专题08 相似三角形的常见模型6大题型30题（期中专项训练）九年级数学上学期新教材北师大版

专题08 相似三角形的常见模型 拔高·压轴破难 题型1 A字模型（重点） 题型2 反A字模型（重点） 题型3 母子模型（重点） 题型4 8字模型（重点） 题型5 旋转模型（重难点） 题型6 一线三等角模型（重难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 拔高·压轴破难 题型1 A字模型（共5小题） 【模型】平行线截三角形两边，构造 A 字型相似，得到对应边成比例，用于求解线段相关问题。 【步骤】识别 A 字模型，由平行线证三角形相似，找准各组对应边，列出比例式，计算求解未知线段。【易错】区分 A 字与反 A 模型，找准对应边，不要乱套比例，注意平行线条件，无平行不可直接判定三角形相似。 1．（24-25八年级下·湖北宜昌·期中）如图，A，B两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了A、B间的距离：先在外选一点C，然后测出的中点M，N，并测量出的长为，由此他就知道了A、B间的距离．有关他这次探究活动的描述错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形中位线定理以及相似三角形的判定及性质．熟练掌握中位线定理是解题的关键． 根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得，再根据相似三角形的判定解答． 【详解】解：∵的中点M，N，的长为， ∴，，故A，B，C选项正确，不符合题意； ∴，故D选项错误，符合题意； 故选：D 2．（25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，点E是菱形的边上一点，连接并延长，交的延长线于点F．若，则的长为（   ） A．15 B．12 C．10 D．9 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键．由，求得，则，由菱形的性质得，则，所以，则，求得于是得到问题的答案． 【详解】解：， ， ， 四边形是菱形，点在上，点在的延长线上， ， ， ， ， ． 故选：D． 3．（25-26九年级上·北京延庆·期中）下面是相似三角形的判定定理： 相似三角形的判定定理：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似． 已知：如图，在和中，，． 求证：． 请你完成此定理的证明过程． 【答案】 证明：在上取点M，使，过点M作交于点N． ∴，． ∵，， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，在上取点M，使，过点M作交于点N，即可得到，根据对应边成比例求出，然后根据证明即可得到结论． 【详解】略 4．（25-26九年级上·福建宁德·期中）如图，在中，点，分别在边，上，，是边上的一点（不与点，重合），连接，交于点． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1) 证明：， ； (2) 证明：， ， ， ， ， ． 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质综合，利用平行判定相似，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）根据，可以推得结论成立； （2）先根据，得出，再证明，可得出，从而可得出结论． 【详解】（1）略 （2）略 5．（25-26九年级上·吉林长春·期中）一块材料的形状是锐角，边，高，把它加工成正方形零件如图1，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在上． (1)求证：； (2)求这个正方形零件的边长； (3)如果把它加工成矩形零件如图2，当______时，这个矩形的面积最大，最大值是______． 【答案】(1)证明：∵四边形为矩形， ， ∴； (2) (3)40，1200 【分析】（1）根据正方形的性质和三角形相似的判定即可证明； （2）利用相似三角形的性质得，代值计算即可； （3）与（2）类似，利用求得与的关系，用的长x表示出矩形的面积，根据二次函数的性质即可求出最值． 【详解】（1）略 （2）解：设正方形零件的边长为， 由（1）知， ， 同理，由得， ∴， 即， 解得， ∴这个正方形零件的边长为； （3）解：设长方形的长为，宽为， 当长方形的长在时， 同（2）得，即，， 矩形面积， ∵， ∴当时，长方形的面积最大为． 即当时，这个矩形的面积最大，最大值是． 题型2 反A字模型（共5小题） 【模型】共角的两个三角形，一组对角相等构成反 A 相似模型，利用对应边成比例解题。 【步骤】识别公共角与等角条件，证明反 A 型三角形相似，找准对应边列出比例式，求解线段相关问题。 【易错】分清反 A 与 A 字模型的对应边，不可混淆比例顺序，仅有公共角不能证相似，必须再找到一组相等角。 6．（26-27九年级上·宁夏·期中）如图，在中，点D，E分别在边上．添加一个条件使，则这个条件可以是______________．（写出一种情况即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据相似三角形的判定解答即可． 【详解】解：∵， ∴添加条件：可判定． 7．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，，点P从A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，如果P，Q分别从A，B同时出发，经过ts时与相似，那么t的值为（     ） A．2 B．或2 C． D．或2 【答案】B 【分析】设x秒后，与相似，可表示出，再分与两种情况，根据相似三角形对应边成比例列式求解即可． 【详解】解：由题意，得，． ，， ． ①当时， ， ， ， ， 解得； ②当时， ， ， ， ， 解得， 综上所述，的值为或2． 8．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，点D，E分别在边上且，连接，． (1)求证：． (2)若点E为中点，，若，求的长． 【答案】(1)证明：∵， ∴， 又∵， ∴； (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，三角形中线的性质，证明是解题的关键． （1）根据已知条件得到，再根据两边对应成比例且它们的夹角相等的两三角形相似进行证明即可； （2）先求出，再根据，求出，根据，求出，即可得出答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵点E为中点，， ∴， ∵， ∴， 根据解析（1）可知：， ∴， 解得：， ∴． 9．（25-26九年级上·湖南衡阳·期中）如图，在中，，，分别是边和上的点，且， (1)求证：； (2)求的值 【答案】(1) 证明， ， (2)10 【分析】本题考查相似三角形的证明及性质，能够证得三角形相似是解题关键； （1）根据即可证得三角形相似； （2）根据相似三角形的性质得到，通过变形进而可求解． 【详解】（1）略 （2）解：， ． 10．（24-25九年级上·四川乐山·期中）已知：如图，在中，D、E分别在边、上，连接，，，，，求证：． 【答案】 证明：∵，，，， ∴，， ∴， ∵， ∴． 【分析】本题考查相似三角形的判定，根据题意求得，，再根据相似三角形的判定证明即可． 【详解】略 题型3 母子模型（共5小题） 【模型】直角三角形斜边上作高，分出两个小直角三角形，三者两两相似，得到多组成比例线段。 【步骤】识别母子相似图形，确定三组相似直角三角形，写出射影定理比例关系，列式求解线段长度。 【易错】牢记只在直角三角形斜高条件下成立，不要随意套用射影公式，仔细分辨直角边、斜边，避免比例写错。 11．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）如图，下列条件不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理（两角分别相等、两边成比例且夹角相等）． 已知是与的公共角，结合各选项条件，判断是否满足“两角分别相等”或“两边成比例且夹角相等”的判定条件． 【详解】解：∵是与的公共角， A、，仅说明是的角平分线，无法判定，此选项符合题意； B、，变形为，结合，两边成比例且夹角相等，可判定，此选项不符合题意； C、，结合，两角分别相等，可判定，此选项不符合题意； D、，结合，两角分别相等，可判定，此选项不符合题意； 故选：A． 12．（24-25九年级上·上海·期中）如图，在中，D为边上一点，，，，那么_______． 【答案】6 【分析】证明，列出比例式进行求解即可. 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴. 13．（25-26九年级上·广西贵港·期中）如图，在中，是角平分线，点在边上，且，连接．若，，的长为_____． 【答案】9 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，灵活运用相似三角形的判定定理证明三角形相似是解题的关键． 先证明可得，再证明，结合可证明，最后根据相似三角形的性质列比例式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵是角平分线， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即，解得：． 故答案为：9． 14．（25-26九年级上·陕西榆林·期中）如图，在中，D为边上一点，，，．求证：． 【答案】 证明：∵在中，D为边上一点，，，， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 【分析】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题关键． 求出两组对应边的比例，利用两边对应成比例且其夹角相等的判定方法证明相似． 【详解】略 15．（25-26九年级上·福建泉州·期中）如图，在四边形中，，点在边上，点在边上，、相交于点，连接，且，． (1)求证：； (2)若． ①求证：点是的中点； ②求边的长． 【答案】(1) 证明：， ， 又， ； (2) ①证明：延长，交于点， ， ， ， ， ，， 由， 得， ， 由（1）得， ， ， ， ， ， 点是的中点； ② 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质、平行四边形的判定与性质以及比例的基本性质． （1）对进行变形，可得，再加上公共角，即可证明； （2）①延长，交于点，利用平行的条件证明，可推得，由（1）中结论，利用相似三角形的性质结合可推出，所以，即证点是的中点； ②先根据已知条件证明相关三角形相似，再利用相似三角形的性质和勾股定理来求解的长即可解答． 【详解】（1）略 （2）①略 ②解：由①得， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， ， 设， ， ， ， 解得：， ， 过点作， 在Rt，Rt中，由勾股定理得： ， ， ， ， 而， 在Rt中，由勾股定理得， ， ， ． 题型4 8字模型（共5小题） 【模型】两直线相交形成对顶角，具备两组角相等，构造 8 字相似模型，利用对应边成比例解题。 【步骤】识别 8 字图形，借助对顶角与已知等角证相似，找准对应边列出比例式，求解线段与比值。 【易错】切勿把非相似的 8 字形直接套用比例，准确分辨对应边，对顶角相等只是条件之一，还需一组等角。 16．（25-26九年级上·陕西宝鸡·期中）如图，线段与相交于点，补充下列一个条件后，仍不能判定和相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理，根据相似三角形的判定定理逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：由图可知：， A、 ，不能判定与相似，故该选项符合题意； B、 根据“若两三角形有两组内角对应相等，则这两个三角形相似”可判定与相似，故该选项不符合题意； C、 即，根据“若两三角形有两组对应边的比例相等，且它们所夹的内角相等，则这两个三角形相似” 可判定与相似，故该选项不符合题意； D、根据“若两三角形有两组内角对应相等，则这两个三角形相似”可判定与相似，故该选项不符合题意； 故选：A． 17．（25-26九年级上·河南周口·期中）如图，线段与相交于点，，，，．求证：，并写出与的相似比． 【答案】 证明：∵，，，， 又∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴与的相似比为． 【分析】本题考查相似三角形的判定，相似比，先证明，然后根据“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”即可得证．掌握相似三角形的判定是解题的关键． 【详解】略 18．（25-26九年级上·山东济南·期中）如图，线段与相交于点P，连接，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，熟知相似三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）可证明，再由，即可证明； （2）根据相似三角形的性质可得，据此可得答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵， ∴． 19．（25-26九年级上·广东深圳·期中）综合与实践：如何拍出大长腿的效果？ 【数学眼光】如图，低角度拍摄，并结合仰拍技巧，可以有效地拉长腿部线条． 【数学思维】（1）针孔相机的成像原理：如图，由于光的直射，人的足部与头部通过小孔的成像分别在处，线段的像是线段上点的像是点．若，求证：； 【数学语言】（2）如图，小美站立在处，摄影师给小美仰拍．小美的身高的像为，腿部的像为．试说明能拍出大长腿效果的理由． 【答案】 （1）证明：如图， ， ，， ， ． ； （2）解：若照片中的腿部与上半身的比值大于它们实际的比值（即，则能拍出大长腿的效果． 理由：过点作交于点，连接交于点， 摄影师仰拍， 是△的外角． ． 过点作的平行线交线段于点． ， 由（1）得． ， ， ， ， ． 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键； （1）易证，，即可得证； （2）依据题意证即可，过点作交于点，连接交于点，过点作的平行线交线段于点．易得，则，再根据，即可得解． 【详解】（1）略 （2）略 20．（24-25九年级下·安徽合肥·期中）如图1，在四边形中，，连接交于点，且满足． (1)求证：； (2)如图2，已知，过点作于点． ①求的值； ②如图3，连接，若，求的长． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即． (2)①；②7 【分析】（1）证明，即可由相似三角形的性质得出结论； （2）①先证明，得，从面可得，则，根据ABP，则，然后根据，则，即可求解； ②过点作交于点，连接，证明，得，则，再证明，则，然后证明，得，则，从而得，则，求得，则，由求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：①∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由(1)知， ∴，， ∴， ∴，即 ∵ ∴， ∵于点，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ②过点作交于点，连接 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ． 【点睛】本题考查解直角三角形，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，等腰直角三角形，平行线间的判定与性质，三角形的面积等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 题型5 旋转模型（共5小题） 【模型】图形绕定点旋转得到等角，构造旋转相似，利用边角关系求解线段、角度相关问题。 【步骤】找出旋转前后相等边角，证明三角形相似，确定对应边与角，列比例式推导求解目标量。 【易错】分清旋转对应点，不要找错对应边角，注意旋转角，不要混淆旋转相似与旋转全等的使用条件。 21．（25-26九年级上·安徽安庆·期中）如图，在与中，，添加下列条件，不能得到与相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定定理．根据相似三角形的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：A、若添加，可用两角对应相等的两个三角形相似，证明，故本选项不符合题意； B、添加，结合得，可用两角对应相等的两个三角形相似，证明，故本选项不符合题意； C、添加，已知的角不是成比例的两边的夹角，不能证明，本选项符合题意； D、添加，可用两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，证明，故本选项不符合题意． 故选：C． 22．（25-26九年级上·宁夏银川·期中）如图，、和3张都标注一个条件的卡片．从这3张卡片中随机一次性抽取2张，根据这2张的条件，能判断的概率为___________． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，概率等知识．利用相似三角形的判定方法依次判断可求解． 【详解】解：若，，则； 若，，则； 若，，则无法证明； 从这3张卡片中随机一次性抽取2张有3种等可能结果，其中能判断的有两种， 能判断的概率为， 故答案为：． 23．（25-26九年级上·江苏淮安·期末）如图，，． (1)与相似吗？为什么？ (2)如果，，那么的长为多少？ 【答案】(1) 解：与相似， 理由：， ， ， 在和中， ， ； (2)8 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据已知得出是解题的关键． （1）根据得出，进而得出； （2）由，得到比例式，代入数值即可求得结果． 【详解】（1）略 （2）解：， ， ∵，， ， ． 24．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图，在和中，． (1)求证：． (2)求证：． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． (2) 解：∵，， ∴． 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、角的和差等知识点，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）先证明可得，再根据角的和差即可证明结论； （2）直接运用两边成比例且夹角相等的两个三角形相似即可证明结论． 【详解】（1）略 （2）略 25．（25-26九年级上·安徽池州·期中）如图，在Rt中，，，，是边上的动点，过点作，且使得与相交于点是的中点，连接． (1)求证：； (2)求证：； (3)求长的最小值． 【答案】(1) 证明： ， 又 ， ， ； (2) ， 又 ， ； (3)长的最小值为2 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质（斜边中线等于斜边一半）、勾股定理及垂线段最短的性质，解题的关键是通过角的关系证明相似三角形，利用相似性质转化线段和角度，结合最值模型求解。 （1）利用垂直关系得，通过角的和差及已知推出，根据两角对应相等证明相似； （2）由（1）的相似得边的比例，结合证明，利用相似比得出线段关系； （3）由相似推出，根据直角三角形斜边中线性质得，通过（1）的相似转化与的关系，利用垂线段最短求最小值，进而求出最小值。 【详解】（1）略 （2） 略 （3）， ， ， 又是的中点， ， ， 又 ， 当时，的长最小，最小值为， 此时的长最小，， 长的最小值为：． 题型6 一线三等角模型（共5小题） 【模型】同一直线上存在三个相等角，推导出两组角相等，证得两个三角形相似求解问题。 【步骤】识别一线三等角结构，利用平角与等角推导角相等，证明三角形相似，列比例式计算线段。 【易错】确认三个角在同一条直线上，不要漏看等角条件，找准相似对应边，避免列式时颠倒线段的前后比例。 26．（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，在中，，点在边的延长线上，过点作，连接，请添加一个条件：____________（不添加字母及辅助线），使．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查相似三角形的判定定理，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键；因此此题可根据相似三角形的判定定理进行求解． 【详解】解：∵， ∴， 当添加或时，可根据“两角对应相等的两个三角形相似”得到； 当添加或时，则有，所以，可根据“两角对应相等的两个三角形相似”得到； 当添加时，可根据“两组对应边分别成比例且它们的夹角也相等的两个三角形相似”得到； 故答案为（答案不唯一）． 27．（25-26九年级上·贵州铜仁·期中）如图，在四边形中，，点为的中点，． (1)求证：； (2)求证： 【答案】(1) 证明：， ， ， ，， ， ． (2) 证明：由（1）得， ， ， ． 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，掌握两组角对应相等的两个三角形相似是解题的关键． （1）先说明，再结合，运用两组角对应相等的两个三角形相似即可证明结论； （2）由相似三角形的性质可得，再结合即可证明结论． 【详解】（1）略 （2）略 28．（22-23九年级上·四川巴中·期中）如图，在等边中，为边上一点，为边上一点，且． (1)求证：； (2)若，，求的长度． 【答案】(1)证明：∵为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）由等边三角形的性质可得，再证明出，即可得证； （2）由等边三角形的性质可得，由（1）可得，再由相似三角形的性质计算即可得出结果． 【详解】（1）略； （2）解：∵为等边三角形， ∴， 由（1）可得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 29．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）如图，在中，，D是的中点，点E在的延长线上，点F在边上，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定、等边对等角、三角形外角的性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）根据等边对等角可得，根据三角形的外角的性质结合已知可得，据此即可证明结论； （2）根据相似三角形的性质可得，再结合D是的中点可得，进而完成解答． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴ 又∵D是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 30．（23-24九年级上·河南周口·期中）某学习小组在探究三角形相似时，发现了下面这种典型的基本图形．    (1)如图 1，在 中， 直线 l 经过点A，BD⊥直线 l，CE⊥直线l，垂足分别为 D、E．求证： (2)组员小刘想，如果三个角都不是直角，那么结论是否仍然成立呢? 如图2，将（1）中的条件做以下修改：在 中， D、A、E 三点都在直线l 上，并且有 ，其中α为任意锐角或钝角．请问（1）中的结论还成立吗? 若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． 【答案】(1) 解：（1）证明：∵直线l，直线l， ∴． ∵，∴． 又∵，∴． 在和中，， ∴，∴． (2) 成立． 证明：∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． 【分析】（1）根据题意证明即可求解； （2）同理证明即可求解． 此题主要考查考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是根据两角相等得到三角形相似． 【详解】（1）略 （2）略 31．（25-26九年级上·河南开封·期中）问题发现 （1）如图1，在正方形中，点在边上，点在边上，且于点．求证：． 类比探究 （2）如图2，在矩形中，点在边上，点在边上，且于点．求证：． 拓展延伸 （3）如图3，在中，，点在边上，点在边上，，，连接，交于点，且，求的值． 【答案】 （1）证明：，， ． 在正方形中，，， ． ． 又，， ． ． （2）证明：，， ． 在矩形中， ， ． ． 又， ． ． （3） 【分析】（1）先导角得到，证明，即可得到结论； （2）先导角得到，证明，即可得到结论； （3）在上取一点，使，连接，可得是等边三角形，导角得到，证明，即可得到结论． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）如图3，在上取一点，使，连接， 在中，，． 是等边三角形， ，． ． ， ． ． ． ． ． $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题08相似三角形的常见模型 题型图谱导航总览 题型1A字模型（重点） 题型2反A字模型（重点） 题型3母子模型（重点） 拔高·压轴破难 题型48字模型（重点） 题型5旋转模型（重难点） 题型6一线三等角模型（重难点） 题型精练·靶向突破 拔高压轴破难 题型1A字模型（共5小题） 【模型】平行线截三角形两边，构造A字型相似，得到对应边成比例，用于求解线段相关问题。 【步骤】识别A字模型，由平行线证三角形相似，找准各组对应边，列出比例式，计算求解未知线段。 【易错】区分A字与反A模型，找准对应边，不要乱套比例，注意平行线条件，无平行不可直接判定 三角形相似。 1 (2425八年级下·湖北宜昌·期中)如图，A,B两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了A、B间的 距离：先在AB外选一点C,然后测出AC,BC的中点M,N,并测量出MN的长为12m,由此他就知道了 A、B间的距离.有关他这次探究活动的描述错误的是() 1/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.AB=24m B.MN∥AB C.CM CA =1:2 D.△CMW≌ACAB 2.(25-26九年级上黑龙江齐齐哈尔·期末)如图，点E是菱形ABCD的边AD上一点，连接CE并延长， 文B则的延长检于太只务治行D-6则B的长为《) D A.15 B.12 C.10 D.9 3.(25-26九年级上北京延庆·期中)下面是相似三角形的判定定理： 相似三角形的判定定理：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成 比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似， AB BC 已知：如图，在AABC和ADEF中，DEEF，∠B=∠E 求证：△ABC∽△DEF D 请你完成此定理的证明过程. 4.(25-26九年级上福建宁德期中)如图，在△ABC中，点D,E分别在边AB,AC上，DE∥BC, M是BC边上的一点（不与点B,C重合），连接AM,交DE于点N, 2/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (I)求证：△ANDAMB: DN NE (2)求证：BMMC. 5. (25-26九年级上·吉林长春·期中)一块材料的形状是锐角△ABC,边BC=80Cm,高AD=60cm,把它 加工成正方形零件如图1，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在ABAC上. E G G 图1 图2 (I)求证：△AEFAABC: (2)求这个正方形零件的边长： (3)如果把它加工成矩形零件如图2，当EF=cm时，这个矩形的面积最大，最大值是_cm2, 题型2反A字模型（共5小题） 【模型】共角的两个三角形，一组对角相等构成反A相似模型，利用对应边成比例解题。 【步骤】识别公共角与等角条件，证明反A型三角形相似，找准对应边列出比例式，求解线段相关问 题。 【易错】分清反A与A字模型的对应边，不可混淆比例顺序，仅有公共角不能证相似，必须再找到 组相等角。 6.(26-27九年级上宁夏期中)如图，在△ABC中，点D,E分别在边AB,AC上.添加一个条件使 △ADE∽aACB,则这个条件可以是 (写出一种情况即可) 3/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B 7.(26-27九年级上·全国课后作业)如图，在△ABC中，AB=8cm,BC=16cm,点P从A开始沿AB 边向点B以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以4cm/s的速度移动，如果P,Q分别从 A,B同时出发，经过时△PBO与△ABC相似，那么t的值为() B 4 5 A.2 B.5或2 D.4或2 8.(25-26九年级上浙江杭州期中)如图，在△ABC中，点D,E分别在边AC,AB上且 AE·AB=AD·AC,连接DE,BD C (I)求证：△ADE∽△ABC (2)若点E为AB中点，AD:AE=6:5,若AB=20,求CD的长. 9.(25-26九年级上湖南衡阳期中)如图，在△ABC中，AB=5,D,E分别是边AC和AB上的点，且 ∠ADE=∠B,DE=2. 4/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (I)求证：△ADE∽△ABC: (②)求AD·BC的值 10.(24-25九年级上四川乐山期中)已知：如图，在△ABC中，D、E分别在边AB、AC上，连接DE, AD=6,EC=1,BD=6,AE=8,求i证：△ADEAACB. B 题型3母子模型（共5小题） 【模型】直角三角形斜边上作高，分出两个小直角三角形，三者两两相似，得到多组成比例线段。 【步骤】识别母子相似图形，确定三组相似直角三角形，写出射影定理比例关系，列式求解线段长度。 【易错】牢记只在直角三角形斜高条件下成立，不要随意套用射影公式，仔细分辨直角边、斜边，避免 比例写错。 11. (25-26九年级上·江苏盐城·期中)如图，下列条件不能判定△ADB△ABC的是() A.∠ABD=∠CBD B.AB2=AD·AC C.∠ABD=∠ACB D.∠ADB=∠ABC 12.(24-25九年级上·上海期中)如图，在△ABC中，D为边AC上一点，∠ABD=∠C,AD=4,AC=9」 那么AB= D 13.(25-26九年级上：广西贵港期中)如图，在△ABC中，AD是角平分线，点E在边AC上，且 5/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AD=AE·AB,连接DE.若CD=6,CE=4,AC的长为一 D 14,（25,26九年级上：陕西检林期中)如图，在ABC中，D为AC边上一点，4D- 2,CD=2,BC=3. 求证：ACDBACBA D 15.(25-26九年级上福建泉州期中)如图，在四边形ABCD中，AD‖BC,点E在边AB上，点F在边 BC CE DF 上， 相交于点P,连接F,且CD=DF-P.∠CEF=∠CD P B F (1I)求证：△DCP∽△DFC: ②若AD=AE=34B=L,BC=4 ①求证：点F是BC的中点： ②求边CD的长. 题型48字模型（共5小题） 【模型】两直线相交形成对顶角，具备两组角相等，构造8字相似模型，利用对应边成比例解题。 【步骤】识别8字图形，借助对顶角与已知等角证相似，找准对应边列出比例式，求解线段与比 6/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 值。 【易错】切勿把非相似的8字形直接套用比例，准确分辨对应边，对顶角相等只是条件之一，还需 组等角。 16. (25-26九年级上陕西宝鸡期中)如图，线段AC与BD相交于点O,补充下列一个条件后，仍不能 判定△AOB和△DOC相似的是() B D AB DC A.OA OD B.∠B=LC C.OA.OC=OD.OB D.∠A=∠D 17.(25-26九年级上·河南周口期中)如图，线段AB与CD相交于点P,AP=5,CP=3,BP=10, DP=6.求证：△APCOABPD,并写出△APC与△BPD的相似比. C 18.(25-26九年级上山东济南期中)如图，线段AB与CD相交于点P,连接AC,BD AP=3,BP=6,CP=2,DP=4 B (I)求证：△APCOABPD: (2)若BD=5,求AC的长， 7/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 19.(25-26九年级上广东深圳期中)综合与实践：如何拍出大长腿的效果？ 【数学眼光】如图@，低角度拍摄，并结合仰拍技巧，可以有效地拉长腿部线条 b) 【数学思维】(1)针孔相机的成像原理：如图 ,由于光的直射，人的足部A与头部B通过小孔O的成 A'C AC 像分别在AL,B处，线段AB的像是线段AB,AB上点C的像是点C',若AB∥AB,求证：BC=BC: 【数学语言】(23)如图 ,小美站立在A处，摄影师给小美仰拍.小美的身高4B的像为A'B,腿部 AC的像为A'C'.试说明能拍出大长腿效果的理由. B (b) 20.(24-25九年级下·安徽合肥期中)如图1，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=BC,连接 ACBD交于点P,且满足PAPC=PB-PD B B E 图1 图2 图3 (I)求证：∠ABD=∠ACD: CD 3 (②)如图2，已知AD=4,过点p作PE1AB于点E PE ①求BC的值： 8/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 SMED =8 ②如图3，连接DE,若 8,求BD的长 题型5旋转模型（共5小题） 【模型】图形绕定点旋转得到等角，构造旋转相似，利用边角关系求解线段、角度相关问题。 【步骤】找出旋转前后相等边角，证明三角形相似，确定对应边与角，列比例式推导求解目标量。 【易错】分清旋转对应点，不要找错对应边角，注意旋转角，不要混淆旋转相似与旋转全等的使用条 件。 21.(25-26九年级上安徽安庆期中)如图，在△ABC与△ADE中，∠C=∠E,添加下列条件，不能得到 △ABC与△ADE相似的是() AB BC AC BC A,∠B=∠D B.∠BAD=∠CAE C.AD DE D.AEDE 22.(25-26九年级上·宁夏银川期中)如图，△ADE、△ABC和3张都标注一个条件的卡片.从这3张卡 片中随机一次性抽取2张，根据这2张的条件，能判断△ADE∽△ABC的概率为， ① ② ③ AD AE ∠1=∠2 B=∠D AB AC 23.(25-26九年级上江苏淮安·期末)如图，∠BAD=∠CAE,∠B=∠D (1)△ABC与△ADE相似吗？为什么？ 9/13 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)如果AC=2AE,DE=4,那么BC的长为多少？ AB BC AC 24.(25-26九年级上：安徽合肥：期中)如图，在AABC和AADE中，ADDE=AE· (1)求证： ∠BAD=∠CAE (2)求证：△BADACAE 25.(25-26九年级上：安徽池州期中)如图，在RtAABC中，∠ACB=90°，AC=2,BC=4,D是AB 边上的动点，过点C作CE⊥CD,且使得∠BDE=∠ACD,DE与BC相交于点F,G是DE的中点，连接 BG,BE D (I)求证：△ABCn△DEC: (2)求证：BE=2AD: (3)求BG长的最小值. 题型6一线三等角模型（共5小题） 【模型】同一直线上存在三个相等角，推导出两组角相等，证得两个三角形相似求解问题。 【步骤】识别一线三等角结构，利用平角与等角推导角相等，证明三角形相似，列比例式计算线段。 【易错】确认三个角在同一条直线上，不要漏看等角条件，找准相似对应边，避免列式时颠倒线段的前 后比例。 26.(25-26九年级上陕西西安期中)如图，在Rt4BC中，∠B=90°，点D在边BC的延长线上，过点D 作DE⊥BD,连接CE,请添加一个条件： (不添加字母及辅助线)，使△ABC∽△CDE. 10/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (写出一个即可) B 27.(25-26九年级上贵州铜仁期中)如图，在四边形ABCD中，∠DAB=∠CBA=90°，点E为AB的中 点，DE⊥CE, A E B (I)求证：△AED∽aBCE: (2)求证：AE2=AD.BC 28.(22-23九年级上：四川巴中期中)如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点， 且∠ADB+∠EDC=120° D (I)求证：△ABD∽aDCE: (2)若BD=4,CE=3,求AB的长度 29.(25-26九年级上·江苏泰州期中)如图，在△ABC中，AB=AC,D是BC的中点，点E在BA的延长 线上，点F在边AC上，∠EDF=∠B 11/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E B D (I)求证：△BDE∽△CFD: (2)若BE=15,CF=3,求BC的长 30.(23-24九年级上：河南周口·期中)某学习小组在探究三角形相似时，发现了下面这种典型的基本图形 E D 图1 图2 ①如图1，在AMBC中，∠BAC=0, AC =k,直线1经过点A,BDL直线L,CB1直线，垂足分别为 BD D、E.求证： =k. AE (2)组员小刘想，如果三个角都不是直角，那么结论是否仍然成立呢？如图2，将(1)中的条件做以下修改： AB 在△ABC中， AC =kD、A、E三点都在直线I上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=a,'其中a为任 意锐角或钝角.请问(1)中的结论还成立吗？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由. 31.(25-26九年级上河南开封期中)问题发现 D F 图1 图2 图3 (I)如图1，在正方形ABCD中，点E在边BC上，点F在边CD上，且DE⊥AF于点P.求证： DE=AF. 12/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 类比探究 (2)如图2，在矩形ABCD中，点E在边BC上，点F在边CD上，且DE⊥AF于点P.求证： DE CD AF=AD· 拓展延伸 (3)如图3，在ABCD中，∠ADC=120°，点E在边BC上，点F在边CD上，DF=3,CE=4,连接 DE AF,DE交于点P,且∠APE=120°，求AF的值. 13/13