专题10 二次函数的图象和性质8大题型40题（期中专项训练）九年级数学上学期新教材北师大版

学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题10二次函数的图象和性质 题型图谱导航总览 题型1y=a(x-h)2+k的图象和性质（重点） 基础固本强基 题型2y=ax2+bx+c的图象与性质（重点） 题型3画二次函数的图象（重点） 题型4二次函数图象与各项系数符号（重难点） 提升·进阶突破 题型5一次函数、二次函数图象综合判断（难点） 题型6根据二次函数的对称性求函数值（重难点） 题型7二次函数的平移（难点） 拔高·压轴破难 题型8待定系数法求二次函数解析式（重难点） 题型精练·靶向突破 基础固本强基 题型1y=a(x-h)2+k的图象和性质（共5小题) 【模型】顶点式二次函数，确定顶点(，k)与开口方向，依托对称轴分析函数增减、最值情况。 【步骤】读出a判断开口，找出顶点与对称轴，结合自变量范围，分析增减性，求解函数最值与对应 点。 【易错】注意顶点横坐标为，不要符号出错，区分对称轴，忽略自变量取值范围，直接套用项点求最 值会出现错误。 1/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.（26-27九年级上宁夏期中)抛物线y=(x-刂+3 的顶点坐标为() A.(3) B.（1,3) c.(1-3) D (3,) 2。（2425九年级上贵州遵义：期中)关于二次函数=？-4红-5 列说法正确的是() A.图象开口向下 B.对称轴为直线x=-2 C.在顶点处取得最小值9 D.当x<2时，y随x的增大而增大 3。（25-26九年级上宁夏固原期中)已知二次函数'=30x-+ 的图象上有三个点， 4小B(2,为C(-2,）,则，为，少的大小关系为一（用之”连接）· 4.(25-26九年级上渐江绍兴期中)已知二次函数’=(x--2 (1)求该抛物线的对称轴和顶点坐标： (2)当-1<x<2时，请直接写出y的取值范围 5.(2425九年级上云南昭通期中)如图，一次函数y=一2x+1的图象与x轴交于点4，与y轴交于点 B,二次西数y-+b:+C的图象与一次函数y=+1的图象交于及、C两点。与x轴交于D、B两点， 2 -1,0) 且点D坐标为 2/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求二次函数的解析式及项点坐标： (2)求四边形BDEC的面积S: (3)在x轴上是否存在点P,使得△PBC是直角三角形？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标，若不 存在，请说明理由， 题型2y=ax2+bx+c的图象与性质（共5小题） 【模型】一般式二次函数，由系数确定开口、对称轴、顶点，分析增减性、最值与函数图像特征。 【步骤】由判断开口方向，用公式求对称轴与顶点坐标，结合图像，分析增减性，求解函数最值问 题。 【易错】计算顶点对称轴公式不要符号出错，不要混淆a、b、c几何意义，忽略自变量范围，直接取顶 点求最值。 6,（25-26九年级上河北邯郸期中)若二次函数y=4-x-C 的图象经过 (1,)B(1,y2) 两点，则」 y2 的大小关系为() A片>2 B.片=马 C片<h D.无法确定 7。（25-26九年级下陕西咸阳期中)，下列关于抛物线'=m心+2mr-3(m>0) 的叙述，正确的是() A.开口向下 B.抛物线的顶点一定在第三象限 C.当x>1时，y随x的增大而减小 D.与y轴正半轴可以相交 8。(25-26九年级下福建泉州期中)若点1，，B+, 在抛物线)-+2x+3上，当<乃时 则‘的取值范围为一· 9（25-26九年级上广东湛江期中)在平面直角坐标系中，二次函数)=+-2的图象过点4(，)， B(2,) 3/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 0 (1)求a的值： 因已知二次局数y=am+缸-2的爱大值为1一0。求该=次局数的表达式 10,(25-26九年级下河南平顶山期中)如图，己知抛物线’=心-4r+C经过点 -10)B0,-5),点 P在抛物线上，横坐标为L,点P不与点A重合 (1)求此抛物线对应的函数表达式； (2)若点 M(t,y）N(t+2,) 都在函数图象上，且<0，则片_片；（填“>”“<”或“=”） (3)将抛物线上P,A两点之间的部分（包括端点）记作图象G,当图象G的最高点与最低点在直线 y=1-2m 的异侧时，请直接写出的取值范围。 题型3画二次函数的图象（共5小题） 【模型】二次函数抛物线图象，抓住顶点、对称轴，选取关键点描点，刻画曲线的变化形态。 【步骤】确定开口、对称轴与顶点，选取对称自变量算出对应函数值，描点，用平滑曲线连接各点画出图 像。 【易错】不能用折线连接点，取点要兼顾对称轴两侧，顶点不可遗漏，坐标轴刻度要合理，避免图象绘制 迭真 y=ax+bx-3 11.(25-26九年级上河南洛阳·期中)己知一个二次函数 图象上部分点的横坐标与纵坐标 y的对应值如表所示 -2 0 4/15 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 0 -3 m -3 0 y 5 3 5-4-3-2-10 2345 2 3 (1)求m的值 (2)在给出的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象（无需再单独列表）， (3)根据图象，直接写出当-2<x<1时，y的取值范围：一 =x2-2x-3 12.(25-26九年级上·北京期中)已知二次函数 5 4 3 -4-3-2-10 1 2345x -4 5 (将y=r-2x-3化成=a(x-+k 形式： (2)在所给的平面直角坐标系中画出此函数的图象： (3)当1<x<2时，结合图象，直接写出函数值y的取值范围. 0 3 5/15 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y=x2-2x-3 0 -3 -4 -3 0 y=x2+2x-3 13.(25-26九年级上·广东广州期中)已知抛物线 y 珠 5 3 2 6-4-3-2-1 .345 (1)该抛物线的对称轴是，顶点坐标是_： (2)选取适当的数据填入表中，并在如图的直角坐标系内描点画出该抛物线的图象： (3)若该抛物线上两点 A(x,y)B(x2,2 的横坐标满足<5<-1，试比较”，乃的大小 14.(25-26九年级上江苏徐州期中)已知二次函数'=+x+C的图象与轴的交点为 -3,0)(1,0) 3 2 + 5432-10 2.34就 3 4 (1)b= C= (2)求该图象的顶点坐标： 6/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)画出这个函数的图象，并回答： ①当y>0时，x的取值范围是一： ②当-2<x<2时，y的取值范围是 -3 -2 0 1 y=x2+2x-3 0 -3 -4 -3 0 15. （25-26九年级上江苏苏州阶段检测)如图，已知二次函数'=-4x+3 -3-2-10 ()在如图所示的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象： (2)写出抛物线的顶点坐标： (3)当-1<x<3时，直接写出y的取值范围： 提升进阶突破 题型4二次函数图象与各项系数符号（共5小题） 【模型】借助抛物线开口、对称轴、交点位置，判断a,b,c及相关代数式的符号。 【步骤】由开口判断a符号，对称轴判断b,与y轴交点判断c,结合特殊点函数值判断代数式符 号。 【易错】对称轴公式符号容易搞错，区分特殊点自变量取值，不能凭主观猜测，注意多个系数组合式子 的符号推导： 7/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 16.(25-26九年级下河南周口期中)二次函数'=r+r+ 图象开口向上，对称轴在y轴左侧，与y轴 交于负半轴，则a、b、c符号判断正确的是() A.a>0,b>0,c<0 B.a>0,b<0,c<0 C.a<0,b>0,c>0 D.a>0,b>0,c>0 y=ax2+bx+c(a≠0) A(-2,m) 17.(25-26九年级上浙江杭州期中)已知二次函数 的图象经过点 B(4, ”,若m<”,则下列判断正确的是《） A.当a>0时，a+b>0 B.当a>0时，a+b<0 C.当a<0时，a+b>0 D.当a<0时，a+b<0 18,(25,26九年级上黑龙江大庆期中)如图，二次函数'=㎡+r+C(“,6.C为常数，a≠0)的图 象与轴交于点 3,0,与'轴交于点B,对称轴为直线=l,下列四个结论：①c>0:②20+C=0: 3 3 ③am2+b加≤-a（m为任意实数)；④若2c<- 4,则-2<a+b+c<-1,其中正确结论为() A.①② B.①④ C.②③ D.①③④ y=ax2+bx+c(a≠0) 19.(25-26九年级上贵州遵义·期中)二次函数 的图象如图，给出下列四个结论： ①a>0；②b>0;③b2-4ac>0;④a+b+c>0;其中结论正确有一（直接写编号）. 8/15 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =ax2+bx+c(a≠0) 20.(25-26九年级上内蒙古赤峰期中)如图，已知抛物线 图象的对称轴是直线 x=1, 0,2 且过点 ,顶点在第一象限，其部分图象如图所示。下列命题中：①c<0:②2a+b<-l,③ 对于任意实数，都 a+b之m(am+b),④点2 ④点E(,）,点F(,)是抛物线'=ar+c+ca≠0)上的 两个点，若<西且+书>2片>为 且 ，则 真命题的序号有」 题型5一次函数、二次函数图象综合判断（共5小题） 【模型】结合一次、二次函数图象特征，根据系数，分析图象位置，对相关结论进行辨别判断。 【步骤】分别分析两个函数系数，获取图象信息，对比交点、增减性，逐项甄别选项结论是否成立。 【易错】注意两个函数系数不一定相同，不要混淆图象性质，看清交点含义，避免主观臆断造成结论判 断失误。 ------- ---------------------------------------- ---- 21.(26-27九年级上宁夏期中)在同一平面直角坐标系中，一次函数 y=ax+c y=ax+c 和二次函数 的 图象大致为() 9/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 22.(26-27九年级上广西期中)在同一平面直角坐标系中，一次函数 y=ax+b y=ax2+bx 与二次函数 的图像可能是() 0 23. (26-27九年级上·甘肃期中)在同一平面直角坐标系中，一次函数y=r+b和二次函数 y=ax2+bx+c 的图象可能是() 10/15 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 24.(25-26九年级上江西宜春期中)在同一平面直角坐标系中，一次函数y=心+b的图象和二次函数 y=-a(x+b) 的图象可能是() 不义木 y=ax2+bx+c a,b,c 25.(25-26九年级下·黑龙江期中一次函数 =ax+b 和二次函数 是常数，且 a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是() B 11/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型6根据二次函数的对称性求函数值（共5小题） 【模型】利用二次函数对称轴，点关于对称轴对称则函数值相等，转化自变量求解函数值。 【步骤】求出抛物线对称轴，算出己知点的对称点横坐标，利用函数值相等，代入解析式求得对应函数 值。 【易错】计算对称点横坐标谨防符号出错，分清点到对称轴距离，不要混淆自变量，不能直接套用顶点 坐标乱代数值。 26. (25-26九年级上广东东莞期中)抛物线y=+br+ -1,m)(3,m) 经过点 则这条抛物线的 对称轴是() A.直线x=-1 B.直线x=0 C.直线x=1 D.直线x=3 2.2425九车级上河南襟E期肿)已知二次正数=+x+e(o>0)的室家过点4小.B(6.若 点CD(Q,E(6,y 也在该二次函数图象上，则下列结论正确的是() A.片<为<为 B.片<h<为 C.⅓<h<为 D.片<为<乃 28. =ax2+bx+c(a≠0) (24-25九年级上·上海·阶段检测)已知抛物线 上部分点的横坐标x和纵坐标'的 对应值如下表 0 3 5 7 7 15 -5 -5 2 2 2 根据上表，下列判断正确的是() A.该抛物线开口向上 B.沿x轴正方向，该抛物线在对称轴左侧部分是下降 C.该抛物线一定经过点【 12/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D.该抛物线的对称轴是直线x=1 29。(25-26九年级上黑龙江鹤岗期中)已知二次函数”=ar+r+ca<0)的图象上有四点4L）, B3,y)C(2,).D(-2,)则为为的大小关系是 一.（从小到大排列） 30.(25-26九年级上·浙江宁波阶段检测)已知二次函 y=2-2+c(a≠0)的图象与x轴有两个交点， 4,0) 其中一个交点为 ,则另一个交点为 拔高压轴破难 题型7二次函数的平移（共5小题） 【模型】二次函数平移只改变顶点位置，开口大小方向不变，遵循“左加右减，上加下减”规律。 【步骤】将解析式化为顶点式，按照平移方向与距离对h、k做加减变换，写出平移后新的函数解析 式。 【易错】左加右减只针对x本身，易搞错符号：一般式平移不要直接在x上加减，建议先化成顶点式 再运算。 31.(26-27九年级上甘肃期中)将抛物线'=-2(x-3+5 向左平移2个单位长度，再向上平移4个单 位长度后的抛物线的函数表达式为() A.y=-2(x-102+9 B.y=-2(x-5)}2+9 c.y=-2(x-1+1 D.y=-2(x-5)}+1 13/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 32.(26-27九年级上·天津·期中)将抛物线 y=x+1 向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得抛物 线是() A.y=(x+2)}-3 B.y=(x+2)}-2 C.y=(x-2)}2-3 D.y=(x-2)}'-2 33。(24-25九年级上湖北武汉期中)抛物线)=2(x+- 图象向左平移3个单位，再向上平移2个单 y=2x2+bx+c 位，所得图象的解析式为 则C的值为() , A.b=-8,c=9B.b=-16,c=29 C.b=16,c=33 D.b=16,c=29 31。（24-25九年级上湖南长沙期中)将函数'=-2× 向左平移1个又向上平移3个单位长度可得到二次 函数 35。（23-24九年级上渐江宁波期中)若抛物线”=4 向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度， 则所得的抛物线的解析式是 题型8待定系数法求二次函数解析式（共5小题） 【模型】根据己知条件选合适函数形式，代入点坐标列方程，求解系数得到二次函数解析式。 【步骤】依据条件选取一般式、顶点式或交点式，把已知点坐标代入，解方程求出系数，写出函数解析 式。 【易错】解析式形式选择不当增加计算量，解方程系数计算符号易出错，求出系数后要代回检验是否符 合己知点。 y=-2x2+2 36.(24-25九年级上·云南昆明期中)如果一条抛物线的开口大小、开口方向均与抛物线 相 （4,-2) 同，且顶点坐标是 ,则它的解析式是() 14/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.y=-2(x-42-2 B.y=2(x-4)2-2 C.y=-2(x+4)2+2 D.y=-2(x+4)2+2 37.(25-26九年级上北京东城期中)已知二次函数的图象经过点40，-3)，B(2-3),C-1,0),则此 二次函数的解析式是」 38.(25-26九年级上·湖南湘西·期中)一条抛物线的顶点为 山，-3)，与轴的交点是 0,-5) 求该抛物线 的解析式及其对称轴. 39.(25:26九年级上全国期中)已知二次函数’=+br+2 1,5) 图象经过点 对称轴为直线x=2 (1)求该二次函数的解析式： (2)当-1≤x≤3时，求函数值y的取值范围。 40。（25-26九年级上贵州黔南期中)已知二次函数"=+r+(a≠0 中自变量x和函数值y的部分对 应值如表所示： -1 0 1 2 3 4 5 6 3 2 3 6 11 18 (1)请直接写出该二次函数图象的顶点坐标： (2)请求出该二次函数的解析式： (3)当-2<x<2时，求y的取值范围. 15/15专题10 二次函数的图象和性质 基础·固本强基 题型1 y=a（x-h）²+k的图象和性质（重点） 题型2  y=ax²+bx+c的图象与性质（重点） 题型3 画二次函数的图象（重点） 提升·进阶突破 题型4 二次函数图象与各项系数符号（重难点） 题型5 一次函数、二次函数图象综合判断（难点） 题型6 根据二次函数的对称性求函数值（重难点） 拔高·压轴破难 题型7 二次函数的平移（难点） 题型8 待定系数法求二次函数解析式（重难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 y=a（x-h）²+k的图象和性质（共5小题） 【模型】顶点式二次函数，确定顶点(h,k)与开口方向，依托对称轴分析函数增减、最值情况。 【步骤】读出a判断开口，找出顶点与对称轴，结合自变量范围，分析增减性，求解函数最值与对应点。 【易错】注意顶点横坐标为h，不要符号出错，区分对称轴，忽略自变量取值范围，直接套用顶点求最值会出现错误。 1．（26-27九年级上·宁夏·期中）抛物线的顶点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：抛物线的顶点坐标为. 2．（24-25九年级上·贵州遵义·期中）关于二次函数下列说法正确的是（    ） A．图象开口向下 B．对称轴为直线 C．在顶点处取得最小值 D．当时，y随x的增大而增大 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟知二次函数的性质是解答的关键．首先二次函数配方成顶点式，然后根据二次函数的性质逐项判断即可． 【详解】解：∵，二次项系数为， ∴该二次函数的图象开口向上，故选项A错误，不符合题意； 对称轴为直线，故选项B错误，不符合题意； 在顶点处取得最小值，故选项C正确，符合题意； 当时，y随x增大而减小，故选项D错误，不符合题意， 故选：C． 3．（25-26九年级上·宁夏固原·期中）已知二次函数的图象上有三个点，，则，，的大小关系为______（用“”连接）． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，由二次函数解析式可得二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，二次函数图象上的点离对称轴的距离越远函数值越大，据此解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数， ∴二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，二次函数图象上的点离对称轴的距离越远函数值越大， ∵， ∴， 故答案为：． 4．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）已知二次函数． (1)求该抛物线的对称轴和顶点坐标； (2)当时，请直接写出的取值范围__________． 【答案】(1)对称轴为直线，顶点坐标为 (2) 【分析】本题考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是会由二次函数的顶点式得知二次函数的性质． （1）根据顶点式即可求解； （2）利用开口方向和对称轴及自变量的取值即可求得y的取值范围． 【详解】（1）解：∵， ∴对称轴为直线，顶点坐标为 （2）解：∵，， ∴抛物线开口向上， ∴当时，函数最小值为， ∵ ∴y的取值上界由处的函数值决定， 将代入，得， ∴当时，y的取值范围， 故答案为：． 5．（24-25九年级上·云南昭通·期中）如图，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，二次函数的图象与一次函数的图象交于B、C两点，与x轴交于D、E两点，且点D坐标为． (1)求二次函数的解析式及顶点坐标； (2)求四边形的面积S； (3)在x轴上是否存在点P，使得是直角三角形？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2) (3)P的坐标为或或或 【分析】题目主要考查二次函数与一次函数综合问题，勾股定理解三角形，面积问题等，理解题意，进行分类讨论是解题关键． （1）根据题意得出，然后利用待定系数法确定函数解析式，化为顶点式求出顶点坐标即可； （2）根据两个函数得出，结合图象得出求解即可； （3）设点，根据题意得出，然后分三种情况：当P为直角顶点时，当B为直角顶点时，当C为直角顶点时，分别求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得，当时，， ∴， 将， 代入得 ，解得， ∴二次函数的解析式， ∵， ∴顶点坐标为； （2）根据题意得：联立两个函数， 解得：或， ∴， ∴，， ∴四边形的面积为：； （3）设点， ∵， ∴， 当P为直角顶点时，， ∴， 解得：或， ∴或； 当B为直角顶点时，， ∴， 解得：， ∴； 当C为直角顶点时，， ∴， 解得：， ∴； 综上可得：P的坐标为或或或 ． 题型2  y=ax²+bx+c的图象与性质（共5小题） 【模型】一般式二次函数，由系数确定开口、对称轴、顶点，分析增减性、最值与函数图像特征。 【步骤】由 a 判断开口方向，用公式求对称轴与顶点坐标，结合图像，分析增减性，求解函数最值问题。 【易错】计算顶点对称轴公式不要符号出错，不要混淆 a、b、c 几何意义，忽略自变量范围，直接取顶点求最值。 6．（25-26九年级上·河北邯郸·期中）若二次函数的图象经过，两点，则，的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查比较函数值的大小，通过直接代入函数计算，的值，然后比较大小． 【详解】解：∵ 点 和 在二次函数的图象上， ∴， ， ∴， ∴． 故选 A． 7．（25-26九年级下·陕西咸阳·期中）下列关于抛物线的叙述，正确的是（  ） A．开口向下 B．抛物线的顶点一定在第三象限 C．当时，随的增大而减小 D．与轴正半轴可以相交 【答案】B 【分析】利用二次函数的基本性质，通过配方得到抛物线的顶点坐标和对称轴，利用到二次函数开口方向，增减性，与坐标轴交点坐标，逐一分析各选项的正确性． 【详解】解：先对抛物线配方得： ∵ ∴抛物线开口向上，A错误． 抛物线顶点坐标为 ∵， ∴ 顶点横坐标小于0，纵坐标小于0，因此顶点在第三象限，B正确． ∵抛物线对称轴为，开口向上， ∴时，随的增大而增大， ∵， ∴当时，随的增大而增大，C错误． 令，得，抛物线与轴交于，交点在轴负半轴，D错误． 综上，答案选B． 8．（25-26九年级下·福建泉州·期中）若点在抛物线上，当时，则的取值范围为_____． 【答案】 【分析】根据点在抛物线上的性质，将点的横坐标代入抛物线解析式表示出，再根据列出一元一次不等式，解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：∵点在抛物线上， ∴，，由得： ． 9．（25-26九年级上·广东湛江·期中）在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点，． (1)求的值； (2)已知二次函数的最大值为．求该二次函数的表达式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用二次函数的对称性进行求解； （2）利用二次函数的顶点坐标及，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：二次函数的图象过点，， 对称轴为直线， ； （2）解：二次函数的最大值为， ，， 又， ， ，整理得， 即， 解得，， ， ，则， ． 10．（25-26九年级下·河南平顶山·期中）如图，已知抛物线经过点，，点P在抛物线上，横坐标为m，点P不与点A重合. (1)求此抛物线对应的函数表达式； (2)若点，都在函数图象上，且，则 ；（填“”“”或“”） (3)将抛物线上P，A两点之间的部分（包括端点）记作图象G，当图象G的最高点与最低点在直线的异侧时，请直接写出m的取值范围. 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）运用待定系数法把，代入，解方程组即可； （2）先求出抛物线的对称轴，然后结合图象，根据二次函数的增减性求解即可； （3）分四种情况：当时，当时，当时，当时，利用图象法求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，， ∴， 解得， ∴此抛物线对应的函数表达式为； （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴是直线， ∵， ∴， ∵抛物线的对称轴是直线，抛物线开口向上， ∴在对称轴左侧y随x的增大而减小， ∴， 故答案为：； （3）解：m的取值范围是或. 当时，图象G的最高点为，最低点为，如图1， 依题意得：， 解得； 当时，图象G的最高点为，最低点为，如图2， 依题意得：， 解得； 当时，图象G的最高点为，最低点为抛物线的顶点，如图3， 依题意得：， 解得； 当时，图象G的最高点为，最低点为抛物线的顶点，如图4， 此时，图象G的最高点与最低点在直线的同侧，不符合题意舍去； 综上所述，m的取值范围为或． 题型3 画二次函数的图象（共5小题） 【模型】二次函数抛物线图象，抓住顶点、对称轴，选取关键点描点，刻画曲线的变化形态。 【步骤】确定开口、对称轴与顶点，选取对称自变量算出对应函数值，描点，用平滑曲线连接各点画出图象。 【易错】不能用折线连接点，取点要兼顾对称轴两侧，顶点不可遗漏，坐标轴刻度要合理，避免图象绘制失真。 11．（25-26九年级上·河南洛阳·期中）已知一个二次函数图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表所示． … 0 1 … … 0 0 … (1)求的值． (2)在给出的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象（无需再单独列表）． (3)根据图象，直接写出当时，的取值范围： ． 【答案】(1) (2) 根据表格中数据，描点、连线得：如图所示： (3) 【分析】本题主要考查待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）依据题意，根据表格数据可设，将代入得，求出a的值即可得出解析式，再把代入解析式即可求出m的值； （2）描点、连线即可得出答案； （3）根据二次函数的性质求出最小、最大值即可得出y的范围． 【详解】（1）解：由题意，根据表格数据，设， ∴将代入得， ∴， ∴抛物线解析式为，即， 把代入得：； （2）略 （3）解：根据图象，当时，y的取值范围为． 故答案为：． 12．（25-26九年级上·北京·期中）已知二次函数． (1)将化成的形式； (2)在所给的平面直角坐标系中画出此函数的图象； (3)当时，结合图象，直接写出函数值的取值范围． 【答案】(1) (2) 函数图象如下所示： (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的顶点式、二次函数的图象、二次函数的性质等知识点，准确画出二次函数的图象成为解答本题的关键． （1）运用配方法将原解析式化为顶点式即可； （2）根据（1）所得的顶点式解析式，利用五点作图法直接画出图象即可； （3）根据函数图象确定当时对应的y的取值范围即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：列表如下： … 0 1 2 3 … … 0 0 … （3）解：由函数图象可知，当时，函数值的取值范围为． 13．（25-26九年级上·广东广州·期中）已知抛物线． ．．． ．．． ．．． ．．． (1)该抛物线的对称轴是 ，顶点坐标是 ； (2)选取适当的数据填入表中，并在如图的直角坐标系内描点画出该抛物线的图象； (3)若该抛物线上两点，的横坐标满足，试比较，的大小． 【答案】(1)； (2) 依次描点、连线如图所示， (3) 【分析】本题主要考查二次函数的综合知识，二次函数中对称轴的计算方法，顶点的计算方法和绘图的方法，熟知二次函数图像的性质是解题的关键． （1）将抛物线变为顶点式即可求解顶点坐标； （2）根据抛物线自变量的取值范围，适当选取自变量的值，计算函数值，并在平面直角坐标系中描点，连线即可； （3）根据函数图像的性质即可求解． 【详解】（1）解： ， ∴抛物线的对称轴是，顶点坐标是， 故答案为：，； （2）解：当时，， 当时， 或 解得， 当时， ， 综上所述，可选取 （3）解：∵， ∴由图可得． 14．（25-26九年级上·江苏徐州·期中）已知二次函数的图象与轴的交点为，． (1)______；______； (2)求该图象的顶点坐标； (3)画出这个函数的图象，并回答： ①当时，的取值范围是_____； ②当时，的取值范围是_____． 【答案】(1)2， (2) (3)画图如下： ①或；② 【分析】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，画二次函数图象，二次函数的性质，解题的关键是求出二次函数解析式． （1）将，代入求解即可； （2）将表达式配方成顶点式求解即可； （3）①利用五点作图法画出图象，然后根据图象求解即可； ②根据图象求解即可． 【详解】（1）解：将，代入得， 解得； 故答案为：2，． （2）∵，， ∴ ∴该图象的顶点坐标为； （3）①列表如下： x 0 1 0 0 ∴由图象得，当时，的取值范围是或； 故答案为：或； ②当时，， ∴由图象得，当时，的取值范围是． 故答案为：． 15．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，已知二次函数． (1)在如图所示的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； (2)写出抛物线的顶点坐标：______； (3)当时，直接写出y的取值范围：______． 【答案】(1) 画出函数图象如图所示： (2) (3) 【分析】本题考查了画二次函数的图象，将二次函数的解析式化为顶点式，二次函数的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）求出当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；再描点、连线即可得解； （2）将抛物线的解析式化为顶点式，即可得解； （3）求出当时，，再结合函数图象即可得解． 【详解】（1）解：当时，；当时，；当时，；当时，；当时，； （2）解：， 故抛物线的顶点坐标为； （3）解：当时，， 由图象可得，当时， y的取值范围为． 提升·进阶突破 题型4 二次函数图象与各项系数符号（共5小题） 【模型】借助抛物线开口、对称轴、交点位置，判断 a，b，c 及相关代数式的符号。 【步骤】由开口判断 a 符号，对称轴判断 b，与 y 轴交点判断 c，结合特殊点函数值判断代数式符号。 【易错】对称轴公式符号容易搞错，区分特殊点自变量取值，不能凭主观猜测，注意多个系数组合式子的符号推导。 16．（25-26九年级下·河南周口·期中）二次函数图象开口向上，对称轴在y轴左侧，与y轴交于负半轴，则a、b、c符号判断正确的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】根据二次函数的图象与性质，分别通过开口方向、对称轴位置、与y轴交点位置判断a、b、c的符号，从而得到正确选项． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向上， ∴， ∵对称轴在y轴左侧，二次函数对称轴为直线， ∴， ∴， ∵二次函数图象与y轴交于负半轴，当时，， ∴， 综上，，，，故选项A符合题意． 17．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）已知二次函数的图象经过点，，若，则下列判断正确的是（ ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象性质，熟练掌握二次函数图象性质是解题的关键． 由点，代入二次函数，根据推导出，再分析a的符号对的影响． 【详解】解：二次函数图象经过点，， 则，， 由于，得 整理得： 令 则， 当时， 则 故选：C． 18．（25-26九年级上·黑龙江大庆·期中）如图，二次函数（，，为常数，）的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③（为任意实数）；④若，则，其中正确结论为（   ） A．①② B．①④ C．②③ D．①③④ 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数图象的性质等知识点，能熟练利用二次函数的性质进行分析、判断是解题的关键． ①由图象得，，由对称轴可判断的符号，即可判断；②由对称轴得图象与x轴交于另一点，，可得，即可判断；③由二次函数的最值得，可得，即可判断；④由②可求，，代入，即可判断； 【详解】解：①由图象得：，， ， ， ，故①正确； ②∵对称轴为直线，图象与x轴交于点， ∴图象与x轴交于另一点， ， ，即，即②错误； ③∵，对称轴为直线， ∴当时，， ∴，即（m为任意实数）， ∴， ∴， ∴（m为任意实数），故③错误； ④∵，， ，， ∴ ， ， ， ∴，故④正确． 故正确的结论有：①④． 故选：B． 19．（25-26九年级上·贵州遵义·期中）二次函数的图象如图，给出下列四个结论：①；②；③；④；其中结论正确有_____（直接写编号）． 【答案】③ 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，根据开口方向可判断①，根据对称轴公式可判断②，根据函数图象与x轴有两个不同的交点可判断③，根据当时，可判断④． 【详解】解：∵函数图象开口向下， ∴，故①错误； ∵对称轴为直线， ∴， ∴，故②错误； 由函数图象可知，二次函数的图象与x轴有两个不同的交点， ∴，故③正确； 由函数图象可知，当时，， ∴，故④错误； ∴正确的只有③， 故答案为：③． 20．（25-26九年级上·内蒙古赤峰·期中）如图，已知抛物线图象的对称轴是直线，且过点，顶点在第一象限，其部分图象如图所示．下列命题中：①②；③对于任意实数m，都有；④点，点是抛物线上的两个点，若且，则真命题的序号有_______ 【答案】①③④ 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象的性质等等，根据二次函数的性质可得，可判断结论①和结论②；由时，函数值最大可判断结论③；根据得到点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离可判断结论④． 【详解】解：∵二次函数开口向下，与y轴交于正半轴， ∴， ∵二次函数的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，，故①正确，②错误； ∵二次函数开口向下，对称轴为直线， ∴当时，二次函数有最大值，最大值为， ∴不论取何值，都有， ∴，故③正确； ∵对称轴是直线，且， ∴点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离 ∵二次函数开口向下， ∴离对称轴越远函数值越小， ∴，故④正确． 综上所述，正确的选项是①③④． 故答案为：①③④． 题型5 一次函数、二次函数图象综合判断（共5小题） 【模型】结合一次、二次函数图象特征，根据系数，分析图象位置，对相关结论进行辨别判断。 【步骤】分别分析两个函数系数，获取图象信息，对比交点、增减性，逐项甄别选项结论是否成立。 【易错】注意两个函数系数不一定相同，不要混淆图象性质，看清交点含义，避免主观臆断造成结论判断失误。 21．（26-27九年级上·宁夏·期中）在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数的开口方向，与y轴的交点，一次函数经过的象限，再结合相关图象即可求出结果． 【详解】解：∵一次函数和二次函数都经过y轴上的， ∴两个函数图象交于y轴上的同一点，故B选项错误； 当时，二次函数开口向上，一次函数必经过一、三象限，故C选项错误； 当时，二次函数开口向下，一次函数必经过二、四象限，故A选项错误，D选项正确． 22．（26-27九年级上·广西·期中）在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图像可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数图像的识别，熟练掌握二次函数图像与一次函数图像的性质是解题关键．根据图像分别判断二次函数解析式中的符合以及一次函数解析式中的符号，判断是否一致，即可获得答案． 【详解】解：A、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故本选项不符合题意； B、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故本选项符合题意； C、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故本选项不符合题意； D、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，故本选项不符合题意． 23．（26-27九年级上·甘肃·期中）在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，故本选项符合题意； B、由抛物线可知，由直线可知，故本选项不符合题意； C、由抛物线可知，由直线可知，故本选项不符合题意； D、由抛物线可知，，得，由直线可知，，故本选项不符合题意． 24．（25-26九年级上·江西宜春·期中）在同一平面直角坐标系中，一次函数的图象和二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象，一次函数的图象，掌握二次函数和一次函数的图象是解决本题的关键． 由一次函数图象与二次函数的图象分别求出对应的，的范围，再相比较看是否一致即可． 【详解】解：A、由抛物线可知，，，由直线可知，，，矛盾，故本选项不符合题意； B、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项符合题意； C、由抛物线可知，，，由直线可知，，，矛盾，故本选项不符合题意； D、由抛物线可知，，，由直线可知，，，矛盾，故本选项不符合题意． 故选：B． 25．（25-26九年级下·黑龙江·期中）一次函数和二次函数（是常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先观察每一个选项中二次函数图象得到字母系数，的正负，接下来判断一次函数的图象中的参数，的正负； 结合每一个选项按照此方法进行判断，当两个函数的，取值一致时，即为正确答案． 【详解】解：：一次函数，二次函数，可得，不符合题意； ：一次函数，；二次函数，，可得，符合题意； ：一次函数，二次函数，不符合题意； ：一次函数，二次函数，不符合题意． 题型6 根据二次函数的对称性求函数值（共5小题） 【模型】利用二次函数对称轴，点关于对称轴对称则函数值相等，转化自变量求解函数值。 【步骤】求出抛物线对称轴，算出已知点的对称点横坐标，利用函数值相等，代入解析式求得对应函数值。 【易错】计算对称点横坐标谨防符号出错，分清点到对称轴距离，不要混淆自变量，不能直接套用顶点坐标乱代数值。 26．（25-26九年级上·广东东莞·期中）抛物线经过点，，则这条抛物线的对称轴是（  ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 抛物线经过点，，两点纵坐标相同，说明它们关于对称轴对称，据此进行计算求解即可． 【详解】解：抛物线经过点，，且纵坐标相等， 两点关于抛物线的对称轴对称， 对称轴为，即直线． 故选：C． 27．（24-25九年级上·河南濮阳·期中）已知二次函数的图象过点，若点也在该二次函数图象上，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的对称性和增减性是解题关键．由，和点，得出二次函数图象开口向上，对称轴为直线，即可得到答案． 【详解】解：二次函数的图象过点， 二次函数图象开口向上，对称轴为直线， 距离对称轴越远的点，函数值越大， 点在该二次函数图象上，且点离对称轴最远，点离对称轴最近， ， 故选：B． 28．（24-25九年级上·上海·阶段检测）已知抛物线上部分点的横坐标和纵坐标的对应值如下表 0 1 3 4 5 根据上表，下列判断正确的是（  ） A．该抛物线开口向上 B．沿x轴正方向，该抛物线在对称轴左侧部分是下降 C．该抛物线一定经过点 D．该抛物线的对称轴是直线 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数图象的轴对称性，是解题的关键． 根据表格，可知：该抛物线的对称轴是：直线，当时，随的增大而增大，从而可得到答案． 【详解】解：∵抛物线过点， ∴该抛物线的对称轴是：直线，故D错误； ∵该抛物线的对称轴是：直线， ∴点和点是对称点，即点在抛物线上，故C正确； ∵由表格可知：当时，随的增大而增大， ∴该抛物线开口向下，该抛物线在对称轴左侧部分是上升的，故A，B错误； 故选：C． 29．（25-26九年级上·黑龙江鹤岗·期中）已知二次函数的图象上有四点，， ，则 的大小关系是 ______．（从小到大排列） 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的增减性．当二次项系数时，在对称轴的左边，随的增大而减小，在对称轴的右边，随的增大而增大；时，在对称轴的左边，随的增大而增大，在对称轴的右边，随的增大而减小． 由于二次函数开口向下（），点和点纵坐标相同，故它们关于对称轴对称，可求对称轴为直线．点在对称轴上，故为最大值．点到对称轴的距离大于点或到对称轴的距离，故．因此大小关系为． 【详解】由二次函数可知，抛物线开口向下． ∵点和点的纵坐标相同， ∴它们关于抛物线的对称轴对称，对称轴为直线． ∴点在对称轴上，故为函数的最大值． ∵点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为，由于抛物线开口向下，距离对称轴越远，函数值越小， ∴． 综上，． 故答案为：． 30．（25-26九年级上·浙江宁波·阶段检测）已知二次函数的图象与x轴有两个交点，其中一个交点为，则另一个交点为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的对称性， 先求出抛物线的对称轴，再根据对称性求出答案即可. 【详解】解：二次函数的对称轴是， 设另一个交点坐标为，根据题意，得 ， 解得， 所以另一个交点的坐标为. 故答案为：. 拔高·压轴破难 题型7 二次函数的平移（共5小题） 【模型】二次函数平移只改变顶点位置，开口大小方向不变，遵循 “左加右减，上加下减” 规律。 【步骤】将解析式化为顶点式，按照平移方向与距离对 h、k 做加减变换，写出平移后新的函数解析式。 【易错】左加右减只针对 x 本身，易搞错符号；一般式平移不要直接在 x 上加减，建议先化成顶点式再运算。 31．（26-27九年级上·甘肃·期中）将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度后的抛物线的函数表达式为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度后的抛物线的函数表达式为 ． 32．（26-27九年级上·天津·期中）将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得抛物线是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线的平移规律：左加右减，上加下减，即可得解． 【详解】解：由题意得， 平移后的抛物线为． 33．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）抛物线图象向左平移3个单位，再向上平移2个单位，所得图象的解析式为，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，关键是掌握“左加右减，上加下减”的平移规律． 根据平移的规律求得解析式，化成一般式即可求得． 【详解】抛物线图象向左平移3个单位，再向上平移2个单位， 所得图象的解析式为， 即， ， 故选：C． 34．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）将函数向左平移1个又向上平移3个单位长度可得到二次函数_________． 【答案】 【分析】本题考查二次函数图象的平移，熟知函数图象平移规则是解答的关键． 根据图象平移规则“左加右减，上加下减”求解即可． 【详解】解：将二次函数的图象向左平移1个单位，再向上平移3个单位，可得到的抛物线是， 故答案为：． 35．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）若抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，则所得的抛物线的解析式是 ____． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数图形的平移，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数图形平移的规律． 根据“左加右减，上加下减”的原则进行解答即可． 【详解】解：由二次函数平移“左加右减，上加下减”的原则可知：抛物线的解析式是． 故答案为：． 题型8 待定系数法求二次函数解析式（共5小题） 【模型】根据已知条件选合适函数形式，代入点坐标列方程，求解系数得到二次函数解析式。 【步骤】依据条件选取一般式、顶点式或交点式，把已知点坐标代入，解方程求出系数，写出函数解析式。 【易错】解析式形式选择不当增加计算量，解方程系数计算符号易出错，求出系数后要代回检验是否符合已知点。 36．（24-25九年级上·云南昆明·期中）如果一条抛物线的开口大小、开口方向均与抛物线相同，且顶点坐标是，则它的解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根据顶点式运用待定系数法求二次函数的解析式的运用．根据二次函数的顶点式即可求解． 【详解】解：∵二次函数的图象顶点坐标为， ∴抛物线的解析式为， 又∵抛物线的开口大小、开口方向均与抛物线相同， ， 则， 故选：A． 37．（25-26九年级上·北京东城·期中）已知二次函数的图象经过点，，，则此二次函数的解析式是_____________． 【答案】 【分析】利用待定系数法求解即可． 【详解】解：设此二次函数的解析式为， ∵二次函数的图象经过点，，， ∴，解得， ∴此二次函数的解析式为． 38．（25-26九年级上·湖南湘西·期中）一条抛物线的顶点为，与轴的交点是．求该抛物线的解析式及其对称轴． 【答案】抛物线的解析式为（或一般式），对称轴为直线． 【分析】根据顶点坐标设抛物线顶点式，代入已知点坐标求待定系数，再由顶点坐标得对称轴． 【详解】解：抛物线的顶点为， 设抛物线的解析式为． 抛物线与轴交于点， 将代入解析式，得，解得． 抛物线的解析式为，化为一般式为． 抛物线的顶点坐标为， 该抛物线的对称轴为直线． 39．（25-26九年级上·全国·期中）已知二次函数的图象经过点，对称轴为直线． (1)求该二次函数的解析式； (2)当时，求函数值y的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了求二次函数的解析式，二次函数的区间最值，熟练掌握用待定系数法求解二次函数解析式的方法以及二次函数的增减性是解题的关键． （1）将点代入得出，根据对称轴得出，即可解答； （2）根据二次函数的增减性，分别求出该函数的最大值以及当和当时y的值，即可解答． 【详解】（1）解：将点代入，得， ∴， 又∵对称轴为直线，即， ∴， 把代入得：， ， 该二次函数的解析式为 （2）解：，对称轴为直线，， 当时，y取最大值，最大值为 当时，y随x的增大而增大，当时，； 当时，y随x的增大而减小，当时， 当时，函数值y的取值范围为 40．（25-26九年级上·贵州黔南·期中）已知二次函数中自变量x和函数值y的部分对应值如表所示： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 6 3 2 3 6 11 18 … (1)请直接写出该二次函数图象的顶点坐标； (2)请求出该二次函数的解析式； (3)当时，求y的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式． （1）根据表格即可求解； （2）设该二次函数的解析式为，由表格可知，该二次函数的图象过点，再代入求解即可； （3）根据二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：由表格可得，当和时函数值均为， ∴对称轴为直线， ∴由表格可得顶点为； （2）解：设该二次函数的解析式为． 由表格可知，该二次函数的图象过点， ∴，解得， ∴， 即该二次函数的解析式为； （3）解：当时，，当时， 当时，； ∴当时，． $