专题09 相似综合与应用8大题型43题（期中专项训练）九年级数学上学期新教材北师大版

专题09 相似综合与应用 基础·固本强基 题型1 利用相似三角形的性质求建筑物的高度（重点） 题型2 利用相似三角形的性质解决小孔成像问题（重点） 题型3 利用相似三角形的性质求旗杆的高度（重点） 提升·进阶突破 题型4 利用相似三角形的性质解决光线路径问题（重点） 题型5 利用相似三角形的性质求树高（难点） 题型6 利用相似三角形的性质解决古代问题（重点） 拔高·压轴破难 题型7 利用相似三角形的性质解决杠杆问题（难点） 题型8 利用相似三角形的性质求现实相关问题（重难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 利用相似三角形的性质求建筑物的高度（共5小题） 【模型】借助太阳光形成相似三角形，利用物高与影长成正比，建立比例求解建筑物实际高度。 【步骤】确定参照物高度与影长，测出建筑物影长，利用物高影长比例关系，列式计算建筑物的高度。 【易错】保证同一时刻测量影长，单位要统一，分清物高和影长的对应关系，避免比例前后项颠倒造成计算错误。 1．（25-26九年级上·湖南常德·期中）如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆测量建筑物的高度，已知标杆高，测得，，则建筑物的高是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的应用，正确理解题意并利用相似三角形的判定与性质求解是关键．先证明，再根据相似三角形的对应边成比例列方程求解即可． 【详解】解：，， ， ，， 解得． 故选：A． 2．（24-25九年级上·河南南阳·期末）如图，小明为了测量一凉亭的高度（顶端到水平地面的距离），在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶等高的台阶（米，、、三点共线），把一面镜子水平放置在平台上的点处，测得米，然后沿直线后退到点处，这时恰好在镜子里看到凉亭的顶端，测得米，小明身高米，则凉亭的高度约为（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的应用，由题意知，，则，根据性质的，然后代入即可求解，掌握相似三角形的应用是解题的关键． 【详解】解：由题意知：，， ∴， ∴， ∴， ∴（米）， ∴（米）， 故选：． 3．（23-24九年级上·广东深圳·期中）如图是小玲设计用手电来测量家附近“新华大厦”高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到大厦的顶端C处，已知，，且测得，，，那么该大厦的高度约为______m．    【答案】16 【分析】本题考查相似三角形性质的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题． 因为小玲和新华大厦均和地面垂直，且光线的入射角等于反射角，因此构成一组相似三角形，利用对应边成比例即可解答． 【详解】解：根据题意，,, ． 即 故； 那么该古城墙的高度是， 故答案为：16． 4．（24-25九年级下·陕西西安·期中）三国时期，魏人刘徽撰写的《海岛算经》乃中国最早的一部测量数学专著，专注于测高望远之术．受此启发，小刚设计了一种测量塔高的方案：如图，在地面上C 处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆，这时地面上的点E、标杆的顶端点 D与塔尖点B恰好在同一直线上，测得的距离为5米．随后，将标杆向后平移到点G处，此时地面上的点F、标杆的顶端点H 与塔尖点B仍在同一直线上（点F、点G、点E、点C 与塔底处的点A 在同一直线上），并测得 米， 米，请依据这些数据计算该塔的高度 【答案】古塔的高度为82米 【分析】本题考查相似三角形的应用，根据题意易知，，可得，；因为，推出，列出方程求出（米），由，可得，由此即可解决问题． 【详解】解：由题意得：，， ∴， ∴，， ∴，， ， ∴， ， （米）， ∵， ∴， （米）， 答：古塔的高度为82米． 5．（25-26九年级下·陕西宝鸡·期中）周末，小强带领组员一起去测量学校附近的音乐厅的高度．小强带着自己在网上定制的直角，想借助它利用所学的数学知识测量音乐厅的高度．他们通过多次调整位置，使得斜边与点在同一条直线上，一条直角边与音乐厅的顶点在同一条直线上，测得小强的眼睛与地面的距离米，到音乐厅的水平距离米．已知米，米，求音乐厅的高度． 【答案】米 【分析】由题意可知，四边形是矩形，米，可证，根据相似三角形的性质可以求出的长度，利用勾股定理求出的长度，根据可以求出音乐厅的高度． 【详解】解：由题意可知，四边形是矩形， 米， ，， ， ， 米，米，米， ， 米， 在中，米， 米， 答：音乐厅的高度为米． 题型2 利用相似三角形的性质解决小孔成像问题（共5小题） 【模型】小孔成像形成 8 字相似模型，物与像对应边成比例，依据相似比求解物体或像的大小。 【步骤】识别小孔成像的 8 字相似结构，找准物距、像距，列出对应边比例式，代入数值计算物或像的尺寸。 【易错】分清物距与像距，不要混淆物体和像的对应边，统一长度单位，不可颠倒比例顺序，防止计算结果出错。 6．（25-26九年级上·云南昆明·期中）小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔O，物体在幕布上形成倒立的实像（点A，B的对应点分别是C，D）、若物体的高为，小孔O到的距离为，则实像的高为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的应用．易证明， ， 从而得到，，两式相加并变形可得，把，，代入计算即可． 【详解】解：，， ∴， ， ， ，， ， 即， ， ，， ， 解得． 故选：C． 7．（24-25九年级上·四川眉山·期末）《墨经》中有：“景到，在午有端，与景长，说在端”．大约在两千四百年前，墨子和他的学生做的世界上第1个小孔成像的实验.如图所示的实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的性质的应用，“相似三角形对应高线的比等于相似比”，据此即可求解． 【详解】解：设蜡烛火焰的高度是， 由相似三角形的性质得， 解得． 即蜡烛火焰的高度是． 故选：A 8．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）虹虹在物理课上学习了小孔成像的相关知识，回家后做小孔成像的实验，如图，物距是50cm，像距是150cm，蜡烛火焰的高度为3cm，那么光屏上的像的高度为_______cm． 【答案】9 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用，解题的关键是利用物高与像高的比等于物距与像距的比来建立等式求解． 根据小孔成像原理，利用物高、像高、物距、像距之间的比例关系求解像高． 【详解】解：设光屏上像的高度为． 在小孔成像中，物高与像高的比等于物距与像距的比， 已知物距，像距，蜡烛火焰高度（物高）， 根据比例关系，即，解得：， 故答案为：9． 9．（24-25九年级上·湖北宜昌·期中）物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔O在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔O到的距离为，求小孔O到的距离． 【答案】 【分析】此题主要考查了相似三角形的应用，由题意得，，过O作于点C，CO交于点，利用已知得出，进而利用相似三角形的性质求出即可，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键． 【详解】由题意得：， ∴， 如图，过O作于点C，CD交于点， ∴，cm， ∴， 即， ∴， 即小孔O到的距离为． 10．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）【项目式学习】 项目主题：学科融合——用数学眼光观察世界 项目背景：学习完《相似图形》后，某学校科学小组的同学尝试用数学知识和方法研究物理光学问题 (1)我国古代墨子对光的直线传播、光的反射和小孔成像进行了研究．如图1，已知物体与其像平行．小孔到的距离，到的距离，物体的长为，求像的长； 【项目任务二】 (2)人类对凸透镜特性的认知，最早源于对自然现象的观察与实践．如图2，在光路图中，直线表示光轴，表示凸透镜（光轴），点为光心，为凸透镜的焦点．入射光线光轴，折射光线经过焦点，为物体经透镜所成的像（光轴，光轴）．请写出物距、焦距及像距之间的数量关系并说明理由． 【答案】(1) (2)解：，理由如下： ∵光轴，光轴，光轴， ∴（F为右侧的那点，下面一样）， ∵光轴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可证明， ∴，即， ∴． 【分析】（1）证明，得到，据此代入数值计算即可； （2）证明四边形是矩形，得到，证明，得到，证明，得到，则可得到． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 答：像的长为； （2）略 题型3 利用相似三角形的性质求旗杆的高度（共5小题） 【模型】利用太阳光构造相似三角形，物高与影长成比例，建立等式求解旗杆的实际高度。 【步骤】测得参照物高度及其影长，再测出旗杆影长，依据物高影长比例关系，列式求出旗杆高度。 【易错】必须保证同一时刻测影长，计算统一单位，分清物高和影长对应关系，防止比例式前后项颠倒出错。 11．（25-26九年级上·安徽六安·期中）如图，数学活动课上，为测量学校旗杆的高度，小菲同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．现测得小菲的眼睛离地面高度为米，同时量得小菲与镜子的水平距离为米，镜子与旗杆的水平距离为米，则旗杆高度为（    ） A．（米） B．（米） C．（米） D．（米） 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键在于熟练掌握镜面反射的基本性质和相似三角形的性质． 根据镜面反射性质，可求出，再利用垂直求，最后根据三角形相似的性质，即可求出答案． 【详解】解：如图所示，过点作， 由图可知，， ， ∵根据镜面的反射性质， ， ， ， ， ， ∵小菲的眼睛离地面高度为米，同时量得小菲与镜子的水平距离为米，镜子与旗杆的水平距离为米， ， ， ， 故选：A． 12．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）某校学生开展综合实践活动，测量操场上旗杆的高度，同学们设计了如下两个测量方案： 活动目的 测量操场上旗杆的高度 活动方案 方案一：利用阳光下的影子 方案二：利用镜子的反射 示意图       实施过程 ①同学站在操场上E点处，测量同学的身高； ②测量同学在操场上的影长； ③在同一时刻，测量旗杆的影长． ①在与旗杆底部位于同一水平面的C点处，放置一面镜子； ②测量镜子到旗杆的距离； ③观测者调整位置，直至通过镜子刚好看到旗杆顶部A； ④测量观测者到镜子的距离； ⑤测量观测者眼睛距离地面的高度． 测量数据 ，， ，， 请你从以上两种方案中任选一种，计算操场上旗杆的高度． 【答案】操场上旗杆的高度约为 【分析】本题考查了相似三角形的应用．熟练掌握相似三角形的应用是解题的关键． 方案一：由题意知，，即，计算求解即可；方案二：证明，则，即，计算求解即可． 【详解】解：方案一： 由题意知，，即， 解得，， ∴的高度为； 方案二： ∵， ∴， ∴，即， 解得，， ∴的高度为． 13．（23-24九年级上·山西运城·期中）小明和小王同学一起合作来测量某建筑物顶部旗杆的高．如图所示，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物的影长为米，的影长为米，小明的影长为米，其中五点在同一直线上，三点在同一直线上，且，，已知小明的身高为米，    (1)求旗杆的长度． (2)填空：本题将生活中一些无法直接测量物体高度的实际问题______成数学问题，利用______的知识给予解决．通过对此问题的解决方案的探究，渗透数学______的思想，从而提高了我们解决实际问题的能力，增强应用意识． (3)本题是利用什么方法来测量的，请再写出两个曾在课本上学过的测量不能直接测量物体高度方法的名称． 【答案】(1)米； (2)转化，相似三角形，转化； (3)本题是利用阳光下的影子来测量的，测量塘的宽度；测量山的长度． 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质等知识，根据，得到，求得，同理得到，即可得到，解题的关键掌握相似三角形的判定． 【详解】（1）解：根据题意得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， 同理可得， ∴米， 答：旗杆的长度为米． （2）本题将生活中一些无法直接测量物体高度的实际问题转化成数学问题，利用相似三角形的知识给予解决．通过对此问题的解决方案的探究，渗透数学转化的思想，从而提高了我们解决实际问题的能力，增强应用意识． 故答案为：转化，相似三角形，转化； （3）本题是利用阳光下的影子来测量的，测量塘的宽度；测量山的长度． 14．（24-25九年级上·河南焦作·期中）如图，某数学兴趣小组在测量旗杆（与地面垂直）的高度时，由于旗杆底部无法直接到达，他们先在点C出放一小镜，然后站在点E处，从点E的垂直上方点D处用激光笔照射小镜发现反射光线正好照到旗杆顶端A，此时测得，，接着将小镜向点E处移动到点G，调整激光笔高度，在点F（点F在上）处发现反射光线又照到旗杆顶端A，测得，已知图中各点均在同一平面内，求旗杆的高度． 【答案】旗杆的高度为． 【分析】本题考查的是相似三角形的应用，证明，，再利用相似三角形的性质建立方程解题即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 同理可得， ∴，即， ∴， ∴ 解得 答：旗杆的高度为． 15．（24-25九年级上·湖南益阳·期中）在一次箴龙活动课上，老师让同学们到操场上想办法测量旗杆的高度，曹峰同学的测量办法是，拿一根高的标杆直立在离旗杆的B处，然后走到F处，这时目测到旗杆的顶部C与标杆顶部A恰好在同一直线上，又测得，曹峰的目高，求旗杆的高度． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行公理，先过E作分别交、于G、H，再结合平行线之间距离处处相等，即，然后证明，则，然后把数值代入得，进行计算，即可作答． 【详解】解：过E作分别交、于G、H，如图所示： ​ ∵，且， ∴（平行线之间距离处处相等）． ∴ 则， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， 即旗杆的高． 提升·进阶突破 题型4 利用相似三角形的性质解决光线路径问题（共5小题） 【模型】光反射构造等角生成相似三角形，借助对应边成比例，求解光线路径相关线段长度。 【步骤】根据反射定律得到相等角，判定三角形相似，找准对应边列出比例式，代入数据计算线段长。 【易错】牢记反射角等于入射角，准确识别相似对应边，统一单位，切勿写错比例顺序，避免光线路径条件理解偏差。 16．（25-26九年级上·福建漳州·期中）如图是凸透镜成像光路图，跟主光轴平行的光线经凸透镜折射后过焦点F，通过光心O的光线，经凸透镜折射后传播方向不变，即在的延长线上，一根长的蜡烛放在三倍焦距处，即，则经过凸透镜成像得到的的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形对应边成比例．通过证明，得出，根据比例性质得出即可解答． 【详解】解：由题意得：，， ， ， ， 同理，， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 17．（25-26九年级上·全国·期中）如图是凸透镜成像示意图，是蜡烛通过凸透镜所成的虚像，已知蜡烛的高度是，蜡烛与凸透镜的水平距离，该凸透镜的焦距，且，则的长是_________． 【答案】20 【分析】本题主要考查了相似三角形的实际应用，可证明得到，则；再证明得到，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，，， ∵， ∴（点F为点O右边的那个点，下面的点F一样）， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：20． 18．（24-25九年级上·上海徐汇·期中）在初中物理中我们学过凸透镜的成像规律．如图为一凸透镜，是凸透镜的焦点．在焦点以外的主光轴上垂直放置一小蜡烛，透过透镜后呈的像为．光路图如图所示：经过焦点的光线，通过透镜折射后平行于主光轴，并与经过凸透镜光心的光线汇聚于点．若焦距，物距，小蜡烛的高度，求蜡烛的像的长度以及像与透镜之间的距离． 【答案】蜡烛的像的长度为，像与透镜之间的距离为 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质和判定是解题的关键； 根据题意可得，，，，，从而可得，然后证明，从而利用相似三角形的性质可求出的长，这证明，从而利用相似三角形的性质可求出的长，即可解答； 【详解】解：，，，， ， ， ， ， ， 解得：， ， ， ， ， ， ， 蜡烛的像的长度为，像与透镜之间的距离为； 19．（25-26九年级上·广东河源·期中）根据背景素材，探究解决问题． 测算旗杆的高度 背景素材：如图1，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内，反射光线和入射光线分别位于法线两侧；入射角等于反射角，这就是光的反射定律． 问题解决1：如图2，小雅同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜，手电筒的灯泡在点处，距离地面的高度，到平面镜的水平距离，手电筒的光从平面镜上点处反射后，恰好经过木板的边缘点，落在墙上的点处，点到地面的高度，墙到木板的水平距离为，已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点在同一水平面上． 任务1：求灯光反射到墙面上的高度． 问题解决2：某学校要测量校园中旗杆的高度（旗杆垂直于地面），携带的测量工具有皮尺，标杆（标杆比人高）、平面镜． 任务2：假如你是该校的学生，请你适当选用给出的工具，设计一种测量旗杆的高度的方案（不能攀登旗杆），画出测量示意图（不必写出测量过程），写出测量数据（线段长度用、、…表示，在示意图上标注），并根据你的测量方案，计算出旗杆的高度（结果用含、、…的式子表示）． 【答案】任务1：灯光反射到墙面上的高度为 任务2： 如图， 旗杆的高度 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，理解题意，掌握相似三角形的判定方法和性质的运用是关键． 任务1：根据题意证明，，即可求解； 任务2：结合任务1的方法求解即可． 【详解】任务1：∵光在镜面反射中的入射角等于反射角， ， ， ， ， ， 解得， 由题意，得， ，， ， ，即， 解得． 答：灯光反射到墙面上的高度为． 任务2：①将平面镜放在处， ②人走到适当的地方：刚好能从平面镜中看到旗杆的顶部， ③测出人的高度，人到平面镜的距离，平面镜到旗杆底部的距离， ④计算出旗杆的高度： ， ， 所以旗杆的高度． 20．（23-24九年级上·上海奉贤·期末）如图1，某小组通过实验探究凸透镜成像的规律，他们依次在光具座上垂直放置发光物箭头、凸透镜和光屏，并调整到合适的高度．如图2，主光轴l垂直于凸透镜，且经过凸透镜光心O，将长度为8厘米的发光物箭头进行移动，使物距为32厘米，光线、传播方向不变，移动光屏，直到光屏上呈现一个清晰的像，此时测得像距为厘米． (1)像的长度为________； (2)如图3，光线平行于主光轴l，经过凸透镜折射后通过焦点F，求凸透镜焦距的长． 【答案】(1)厘米 (2)厘米 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，理解题意，结合题意证明三角形相似是解题关键． （1）可证明得到，据此代值计算即可； （2）过点作交于点E，证明四边形为平行四边形，四边形为平行四边形，得到．．证明，推出．证明，推出，则厘米． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴， ∵， ∴， 又∵经过点O， ∴，即， ∴厘米； （2）解：过点作交于点E，如图， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴． 同理可得四边形为平行四边形， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴厘米． 答：凸透镜焦距的长为厘米． 题型5 利用相似三角形的性质求树高（共5小题） 【模型】太阳光下物体与影子构成相似三角形，物高和影长成比例，列式求解树木的高度。 【步骤】同一时刻测量参照物高度、影长以及树的影长，根据物高影长成正比，列比例式计算树的高度。 【易错】要保证测量为同一时刻，所有长度单位统一，分清物高与影长对应关系，防止比例前后项颠倒造成结果错误。 21．（23-24九年级上·甘肃天水·期中）如图，小明为了测量树的高度，在离B点8米的E处水平放置一个平面镜，小明沿直线方向后退4米到点D，此时从镜子中恰好看到树梢（点A），已知小明的眼睛（点C）到地面的高度是1.6米，则树的高度为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质定理，根据相似三角形的判定定理证明，再利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：由题意得：，， ∴， 由光的反射原理可得：， ∴， ∴， ∵，，， 即， ∴（米）． 故选：B． 22．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）周末，数学兴趣小组的同学们去某湿地公园研学，他们想为一棵大树测量树高．他们在阳光下测得一根长为2米的竹竿的影子是1.8米，同一时刻测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在台阶上，且影子的末端刚好落在最后一级台阶的上端处，竹竿及影子、大树及影子、点都在同一平面内，他们测得大树落在地面上的影长为4.5米，台阶总的高度为2米，则树高为___________米． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的实际应用，，熟记“同一时刻物高与影长成正比例”是解题的关键设树所在线段为，过点作于点，根据同一时刻物高与影长成正比例可得，求出，再根据即可求解． 【详解】解：设树所在线段为，过点作于点，如图： 根据同一时刻物高与影长成正比例可得： ， 解得：， ∴， 故答案为：． 23．（25-26九年级上·四川成都·期中）一个晴朗的早晨，小丽到广场呼吸新鲜空气． 广场上 E 处有积水，小丽在距积水 3m 的 D 处，她正好从积水水面上看到距她约 15m 的 B 处的一棵树顶端的影子 （如图，积水水面大小忽略不计）．已知小丽的身高为 1.6m，请你估计一下树高（积水与树和人都在同一水平直线上，眼睛到头顶的距离忽略不计）． 【答案】树高为6.4米 【分析】本题考查知识点光的反射性质、相似三角形判定与性质．解题关键为算对长度，匹配相似边比例．易错点：混淆与，比例对应错误． 首先利用光的反射得，结合直角证；再算；由，解得． 【详解】由光的反射性质，，且，故． 已知，， 则；． 相似三角形对应边成比例，即，代入得： 解得． 答：树高为6.4米． 24．（23-24九年级上·河南驻马店·期中）位于河南省上蔡县蔡沟乡初级中学院内的银杏树，相传为孔子周游列国时亲手所栽．这棵银杏树唐时遭火灾，生发新树，明时复遭雷击，树外又包生新树，现在枝叶紫茂，状若华盖，令人叹为观止，吸引着方圆百里的游客前来参观瞻仰！某数学课题学习小组欲测量“银杏树”的高度，他们利用太阳光照射下的影长进行测量．小冯同学先在大树彩子端点F处竖立了一根长为1米的木棒，并测得木棒的影长米，然后小华同学在的延长线上找到点D，使得点B、C、D在同一直线上，并测得米，已知图中所有点均在同平面内，且，根据以上测量过程及测量数据，请你帮助该课题学习小组完成以下问题： (1)求出线段与线段之间的数量关系． (2)求出银杏树的高度（结果精确到1米）． 【答案】(1) (2)约为米 【分析】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出相似三角形，难度不大． （1）证明即可求解； （2）证明即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，， ， ∴，即， ∴； （2）解：∵，， ， ∴，即， 解得， 答：银杏树的高度约为米． 25．（24-25九年级上·河南郑州·期中）【学科融合】如图1，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；反射角r等于入射角i．这就是光的反射定律． 【问题解决】小明准备运用数学知识测量出一棵杉树的高度，于是他们利用镜子和皮尺，设计如图所示的测量方案：如图2，把镜子放在离杉树的点E处，然后小明沿着直线后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得，已知小明眼睛C距离地面D的距离（即）为，则杉树高约是多少米？ 【答案】杉树高约是 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，根据题意可得，则可证明，再根据相似三角形对应边成比例列出比例式求解即可． 【详解】解：根据题意得， ∴， ∴，即， 解得：， 答：杉树高约是． 题型6 利用相似三角形的性质解决古代问题（共5小题） 【模型】将古代测高测距题意转化为相似三角形模型，利用对应边成比例求解高度或距离。 【步骤】读懂古文题意，抽象几何图形，找出相似条件，确定对应边，列出比例式计算所求长度。 【易错】准确翻译古文条件，不要曲解题意，找准相似对应边，统一单位，防止比例列式颠倒，造成计算结果出错。 26．（23-24九年级下·山东烟台·期末）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有这样一个问题：“今有邑方不知大小，各中开门，出北门一百步立一表，出西门二百二十五步适可见之，问邑方几何？”它的意思是：如图，M，N分别是正方形的边，的中点，，，过点A，且步，步，那么该正方形城邑边长约为（    ）步． A．300 B．250 C．225 D．150 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形解实际应用题，读懂题意，熟练应用相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．由题意可知，根据相似三角形性质得到，设，由分别是正方形的边的中点可知，则，解得，从而得到正方形城邑边长步． 【详解】解：，， ， 正方形中，，过点， ，则， ， ， 分别是正方形的边的中点，设， ， 步，步， ，即，解得负舍去值， 正方形城邑边长步， 故选：A． 27．（24-25九年级上·福建三明·期中）《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，是用“矩”测量一个5G信号塔高度的示意图，点，，在同一水平线上，和均为直角，与交于点，测得，，，则信号塔的高度为______． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，由题意可知，，，利用平行线性质证明，得到，代值求解即可求出信号塔的高度．解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ∴， ， ∴， ， 故答案为：． 28．（24-25九年级上·广东深圳·期中）《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度如图，点A，，在同一水平线上，和均为直角，与相交于点．测得，，，则树高___． 【答案】5 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 根据题意可得，然后由相似三角形的性质，即可求解． 【详解】解：和均为直角， ， ， ， ，，， ． 故答案为：5． 29．（25-26九年级上·江西九江·期末）西周数学家商高总结了用“矩”（如图1）测量物高的方法：把“矩”的两边放置成如图2的位置，从“矩”的一端点（人眼）望点，使视线通过“矩”的另一端点，记人站立的位置为点，量出长，即可算得物高．已知“矩”的一边长，另一边长，人眼到地面的距离的延长线与垂直，垂足为． (1)若，求． (2)设长为高为，求与的函数关系式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质的应用，利用相似三角形对应边成比例求线段长是答题的关键． （1）证明，可得，即可求解； （2）证明四边形为矩形，可得，再由，即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 即， 解得：， ， 答：为． （2）解： 四边形为矩形， ， 由（1）得， ， ． 30．（24-25九年级上·河南驻马店·期中）蔡侯望河楼位于蔡国故城西垣，古时为“重阳登高处”．南北朝梁《续齐谐记》：东汉桓景曾在九月九日佩茱萸囊，举家登冈山望河楼以避灾．这是天下重阳源上蔡的重要佐证．某天小明站在地面上给站在蔡侯望河楼上的小亮照相时发现：小明的眼睛、凉亭顶端、小亮头顶三点恰好在一条直线上（如图），已知小明的眼睛离地面的距离米，凉亭顶端离地面的距离米，小明到凉亭的距离米，凉亭离蔡侯望河楼底部的距离米，小亮身高1.7米，B、D、F三点在同一水平线上，请根据以上数据求出蔡侯望河楼的高度． 【答案】米 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，过点A作于点M，交于点N，先求出的长度，利用平行证明，从而得到，求出的长度，进而得出结果． 【详解】解：如图，过点A作于点M，交于点N， 依题意，得， ． ， ， ， 即， 解得． ， ∴蔡侯望问楼的高度为（米）． 拔高·压轴破难 题型7 利用相似三角形的性质解决杠杆问题（共5小题） 【模型】杠杆受力形成相似三角形模型，借助对应线段成比例，求解力臂、物体高度相关量。 【步骤】根据杠杆结构画出几何图形，找出相似条件确定对应边，列出比例关系式，代入数据完成计算。【易错】分清杠杆中的力臂与几何线段，找准相似对应关系，统一计算单位，切勿混淆杠杆平衡公式与相似比例。 31．（26-27九年级上·全国·单元复习）阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】可证明，根据相似三角形的性质列出比例式求解即可． 【详解】解：， ， 又， ， ， ， ， ． 32．（26-27九年级上·陕西西安·开学考试）如图是杠杆示意图，支点为O，动力的作用线与动力臂垂直，阻力的作用线与阻力臂垂直．由动力臂、动力的作用线与杠杆组成，由阻力臂、阻力的作用线的反向延长线与杠杆组成，若，且杠杆平衡时动力，根据杠杆平衡条件，则阻力______N．    【答案】6 【分析】先证，可得，则．由，可得． 【详解】解：动力的作用线与动力臂垂直，阻力的作用线与阻力臂垂直， ． ． ． ． ． ，即． ，， ． 33．（24-25九年级上·辽宁大连·期末）我们知道工人利用撬棍轻松撬动大石头运用的是“杠杆原理”．如图，杠杆以为支点，当端上放置重物时，端着地，端到地面的距离是；当工人用力按压端，直至点着地落到时，端的重物被送到处，此时重物到地面的距离为90，求支点到地面的距离． ． 【答案】支点P到地面的距离为 【分析】本题考查了相似三角形的实际应用，正确运用相似三角形的性质是解题的关键． 证明，即可解决问题． 【详解】解：根据题意得：， ， ， ， ， 又， ， ， ， 根据题意得，， ， ， ， ， 解得． 答：支点P到地面的距离为． 34．（25-26九年级上·广东深圳·周测）如图1所示的是古代一种可以远程攻击的投石车，图2是投石车投石过程中某时刻的示意图，是杠杆，弹袋挂在点G，重锤挂在点P，点A为支点，点D是水平底板上的一点，米，米． (1)投石车准备时，点G恰好与点B重合，此时和垂直，求； (2)投石车投石瞬间，的延长线交线段于点E，若，则此时点G到水平底板的距离为多少米？ 【答案】(1)4米 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理． （1）直接利用等腰三角形的“三线合一”得米，根据相似三角形的判定和性质进行求解即可； （2）先求出的长，再利用勾股定理和相似三角形的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：如图，连接，过A点作于F， 米，米，米， ， ，， ， ， ， ， ， ， 的长为4米； （2）解：过点G作于点F，过点A作于点H，则，如图所示： 米，， 米， （米）， （米）， ，， ， ， ， 解得（米）， ∴此时点G到水平底板的距离为米． 35．（2025·山东威海·一模）综合与实践：黄金分割 背景材料： 古希腊数学家、天文学家欧多克索斯曾提出：能否将一条线段分成不相等的两部分，使较短线段与较长线段的比等于较长线段与原线段的比？这就是黄金分割问题，这个相等的比就是黄金分割比．黄金分割被广泛应用于各领域． 基础应用： (1)贝多芬《第五交响曲》第一乐章中存在一个显著的结构转折点（称为黄金分割点），该位置将乐章分为前后两部分，其时间比接近黄金分割比．已知柏林爱乐乐团终身首席指挥卡拉扬1963年某次演奏中，这个显著的结构转折点出现在第185秒，则该版本的总时长为_____秒；（保留整数） (2)杠杆平衡原理：当杠杆平衡时满足：动力动力臂=阻力阻力臂，即．其中，分别为动力，阻力，，分别为动力臂，阻力臂．研究发现，当阻力臂与动力臂的比接近黄金分割比，杠杆的操作最省力且稳定． 如图1，杠杆的支点左侧阻力臂长，右侧动力臂长．该杠杆是否符合黄金分割省力设计_____；（填“是”或“否”）若在杠杆左侧悬挂一个的重物，则右侧需要施加的力_____；若将支点向左侧移动，使，则新的动力臂_____cm． (3)作法证明： 如图2，作已知线段的黄金分割点，方法如下： ①过点作，且；②连接，在上截取； ③在上截取，则点就是线段的黄金分割点，请说明理由． 拓展应用： 黄金矩形：的矩形． (4)如图3，正方形，尺规作黄金矩形． 要求：点，分别在射线，上．（不写步骤，保留作图痕迹） 【答案】(1)484 (2)否；100；200 (3) 解：设，则， ∴， 由作图知，， ∴， ∴， ∴点就是线段的黄金分割点； (4)如图： 【分析】（1）根据，计算得出的值，进一步计算即可求解； （2）由，可判断该杠杆是否符合黄金分割省力设计；根据公式，代入数据计算可求解；设将支点向左侧移动，则新的阻力臂长，新的动力臂长，据此计算即可求解； （3）设，则，求得，求得，，计算的值，即可求解； （4）如图，作出的中点，连接，以点为圆心，长为半径作弧，交射线于点，在延长线上截取，连接，则四边形是黄金矩形． 【详解】（1）解：由题意得， 解得， ， 则该版本的总时长为484秒； 故答案为：484； （2）解：∵， ∴该杠杆不符合黄金分割省力设计； ∵，，，， ∴； 设将支点向左侧移动，则新的阻力臂长，新的动力臂长， 由题意得， 解得， ∴新的动力臂长， 故答案为：否；100；200； （3）略 （4）解：作出的中点，连接，以点为圆心，长为半径作弧，交射线于点，在延长线上截取，连接，则四边形是黄金矩形． 理由：设正方形的边长为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵正方形， ∴，，即， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是黄金矩形． 【点睛】本题考查黄金分割，尺规作图，矩形的判定和性质，正方形的性质，二次根式的混合运算，解题的关键是掌握黄金分割的定义，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． 题型8 利用相似三角形的性质求现实相关问题（共8小题） 【模型】把现实场景抽象为相似三角形，依托对应边成比例，求解实际高度、距离等相关量。 【步骤】提取实际问题中的几何条件，构建相似三角形，找准对应边列比例式，代入数据算出实际所求量。【易错】现实场景抽象图形不要出错，对应边切勿找错，计算统一单位，分清相似比，防止比例式颠倒导致答案错误。 36．（24-25九年级上·河北保定·期中）工人师傅设计了一种测量蓄水池深度的方法．如图所示，在池口处立一根垂直的木杆，从木杆的顶端观察池水水岸，视线与池口的直径交于点，如果测得米，米，米，那么为______米． 【答案】7 【分析】本题考查了相似三角形的应用．根据题意可得：，，从而可得，然后证明，从而利用相似三角形的性质进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得：，， ， ， ， ， ， 解得：， 为7米， 故答案为：7． 37．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）清风阁位于安徽省合肥市的包公园内，是为纪念北宋清官包拯诞辰而建的大型仿宋建筑．小夏和小罗同学想用一些测量工具和所学的几何知识测量清风阁的高度，来检验自己掌握知识和运用知识的能力．他们经过研究，决定进行如下操作：如图，首先，在阳光下，小夏在清风阁影子的末端C点处竖立一根2米的标杆，此时，小罗测得标杆的影长米；然后，小夏从C点沿方向走了6米，到达点G，在G处竖立一根2米的标杆，接着沿方向走到点M处时，恰好看见清风阁顶端A点与F在一条直线上（即A，F，H在一条直线上），此时，小罗测得米，小夏的眼睛到地面的距离米．请你根据题中提供的相关信息，求出清风阁的高． 【答案】42米 【分析】本题考查的是相似三角形的实际应用，平行投影的含义，先证明可得，如图，过点H作于点N，交于点P，再证明，再利用相似三角形的性质可得答案． 【详解】解：由题意可知，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图，过点H作于点N，交于点P， 设米，则米， 米，（米），米， ∵， ∴， ∴，即 解得：． ∴清风阁的高为42米． 38．（24-25九年级上·广东深圳·期中）如图是装了液体的高脚杯示意图（左图）（数据如图），用去一部分液体后如右侧图所示，此时液面的宽度为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的应用，解本题的关键熟练掌握相似三角形的判定与性质．高脚杯前后的两个三角形相似．根据相似三角形的判定和性质即可得出结果． 【详解】解：如图：过O作，垂足为M，过O作，垂足为N， ∵， ∴，即相似比为， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：A． 39．（24-25九年级上·辽宁本溪·期中）如图，某小组进行凸透镜成像规律的探究实验，他们依次在光具座上垂直放置发光物、凸透镜和光屏，并调整到合适的高度，主光轴l垂直于凸透镜，且经过凸透镜光心，将长度为的发光物进行移动，使物距为，光线，传播方向不变，移动光屏，直到光屏上呈现一个清晰的像，此时测得像距为． (1)求像的长； (2)已知光线平行于主光轴，经过凸透镜折射后通过焦点，求凸透镜的焦距的长（结果精确到）． 【答案】(1)像的长为 (2)焦距的长约为 【分析】本题为相似三角形的应用，考查了相似三角形的判定及性质，平行四边形的性质及判定，熟悉掌握相似三角形的比值关系是解题的关键． （1）利用平行判定出，再通过相似三角形比值关系求解即可； （2）证出，再通过相似三角形比值关系求解即可． 【详解】（1）由题意得，， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 答：的长为； （2）解；由（1）得， ∴， 由题意得，， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形，， ∴，， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， 答：焦距的长约为． 40．（24-25九年级上·宁夏银川·期中）清虚阁，位于山西省晋中市榆次老城中，俗称南阁，建成于明代成化五年（1469），是榆次区境内仅见的，也是晋中地区稀有的古代阁楼式建筑杰作，如图，某中学数学实践小组利用节假日时间到现场测量清虚阁的高度． 步骤一：在地面上取E、G两点，分别竖立高为的标杆和，两标杆间隔，并且清虚阁，标杆和在同一竖直平面内，从标杆后退到D处，从D处观察A点，A，F，D三点成一线； 步骤二：从标杆后退到C处，从C处观察A点，A，H，C三点也成一线． 请你根据以上数据，计算清虚阁的高度． 【答案】清虚阁的高度为米 【分析】本题考查了相似三角形的应用，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键. 根据垂直的定义得到 ，根据相似三角形的性质得到，得到，求得，于是得到结论． 【详解】解： ， ， ， ， ，即 ， ， 解得， ， 解得， 答：清虚阁的高度为米． 41．（25-26九年级上·陕西榆林·期中）某中学数学兴趣小组利用周末时间测量樱花树下的石碑与远处一座实验楼之间的距离（石碑与实验楼之间被小樱花树林隔开，不能直接测量），他们采用以下方法：如图，把支架放在石碑旁水平地面上的点处，再把一面平面镜水平放在支架上的点处（平面镜大小忽略不计），然后沿着直线移动至点处，这时恰好在镜子里看到实验楼的顶端的像，已知米，米，实验楼的高度米，观测者的目高米，已知，图中所有的点都在同一平面内，求石碑与实验楼之间的距离． 【答案】6米 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质是关键． 过点作交于点，交于点H，求出米，证明，，即可得到答案． 【详解】解： 过点作交于点，交于点，如图， ∵， ∴米，米，， ∴（米）， （米）， 根据题意，得， ∴， ∴，即，解得（米）， ∴米， ∴石碑与实验楼之间的距离为6米． 42．（25-26九年级下·山东济宁·期末）集装箱作为国际贸易中最主要的运输工具之一，因其方便快捷、安全可靠等特点被广泛应用于全球货运领域．而集装箱搬运车则是为了更方便、更高效地对集装箱进行运输、搬运和堆放而设计的机械设备．如图是该集装箱搬运车的简化示意图，测得，矩形为底盘，长和宽分别为和，，，，点、、在同一水平面上，求集装箱顶部到地面的高度． 【答案】 【分析】延长交于点 H，则四边形是矩形，可得，，，再根据勾股定理可得，再证明，根据相似三角形的性质列方程可得，最后根据即可解答． 【详解】解： 如图：延长交于点 H，则四边形是矩形， ∴ ，，， 在中， 又∵， ∴， ∴， ，即 ， ， ． 43．（2026·浙江·中考真题）如图所示，是墙面与一个显示屏的侧视图，墙面与地面垂直，用两根等长的支架和连接墙面与显示屏，测得． (1)证明：； (2)若锦凌同学坐在显示屏前面，支架，，，锦凌同学的眼睛与显示屏底部等高，眼睛到墙面的距离，锦凌同学的视野被显示屏遮挡，出现了一个盲区．求的长度． 【答案】(1)证明：在四边形中，， 四边形是平行四边形， ． (2)的长度为． 【分析】（1）根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形的判定定理，即可证明四边形是平行四边形，进而得到． （2）先证明四边形是矩形，再利用相似三角形的判定定理证明出，根据相似三角形的性质建立比例式，最后结合已知数据求出的长度即可． 【详解】（1）略 （2）解：由题意知，墙面地面，，，， ，， ， 四边形是矩形， ， 又，， ， ， ，， ， ． $专题09 相似综合与应用 基础·固本强基 题型1 利用相似三角形的性质求建筑物的高度（重点） 题型2 利用相似三角形的性质解决小孔成像问题（重点） 题型3 利用相似三角形的性质求旗杆的高度（重点） 提升·进阶突破 题型4 利用相似三角形的性质解决光线路径问题（重点） 题型5 利用相似三角形的性质求树高（难点） 题型6 利用相似三角形的性质解决古代问题（重点） 拔高·压轴破难 题型7 利用相似三角形的性质解决杠杆问题（难点） 题型8 利用相似三角形的性质求现实相关问题（重难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 利用相似三角形的性质求建筑物的高度（共5小题） 【模型】借助太阳光形成相似三角形，利用物高与影长成正比，建立比例求解建筑物实际高度。 【步骤】确定参照物高度与影长，测出建筑物影长，利用物高影长比例关系，列式计算建筑物的高度。 【易错】保证同一时刻测量影长，单位要统一，分清物高和影长的对应关系，避免比例前后项颠倒造成计算错误。 1．（25-26九年级上·湖南常德·期中）如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆测量建筑物的高度，已知标杆高，测得，，则建筑物的高是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·河南南阳·期末）如图，小明为了测量一凉亭的高度（顶端到水平地面的距离），在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶等高的台阶（米，、、三点共线），把一面镜子水平放置在平台上的点处，测得米，然后沿直线后退到点处，这时恰好在镜子里看到凉亭的顶端，测得米，小明身高米，则凉亭的高度约为（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 3．（23-24九年级上·广东深圳·期中）如图是小玲设计用手电来测量家附近“新华大厦”高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到大厦的顶端C处，已知，，且测得，，，那么该大厦的高度约为______m．    4．（24-25九年级下·陕西西安·期中）三国时期，魏人刘徽撰写的《海岛算经》乃中国最早的一部测量数学专著，专注于测高望远之术．受此启发，小刚设计了一种测量塔高的方案：如图，在地面上C 处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆，这时地面上的点E、标杆的顶端点 D与塔尖点B恰好在同一直线上，测得的距离为5米．随后，将标杆向后平移到点G处，此时地面上的点F、标杆的顶端点H 与塔尖点B仍在同一直线上（点F、点G、点E、点C 与塔底处的点A 在同一直线上），并测得 米， 米，请依据这些数据计算该塔的高度 5．（25-26九年级下·陕西宝鸡·期中）周末，小强带领组员一起去测量学校附近的音乐厅的高度．小强带着自己在网上定制的直角，想借助它利用所学的数学知识测量音乐厅的高度．他们通过多次调整位置，使得斜边与点在同一条直线上，一条直角边与音乐厅的顶点在同一条直线上，测得小强的眼睛与地面的距离米，到音乐厅的水平距离米．已知米，米，求音乐厅的高度． 题型2 利用相似三角形的性质解决小孔成像问题（共5小题） 【模型】小孔成像形成 8 字相似模型，物与像对应边成比例，依据相似比求解物体或像的大小。 【步骤】识别小孔成像的 8 字相似结构，找准物距、像距，列出对应边比例式，代入数值计算物或像的尺寸。 【易错】分清物距与像距，不要混淆物体和像的对应边，统一长度单位，不可颠倒比例顺序，防止计算结果出错。 6．（25-26九年级上·云南昆明·期中）小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔O，物体在幕布上形成倒立的实像（点A，B的对应点分别是C，D）、若物体的高为，小孔O到的距离为，则实像的高为（    ）． A． B． C． D． 7．（24-25九年级上·四川眉山·期末）《墨经》中有：“景到，在午有端，与景长，说在端”．大约在两千四百年前，墨子和他的学生做的世界上第1个小孔成像的实验.如图所示的实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是（   ） A． B． C． D． 8．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）虹虹在物理课上学习了小孔成像的相关知识，回家后做小孔成像的实验，如图，物距是50cm，像距是150cm，蜡烛火焰的高度为3cm，那么光屏上的像的高度为_______cm． 9．（24-25九年级上·湖北宜昌·期中）物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔O在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔O到的距离为，求小孔O到的距离． 10．（25-26八年级下·江苏苏州·期末）【项目式学习】 项目主题：学科融合——用数学眼光观察世界 项目背景：学习完《相似图形》后，某学校科学小组的同学尝试用数学知识和方法研究物理光学问题 (1)我国古代墨子对光的直线传播、光的反射和小孔成像进行了研究．如图1，已知物体与其像平行．小孔到的距离，到的距离，物体的长为，求像的长； 【项目任务二】 (2)人类对凸透镜特性的认知，最早源于对自然现象的观察与实践．如图2，在光路图中，直线表示光轴，表示凸透镜（光轴），点为光心，为凸透镜的焦点．入射光线光轴，折射光线经过焦点，为物体经透镜所成的像（光轴，光轴）．请写出物距、焦距及像距之间的数量关系并说明理由． 题型3 利用相似三角形的性质求旗杆的高度（共5小题） 【模型】利用太阳光构造相似三角形，物高与影长成比例，建立等式求解旗杆的实际高度。 【步骤】测得参照物高度及其影长，再测出旗杆影长，依据物高影长比例关系，列式求出旗杆高度。 【易错】必须保证同一时刻测影长，计算统一单位，分清物高和影长对应关系，防止比例式前后项颠倒出错。 11．（25-26九年级上·安徽六安·期中）如图，数学活动课上，为测量学校旗杆的高度，小菲同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．现测得小菲的眼睛离地面高度为米，同时量得小菲与镜子的水平距离为米，镜子与旗杆的水平距离为米，则旗杆高度为（    ） A．（米） B．（米） C．（米） D．（米） 12．（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）某校学生开展综合实践活动，测量操场上旗杆的高度，同学们设计了如下两个测量方案： 活动目的 测量操场上旗杆的高度 活动方案 方案一：利用阳光下的影子 方案二：利用镜子的反射 示意图       实施过程 ①同学站在操场上E点处，测量同学的身高； ②测量同学在操场上的影长； ③在同一时刻，测量旗杆的影长． ①在与旗杆底部位于同一水平面的C点处，放置一面镜子； ②测量镜子到旗杆的距离； ③观测者调整位置，直至通过镜子刚好看到旗杆顶部A； ④测量观测者到镜子的距离； ⑤测量观测者眼睛距离地面的高度． 测量数据 ，， ，， 请你从以上两种方案中任选一种，计算操场上旗杆的高度． 13．（23-24九年级上·山西运城·期中）小明和小王同学一起合作来测量某建筑物顶部旗杆的高．如图所示，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物的影长为米，的影长为米，小明的影长为米，其中五点在同一直线上，三点在同一直线上，且，，已知小明的身高为米，    (1)求旗杆的长度． (2)填空：本题将生活中一些无法直接测量物体高度的实际问题______成数学问题，利用______的知识给予解决．通过对此问题的解决方案的探究，渗透数学______的思想，从而提高了我们解决实际问题的能力，增强应用意识． (3)本题是利用什么方法来测量的，请再写出两个曾在课本上学过的测量不能直接测量物体高度方法的名称． 14．（24-25九年级上·河南焦作·期中）如图，某数学兴趣小组在测量旗杆（与地面垂直）的高度时，由于旗杆底部无法直接到达，他们先在点C出放一小镜，然后站在点E处，从点E的垂直上方点D处用激光笔照射小镜发现反射光线正好照到旗杆顶端A，此时测得，，接着将小镜向点E处移动到点G，调整激光笔高度，在点F（点F在上）处发现反射光线又照到旗杆顶端A，测得，已知图中各点均在同一平面内，求旗杆的高度． 15．（24-25九年级上·湖南益阳·期中）在一次箴龙活动课上，老师让同学们到操场上想办法测量旗杆的高度，曹峰同学的测量办法是，拿一根高的标杆直立在离旗杆的B处，然后走到F处，这时目测到旗杆的顶部C与标杆顶部A恰好在同一直线上，又测得，曹峰的目高，求旗杆的高度． 提升·进阶突破 题型4 利用相似三角形的性质解决光线路径问题（共5小题） 【模型】光反射构造等角生成相似三角形，借助对应边成比例，求解光线路径相关线段长度。 【步骤】根据反射定律得到相等角，判定三角形相似，找准对应边列出比例式，代入数据计算线段长。 【易错】牢记反射角等于入射角，准确识别相似对应边，统一单位，切勿写错比例顺序，避免光线路径条件理解偏差。 16．（25-26九年级上·福建漳州·期中）如图是凸透镜成像光路图，跟主光轴平行的光线经凸透镜折射后过焦点F，通过光心O的光线，经凸透镜折射后传播方向不变，即在的延长线上，一根长的蜡烛放在三倍焦距处，即，则经过凸透镜成像得到的的长为（   ） A． B． C． D． 17．（25-26九年级上·全国·期中）如图是凸透镜成像示意图，是蜡烛通过凸透镜所成的虚像，已知蜡烛的高度是，蜡烛与凸透镜的水平距离，该凸透镜的焦距，且，则的长是_________． 18．（24-25九年级上·上海徐汇·期中）在初中物理中我们学过凸透镜的成像规律．如图为一凸透镜，是凸透镜的焦点．在焦点以外的主光轴上垂直放置一小蜡烛，透过透镜后呈的像为．光路图如图所示：经过焦点的光线，通过透镜折射后平行于主光轴，并与经过凸透镜光心的光线汇聚于点．若焦距，物距，小蜡烛的高度，求蜡烛的像的长度以及像与透镜之间的距离． 19．（25-26九年级上·广东河源·期中）根据背景素材，探究解决问题． 测算旗杆的高度 背景素材：如图1，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内，反射光线和入射光线分别位于法线两侧；入射角等于反射角，这就是光的反射定律． 问题解决1：如图2，小雅同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜，手电筒的灯泡在点处，距离地面的高度，到平面镜的水平距离，手电筒的光从平面镜上点处反射后，恰好经过木板的边缘点，落在墙上的点处，点到地面的高度，墙到木板的水平距离为，已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点在同一水平面上． 任务1：求灯光反射到墙面上的高度． 问题解决2：某学校要测量校园中旗杆的高度（旗杆垂直于地面），携带的测量工具有皮尺，标杆（标杆比人高）、平面镜． 任务2：假如你是该校的学生，请你适当选用给出的工具，设计一种测量旗杆的高度的方案（不能攀登旗杆），画出测量示意图（不必写出测量过程），写出测量数据（线段长度用、、…表示，在示意图上标注），并根据你的测量方案，计算出旗杆的高度（结果用含、、…的式子表示）． 20．（23-24九年级上·上海奉贤·期末）如图1，某小组通过实验探究凸透镜成像的规律，他们依次在光具座上垂直放置发光物箭头、凸透镜和光屏，并调整到合适的高度．如图2，主光轴l垂直于凸透镜，且经过凸透镜光心O，将长度为8厘米的发光物箭头进行移动，使物距为32厘米，光线、传播方向不变，移动光屏，直到光屏上呈现一个清晰的像，此时测得像距为厘米． (1)像的长度为________； (2)如图3，光线平行于主光轴l，经过凸透镜折射后通过焦点F，求凸透镜焦距的长． 题型5 利用相似三角形的性质求树高（共5小题） 【模型】太阳光下物体与影子构成相似三角形，物高和影长成比例，列式求解树木的高度。 【步骤】同一时刻测量参照物高度、影长以及树的影长，根据物高影长成正比，列比例式计算树的高度。 【易错】要保证测量为同一时刻，所有长度单位统一，分清物高与影长对应关系，防止比例前后项颠倒造成结果错误。 21．（23-24九年级上·甘肃天水·期中）如图，小明为了测量树的高度，在离B点8米的E处水平放置一个平面镜，小明沿直线方向后退4米到点D，此时从镜子中恰好看到树梢（点A），已知小明的眼睛（点C）到地面的高度是1.6米，则树的高度为（    ）    A． B． C． D． 22．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）周末，数学兴趣小组的同学们去某湿地公园研学，他们想为一棵大树测量树高．他们在阳光下测得一根长为2米的竹竿的影子是1.8米，同一时刻测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在台阶上，且影子的末端刚好落在最后一级台阶的上端处，竹竿及影子、大树及影子、点都在同一平面内，他们测得大树落在地面上的影长为4.5米，台阶总的高度为2米，则树高为___________米． 23．（25-26九年级上·四川成都·期中）一个晴朗的早晨，小丽到广场呼吸新鲜空气． 广场上 E 处有积水，小丽在距积水 3m 的 D 处，她正好从积水水面上看到距她约 15m 的 B 处的一棵树顶端的影子 （如图，积水水面大小忽略不计）．已知小丽的身高为 1.6m，请你估计一下树高（积水与树和人都在同一水平直线上，眼睛到头顶的距离忽略不计）． 24．（23-24九年级上·河南驻马店·期中）位于河南省上蔡县蔡沟乡初级中学院内的银杏树，相传为孔子周游列国时亲手所栽．这棵银杏树唐时遭火灾，生发新树，明时复遭雷击，树外又包生新树，现在枝叶紫茂，状若华盖，令人叹为观止，吸引着方圆百里的游客前来参观瞻仰！某数学课题学习小组欲测量“银杏树”的高度，他们利用太阳光照射下的影长进行测量．小冯同学先在大树彩子端点F处竖立了一根长为1米的木棒，并测得木棒的影长米，然后小华同学在的延长线上找到点D，使得点B、C、D在同一直线上，并测得米，已知图中所有点均在同平面内，且，根据以上测量过程及测量数据，请你帮助该课题学习小组完成以下问题： (1)求出线段与线段之间的数量关系． (2)求出银杏树的高度（结果精确到1米）． 25．（24-25九年级上·河南郑州·期中）【学科融合】如图1，在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；反射角r等于入射角i．这就是光的反射定律． 【问题解决】小明准备运用数学知识测量出一棵杉树的高度，于是他们利用镜子和皮尺，设计如图所示的测量方案：如图2，把镜子放在离杉树的点E处，然后小明沿着直线后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得，已知小明眼睛C距离地面D的距离（即）为，则杉树高约是多少米？ 题型6 利用相似三角形的性质解决古代问题（共5小题） 【模型】将古代测高测距题意转化为相似三角形模型，利用对应边成比例求解高度或距离。 【步骤】读懂古文题意，抽象几何图形，找出相似条件，确定对应边，列出比例式计算所求长度。 【易错】准确翻译古文条件，不要曲解题意，找准相似对应边，统一单位，防止比例列式颠倒，造成计算结果出错。 26．（23-24九年级下·山东烟台·期末）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有这样一个问题：“今有邑方不知大小，各中开门，出北门一百步立一表，出西门二百二十五步适可见之，问邑方几何？”它的意思是：如图，M，N分别是正方形的边，的中点，，，过点A，且步，步，那么该正方形城邑边长约为（    ）步． A．300 B．250 C．225 D．150 27．（24-25九年级上·福建三明·期中）《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，是用“矩”测量一个5G信号塔高度的示意图，点，，在同一水平线上，和均为直角，与交于点，测得，，，则信号塔的高度为______． 28．（24-25九年级上·广东深圳·期中）《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度如图，点A，，在同一水平线上，和均为直角，与相交于点．测得，，，则树高___． 29．（25-26九年级上·江西九江·期末）西周数学家商高总结了用“矩”（如图1）测量物高的方法：把“矩”的两边放置成如图2的位置，从“矩”的一端点（人眼）望点，使视线通过“矩”的另一端点，记人站立的位置为点，量出长，即可算得物高．已知“矩”的一边长，另一边长，人眼到地面的距离的延长线与垂直，垂足为． (1)若，求． (2)设长为高为，求与的函数关系式． 30．（24-25九年级上·河南驻马店·期中）蔡侯望河楼位于蔡国故城西垣，古时为“重阳登高处”．南北朝梁《续齐谐记》：东汉桓景曾在九月九日佩茱萸囊，举家登冈山望河楼以避灾．这是天下重阳源上蔡的重要佐证．某天小明站在地面上给站在蔡侯望河楼上的小亮照相时发现：小明的眼睛、凉亭顶端、小亮头顶三点恰好在一条直线上（如图），已知小明的眼睛离地面的距离米，凉亭顶端离地面的距离米，小明到凉亭的距离米，凉亭离蔡侯望河楼底部的距离米，小亮身高1.7米，B、D、F三点在同一水平线上，请根据以上数据求出蔡侯望河楼的高度． 拔高·压轴破难 题型7 利用相似三角形的性质解决杠杆问题（共5小题） 【模型】杠杆受力形成相似三角形模型，借助对应线段成比例，求解力臂、物体高度相关量。 【步骤】根据杠杆结构画出几何图形，找出相似条件确定对应边，列出比例关系式，代入数据完成计算。【易错】分清杠杆中的力臂与几何线段，找准相似对应关系，统一计算单位，切勿混淆杠杆平衡公式与相似比例。 31．（26-27九年级上·全国·单元复习）阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是（     ） A． B． C． D． 32．（26-27九年级上·陕西西安·开学考试）如图是杠杆示意图，支点为O，动力的作用线与动力臂垂直，阻力的作用线与阻力臂垂直．由动力臂、动力的作用线与杠杆组成，由阻力臂、阻力的作用线的反向延长线与杠杆组成，若，且杠杆平衡时动力，根据杠杆平衡条件，则阻力______N．    33．（24-25九年级上·辽宁大连·期末）我们知道工人利用撬棍轻松撬动大石头运用的是“杠杆原理”．如图，杠杆以为支点，当端上放置重物时，端着地，端到地面的距离是；当工人用力按压端，直至点着地落到时，端的重物被送到处，此时重物到地面的距离为90，求支点到地面的距离． ． 34．（25-26九年级上·广东深圳·周测）如图1所示的是古代一种可以远程攻击的投石车，图2是投石车投石过程中某时刻的示意图，是杠杆，弹袋挂在点G，重锤挂在点P，点A为支点，点D是水平底板上的一点，米，米． (1)投石车准备时，点G恰好与点B重合，此时和垂直，求； (2)投石车投石瞬间，的延长线交线段于点E，若，则此时点G到水平底板的距离为多少米？ 35．（2025·山东威海·一模）综合与实践：黄金分割 背景材料： 古希腊数学家、天文学家欧多克索斯曾提出：能否将一条线段分成不相等的两部分，使较短线段与较长线段的比等于较长线段与原线段的比？这就是黄金分割问题，这个相等的比就是黄金分割比．黄金分割被广泛应用于各领域． 基础应用： (1)贝多芬《第五交响曲》第一乐章中存在一个显著的结构转折点（称为黄金分割点），该位置将乐章分为前后两部分，其时间比接近黄金分割比．已知柏林爱乐乐团终身首席指挥卡拉扬1963年某次演奏中，这个显著的结构转折点出现在第185秒，则该版本的总时长为_____秒；（保留整数） (2)杠杆平衡原理：当杠杆平衡时满足：动力动力臂=阻力阻力臂，即．其中，分别为动力，阻力，，分别为动力臂，阻力臂．研究发现，当阻力臂与动力臂的比接近黄金分割比，杠杆的操作最省力且稳定． 如图1，杠杆的支点左侧阻力臂长，右侧动力臂长．该杠杆是否符合黄金分割省力设计_____；（填“是”或“否”）若在杠杆左侧悬挂一个的重物，则右侧需要施加的力_____；若将支点向左侧移动，使，则新的动力臂_____cm． (3)作法证明： 如图2，作已知线段的黄金分割点，方法如下： ①过点作，且；②连接，在上截取； ③在上截取，则点就是线段的黄金分割点，请说明理由． 拓展应用： 黄金矩形：的矩形． (4)如图3，正方形，尺规作黄金矩形． 要求：点，分别在射线，上．（不写步骤，保留作图痕迹） 题型8 利用相似三角形的性质求现实相关问题（共8小题） 【模型】把现实场景抽象为相似三角形，依托对应边成比例，求解实际高度、距离等相关量。 【步骤】提取实际问题中的几何条件，构建相似三角形，找准对应边列比例式，代入数据算出实际所求量。【易错】现实场景抽象图形不要出错，对应边切勿找错，计算统一单位，分清相似比，防止比例式颠倒导致答案错误。 36．（24-25九年级上·河北保定·期中）工人师傅设计了一种测量蓄水池深度的方法．如图所示，在池口处立一根垂直的木杆，从木杆的顶端观察池水水岸，视线与池口的直径交于点，如果测得米，米，米，那么为______米． 37．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）清风阁位于安徽省合肥市的包公园内，是为纪念北宋清官包拯诞辰而建的大型仿宋建筑．小夏和小罗同学想用一些测量工具和所学的几何知识测量清风阁的高度，来检验自己掌握知识和运用知识的能力．他们经过研究，决定进行如下操作：如图，首先，在阳光下，小夏在清风阁影子的末端C点处竖立一根2米的标杆，此时，小罗测得标杆的影长米；然后，小夏从C点沿方向走了6米，到达点G，在G处竖立一根2米的标杆，接着沿方向走到点M处时，恰好看见清风阁顶端A点与F在一条直线上（即A，F，H在一条直线上），此时，小罗测得米，小夏的眼睛到地面的距离米．请你根据题中提供的相关信息，求出清风阁的高． 38．（24-25九年级上·广东深圳·期中）如图是装了液体的高脚杯示意图（左图）（数据如图），用去一部分液体后如右侧图所示，此时液面的宽度为（   ） A． B． C． D． 39．（24-25九年级上·辽宁本溪·期中）如图，某小组进行凸透镜成像规律的探究实验，他们依次在光具座上垂直放置发光物、凸透镜和光屏，并调整到合适的高度，主光轴l垂直于凸透镜，且经过凸透镜光心，将长度为的发光物进行移动，使物距为，光线，传播方向不变，移动光屏，直到光屏上呈现一个清晰的像，此时测得像距为． (1)求像的长； (2)已知光线平行于主光轴，经过凸透镜折射后通过焦点，求凸透镜的焦距的长（结果精确到）． 40．（24-25九年级上·宁夏银川·期中）清虚阁，位于山西省晋中市榆次老城中，俗称南阁，建成于明代成化五年（1469），是榆次区境内仅见的，也是晋中地区稀有的古代阁楼式建筑杰作，如图，某中学数学实践小组利用节假日时间到现场测量清虚阁的高度． 步骤一：在地面上取E、G两点，分别竖立高为的标杆和，两标杆间隔，并且清虚阁，标杆和在同一竖直平面内，从标杆后退到D处，从D处观察A点，A，F，D三点成一线； 步骤二：从标杆后退到C处，从C处观察A点，A，H，C三点也成一线． 请你根据以上数据，计算清虚阁的高度． 41．（25-26九年级上·陕西榆林·期中）某中学数学兴趣小组利用周末时间测量樱花树下的石碑与远处一座实验楼之间的距离（石碑与实验楼之间被小樱花树林隔开，不能直接测量），他们采用以下方法：如图，把支架放在石碑旁水平地面上的点处，再把一面平面镜水平放在支架上的点处（平面镜大小忽略不计），然后沿着直线移动至点处，这时恰好在镜子里看到实验楼的顶端的像，已知米，米，实验楼的高度米，观测者的目高米，已知，图中所有的点都在同一平面内，求石碑与实验楼之间的距离． 42．（25-26九年级下·山东济宁·期末）集装箱作为国际贸易中最主要的运输工具之一，因其方便快捷、安全可靠等特点被广泛应用于全球货运领域．而集装箱搬运车则是为了更方便、更高效地对集装箱进行运输、搬运和堆放而设计的机械设备．如图是该集装箱搬运车的简化示意图，测得，矩形为底盘，长和宽分别为和，，，，点、、在同一水平面上，求集装箱顶部到地面的高度． 43．（2026·浙江·中考真题）如图所示，是墙面与一个显示屏的侧视图，墙面与地面垂直，用两根等长的支架和连接墙面与显示屏，测得． (1)证明：； (2)若锦凌同学坐在显示屏前面，支架，，，锦凌同学的眼睛与显示屏底部等高，眼睛到墙面的距离，锦凌同学的视野被显示屏遮挡，出现了一个盲区．求的长度． $