为平方米，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门，若设米，则关于的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了列函数关系式．根据题意先求出平行于墙的一边长为米，再根据长方形面积计算公式求解即可． 【详解】解：由题意得，平行于墙的一边长为米， ∴， 故选：B． 37．（24-25九年级上·广东中山·期中）如图，小明以二次函数的图象为模型设计了一款杯子，如图为杯子的设计稿，若，，则杯子的高为________． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的应用． 根据函数解析式可得点的坐标，由二次函数图象的对称性，结合的长度，可得点的横坐标，代入解析式，可得点的纵坐标，从而可得，与相加，即可得杯子的高． 【详解】解：∵， ∴， ∵二次函数的图象关于对称，， ∴点的横坐标为， 当时，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 38．（26-27九年级上·辽宁大连·期中）如图，某校劳动实践基地在一道长为的墙一侧，用长为的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为（单位：），与墙平行的一边长为（单位：），面积为（单位：）． (1)分别求与，与之间的函数解析式，并求出自变量的取值范围； (2)当的值是多少时，矩形实验田的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1)，，； (2)当时，矩形实验田的面积最大，最大面积是 【分析】（1）根据题意得到，则，再由建立与之间的函数解析式，然后根据解不等式组求解自变量的取值范围； （2）根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， ， ， 又，即 ， ； （2）解： ， 抛物线的对称轴为直线 ，抛物线的开口向下，自变量的取值范围为，在对称轴右侧，随的增大而减小， 当时，取最大值， 当时，， 答：当时，矩形实验田的面积最大，最大面积是 39．（24-25八年级下·浙江台州·期中）根据以下素材，探索完成任务． 探索设计停车场 背景 社区利用一块长方形空地建了一个小型停车场，其布局如图所示，空地四周围墙，入口与出口通道位置如右图所示．已知，． 方案 社区工作者设计了四列阴影部分为停车位，按照中小车型停车位划线标准，停车位的宽度都相同，即，且停车位的宽度不小于，其余部分是等宽的通道． (1)任务1：①设停车位的宽度为，通道的宽度为，求与之间的函数关系式； ②若停车位总面积为，请计算停车位的宽度是否符合标准． (2)任务2：若通道的宽度要求不小于，当停车位宽度取多少时，停车位总面积最大，并求出最大停车位总面积． 【答案】(1)①； ②符合标准；理由如下： 停车位总面积为， ， 将①中代入，得 ， ∴ ， ∴， ∴或（舍去）， ， ∴符合标准. (2)当停车位的宽度为时，停车位的总面积最大为. 【分析】（1）①设停车位的宽度为，通道的宽度为，根据图形可知：，进而得到，②根据停车位总面积为，列出方程进行求解后，结合停车位的宽度不小于进行判断即可； （2）设停车位的总面积为，面积公式表示出，配方法求最值即可． 【详解】（1）解：①由题意得：， ； ②略 （2）解：设停车位的总面积为，由（1）可知：， ∴ ， ， ∵且， ∴， ∴当时，最大， 答：当停车位的宽度为时，停车位的总面积最大为． 40．（25-26九年级下·陕西咸阳·期中）求解下列各题： (1)问题发现：如图1，在中，，于点，，．求的面积； (2)问题探究：如图2，在正方形中，，，分别是边，上的两点，将正方形沿折叠，点恰好落在边上的中点处，求的长度； (3)问题解决：如图3，在矩形中，，分别是边，上的两点，沿折叠，点恰好落在对角线上的点处，，分别是边，上的两点，四边形沿折叠，点恰好也落在对角线上的点处．已知米，米，求四边形面积的最大值． 【答案】(1) (2) (3)平方米 【分析】（1）根据三角形的面积公式进行计算即可求解； （2）作，交于点，证明四边形是平行四边形，再证明，再利用勾股定理求解即可； （3）连接，根据折叠的性质以及矩形的性质，先证明,设，，则，，根据勾股定理可得得出，根据三角形的面积公式求得四边形面积，进而根据二次函数的性质求得最值，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴的面积 （2）解：作，交于点， ∵正方形， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵将正方形沿折叠，点C恰好落在边上的中点G处， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的长度是， （3）解：如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴ ∴ 设，则 ∵折叠， ∴， ∴， ∴ 设，，则，， ∴， ∵ ∴ 整理得， ∴ ∴四边形面积 当时，取得最大值，最大值为（平方米） 题型7 图形运算问题（共6小题） 【模型】结合几何图形边长关系列代数式，建立函数，求解图形周长、面积以及相关最值问题。 【步骤】分析图形几何关系，用未知数表示线段，列出运算关系式，结合自变量范围计算求值或者求解最值。 【易错】几何线段等量关系推导易出错，自变量要满足边长大于零，注意图形存在条件，不要得出不符合实际的结果。 41．（24-25九年级上·内蒙古赤峰·期中）如图，点E，F，G，H是边长为2的正方形各边上的点，且设A，E两点间的距离为x，四边形的面积为y，则y与x的函数图象可能为（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的综合，正方形的性质及勾股定理，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．先求得，，再由，可得，得出与、是二次函数关系，从而得出函数的图象． 【详解】解：设正方形的边长为，则， ， ， ， ， ， ， ， 可知开口向上，顶点坐标为， 与的函数图象是D． 故选：D． 42．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）如图，在四边形中，，，，动点，同时从点出发，点以每秒2个单位长度沿折线向终点运动；点以每秒1个单位长度沿线段向终点运动，当其中一点运动至终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为秒，的面积为个平方单位，则下列正确表示与的函数关系的图象是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，相似三角形的判定与性质，二次函数的图象，一次函数的图象，矩形的性质，勾股定理，30度直角三角形的性质，熟练掌握各定理是解题的关键．分当时，点在上，当时，点在上，当时，点在上，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：过点作于点，过点作于点， 则四边形是矩形， ，， 易证， ， ． 分三种情况： （1）如图1，当时，点在上，过点作于点， 则， ， ， ， ， 函数图象是开口向上的抛物线位于轴右侧的一部分； （2）如图2，当时，点在上， ， 函数图象是直线（随增大而增大）的一部分， （3）如图3，当时，点在上，过点作于点， 则， ， ， ， ， 函数图象是开口向下的抛物线位于对称轴直线右侧的一部分； 只有选项C的图象符合条件． 故选：C 43．（25-26九年级下·湖北鄂州·期中）如图1，在平行四边形中，，点从点出发，以的速度沿匀速运动，点同时从点出发，以的速度沿匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动，图2是的面积（）随时间（s）变化的函数图象（图中为线段），（1）_____cm；（2）当的面积取最大值时，运动时间为_____s． 【答案】 9 【分析】由图、图可知，当时，点与点重合，当时，点在上运动，而点继续在上运动，即得，，进而由勾股定理得，再根据相似三角形，用含的式子表示出点到的高，结合线段运动关系，表示出，列出面积关于的二次函数，将二次函数配方化为顶点式，由开口向下，结合顶点横坐标在取值范围内直接确定此时面积最大，即为所求时间． 【详解】解：由图、图可知，当时，点与点重合，当时，点在上运动，而点继续在上运动， ∵四边形是平行四边形，点、点的速度都是， ∴，； ∵， ∴， ∴， 当时，如图，作，交的延长线于点，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴ 当时，此段面积取得最大值． 44．（25-26九年级上·辽宁大连·期中）如图，中，，，，点D从点B出发，沿边以的速度向终点C运动，过点D作，交边（或）于点E．设点D的运动时间为，的面积为． (1)求S关于t的函数解析式，并直接写出自变量t的取值范围． (2)当点D在线段上运动时，求的面积S的最大值． 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）分，两种情况讨论，利用相似三角形的性质求解的两条直角边，再利用面积公式列函数关系式即可； （2）利用配方法求解最值即可． 【详解】（1）解：①当（点D在上时） ∵中，，， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 解得：， ∵， ∴ ∴ ②当（点D在上时）如图； 则 ∵ ∴ ∴ ∴ 解得： ∴ ∴综上所述： （2）点D在线段上运动时，则 ∴ ∵ ∴当时，最大是6. 【点睛】本题考查的是几何动点问题，考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，考查了利用面积公式列函数关系式，分类讨论思想，掌握以上知识是解题的关键． 45．（25-26九年级上·吉林松原·期中）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，是等腰直角三角形，，，顶点，点B在第一象限，正方形的顶点，点C在y轴的正半轴上，点D在第二象限．将正方形沿x轴向右平移，得到正方形，点O、C、D、E的对应点分别为、、、．设，正方形与重叠部分的面积为S． (1)点B的坐标为_______，点D的坐标为_______； (2)当点与点A重合时，求t的值； (3)求S关于t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，二次函数的应用，熟练掌握分类讨论的思想方法是解题的关键． （1）过点作轴于，利用等腰直角三角形的性质，正方形的性质和点的坐标的特征解答即可； （2）利用平移的概念，即可解答； （3）利用分类讨论的思想方法分三种情况分别求得重叠部分的面积的函数关系式，即可得出结论． 【详解】（1）解：过点作轴于，如图， 点， ， ，， ， 点的坐标为． 点， ， 四边形为正方形， ，，， 点坐标为； 故答案为：；； （2）解：当点与点A重合时，； （3）解：当时，正方形与重叠部分为等腰直角三角形，如图， 由题意：， ， 当时，正方形与重叠部分为五边形，如图， 是等腰直角三角形，，， ， 四边形为正方形， ， 正方形的边长为2，， ，， ，， ，， ． 当时，正方形与重叠部分为等腰直角三角形，如图， 由题意得：， ， ， 综上，． 46．（24-25九年级上·云南文山·期中）已知，如图①，在平行四边形中，，，，沿的方向匀速平移得到，速度为：同时，点Q从点C出发，沿方向速移动，速度为，当停止平移时，点Q也停止移动，如图②，设移动时间为，连接，解答下列问题： (1)_______，_______，_______，_______． (2)当t为何值时，． (3)设的面积为y（），求y与t之间的函数关系式． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查相似三角形的综合运用，一元二次方程的应用，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． （1）由勾股定理计算，结合题意即可得解； （2）先证，得到，得到，求解即可； （3）作于点D，交的延长线于点，易得，，得，结合三角形面积公式即可得到关于t之间的函数关系式 【详解】（1），， ， 由题得：，，，. （2）如图所示，∵， ∴ ∴， ∵，，. ∴， 即， 解得 （3）如图所示，作于点D，交的延长线于点， ∵， 则四边形为矩形， ， ∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ， 又∵， ∴的面积为：， ∴ $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题11二次函数的最值与实际应用问题 题型图谱导航总览 题型1 二次函数的最值问题（重难点） 基础固本强基 题型2拱桥问题（重点） 题型3销售问题（重点） 题型4投球问题（重点） 提升进阶突破 题型5喷水问题（难点） 题型6图形问题（难点） 拔高压轴破难 题型7图形运动问题（难点） 题型精练·靶向突破 基础固本强基 题型1二次函数的最值问题（共10小题) 【模型】依托抛物线顶点性质，结合自变量取值范围，确定二次函数的最大值与最小值。 【步骤】确定开口方向与顶点，判断顶点横坐标是否在取值区间，对比端点函数值，确定函数最终最 值。 【易错】忽略自变量取值范围，直接取项点当作最值；区间端点的函数值容易遗漏，符号计算失误也会 造成最值求解错误。 m 1. (25-26九年级下·陕西榆林·期中)已知二次函数 y=-x+2x+m+("为常数)，当0≤x≤3 时，该二 次函数的最大值与最小值的差为() 1/22 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.9 B.-3 C.1 D.4 2,（25-26九年级上浙江杭州期中)如图，已知二次函数的图象2≤x≤V6-, 关于该函数在所给自 变量的取值范围内，下列说法正确的是() 6-1 -3-2-10 12 A.有最大值4，无最小值 B.有最大值4，有最小值3 C.有最大值4，有最小值-2 D.有最大值3，有最小值-2 3.(2526九年级上浙江湖州期肿)已知=次数ym-2)r+(-9x+1(m≥0，n≥0)，当25xc3 时，y随x增大而减小，则mn的最大值为. 4.(25-26九年级下浙江温州期中)如图，在矩形ABCD中，AC为对角线，DE⊥AC于点E, DE+EF EF∥BC交AB于点F,则AD的最大值为 y=(a+2)x2-2(a-l)x+a-5(a≠-2) 5.(25-26九年级下山东泰安期中)已知二次函 (1)当a=-1时，求此抛物线与y轴的交点坐标： (2)若抛物线过点 4-m,p）B(mp）,C4q）,且P>9,求m的取值范围： (3)在第(2)问的条件下，当1-1≤x≤21+3时，y有最大值为1，求t的值. 2/22 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y=ax2+bx(a≠O) 6.(25-26九年级下·河南安阳期中)如图，在平面直角坐标系中，抛物线 的图象经过 A(-2,-10)B(3,0) 两点 (1)求该抛物线的表达式： (2)点P是直线AB上方抛物线上的一个动点，过点P向x轴作垂线，交线段AB于点Q,求线段PO的最大 值： (3)连接OA,将线段OA沿x轴向右平移m(m>0)个单位长度，若线段OA与抛物线无交点，请直接写出m 的取值范围 7.(25-26九年级下河南南阳期中)如图，抛物线y=-2+4xc+5a与x轴交于A,B两点，与y轴交于 C(0,5),P是抛物线上的任意一点，设点P的坐标为 ,m）,过点P作PM1y轴于点M作PNLx轴 于点N (1)求抛物线的函数表达式 (2)当0<m<5时，是否存在一点P,使得PM+PW的长度最大？若存在，求出m的值及PM+PW的最大 3/22 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 值；若不存在，请说明理由。 (3)若在矩形PMON内部的抛物线上的点的纵坐标y随x的增大而增大，请直接写出m的取值范围. 8。(2526九年级下重庆沙坪坝期中)如图，在平面直角坐标系中，抛物线”=+c+3与”轴交于B C(2,0) 两点（点B在点C左侧），且OB=30C,与'轴交于点A,连接4B,4C B (1)求抛物线解析式： (②)已知点P是直线AB上方抛物线上一动点（且在对称轴左侧），过点P作P‖y轴交AB于点2，过点 D作QDI/AC交对称轴于点D,点E是对称轴上一点满足E=QD,点F是对称轴上一动点，连接PF, 当PO+。D取得最大值时，求点p的坐标及PF+ 10 FD的最小值： (③)在(2)中P№+。ED取得最大值的条件下，将抛物线y=2+bx+3沿射线BA方向平移、5个单位长度 6 得到抛物线y,点P'是点P的对应点，点K是新抛物线y上的一点，若∠ABC+∠CPK=∠P'CB,请直接 写出所有符合条件的点K的坐标，并写出求解点K的坐标的其中一种情况的过程. 9.(25-26九年级下宁夏银川期中)如图，在平面直角坐标系中，直线y=3x+3与x轴交于点A,与y 轴交于点C,点B在*轴正半轴上，抛物线'=+2+c(a≠0 经过A,B,C三点，顶点为D 4/22 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 备用图 (1)点A的坐标 点C的坐标 (2)求抛物线的解析式及点B,D的坐标： (3)探究在△ABC内部能否截出面积最大的矩形EFGH(顶点E,F,G,H在△ABC各边上，且其中有两 个顶点在线段AB上)？若能，求出矩形面积的最大值；若不能，请说明理由， y=ax2+bx-4 10.(25-26九年级下·重庆开州期中)如图，在平面直角坐标系中，抛物线 的函数图像与 B(4,0) x轴交于A, 两点，抛物线的对称轴为直线x=-2,抛物线与y轴交于点C 备用图 (1)求该抛物线的函数表达式： (②在直线4C下方的抛物线上有一动点P,连接MBCP,已知点 (0,5) 过点D作直线∥x轴，点M 为直线I上一动点，MN⊥x轴，垂足为N,连接PV,MB,当△APC的面积取得最大值时，求 PN+MN+MB的最小值； (3)将抛物线 y=ax2+bx-4 沿射线AC方向平移 5个单位长度得到新的抛物线'，D为BC的中点，在新 5/22 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 抛物线y上存在一点Q使得∠CD0=∠ACB,请直接写出所有符合条件的点Q的坐标. 题型2拱桥问题（共6小题） 【模型】把拱桥实物抽象成抛物线，建立平面直角坐标系，利用二次函数求解高度、宽度等实际量。 【步骤】合理建立坐标系，设出二次函数解析式，代入己知点求系数，再将条件代入求解对应高度或宽 度。 【易错】坐标系选取不同解析式不一样，单位务必统一，看清所求位置，不要混淆横坐标与实际水平距 离。 11. (25-26九年级上·云南玉溪·期中)如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m,则水面下 降lm时，水面宽度为()m. 6 A B.2V6 c.2v6-4 D.26+4 12.(25-26九年级上·山东临沂·期中)某湖面上有一座抛物线型拱桥，按如图所示的方式建立平面直角坐 1 标系，得到抛物线的函数解析式为y= 16+2 ,正常水位时，水面宽4B为16m,此时拱顶O到水面AB的 距离为 m. y/m个 13.(25-26九年级上甘肃张掖期末)如图是搭建一座蔬菜大棚的横截面，其形状可以用抛物线 y=-)x+8表示，施工队计划在大棚正中搭建一个矩形脚手架DEFG,点D,G在抛物线上，若 2 6/22 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 DE:EF=3:2,则脚手架DE的高度为 米 D A EO FB衣 14.(25-26九年级上：浙江绍兴期中)如图是呈抛物线型的拱桥，当拱顶离水面3m时，水面宽为4m.若 以通过拱顶点O的水平直线为x轴，过点O的竖直直线为y轴建立平面直角坐标系： 3m 4m (1)求出该抛物线的解析式. (2)若水面下降1m,则此时水面宽度为多少m.(结果允许保留根号的形式) 15.(25-26九年级上：广东江门期中)如图1，某大桥是中承式悬索拱桥，大桥的主拱肋ACB是抛物线的 一部分（如图2），跨径AB为100m,拱高OC为25m,抛物线顶点C到桥面的距离为17m, 7m 图1 图2 (I)请以AB所在直线为x轴，直线OC为y轴，建立平面直角坐标系，求该抛物线所对应的函数解析式，并 写出自变量x的取值范围： (2)若河水水位上涨，假设水位比AB所在直线高出1.96m,这时位于水面上的拱肋的跨径是多少？ 16.(25-26九年级上北京期中)某公园内人工湖上有一座拱桥（横截面如图所示），跨度AB为4米. 在距点A水平距离为x米的地点，拱桥距离水面的高度为y米.小路同学根据学习函数的经验，对y和x之 间的关系进行了探究. 7/22 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3 A B 桥墩 桥墩 Ec水面D 12345x 经过测量，得出了y和x的几组对应值，如上表.将表中数据对应的点描在坐标系中，发现拱桥距离水面 的高度y(单位：米)与水平距离x(单位：米)近似满足二次函数关系 x/米 0.6 1 1.8 2 2.4 3.6 4 米 0.88 1.90 2.38 2.86 2.88 2.80 2.38 1.6 0.88 (I)根据表中数据写出桥墩露出水面的高度AE= 米 (2)求y与x之间的函数关系式： (3)公园欲开设游船项目，现有长为5.7米，宽为2.2米，露出水面高度为2.16米的游船.为安全起见，公 园要在水面上的C,D两处设置警戒线，并且CE=DF,要求游船能从C,D两点之间安全通过，则C处 距桥墩距离CE至少为米。 题型3销售问题（共6小题） 【模型】构建二次函数销售模型，总利润等于单件利润乘以销量，利用函数求解利润最值。 【步骤】设价格变动未知数，表达单件利润与销售量，列出利润函数，结合取值范围求出最大或最小利 润。 【易错】理清涨价降价对销量的影响，自变量要符合实际取值，勿忽略整数限制，分清单件利润与总利！ 润。 17. (25-26九年级上安徽合肥·期中)将进货价格为40元的商品按单价45元售出时，能卖出150个，己 知该商品单价每上涨1元，其销售量就减少5个，设这种商品的售价上涨x元时，获得的利润为y元，则 下列关系式正确的是() A.y=(x+40)(150-5x) B.y=(x+5)150-5x) c.y=(x-5)150-5x) D.y=(5-x150-5x) 8/22 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 18.(24-25九年级上黑龙江大庆期中)某商店购进一批单价为8元的商品，如果按每件10元出售，每 天可以销售100件，经调查发现，销售单价每提高1元，销售量相应减少10件，则销售价提高」 元时， 可以使每天的销售利润最大. 19.(25-26九年级上·陕西安康期中)信阳毛尖又称豫毛峰，是中国十大名茶之一，也是河南省著名特产 之一.已知一批信阳毛尖每罐的进价为30元，售价定为50元/罐时，每天可销售60罐，为了促进销售， 商家决定采取适当的降价措施，经调查发现，售价每降低2元，每天销量可增加20罐（销售单价不低于进 价)，则商家降价能获得的最大利润为元， 20.(25-26九年级上广东汕头期中)潮阳区某特产店销售潮式酥糖礼盒，每盒的成本为24元.调查发 现：当每盒售价为40元时，每天可售出32盒；售价每降低1元，每天就多售出4盒.设每盒降价x元， 每天销售该礼盒的利润为y元 (I)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围： (2)当每盒降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 21.(25-26九年级下·四川自贡·期中)2026年央视春晚在浙江义乌设立分会场，一只因缝制失误而嘴角下 撇的毛绒小马“哭哭马”意外走红，成为春晚热销品.某电商平台数据显示，该毛绒小马1月份销量为20 万件，3月份销量己增至24.2万件. (1)求该电商平台“哭哭马”1月到3月销量的月平均增长率. (2)义乌某店铺以每件15元的价格购进“哭哭马”，当售价为30元/件时，日销量为70件.市场调查发现， 售价每降低1元，日销量可增加10件，为使销售利润最大，则每件应降价多少元？ 22.(26-27九年级上甘肃期中)2025年五一假期期间，定西凤凰城景区某特产店销售A,B两类特产. A类特产的进价为50元/件，B类特产的进价为60元/件.已知购买1件A类特产和1件B类特产需132元， 购买4件A类特产和7件B类特产需744元. (1)求A类特产和B类特产每件的售价. (②)A类特产供货充足，按原价销售每天可售出60件.市场调查反映，若每降价1元，每天可多售出10件 (每件售价不低于进价)，设每件A类特产降价x元，每天的销售量为y件，求y与x的函数关系式，并 写出自变量x的取值范围。 (3)在(2)的条件下，由于B类特产供货紧张，每天只能购进100件且能按原价售完.设该店每天销售这 两类特产的总利润为W元，求与x的函数关系式，并求出每件A类特产降价多少元时，总利润W最大， 最大利润是多少元.（利润=售价一进价） 9/22 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 提升进阶突破 题型4投球问题（共6小题) 【模型】将抛球运动轨迹抽象为抛物线，借助二次函数求解投球高度、水平距离等实际问题。 【步骤】建立平面直角坐标系，求出抛物线解析式，代入横坐标求高度，代入纵坐标求解对应水平距 离。 【易错】注意自变量实际取值范围，区分水平距离与横坐标，看清落地条件，单位统一，避免脱离实际 场景计算。 23.(25-26九年级上·吉林长春·期中)一个被击打的小球从地面弹起后距地面高度h(单位：m)与飞行 时间t(单位：s)之间具有的函数关系为h=20t-52,则小球从弹起到落地所用的时间为() A.4.5 B.3.5 C.4 D.3 24.(25-26九年级上·江苏连云港·期中)沙包投箱游戏：将无盖圆柱体箱子放在水平地面上，沙包从点P 处抛出，其多直高度（单位：m）与水平距离*（单位：m)近似满足丙数关系'=(x-3》+如<0） 建立如图所示的坐标系（正方形ABD为箱子主视图，其边长为2m,x轴经过箱子底面中心），点P的坐 标为(0,4)，点B的坐标为（⑧，O),若要使得沙包能落入箱内，则a的取值范围是(） 4P BC A.-s<ax a<-l 1 3 B.8 1 16 8<a<- C. <a<- 12 D.8 8 =-0.1x2+0.6x+c 25.(25-26九年级下江苏徐州期中)如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线 运行， 10/22 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 其中x是铅球离初始位置的水平距离，y是铅球离地面的高度.若铅球抛出时离地面的高度OA为l6m, 则铅球掷出的水平距离OB为」 m. 0 26.(25-26九年级上：陕西安康·期中)如图，小静和小林在玩沙包游戏，沙包（看成点）抛出后，在空中 的运动轨迹可看作抛物线的一部分，小静和小林分别站在点O和点A处，测得OA距离为6m,若以点O为 原点，OA所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，小林在距离地面lm的B处将沙包抛出，其 运动轨迹为抛物线9：y=(x-3+2的一部分，小静拾在点C(0c) 处接住，然后跳起将沙包回传，其运 动轨迹为抛物线C2:y= x2+ x+c+1的一部分. Ay/m C2 C B A x/m 图1 图2 (1)求a,c的值. (2)小林在x轴上方lm的高度上，且到点A水平距离不超过lm的范围内可以接到沙包，若小林成功接到小 静的回传沙包，求n的整数值 27.(25-26九年级上陕西西安期中)实心球是某地中考体育项目之一，小军在某次掷实心球训练中，实 心球被掷出后的运动路线可以看作是如图所示的抛物线的一部分，已知小军投掷时出手点距地面1.8m(即 OA=1.8m),实心球的落地点在点B处，且球运动至最高点时距地面3.4m,距出手点的水平距离为4m 设实心球掷出后距地面的竖直高度为(m ,距出手点的水平距离为(m).以OB所在直线为轴，04所 在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系， 11/22 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆y/m B 衣m (1)求图中抛物线的函数解析式： (2)若实心球投掷成绩（即出手点与落地点的水平距离0B)不小于12.4m为满分，请判断小军本次投掷实 心球能否得满分， 28.(26-27九年级上·辽宁大连·期中)小明是一名篮球爱好者，他想知道自己每次投进的篮球在空中运行 达到最高点时离地面的高度.当学习到二次函数内容的时候，老师说篮球的运行弧线可以近似看成是一条 抛物线，他受到了启发，想好了解决问题的思路并且和几位队友开展了探究与实践活动，记录如下： 活动主题 测量某一次投进篮筐的篮球在空中运行达到最高点时离地面的高度 1. 查询操场上国际标准篮球架上面篮筐的离地高度； 活动准备 2.准备皮尺、三角板等测量工具. 如图1，小明负责把 篮球投进篮筐，同 时安排第一位队友 负责手持三角板确 定篮球到最高点A E 对应的地面位置O 设计方案 2.25m 3.05m ，安排第二位队友 2.5m 1.5m 用皮尺测量位置O B 0 与小明投篮站立位 (图1) 置点B的水平距离 OB,第三位队友负 责手持三角板确定 篮筐中心C与地面 12/22 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 对应点D,并测量 水平距离OD 经测量，小明的出 手高度BE=2.25m OB=2.5m 0D=1.5m.经查询 采集数据 篮筐的高 CD=3.05m,且B 、O、D在一条直 线上，EB和CD都 垂直于BD 小组成员经过讨论 确定，以点O为原 点，BD所在直线为 x轴，OA所在直线 为y轴，建立如图2 的平面直角坐标 系，则抛物线的顶 E 确定思路 点A在y轴上，可 设抛物线解析式为 B 0 D y=ax2+c (图2) 分析数 据得C、E两点的 坐标，进而求出抛 物线的解析式，再 利用解析式求出A 13/22 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 点的坐标，从而解 决问题. 根据以上信息，解决下列问题： (1)求抛物线的表达式： (2)求这次投进篮筐的篮球在空中运行达到最高点时离地面的高度， 题型5喷水问题（共6小题） 【模型】把水流轨迹抽象为抛物线，建立坐标系，利用二次函数求解喷水高度、射程等实际量。 【步骤】建立合适平面直角坐标系，求抛物线解析式，代入自变量，计算水流高度、最远喷射距离。 【易错】分清喷头位置坐标，注意自变量实际范围，不要混淆射程与横坐标，单位统一，检验结果是否 符合现实。 29 (24-25九年级上·山东威海期中)广场有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管OA喷出，OA长为 1.5m,水流在各个方向上沿抛物线路径落到水池.某方向上抛物线路径的形状如图所示，己知落点B到点 0的距离为3加.建立如图所示的平面直角坐标系，水流喷出的高度》 m与水平距离(m 之间满足函数 关系'=+x+ca≠0 则水流喷出的最大高度是() A B A.1.5m B.2m c.2.5m D.3m 30.(24-25九年级上·江苏苏州·期中)某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA,从A点向四周喷水， 喷出的水柱为抛物线，且形状相同.如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴 14/22 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 上，x插上的点C、D为水柱的落木点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达武为y=名(x-八+6 则CD的长为()m, y(m) Dx(m) A.18 B.20 C.22 D.30 31.(24-25九年级上·黑龙江哈尔滨期中)如图1是某城市广场音乐喷泉，出水口A处的水流呈抛物线形， 该水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系如图2所示，点B为该水流的最高点，点C为 该水流的落地点，且BD⊥OC,垂足为点D,OA=2m.若BD=6m,OD=2m,则OC的长为 B D 图1 图2 32.(25-26九年级上·浙江绍兴期中)某游乐园要建造一个直径为20m的圆形喷水池，计划在喷水池的周 边安装一圈喷水头，使喷出的水柱距池中心4m处达到最高，高度为6m.如图，以水平方向为x轴，喷水 池中心为原点建立直角坐标系.若要在喷水池的中心设计一个装饰物，使各方向喷出的水柱在此汇合，则 这个装饰物应设计为多少高度？ 6 -10-404 10 33.(25-26九年级上·陕西渭南·期中)某村庄为吸引游客，沿绿道旁的河流边打造喷水景观，为保持绿道 地面干燥，水柱呈抛物线状喷入河流中.如图是其截面图，已知绿道路面宽0A=3.5米，当水柱离喷水口 0处水平距离为2米时，水柱离地面的垂直距离最大，其最大值为4米.以喷水口0为原点，路面OA为x 15/22 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 轴，过点O作OA的垂线为y轴，建立平面直角坐标系. 绿 道 D 喷水口G A B (1)求水柱所在抛物线的函数解析式： (2)出于安全考虑，在河道的坝边A处竖直向上安装护栏，若护栏高度为12米，判断水柱是否会喷射到护 栏上，并说明理由 34.(25-26九年级下·江苏盐城期中)【问题情境】 某公园要在广场建造一个喷泉景观.在广场中央O处安装一个垂直于地面且高为0.75米的花形柱子OM, 在柱子顶端M处安置一个喷头向外喷水（喷头大小忽略不计），水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路 径落下，且在过OM的任一平面上抛物线路径如图1所示.为使水流形状较为美观，设计者设计水流在距 OM的水平距离为3米时达到最大高度，此时离地面3.75米 M 地面 图1 图2 图3 【模型建构】 (I)以点O为原点建立如图2所示的平面直角坐标系，水流到OM的水平距离为x米，水流喷出的高度为V 米，请求出在第一象限内的抛物线对应的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）； 【模型应用】 (2)某次李师傅正在喷泉景观内维护设备，喷头意外喷水，但是身高1.83米的李师傅刚好笔直的站在地面上 却没有被水淋到，此时他离花形柱子OM的水平距离为米，求d的取值范围； (③)为了美观，在离花形柱子10米处的地面E,F处安装射灯，射灯射出的光线与地面成45°角，如图3所 示，光线交汇点G在花形柱子OM的正上方，且OG=10米，求光线与抛物线水流之间的最小距离. ” 16/22 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 拔高压轴破难 题型6图形问题（共6小题） 【模型】设图形边长为未知数，构造二次函数，表达面积，利用函数求解图形面积的最值问题。 【步骤】设出图形相关边长，用含未知数式子表示各边，列出面积函数，结合取值范围求解面积最值。 【易错】边长必须大于0，留意自变量实际限制，几何关系推导不要出错，分清边长表达式，避免列式 出现错误。 35.(26-27九年级上·湖北期中)用一条40cm的绳子围成一个矩形，矩形的面积可以是() A.101cm2 B.110cm2 C.98cm2 D.120cm2 36.(24-25九年级上河北石家庄期末)如图，某建筑队在一边靠墙处，计划用15米长的铁栅栏围成一 个长方形仓库，仓库总面积为y平方米，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门，若设AB=x米 则y关于x的函数关系式为() tl1122 B A.y=x15-2x) B.y=x16-2x) C.y=x14-2x) D.y=x(16-x) 37.(24-25九年级上广东中山期中)如图，小明以二次函数”=2-4r+6 的图象为模型设计了一款杯 子，如图为杯子的设计稿，若AB=6,DE=3,则杯子的高CE为 38.(26-27九年级上辽宁大连·期中)如图，某校劳动实践基地在一道长为36m的墙一侧，用长为80m的 17/22 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田.栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一 边长为x(单位：m),与墙平行的一边长为y(单位：m),面积为S(单位：m). 36m 墙 实验田 2 (I)分别求y与x,S与x之间的函数解析式，并求出自变量x的取值范围： (2)当x的值是多少时，矩形实验田的面积S最大？最大面积是多少？ 39.(24-25八年级下·浙江台州期中)根据以下素材，探索完成任务. 探索设计停车场 社区利用一块长方形 空地建了一个小型停 车场，其布局如图所 D 示，空地四周围墙， 墙 背景 入口与出口通道位置 出▣ 如右图所示.已知 7777777777777777777 AB=18m, BC=32ǘ， 社区工作者设计了四 列阴影部分为停车 位，按照中小车型停 A 车位划线标准，停车 入口 方案 位的宽度都相同，即 H GH =2BE =2DF 出口 B E 且停车位的宽度不小 于4.8m,其余部分是 等宽的通道. 18/22 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ()任务1：①设停车位的宽度为m,通道的宽度为m,求y与x之间的函数关系式： ②若停车位总面积为180m,请计算停车位的宽度是否符合标准 (2)任务2：若通道的宽度要求不小于4m,当停车位宽度取多少时，停车位总面积最大，并求出最大停车 位总面积. 40.(25-26九年级下陕西咸阳·期中)求解下列各题： D D G 图1 图2 图3 ()问题发现：如图1，在△ABC中，AB=AC,AD⊥BC于点D,AD=4,BC=6.求△ABC的面积： (2)问题探究：如图2，在正方形ABCD中，AB=8,，E,F分别是边BC,AD上的两点，将正方形 ABCD沿EF折叠，点C恰好落在边AB上的中点G处，求EF的长度； (3)问题解决：如图3，在矩形ABCD中，E,F分别是边AB,BC上的两点，△BEF沿EF折叠，点B恰 好落在对角线BD上的点P处，M,N分别是边AD,BC上的两点，四边形DMNC沿MN折叠，点D恰 好也落在对角线BD上的点P处.已知AB=30米，BC=40米，求四边形AEPM面积的最大值. 题型7图形运算问题（共6小题） 【模型】结合几何图形边长关系列代数式，建立函数，求解图形周长、面积以及相关最值问题。 【步骤】分析图形几何关系，用未知数表示线段，列出运算关系式，结合自变量范围计算求值或者求解 最值。 【易错】几何线段等量关系推导易出错，自变量要满足边长大于零，注意图形存在条件，不要得出不符 合实际的结果。 41.(24-25九年级上：内蒙古赤峰期中)如图，点E,F,G,H是边长为2的正方形ABCD各边上的点， 且AE=BF=CG=DH设A,E两点间的距离为x,四边形EFGH的面积为y,则y与x的函数图象可能为 () 19/22 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A B. D. 42.(24-25九年级上·安徽蚌埠期中)如图，在四边形ABCD中，BC∥AD,AB=BC=CD=12, AD=18,动点P,O同时从A点出发，点P以每秒2个单位长度沿折线A-B-C-D向终点D运动：点Q 以每秒1个单位长度沿线段AD向终点D运动，当其中一点运动至终点时，另一点随之停止运动.设运动 时间为x秒，△AP№的面积为y个平方单位，则下列正确表示y与x的函数关系的图象是() B Q→ D A 0 12 6 18x 0 612 18x 20/22 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C 0612 18x 0 61218 43.(25-26九年级下·湖北鄂州期中)如图1，在平行四边形ABCD中，BC⊥BD,点F从点B出发，以 2cm/s的速度沿B→C→D匀速运动，点E同时从点A出发，以2cm/s的速度沿A→B匀速运动，当其 中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动，图2是△BEF的面积S(Cm)随时间t(s)变化的函数 图象（图中MN为线段），(1)BC=cm;(2)当△BEF的面积取最大值时，运动时间t为 SA 4.57.5t 图1 图 4.(25-26九年级上辽宁大连期中)如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm,BC=8cm,点D从 点B出发，沿边BA→AC以2cm/S的速度向终点C运动，过点D作DE∥BC,交边AC(或AB)于点 ?.设点D的运动时间为⊙)，△CDE的面积为 S(cm2) 图1 图2 (I)求S关于t的函数解析式，并直接写出自变量t的取值范围. (2②)当点D在线段AB上运动时，求△CDE的面积S的最大值. 45.(25-26九年级上吉林松原期中)如图，在平面直角坐标系中，O为原点，△0AB是等腰直角三角形， 21/22 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠0BA=90°B0=BA,顶点1 -A(4,0 ,点B在第一象限，正方形OCDE的顶点 (-2,0) 点C在y轴的正 半轴上，点D在第二象限.将正方形OCDE沿x轴向右平移，得到正方形OCD'E,点O、C、D、E的对 应点分别为O、C'、D'、E'.设OO=t,正方形OCDE与aOAB重叠部分的面积为S. Y D B D B C F 图① 图② ()点B的坐标为一，点D的坐标为 (2)当点O与点A重合时，求t的值： (3)求S关于t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围。 46.(24-25九年级上·云南文山期中)己知，如图①，在平行四边形ABCD中，AB=3cm,BC=5cm, AC⊥AB,△ACD沿AC的方向匀速平移得到△PNM,速度为lcmS:同时，点O从点C出发，沿CB方 向速移动，速度为l1cmS,当△PNM停止平移时，点Q也停止移动，如图②，设移动时间为 t(s)(0<t<4) 连接P巴，Mg,MC,解答下列问题： A A M Q不 图① 图② (1)C9= BO= -,AP= CP= (2)当t为何值时，P∥MN, (3)设△QMC的面积为y(cm),求y与t之间的函数关系式. 22/22