专题07 相似三角形的判定与性质综合8大题型50题（期中专项训练）九年级数学上学期新教材北师大版

专题07 相似三角形的判定与性质综合 基础·固本强基 题型1 利用相似三角形的性质与判定求线段长（重点） 题型2 利用相似三角形的性质与判定判断结论正误（重难点） 题型3 利用相似三角形的性质与判定求线段比（重点） 提升·进阶突破 题型4 利用相似三角形的性质与判定求面积（重点） 题型5 利用相似三角形的性质与判定求最值（难点） 题型6 利用相似三角形的性质与判定求周长（重点） 拔高·压轴破难 题型7 利用相似三角形的性质与判定作图（重点） 题型8 利用相似三角形的性质与判定证明（重难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 利用相似三角形的性质与判定求线段长（共5小题） 【模型】找出图形中相似三角形，利用对应边成比例建立等式，求解未知线段的长度。 【步骤】识别相等角判定三角形相似，找准对应边列出比例式，代入已知线段数值，解方程求出目标线段长。 【易错】切忌混淆相似三角形的对应边与对应角，看错对应关系会导致比例列式错误，计算后要检验线段长度是否符合实际意义。 1．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图，光线从点处射出射向轴上的点，经轴镜面反射，光线经过点，则的长度是（   ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】过点B作轴于点C，推导出，得到，继而求出，代入求出即可． 【详解】解：过点B作轴于点C，如图 ∴， ∵利用光的反射定律（入射角等于反射角）， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得． 2．（25-26九年级上·陕西汉中·期末）如图，点D，E分别是边，的中点，点F在上，．连接并延长，与的延长线相交于点M．若，则线段的长为（   ） A．8 B．7 C．6 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质，是的中位线，利用三角形中位线定理，可得出，且．则得到，结合，，得到，最后根据计算即可． 【详解】解：∵点D，E分别是边，的中点， ∴是的中位线， ∴，且． ∴ ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故选：A 3．（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）如图，在中，点是边上的一点，，则边的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 根据，，得，得，代入数据即可求出，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， 故选：A． 4．（安徽省安庆市宿松县宿松部分学校联考2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题）如图，在平行四边形中，交于，交于，，，则的长为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质，证明，由相似三角形的性质得出，再由平行四边形的性质即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， 故选：B． 5．（25-26九年级上·山东聊城·期中）如图，在中，正方形的两个顶点E、F在上，另两个顶点G、H分别在、上，，边上的高是10，则正方形的边长为_____． 【答案】6 【分析】本题主要考查正方形的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握正方形的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，过点作于点，交于点，然后可得，进而根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 过点作于点，交于点，如图所示： ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得：， 即正方形的边长为6； 故答案为6． 6．（26-27九年级上·四川·期中）如图，中，，为边上一点，为延长线上一点，连接，，为中点，连接交于点，，，则______． 【答案】 【分析】作，等腰三角形三线合一得到点H是中点，三角形中线的交点是重心，利用重心性质得到，证明，，三角形相似可以得到，进而得出，由勾股定理得：，进行求解即可． 【详解】解：过点D作，垂足为H，与交于点，如下图所示， ，， 点H是中点， 又点F是中点， 点是的重心， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ， 即， 在，，由勾股定理得：， 在，，由勾股定理得：， ， 解得：或（舍去）， 所以，． 7．（25-26九年级上·北京房山·期中）如图，与交于点O，，，，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，由，得，利用相似三角形的性质可得出，代入，，即可求出的长． 【详解】解：，， ， ， ，，， ， ． 8．（25-26九年级上·浙江宁波·期中）如图，在四边形中，对角线平分，，点E在上，．若，，，求的长． 【答案】 【分析】在上截取，先证明，再证明，确定，接着证明，列比例式解答即可． 本题考查了三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，三角形外角性质应用，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】解：如图，在上截取， ∵对角线平分， ∴， 在和中， ∵ ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 故． 9．（25-26九年级上·广东佛山·期中）如图，已知是的角平分线，点E在边上，且，连接． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1) 证明：∵是的角平分线， ∴． ∵， ∴， ∴； (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，角平分线的定义，掌握知识点是解题的关键． （1）根据是的角平分线可得出，由可得出，即可证出； （2）由，得到，求出，则，即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：∵，，， ∴， 即， 解得， ∴． 10．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，点D，E在的边上，点F在边上，连接，，，且，，， (1)求证：； (2)若， 时，求的长． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理． （1）证明可得结论； （2）利用相似三角形性质以及等腰直角三角形的性质求出，再证明求出可得结论． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得（负值舍去）， ∴． 题型2 利用相似三角形的性质与判定判断结论正误（共5小题） 【模型】借助相似三角形判定证得相似，结合对应边角性质，对选项结论逐一分析判断对错。 【步骤】先挖掘图形条件判定三角形相似，运用相似性质推导边角关系，对比题干结论，甄别正误。 【易错】分清相似图形对应边角，不要凭直观感觉判定相似，注意排除干扰条件，避免漏看特殊限制导致判断出错。 11．（26-27九年级上·福建·期中）如图，在中，点D、E分别是、的中点，则下列结论不正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形的中位线定理得出是的中位线，再由中位线的性质得出，进而可得出结论： 【详解】∵在△ABC中，点D、E分别是边、的中点， ∴，，故选项A正确，但不符合题意； ∴，故选项B正确，但不符合题意； ∴，即，故选项C正确，但不符合题意； ∴，故选项D错误，不符合题意． 12．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，在平行四边形中，是上一点，交于点，的延长线交的延长线于，若上，则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据平行四边形的性质得到，，得到，得到，得到，选项C正确；证明，得出，得到，选项A正确；可证明，得到，选项B正确； ，选项D错误；即可得到答案． 【详解】解：在平行四边形中，， ， ， ， 选项C正确； ， ， ， ， 选项A正确； ， ， ， 选项B正确； ， 选项D错误； 故选：D． 13．（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，的中线、相交于点F，连接，则下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形的中位线，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 根据题意和相似三角形的判定与性质，可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：在中，中线、相交于点， ∴是的中位线， ∴，故①正确； ∴， ∴，故③错误； ∵， ∴， ∴， ∴，故④正确； ∵， ∴， ∴， 不能证明，故②错误； 故选：B． 14．（24-25九年级上·河南周口·期中）如图，在矩形中，点是边的三等分点，点是边的中点，线段，与对角线分别交于点，．设矩形的面积为，则以下4个结论中：①；②；③；④．正确的结论有________． 【答案】①③/③① 【分析】根据矩形性质得到，即可得到，从而得到即可判断①②，同时根据相似即可判断对应高之比，即可判断③④，即可得到答案．本题考查了矩形的性质，三角形相似的性质和判定，平行线分线段成比例定理，三角形面积等知识，解题的关键是理解题意，掌握同高三角形面积等于底边比，相似三角形面积的比等于相似比的平方． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵点是边的三等分点，点是边的中点， ， 设，则， ∴，故①正确，②错误； ∵， ∴， 同理可得：， ∵， 设，则， ∴， ∴，故③正确，④错误； 故答案为：①③ 15．（24-25九年级上·宁夏银川·期中）如图，在矩形纸片中， ， ， 点在上， 将沿折叠， 点恰落在边上的点处， 点在上， 将沿折叠， 点恰落在线段上的点处． 下列结论： ①；②；③；④．正确的是______________． 【答案】①②④ 【分析】由矩形的性质得，由折叠得，则，可判断①正确；由，得，则，可判断②正确；因为，所以，则，由，求得，则，由，求得，则，所以，可判断③错误；因为，所以，可判断④正确，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ，， ∴由折叠得， ，故①正确； ∵，点在上，点在上， ， ， 故②正确； ， ， ， ， ， 解得， ， ， ， 解得， ， ， 故③错误； ， ， 故④正确， 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了矩形的性质、轴对称的性质、勾股定理、相似三角形的判定、三角形的面积公式等知识，求得及是解题的关键． 题型3 利用相似三角形的性质与判定求线段比（共5小题） 【模型】证得三角形相似，依据相似对应边成比例，转化条件求解两条线段之间的比值。 【步骤】梳理图形边角条件判定三角形相似，找准对应边写出比例关系，化简整理得到所求线段的比值。 【易错】注意找准相似的对应边，切勿颠倒前后项顺序，区分线段比与面积比，不要混淆二者之间的倍数关系。 16．（25-26九年级上·宁夏银川·期中）如图，平行四边形中，点是边的中点，交于点，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了利用平行四边形的性质求解，相似三角形的判定与性质综合，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先利用平行四边形的性质证明，再列出比例式求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ， ， 又点是边的中点， ， ， 故选：B． 17．（25-26九年级上·全国·期中）如图，中，，，，平分，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如图，过点D作交于点M，作交于点G，作交于点H，连接，勾股定理求出，根据，求出，角平分线的性质得出，根据等面积法求出，证明四边形是矩形，得出，结合，证出，在中，勾股定理列方程求出，证明，即可解答． 【详解】解：如图，过点D作交于点M，作交于点G，作交于点H，连接， ∵，，， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， 则， 在中，， 解得：， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】该题主要考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，角平分线的性质，矩形的性质和判定，平行线的性质，等腰三角形的判定等知识点，解题的关键是正确做出辅助线，掌握以上知识点． 18．（25-26九年级上·内蒙古·期中）如图，，分别是▱两边的中点，连接，交于点，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 连接交于，得到，因为、是平行四边形两边中点，在中，根据三角形中位线定理，能推出这样就构造出了相似三角形和由于是中点，可知，再依据相似三角形对应边成比例，得出利用与的关系以及，通过代换计算出结果． 【详解】解：连接交于点 连接交于点 四边形是平行四边形， ， 、分别是平行四边形两边的中点， 设， 在中， 是中点，是中点， 是中点， ， 又， ， ，即， 又， 故答案为： 19．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）平行四边形中，点F是边上一点，连接并延长交的延长线于点E，且． (1)求证：； (2)若，，求的值． 【答案】(1) 证明：四边形ABCD为平行四边形， ， ， ， 而， ； (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）先根据平行四边形的性质得到，再利用得到，然后根据相似三角形的判定方法得到结论； （2）先根据平行四边形的性质得到，再由（1）得，则利用相似比可计算出，所以，接着根据平行四边形的性质得到，，所以，然后根据相似三角形的性质得到，从而得到的值． 【详解】（1）略 （2）解：四边形ABCD为平行四边形， ， ， ， 即， 解得， ， 四边形ABCD为平行四边形， ，， ， ， ． 20．（25-26九年级上·四川巴中·期中）某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究： 【观察猜想】 （1）如图1，在矩形中，，，点E是上的一点，连接，，且，则的值为 ； 【类比探究】 （2）如图2，在四边形中，，点E为上一点，连接，过点C作的垂线交的延长线于点G，交的延长线于点F，求证：． 【拓展延伸】 （3）如图3，在中，，，，将沿翻折，点A落在点C处得，点E，F分别在边，上，连接，，．求的值． 【答案】（1）； （2）如图，过点C作交的延长线于点H， ， ， 四边形为矩形， ，， ， ， ， ， ， 即； （3） 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． （1）证明后即可求解； （2）过点C作，交的延长线于点H，证明后即可求证； （3）过点C作于点G，连接交于点H，与相交于点O，证明，得到，由三角函数设，则，由勾股定理可得，得到，，，利用面积法可得，即可求解． 【详解】解：（1）设与交于点G， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 故答案为：； （2） 略 （3）如图所示，过点C作于点G，连接交于点H，与相交于点O， ，， ， ，， ， ， 在中，， ， 设， 则， ， ， （负值舍去）， ，， ， ， ， ， ． 提升·进阶突破 题型4 利用相似三角形的性质与判定求面积（共5小题） 【模型】证明三角形相似，利用相似三角形面积比等于相似比的平方，求解图形面积。 【步骤】先判定三角形相似，求出对应边的相似比，计算相似比的平方，结合已知面积求解目标图形面积。 【易错】牢记面积比是相似比的平方，不要直接将相似比当作面积比，分清对应三角形，避免错用条件造成结果出错。 21．（25-26九年级上·湖南永州·期中）如图，在中，平行于，则三角形与四边形的面积比是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质,掌握相关知识是解决问题的关键．根据平行于，得，又因为，可以得到，已知，即 根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方，从而可以得到和的面积之比，然后即可得到的面积与四边形的面积比，本题得以解决． 【详解】解：， ∴， ∵， ， ∵， ∴ ， 三角形的面积与四边形的面积比为， 故选：C． 22．（25-26九年级上·甘肃兰州·期中）如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，点E是的中点，连接并延长交于点F，已知，则平行四边形的面积是（    ） A．96 B．48 C．72 D．36 【答案】A 【分析】本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 根据平行四边形的性质得到，，得到，根据点E是的中点，得到，利用相似三角形性质计算即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又， ， ． 故选：A． 23．（24-25九年级上·福建泉州·期中）如图，将长方形沿直线翻折，使点落在点处，点的对应点恰好落在上，交于点．已知，，则四边形的面积是______． 【答案】70 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，矩形中的折叠问题，证是关键．设，则，得出，证，得出，由折叠的性质和平行线的性质可推出得出，得出，再根据勾股定理求出，再根据梯形的面积公式即可解答． 【详解】解：， 设，则， ， ，， 由折叠得：，，，， ， ，即， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ∴， ， ∴四边形的面积， 故答案为：70． 24．（24-25九年级上·上海宝山·期中）如图，在中，点、分别在边、上，且，，，．    (1)如果，求线段的长； (2)设的面积为2，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键． （1）通过证明，即可得到答案； （2）由线段的数量关系求出面积关系即可得到答案． 【详解】（1）解：，， ， 且， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ， ． 25．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）已知：如图，在中，，，的垂直平分线交于点E，交的延长线于点D． (1)求的长度： (2)过C作于点H，求的面积． 【答案】(1)5 (2) 【分析】本题考查三线合一，勾股定理，相似三角形的判定和性质： （1）过点作，过点作，三线合一求出的长，平行线分线段成比例，求出的长，证明，列出比例式求出的长，线段的和差关系求出的长即可； （2）证明，求出的长，勾股定理求出的长，三角形的面积公式进行计算即可． 【详解】（1）解：过点作于F，过点作于H，则：， ∵，， ∴， ∵垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即：， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理，得：， ∴的面积． 题型5 利用相似三角形的性质与判定求最值（共5小题） 【模型】证三角形相似转化线段关系，构建函数，结合几何约束求解线段或面积的最值。基本【步骤】挖掘条件证明三角形相似，把所求量转化为函数表达式，依据自变量取值范围求出对应最值。 【易错】忽略自变量实际取值范围，直接套用函数顶点求最值，相似对应关系找错，会导致函数关系式建立错误。 26．（24-25九年级上·山东聊城·期中）如图，，，，，点在线段上运动，点为线段的中点，在点的运动过程中，的最小值是____________ 【答案】/ 【分析】本题考查了相似三角形的判定及性质，三角形斜边上的中线性质，熟悉运用相似三角形的性质建立比值关系是解题的关键． 利用，，判定出，通过相似三角形的性质可得到，由为线段的中点推出，再利用相似三角形的比值关系求出的长即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为线段的中点， ∴， ∴当最小时最小， 又∵， ∴，与都为定值，即最小时，最小，则时符合题意，为边上的高， 在中，，，则：， ∵，即：， 解得：， ∴ ∴； 故答案为：． 27．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）正方形中，，点F为射线上一动点，，垂足为E，连接． （1）___________； （2）的最小值为___________． 【答案】 【分析】（1）先证明得到； （2）由可证明，得到，得到，当最小时，最小，当且仅当OEC三点共线时，取得最小值， 此时，，则的最小值为，即可得到的最小值． 【详解】解：（1）∵正方形，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 取的中点O，则，连接， ∵， ∴当且仅当O、E、C三点共线时，取得最小值， 此时，， ∴的最小值为， ∴， 即的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形斜边上中线的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质、添加合适的辅助线求线段最值是解题的关键． 28．（24-25九年级上·湖南益阳·期中）如图，在中，，，．动点M，N从点C同时出发，均以每秒的速度分别沿向终点A，B移动，同时动点P从点B出发，以每秒的速度沿向终点A移动，连接，设移动时间为t（单位：秒，）． (1)当______，； (2)当t为何值时，以A，P，M为顶点的三角形与相似？ (3)是否存在某一时刻t，使四边形的面积S有最小值？若存在，求S的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)当时，四边形APNC的面积S有最小值，其最小值是． 【分析】此题考查了勾股定理、相似三角形判定和性质、二次函数求最值等知识． （1）由勾股定理求出，由题意可得，，再证明，得到，即可求出答案； （2）分两种情况分别根据相似三角形的性质得到方程，解方程即可； （3）假设存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值．过点P作于点H．则，求出．得到．根据二次函数的性质进行解答即可． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴根据勾股定理，得． 由题意可得，， 当时，， ∴， ∴，即， 解得， 故答案为： （2）以A，P，M为顶点的三角形与相似，分两种情况： ①当时，，即，解得； ②当时，，即，解得（不合题意，舍去）． 综上所述，当时，以A、P、M为顶点的三角形与相似； （3）存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值．理由如下： 假设存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值． 如图，过点P作于点H．则， ∴，即． ∴． ∴． ∵， ∴S有最小值． 当时，． 答：当时，四边形APNC的面积S有最小值，其最小值是． 29．（24-25九年级上·福建泉州·期中）如图，是等腰三角形，，点分别在上，且． (1)求证：； (2)若，求的长； (3)探究：长是否存在最小值，若存在，请求出该最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) 证明：∵，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； (2) (3)存在，最小值为 【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似证得，根据相似三角形的性质和等腰三角形的性质即可证得结论； （2）由，，得到，，由（1）知，求得，根据相似三角形的性质即可得到结论； （3）设，，由（1）知，根据相似三角形的性质得到，得到，整理得，由方程有解，即，得到，于是得到结论． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴，， 由（1）知， 即， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：设，， 由（1）知， ∴， ∴， ∴， ∵方程有解，即， ∴，得， 即最大值为， ∴最小值为． 【点睛】本题是相似形的综合题，考查相似三角形的判定和性质、根的判别式等知识，解题的关键是利用相似三角形的性质解决问题． 30．（24-25九年级上·福建三明·期中）如图1，在中，，，，是内一个动点，，位于直线同侧，且，． (1)求证：； (2)已知平分，直线交于点，如图． 证明：当，，三点共线时，； 设的中点为，求的最小值． 【答案】(1) 证明：在中，，，， ， ， ， ， ， ； (2) 证明：取中点，连接， 则， 是等边三角形， ． 由知， ，， 平分， ， ，，三点共线， ， ． ， ， 又， ， 【分析】首先根据勾股定理求出，再利用两边对应成比例且夹角相等证明； 取中点，连接，可证是等边三角形，根据，可证，根据平分，可知，又因为，，三点共线，可知，，所以可证； 取的中点，连接，，构造，利用相似三角形的性质可得，，设，交于点，的中点为，则点是线段上的动点．，当时，最小，利用勾股定理可以求出，根据点是的中点，可得，所以可得：，从而求出，所以可得的最小值为． 【详解】（1）证明：略 （2）证明：略 取的中点，连接，， 点是的中点， ， ， ， ， 设，的延长线交于点，的中点为． 则点是线段上的动点， 当时，最小， 此时，，， 则此时， 在中，，， 设，则， 在中，，即， 解得，即， 是的中点， ， 则， 故， 的最小值为． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理、直角三角形的性质．解决本题的关键是证明相似三角形，利用相似三角形对应边成比例找线段之间的关系． 题型6 利用相似三角形的性质与判定求周长（共5小题） 【模型】证明两三角形相似，利用周长比等于相似比，结合已知条件求解三角形的周长。 【步骤】判定三角形相似，确定对应边得到相似比，借助周长比等于相似比，列式计算出目标图形周长。 【易错】分清相似三角形的对应关系，周长比等于相似比，切勿和面积比混淆，注意看清是求部分还是整体周长。 31．（24-25九年级上·福建泉州·期中）如图，点是的边上的一点，且，连接并延长交的延长线于点，若，，则的周长为（   ） A．21 B．28 C．36 D．42 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形性质，相似三角形性质和判定，根据题意得到，利用平行四边形性质，证明，利用相似三角形性质进而推出，即可得到的周长． 【详解】解：，， ， ， 四边形为平行四边形， ， ， ， ， 有， ， 的周长为， 故选：C． 32．（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，在平行四边形中，，，的平分线交于点，交的延长线于点，，垂足为，，则的周长为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由平行四边形及角平分线可得，进而得到，再根据平行得到，可得，然后由勾股定理求得，进而求得，则的周长可得． 【详解】解：∵中， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵中， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的周长． 故选：B ． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的性质和判定、角平分线的定义、勾股定理，关键是由相似三角形的性质得到线段的比例关系，进而求得线段长． 33．（24-25九年级上·河北保定·期中）如图，四边形是正方形，是中点，连接的垂直平分线分别交、、于、、，连接，过作交于．下列结论中正确的是（    ） ①；②；③；④的周长是12． A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】由，即可证得，即可判断①正确；根据三角形面积公式即可判断②正确；求得，即可得到，即可判断③错误；根据勾股定理求得，即可求的周长是12，即可判断④正确；即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形 ∴， ， ， 又， ， ，故①正确； 四边形是正方形，，是中点， ，， ， 垂直平分， ，， 设，则，， ， ，解得， ， 连接，如图， ， ，即， ，故②正确； ， ， ，， ， ， ， ，故③错误； ，， ， 的周长，故④正确； 故选：B． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理的应用，三角形相似的判定和性质，三角形的面积等，熟练掌握性质定理是解题的关键． 34．（24-25九年级上·河北邯郸·阶段检测）如图，点C，D在线段上，且，．若，，，则的周长为____________． 【答案】17 【分析】本题考查了相似三角形的判定及其性质，等腰三角形的性质，解题的关键是得到以及熟练掌握相似三角形对应角相等，对应边成比例．根据等腰三角形的性质可得，可知，可证得，列出比例式即可解决问题． 【详解】解：∵， ∴，则， ∵， ∴， ∴，即：， ∵，则， ∴， ∴的周长为， 故答案为：17． 35．（24-25九年级上·上海金山·期中）在锐角中，是边上的高，，如果矩形内接于中，点、分别在边、上，点、在边上，那么矩形的周长是______． 【答案】24 【分析】本题考查了相似三角形的性质，解题关键是根据相似三角形的性质得出矩形两邻边的关系．根据相似三角形的性质得出和的关系，再求周长即可． 【详解】解：如下图， ∵矩形内接于中， ∴， ∴， ∵是上的高， ∴， ∵， ∴， ∴， 矩形的周长为． 故答案为：24． 拔高·压轴破难 题型7 利用相似三角形的性质与判定作图（共9小题） 【模型】依据相似图形边角关系，按照相似比放大或缩小，作出与原三角形相似的几何图形。 【步骤】确定相似比，选取对应角相等，截取对应成比例的线段，依次连接各点，完成相似三角形的作图。 【易错】作图时保证对应角相等、对应边成比例，注意相似比顺序，不要忽略作图痕迹，避免图形位置与大小出现偏差。 36．（25-26九年级上·广东清远·期中）如图，已知，，． (1)实践与操作：用尺规作图在内部作，射线交线段于点D． (2)应用与证明：在（1）的条件下，求的长． 【答案】(1) 为所求： (2) 【分析】本题考查了作一个角等于已知角，相似三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据题意，按照要求在内部作，射线交线段于点D，即可作答． （2）根据（1）中的，再结合，证明，再代入数值到进行计算，即可作答． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 37．（25-26九年级上·浙江宁波·期中）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，三点均在格点上． (1)如图一，取格点，在网格中画，使三点组成的三角形与相似．（只需画出一个） (2)如图二，在线段上取一点，使（保留作图痕迹） 【答案】(1) 如图，即为所求， (2) 如图，点E即为所求， 【分析】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定与性质解题的关键是： （1）取格点D，连接即可； （2）取格点M，连接，交于点E即可． 【详解】（1）解：理由：由题意知， 由勾股定理得，， ∴，， ∴， 又， ∴； （2）解：理由：由题意知：，，， ∴， ∴， 即． 38．（25-26九年级上·广东深圳·期中）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都是格点．仅用无刻度直尺在给定网格中完成以下问题（保留作图痕迹，不写作法）． (1)如图1，在上取点，使 (2)如图2，以为边，在给定网格中作正方形 (3)如图2，在（2）的条件下，连接，是上一点，作关于的对称点 【答案】(1) 点如图所示： (2) 正方形如图所示： (3) 点如图所示： 【分析】本题考查了网格与勾股定理，勾股逆定理，相似三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，轴对称图形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合网格特征，得出，证明，故，得，即可作答． （2）根据网格特征，得出故四边形是菱形，又因为，且，则，所以四边形是正方形，即可作答． （3）根据正方形是轴对称图形，对角线是它的其中一条对称轴，故连接，与对角线交于点H，再运用两点确定一条直线，连接，并延长交边于点M，即可作答． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 39．（23-24九年级上·山西长治·期中）如图，在方格纸中，点都在格点上，用无刻度直尺作图．    (1)在图1中的线段上找一个点，使； (2)在图2中作一个格点，使与相似． 【答案】(1) 如图，构造相似比为的相似三角形，此时，则点E即为所求； (2) 如图， 即为所求． 【分析】本题考查了作图-相似变换，勾股定理及其逆定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）构造相似比为的相似三角形即可解决问题； （2）利用勾股定理的逆定理判断出，从而解决问题． 【详解】（1）略 （2）如图，∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴即为所求． 40．（24-25九年级上·河南南阳·期中）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的正方形网格中，按要求画图，保留作图痕迹，不要求写画法： (1)如图①，连结、交于点，直接写出：的值为_____； (2)如图②，在上找一点，使； (3)如图③，在上找一点，使的面积为，并写出证明． 【答案】(1)2 (2) 用无刻度的直尺连接格点，设交于点F，点F即为所求；如下图1所示： (3) 用无刻度的直尺连接格点，设交于点M，连接，则的面积为，如图3所示： 证明如下：依题意得：，，，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积为：． 【分析】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，三角形的面积，作图—应用与设计作图． （1）依题意得，，，则，然后根据相似三角形的性质可得出答案； （2）用无刻度的直尺连接格点，设交于点F，点F即为所求； （3）用无刻度的直尺连接格点，设交于点M，连接，则的面积为，依题意得，，，，，则，根据相似三角形的性质可得出，，进而可得出的面积为． 【详解】（1）解：依题意得：，，， ∴， ∴， 故答案为：2； （2）解：理由如下： 连接，如图2所示： 依题意得：是直角三角形，，，，，， 在中，由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）略 41．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫格点，图中的点A、B、C、D均在格点上．    (1)在图①中，的值为 ； (2)如图②，在线段上找一点P，使（利用网格和无刻度直尺作图，保留痕迹，不写作法）； (3)图③是的正方形网格，的顶点均在格点上，利用网格和无刻度的直尺作图，分别在边上画出点M、N，连接MN，使得，且相似比 【答案】(1) (2) 解：如图，    ∵， ∴， ∴； (3) 解：如图，    ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴与的相似比． 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． （1）由可得结论； （2）取格点C，D，由可得结论； （3）取格点D，E，F，G，连接交于点M，于格线交于点N，则点M、N即为所求． 【详解】（1）解：如图，    ∵， ∴． 故答案为：； （2）略 （3）略 42．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）在平面直角坐标系中有的正方形网格，仅用无刻度的直尺画图，并回答问题．其中，． (1)在图（1）中，画关于x轴对称的，写出点的坐标； (2)在图（1）中，点M在上，画点M关于x轴的对称点； (3)在图（2）中，向下平移到，画点P，使与全等（画出所有满足条件的点P）； (4)在图（2）中，在上画点Q，使． 【答案】(1) 解：如图，即为所求； ． (2) 解：如图，点即为所求； (3) 解：如图，点P即为所求； (4) 解：如图，点Q即为所求． 【分析】本题主要考查了轴对称作图、全等三角形的定义、相似三角形的判定与性质等知识点，掌握相似三角形的判定与性质成为解题的关键． （1）先根据坐标系确定点A、B的对应点，然后顺次连接点，最后直接写出点的坐标即可； （2）如图：连接交x轴于点D，连接并延长于的交点即为点； （3）如图：根据网格特点以及全等三角形的性质作图即可； （4）如图：取格点，连接与的交点即为点Q，连接，则． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 （4）证明：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴． 43．（24-25九年级上·吉林长春·期中）图①、图②、图③均是的方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C、D均在格点上．在图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按要求画图，保留作图痕迹，不要求写出画法． (1)如图①，________． (2)如图②，在上找一点，使． (3)如图③，在上找一点，连接、，使． 【答案】(1) (2) 如图②，点即为所求； (3) 如图③，点即为所求 【分析】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的性质定理是解题的关键． （1）证明，根据相似三角形的性质解答； （2）根据相似三角形的性质画出图形，作出点； （3）根据全等三角形的性质、相似三角形的性质解答． 【详解】（1）解：∵， ， ， ，， ， 故答案为：； （2）略 （3）略 44．（24-25九年级上·吉林长春·期中）图①、图②、图③均是：5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，四边形为平行四边形，点A、B均为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图： (1)在图①中，点C、D、M为格点，在边上找一点N，连接，使得． (2)在图②中，点C、D为格点，点M为边上任意一点，连接，在上找一点N，使得．（保留作图痕迹） (3)在图③中，点C、D为为网格线上的点，点M为边上任意一点，连接，在边上找一点N，连接，使得．（保留作图痕迹） 【答案】(1) 线段即为所求： (2) 点即为所求： (3) 线段即为所求： 【分析】本题考查了无刻度直尺作图，平行四边形的性质与判定，相似三角形的判定与性质； （1）取的中点，连接即可； （2）取的中点，的中点，连接交一点，点即为所求； （3）取的中点，的中点，连接交一点，连接交于点，连接即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 题型8 利用相似三角形的性质与判定证明（共6小题） 【模型】寻找边角条件证三角形相似，借助相似对应边角相等，完成线段或角度相关几何证明。 【步骤】分析题干图形条件，找出相等角或成比例边证相似，利用相似性质推导，完成所要的几何证明。【易错】找错相似对应边角致使推导失效，条件不足强行判定相似，漏写关键推理依据，造成证明逻辑不严谨。 45．（26-27九年级上·四川·期中）如图，正方形的对角线，相交于点，点是延长线上一点，连接，分别交，于点，，过点作于，交线段于． (1)若 ，求的大小； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明：连接，如图所示： 由正方形的对角线相互垂直平分可知，，则， 在正方形中，对角线平分，则， 是的一个外角， ， ， ， ， ，则， ， ， ． 【分析】（1）由直角三角形两锐角互余、正方形对角线平分对角得到相关角度，数形结合表示出，代入值计算后，再由直角三角形两锐角互余求解即可得到答案； （2）连接，如图所示，由正方形性质得出相关角度及，推出，进而由三角形相似的判定与性质得出，恒等变形即可得证． 【详解】（1）解：在中，，则， 在正方形中，对角线平分，则， ， ， ， 在中，； （2）略 46．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）如图1，中，，平分，延长至，使，连接． (1)①求证：． ②试探究与的关系，并说明理由． (2)如图2，过作于，，求的值． 【答案】(1)①证明：∵，平分， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴； ②．理由如下： ， ， ， 又∵， ， ， 又∵， 为等腰直角三角形， ∴， 又∵， ； (2) 【分析】（1）①由平分，得，结合题设，可得一组等角；再加上对顶角，满足两角分别相等，即可证；②由①的相似得比例式，变形为，结合证，得，故为等腰直角三角形，进而即可求解； （2）根据角平分线性质，与的面积比等于；又两三角形同高，面积比等于底，故．由、得，推出，则可得到． 【详解】（1）解：①略； ②略； （2）解：，平分， ∴点到和的距离相等， 的面积的面积， 又的面积的面积， ， ， 由（1）得，即， 又， ， ， ． 47．（25-26九年级上·内蒙古·期中）如图，在菱形中，点在边上，连接并延长，交的延长线于点，连接交于点，连接 (1)求证：； (2)求证：； (3)若，，求的长. 【答案】(1) 证明：在菱形中，点在边上，是菱形的对角线， ，，，， ， 在与中， ， ； (2) 证明：， ， ， 又， ， ， ； (3) 【分析】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与方法是解题的关键． （1）利用菱形的性质得，，，，由证明； （2）由（1）得，再证明，证明，即可证明； （3）由，结合，得，得，由 ，得，可得，得，即可计算． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：由（1）得：， ， ，， ， ， ∵， ∴ ， ， ， ， ， 48．（25-26八年级上·福建厦门·期中）如图，在中，为三角形的角平分线，于点交于点．    (1)若，，直接写出________； (2)若 ①求证：； ②若，，直接写出________． 【答案】(1)62 (2) ①如图所示，过A作，交的延长线于H， 则，    又∵平分， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ② 【分析】（1）求出，证明，即得； （2）①如图所示，过A作，交的延长线于H，证明，得，证明，，得，即得；②证明，得，可得，，由，得，即得． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，     ∵， ∴， ∴． 故答案为：62． （2）①略 ②在和中， ， ∴， ∴， ∵， 由①得，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形综合．熟练掌握角平分线有关计算，线段垂直平分线性质，等腰三角形判定和性质，全等三角形及相似三角形判定和性质，作出正确的辅助线，是解题的关键. 49．（25-26九年级上·四川成都·期中）如图，四边形是正方形，动点F从点C出发，沿延长线运动，连接，点E在线段上，且，射线交对角线于点G，交线段于点H． (1)求证：； (2)求证：； (3)将点F关于直线对称，F的对应点为，连接，取中点M，当正方形的边长为4时，求点M的路径长． 【答案】(1) 证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； (2) 证明：∵四边形是正方形， ∴，，， 由（1）可知， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； (3) 【分析】（1）由正方形的性质得到，则可利用证明，再利用全等三角形的性质可证明结论； （2）导角可证明，得到；证明，可推出；证明，推出，则，即； （3）如图3-1所示，取的中点K，取的中点N，连接，由三角形中位线定理可得，，设，则，可证明；进而可证明是等腰直角三角形，得到，则点M在直线上运动，则当点F与点C重合时，点M与点K重合；如图3-2所示，当点H恰好与点F重合，即三点共线时，设，则，证明，利用相似三角形的性质可推出，则，进而得到；可证明点M的运动路径长即为图3-2中线段的长，则点M的路径长为． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图3-1所示，取的中点K，取的中点N，连接， ∵点M是的中点， ∴是的中位线， ∴，， 设，则， ∴， ∵， ∴， 由轴对称的性质可得， ∴， ∴； ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴点M在直线上运动； 则当点F与点C重合时，点M与点K重合； 如图3-2所示，当点H恰好与点F重合，即三点共线时， 设，则， ∵四边形是正方形， ∴，即， ∴， ∴，即， 解得或（舍去）， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵点E在线段上，点H在线段上， ∴点M的运动路径长即为图3-2中线段的长， ∴点M的路径长为． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，三角形中位线定理，正确作出辅助线和推出点M的运动轨迹是解题的关键． 50．（25-26九年级上·江西鹰潭·期中）将两个等腰直角三角形摆放成如图所示的样子（图中所有的点、线在同一平面内），求证： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) 证明∵和是等腰直角三角形， ∴ ∵， ∴； (2) 证明：∵和是等腰直角三角形， ∴ ∴ 由（1）可得， ∴， (3) 证明：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，证明是解答本题的关键． （1）由是的外角得出，根据，即可得证； （2）由和是等腰直角三角形可证明，再（1）的结论，根据相似三角形的判定定理可得结论． （3）根据得出，根据等腰直角三角形的性质可得，代入比例式，即可得证． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题07相似三角形的判定与性质综合 题型图谱导航总览 题型1利用相似三角形的性质与判定求线段长（重点） 基础固本强基 题型2利用相似三角形的性质与判定判断结论正误（重难点） 题型3利用相似三角形的性质与判定求线段比（重点） 题型4利用相似三角形的性质与判定求面积（重点） 提升·进阶突破 题型5利用相似三角形的性质与判定求最值（难点） 题型6利用相似三角形的性质与判定求周长（重点） 题型7利用相似三角形的性质与判定作图（重点） 拔高·压轴破难 题型8利用相似三角形的性质与判定证明（重难点） 题型精练·靶向突破 基础固本强基 题型1利用相似三角形的性质与判定求线段长（共5小题） 【模型】找出图形中相似三角形，利用对应边成比例建立等式，求解未知线段的长度。 【步骤】识别相等角判定三角形相似，找准对应边列出比例式，代入己知线段数值，解方程求出目标线段 长。 【易错】切忌混淆相似三角形的对应边与对应角，看错对应关系会导致比例列式错误，计算后要检验线段 长度是否符合实际意义： 1.(25-26九年级上安徽合肥期中)如图，光线从点 A(0,1) 处射出射向轴上的点P,经x轴镜面反射， 1/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 光线经过 B32 3 则OP的长度是() B A.6 B.1 c.1 。 2.(25-26九年级上陕西汉中期末)如图，点D,E分别是边AB,AC的中点，点F在DB上， DF=2BF.连接EF并延长，与CB的延长线相交于点M.若BM=2,则线段BC的长为() E A.8 B.7 C.6 D.4 3.(25-26九年级上安徽阜阳期中)如图，在△ABC中，点D是边AC上的一点， ∠ABC=∠BDC,AD=4,CD=5‘BC ,则边的长为() B C A 3V5 B V10 c vi5 D 2V5 4.(安徽省安庆市宿松县宿松部分学校联考2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题)如图，在 平行四边形ABCD中，EFI‖AB交AD于E,交BD于F,DE:DA=3:7,EF=3,则CD的长为() 2/21 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D E A.4 B.7 C.3 D.12 5.(25-26九年级上山东聊城期中)如图，在△ABC中，正方形EFGH的两个顶点E、F在BC上，另两 个顶点G、H分别在AC、AB上，BC=15,BC边上的高是10，则正方形的边长为一： E 6.(26-27九年级上四川期中)如图，Rt△ACB中，∠ACB=90°，D为AB边上一点，E为AC延长线上 一点，连接DE,DA=DE,F为DE中点，连接AF交BC于点G,AB=5,AG=3,则BG= G 7.(25-26九年级上北京房山期中)如图，AD与BC交于点O,∠B=∠D,B0=5,D0=3,AB=4 ,求CD的长 A B D 8.(25-26九年级上·浙江宁波期中)如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD, ∠BCA=2∠DCA 点E在4C上，∠BDC=∠48C.若BC=5,CD=25.D=2MB,求4C的长 3/21 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 9.(25-26九年级上广东佛山期中)如图，已知AD是△ABC的角平分线，点E在边AC上，且 AD=AE·AB,连接DE. δ (I)求证：△ABD∽△ADE: 2)若AB=5,D=4,AC8 5,求EC的长. 10.(25-26九年级上浙江杭州：期中)如图，点D,E在△ABC的边BC上，点F在边AC上，连接AD, DF,EF,且AD=AF,∠DAF=90°，∠B=∠DEF=45°， (I)求证：△ABDP△DEF: ②若1B=3.CF=2 5时，求CD的长 题型2利用相似三角形的性质与判定判断结论正误（共5小题) 【模型】借助相似三角形判定证得相似，结合对应边角性质，对选项结论逐一分析判断对错。 【步骤】先挖掘图形条件判定三角形相似，运用相似性质推导边角关系，对比题干结论，甄别正误。 【易错】分清相似图形对应边角，不要凭直观感觉判定相似，注意排除干扰条件，避免漏看特殊限制导！ 致判断出错： 4/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 11.(26-27九年级上福建期中)如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，则下列结论不正 确的是() A AD AB A. BC=2DE B. △ADEAABC C. AE AC D.S.ABC=3S,4DE 12.(24-25九年级上安徽合肥期中)如图，在平行四边形ABCD中，F是AD上一点，CF交BD于点E, EF 1 CF的延长线交BA的延长线于G,若EC-3上，则下列结论错误的是（) D CD 1 DF 1 A.AG2 B.AF2 e器 S6-2 D.S.CDF3 13.(25-26九年级上陕西西安·期中)如图，△ABC的中线AE、BD相交于点F,连接DE,则下列结论： DE1 CD+CE+DE 1 CD EF ①AB-2:②△AFD∽△BFE:③AC+BC+AB4:④CAFA: 其中正确结论的个数是() C E B A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 5/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 14.(24-25九年级上河南周口期中)如图，在矩形4BCD中，点G是边BC的三等分点 (BG<GC) 点 H是边CD的中点，线段AG,AH与对角线BD分别交于点E,F.设矩形ABCD的面积为S,则以下4 吉论中：①阳：4=2：②EFE:F0=4:6:5:③++S,=S:④S,=3,+3.正确的结品 D Ss S2 H B 15.(24-25九年级上宁夏银川期中)如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6,BC=10,点E在CD上， 将△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处，点G在AF上，将△ABG沿BG折叠，点A恰落 在线段F上的点”处，下列结论：D∠BBG=45”,包△DE△IrG:国Sm=3Sm:① AG+DF=FG.正确的是 E G D 题型3利用相似三角形的性质与判定求线段比（共5小题） 【模型】证得三角形相似，依据相似对应边成比例，转化条件求解两条线段之间的比值。 【步骤】梳理图形边角条件判定三角形相似，找准对应边写出比例关系，化简整理得到所求线段的比值。 【易错】注意找准相似的对应边，切勿颠倒前后项顺序，区分线段比与面积比，不要混淆二者之间的倍数 送系。」 16.(25-26九年级上·宁夏银川期中)如图，平行四边形ABCD中，点E是边AD的中点，EC交BD于点 F,则EF:FC等于() 6/21 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.2:3 B.1:2 C.1:3 D.1:4 17.(25-26九年级上全国期中)如图，Rt△ABC中，AB=3,BC=4,∠B=90°，AD平分∠BAC, DE EFI‖lAC,SADc=2,则DF的值为() D 35 A.7 B.51 C.Z D 18.(25-26九年级上内蒙古期中)如图，E,F分别是。ABCD两边的中点，连接EF,交AC于点M, AM 则MC的值为. D M B 19.(25-26九年级上：江苏无锡期中)平行四边形ABCD中，点F是边BC上一点，连接DF并延长交AB 的延长线于点E,且∠EDB=∠A. D B (I)求证：△BDF∽△BCD: 7/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AB (2若AD=4:BD=23,求BE的值. 20.(25-26九年级上·四川巴中·期中)某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线 段做了如下探究： 【观察猜想】 (I)如图1，在矩形ABCD中，AD=7,CD=4,点E是AD上的一点，连接CE,BD,且CE⊥BD, CE 则BD的值为_： 图1 【类比探究】 (2)如图2，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，点E为AB上一点，连接DE,过点C作DE的垂线交 ED的延长线于点G,交AD的延长线于点F,求证：DE·AB=CF·AD. D 图2 【拓展延伸】 (3)如图3，在RtABD中，∠B1D=0,AD=9,m4∠D8-,将AMBD沿BD翻折，点A落在点C DE 处得ACBD,点B,F分别在边AB'AD上，连接DE'CF,DE⊥CF,求CF的值. 图3：· 8/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 提升进阶突破 题型4利用相似三角形的性质与判定求面积（共5小题） 【模型】证明三角形相似，利用相似三角形面积比等于相似比的平方，求解图形面积。 【步骤】先判定三角形相似，求出对应边的相似比，计算相似比的平方，结合已知面积求解目标图形面 积。 【易错】牢记面积比是相似比的平方，不要直接将相似比当作面积比，分清对应三角形，避免错用条件 造成结果出错。 21. (25-26九年级上湖南永州期中)如图，在△ABC中，MN平行于BC,AM:BM=1:2,则三角形 △AMN与四边形MBCN的面积比是() M A.1:2 B.1:4 C.1:8 D.1:9 22.(25-26九年级上甘肃兰州期中)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,点E 是OD的中点，连接CB并延长交4D于点R,已知Sm=4 ,则平行四边形ABCD的面积是() A.96 B.48 C.72 D.36 23.(24-25九年级上福建泉州期中)如图，将长方形ABCD沿直线MN翻折，使点A落在点A处，点B MG 2 的对应点B恰好落在ND上，AB交AD于点G·已知AB=10,AG=12,DG3,则四边形ABNM的面 积是 9/21 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 24.(24-25九年级上·上海宝山期中)如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且AD=3, AC=6,AE=4,AB=8 y D (I)如果BC=7,求线段DE的长： (2)设△DEC的面积为2，求aBDC的面积. 25.(24-25九年级上河北石家庄期中)己知：如图，在△ABC中，AB=AC=6,BC=4,AB的垂直 平分线交AB于点E,交BC的延长线于点D. (1)求CD的长度： (2)过C作CH⊥DE于点H,求△CHD的面积. 题型5利用相似三角形的性质与判定求最值（共5小题） 【模型】证三角形相似转化线段关系，构建函数，结合几何约束求解线段或面积的最值。基本 【步骤】挖掘条件证明三角形相似，把所求量转化为函数表达式，依据自变量取值范围求出对 应最值。 10/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【易错】忽略自变量实际取值范围，直接套用函数顶点求最值，相似对应关系找错，会导致函 数关系式建立错误。 26. (24-25九年级上山东聊城期中)如图， △ABC∽△ADE∠BAC=∠DAE=90°AB=2AC=V5 点D在线段BC上运动，点P为线段DE的中点，在点D的运动过程中，CP的最小值是 D 27.(24-25九年级上·安徽合肥期中)正方形ABCD中，CD=4,点F为射线AB上一动点，AE⊥DF, 垂足为E,连接CE、CF D (1)DE·DF= CF (2)DF的最小值为 28.(24-25九年级上湖南益阳期中)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm,BC=3cm.动点 M,N从点C同时出发，均以每秒lCm的速度分别沿CACB向终点A,B移动，同时动点P从点B出发， 以每秒2cm的速度沿BA向终点A移动，连接PM,PN,设移动时间为t(单位：秒，0<1<2.5). B4 N 11/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)当t=_, NPII AC: (2)当t为何值时，以A,P,M为顶点的三角形与△ABC相似？ (3)是否存在某一时刻t,使四边形APC的面积S有最小值？若存在，求S的最小值；若不存在，请说明 理由. 29.(24-25九年级上·福建泉州期中)如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC=5a,BC=6a,点D,E分 别在BC、AC上，且∠ADE=∠B」 (I)求证：BD.CD=AC.CE: (2)若CD=2BD,求AD的长： (3)探究：AE长是否存在最小值，若存在，请求出该最小值：若不存在，请说明理由. 30.(24-25九年级上福建三明期中)如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2,AB=4,D是 C内-个动点，B,E位于直线CD同侧，且CB1CD,CE=V3CD △AB 图1 图2 备用图 (I)求证：△ACDABCE: (2)已知AD平分∠CAB,直线AD交BC于点F,如图2， ①证明：当A,D,E三点共线时，CE=BE; ②设CE的中点为M,求MF的最小值. 12/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型6利用相似三角形的性质与判定求周长（共5小题） 【模型】证明两三角形相似，利用周长比等于相似比，结合已知条件求解三角形的周长。 【步骤】判定三角形相似，确定对应边得到相似比，借助周长比等于相似比，列式计算出目标图形周 长。 【易错】分清相似三角形的对应关系，周长比等于相似比，切勿和面积比混淆，注意看清是求部分还是 整体周长。 DE 1 3L.(24-25九年级上·福建泉州：期中)如图，点E是。4BCD的边AD上的一点，且AE3,连接BE并延 长交CD的延长线于点F,若DE=3,DF=2,则ABCD的周长为() B A.21 B.28 C.36 D.42 32.(25-26九年级上：陕西西安·期中)如图，在平行四边形ABCD中，AB=6,AD=9,∠BAD的平分 线交BC于点E,交DC的延长线于点F,BG⊥AE,垂足为G,BG=4V2,则△CEF的周长为() A B A.7 B.8 c.8.5 D.9 33.(24-25九年级上·河北保定·期中)如图，四边形ABCD是正方形，AB=6,E是BC中点，连接DE,DE 的垂直平分线分别交AB、DE、CD于M、O、N,连接EN,过E作EF⊥EN交AB于F.下列结论中 正确的是() DABEEGACNE:②MN=35:③BF=MF:@BFF的周长是I 2 13/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A D M A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④ 34.(24-25九年级上：河北邯郸阶段检测)如图，点C,D在线段AB上，且PC=PD,∠APC=∠B.若 AC=4,CD=5,BD=9,则△PCD的周长为 35 .(24-25九年级上·上海金山·期中)在锐角△ABC中，AD是边BC上的高，AD=BC=12,如果矩形 POMN 内接于 MC中，点P、N分别在边、C上，点0、在边BC △ABC P N, POMN “在边上，那么矩形 的周长 是 拔高压轴破难 题型7利用相似三角形的性质与判定作图（共9小题） 【模型】依据相似图形边角关系，按照相似比放大或缩小，作出与原三角形相似的几何图形。 【步骤】确定相似比，选取对应角相等，截取对应成比例的线段，依次连接各点，完成相似三角形的作 图。 【易错】作图时保证对应角相等、对应边成比例，注意相似比顺序，不要忽略作图痕迹，避免图形位置 与大小出现偏差。 36. (25-26九年级上广东清远期中)如图，己知△ABC,AC=2,AB=3 14/21 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B (I)实践与操作：用尺规作图在△ABC内部作∠ACD=∠B,射线CD交线段AB于点D. (2)应用与证明：在(1)的条件下，求AD的长. 37.(25-26九年级上·浙江宁波期中)如图是由边长为1的小正方形组成的4×4网格，4，B,C三点均在格 点上 图 图二 ()如图一，取格点D,在网格中画△ABD,使A,B,D三点组成的三角形与△ABC相似.（只需画出一个） (②)如图二，在线段AC上取一点E,使AE:CE=2:1(保留作图痕迹) 38.(25-26九年级上：广东深圳：期中)如图是由小正方形组成的6×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点， △ABC的三个顶点都是格点.仅用无刻度直尺在给定网格中完成以下问题（保留作图痕迹，不写作法）· B 图1 图2 (1)如图1，在AC上取点P,使AP:CP=4:3 (2)如图2，以AB为边，在给定网格中作正方形ABDE (3)如图2，在(2)的条件下，连接AD,Q是AB上一点，作Q关于AD的对称点M 39.(23-24九年级上山西长治期中)如图，在7×4方格纸中，点A,B,C都在格点上，用无刻度直尺作图， 15/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B B 图1 图2 (四在图1中的线段AC上找一个点E,使4E=54C: (②)在图2中作一个格点△CDE,使△CDE与△ABC相似. 40.(24-25九年级上·河南南阳·期中)图①、图②、图③均是5×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称 为格点，每个小正方形的边长均为1，点小B、CD均在格点上.只用无刻度的直尺，在给定的正方形 网格中，按要求画图，保留作图痕迹，不要求写画法： B B B D 图① 图② 图③ CE (I)如图①，连结AD、BC交于点E,直接写出：BE的值为一： (2)如图②，在BC上找一点F,使BF=4: (3)如图③，在AC上找一点M,使△ABM的面积为5，并写出证明 证明如下：依题意得： 图3 PA=2 CO=3 AC=4 AB=2 AP//CO .△APM∽aCOM, 16/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AM_AP2 ·MCC93' :AM-2MC 3 MC=4, 5 .AC=AM+MC= MC= 5, AM=AC-MC=4-12_8 55: ·△ABM的面积为：2 AM.4B=x8x2=8 25 5 41.(2425九年级上·安徽合肥期中)以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，每个小正方形的 顶点叫格点，图中的点A、B、C、D均在格点上 B 图① 图② 图③ PD ()在图①中，PA的值为_： AP 3 (②)如图②，在线段AB上找一点P,使BP2(利用网格和无刻度直尺作图，保留痕迹，不写作法)： (3)图③是4×4的正方形网格，△ABC的顶点均在格点上，利用网格和无刻度的直尺作图，分别在边 AB、BC上画出点M、N,连接MN,使得△BMN∽△BAC,且相似比I:3 42.(24-25八年级上·湖北武汉期中)在平面直角坐标系中有10×12的正方形网格，仅用无刻度的直尺画 图，并回答问意.其中，40,3列B3-),C(6,0) 17/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A M B (1) (2) ()在图(1)中，画△ABC关于x轴对称的△AB'C,写出点A,B的坐标； (2)在图(1)中，点M在AC上，画点M关于x轴的对称点M': (3)在图(2)中，AC向下平移到DE,画点P,使△DPE与△ABC全等（画出所有满足条件的点P): (④在图(2)中，在AC上画点Q,使∠AQB=∠ABC 43.(24-25九年级上·吉林长春期中)图①、图②、图③均是5×4的方形网格，每个小正方形的顶点称为 格点，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C、D均在格点上.在图②、图③中，只用无刻度的直尺， 在给定的网格中，按要求画图，保留作图痕迹，不要求写出画法 A B B A B D D 图① 图② 图③ BE (1)如图①， CE (2)如图②，在BC上找一点F,使CF=1」 (3)如图③，在AC上找一点M,连接BM、DM,使△ABM∽aCDM 44.(24-25九年级上·吉林长春·期中)图①、图②、图③均是：5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点 称为格点，四边形ABCD为平行四边形，点A、B均为格点.只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按 下列要求作图： 18/21 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图① 图② 图③ (I)在图①中，点C、D、M为格点，在边CD上找一点N,连接MN,使得MN‖AD (②)在图②中，点C、D为格点，点M为边AB上任意一点，连接MD,在MD上找一点N,使得MN=DN (保留作图痕迹) (3)在图③中，点C、D为为网格线上的点，点M为边AB上任意一点，连接MD,在边CD上找一点N,连 接MN,使得MN‖AD.(保留作图痕迹) 题型8利用相似三角形的性质与判定证明（共6小题） 【模型】寻找边角条件证三角形相似，借助相似对应边角相等，完成线段或角度相关几何证明。 【步骤】分析题干图形条件，找出相等角或成比例边证相似，利用相似性质推导，完成所要的几何证 明。【易错】找错相似对应边角致使推导失效，条件不足强行判定相似，漏写关键推理依据，造成证明 逻辑不严谨。 45. (26-27九年级上：四川期中)如图，正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点P是BC延长线 上一点，连接AP,分别交BD,CD手点E,F,过点B作BG⊥AP于G,交线段AC于H. H ()若∠P=25°，求∠AHG的大小： (2)求证：AE2=EF·EP 46.(25-26九年级上：安徽合肥期中)如图1，△ABC中，∠ACB=90°，C0平分∠ACB,延长C0至D, 使∠DAB=45°，连接DB。 19/21 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B D 图1 图2 (I)①求证：△AOD∽aCOB ②试探究DB与AB的关系，并说明理由。 BC 3 OE (②)如图2，过0作0E1AD于E,AC=4,求BD的值. 47.(25-26九年级上·内蒙古期中)如图，在菱形ABCD中，点E在边BC上，连接DE并延长，交AB的 延长线于点F,连接AC交DE于点P,连接BP. D B (I)求证：△DCP≌△BCP; (2)求证：PB2=PE·PF; (3)若AD=6,PB=2PE,求BF的长 48.(25-26八年级上福建厦门期中)如图，在△ABC中，CE为三角形的角平分线，AD⊥CE于点F交 BC于点D D B (①)若∠BAC=100°，∠B=24°，直接写出∠ADC= (2)若∠ACB=2∠B ①求证：AB=2CF: BD ②若EF=2,CF=5,直接写出CD 49.(25-26九年级上：四川成都期中)如图，四边形ABCD是正方形，动点F从点C出发，沿BC延长线 20/21 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 运动，连接DF,点E在线段CD上，且DE=CF,射线AE交对角线BD于点G,交线段DF于点H. A D A D B 备用图 (1)求证：∠DAE=∠FDC: (2)求证：AG·EH=EG·GH, (3)将点F关于直线DC对称，F的对应点为F',连接EF',取EF'中点M,当正方形ABCD的边长为4时， 求点M的路径长。 50.(25-26九年级上江西鹰潭期中)将两个等腰直角三角形摆放成如图所示的样子（图中所有的点、线 在同一平面内)，求证： D E (I)∠DAC=∠AEB: (2)△ABE∽△DCA: BC2=2BE.CD (3)2 21/21