浙江省东阳市外国语学校2026-2027学年高一上学期第一次阶段检测数学试卷

高一数学第一次阶段检测卷 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的) 1.己知全集U=R,集合A={x|x2一x-6≤0}，B={x|x>1},则A∩(CuB)=() A.[-2,1) B.[-2,3] C.(1,3] D.[-2,1] 2.设x∈R,则“x>1”是“<1”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3已知命题：日x≥0，x+本<1，则() Ap:廿x≥0，x+之1，且D为真命题B.:自x≥0，x+之1，且D为真命题 C.p:Vx≥0，x+本≥1，且D为假命题0.p:x〈0，x+本≥1，且p为假命题 4.已知实数a,b满足a>0>b,且a+b<0,则下列不等式正确的是() A.-b <-a<a b B.-a b a <-b C.b<-b<a <-a D.b <-a a <-b 5.已知x>0,y>0,且x十y+xy=3,则x十y的最小值为() A.1 B.2 C.3 D.4 6.已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|-1<x<2},则关于x的不等式cx2一 bx十a<0的解集为() A.{x|-1<x<2} B.1-<x<1 1 C.{xx<-或x> D.{x|x<-1或x>2} 7.已知函数y=f(x+2)的定义域为[0,3]，则函数g(o=f2- 的定义域为() Vx-1 A.3] B.(1,3] c.[原5] D.(1,5] 函数f因)三30)X十：X是R上的减函数，则实数A的取值重 () B.(, C.（-∞，3) D.[1 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出 的选项中，有多项符合题目要求) 9.已知集合A={1,2},B={x|x2一ax+a-1=0},若AUB=A,则实数a的值可以是 () A.1 B.2 C.3 D.4 10.已知函数f()=1，下列说法正确的是（） A.f(x)的定义域为R B.f(x)在(0，+∞)上单调递减 C.f(x)在（一∞，0)上单调递增 D.f(x)+f(-x)=0 11.已知x>0,y>0,且x+y=1,则下列不等式一定成立的是() A.xy≤ B.X+y2≥月 C本+≤1京+本<1 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分) 12.对于集合A、B,定义A-B={x|x∈A且x年B}.己知A={x|-2〈x<5},B={x|x2-x 一6≤0}，则A一B= 13.已知x>0,y>0,+9=1,则x+y的最小值为 14.若对任意x,yR,在f(x+y)=f(x)+f(y),则函数g(x)=2千1+f()+4在[-2026,2026]上的最大值 M与最小值m的和M+m= 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分)解关于x的不等式ax2-(a+1)x+1<0: 16.(15分)己知集合A={x|x2-5x+6≤0}，B={x|m≤x≤5-m}. (1)当m=1时，求AUB和(CRA)∩B; (2)若B二A,求实数m的取值范围. (3)若“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，求实数m的取值范围. 17.(15分)某工厂拟建造一个长方体无盖蓄水池，要求容积为4800m,深为3m.已知池底每平 方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元. (1)设池底的一边长为x(m),试写出总造价y(元)关于x的函数关系式，并指出其定义域： (2)当池底的两边长各为多少米时，总造价最低？最低总造价是多少元？ 2 18.（17分)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=x2+2x. (1)求f(x)在R上的解析式： (2)求f(x)在区间[一3,2]上的值域，并指出f(x)取得最大值与最小值时x的值； (3)解关于t的不等式f(t2一3)+f(2t)<0. 19.(17分)已知函数f(x)的定义域为(0，+∞)，且对任意x>0,y>0,都有f(xy) =f(x)+f(y):并且当x>1时，f(x)>0. (1)求f(1)的值，判断f(x)在(0，+∞)上的单调性，并用定义加以证明： (2)若f2)=1,求方程fx)+fx-2)=3的解. (3)若不等式fx2-ax+4)≥f(2)对任意x∈[1,3]恒成立，求实数a的取值范围. 参考答案与评分标准 选择题：1.D2.A3.C4.D5.B6.B7.A8.AI9.BC10.ACD11.ABD 填空题：12.(3,5)13.914.8 四、解答题评分标准 15.（13分)含参不等式(1)解：原不等式可化为(ax-1)(x-1)<0.(3分) ①当a>1时，1/a<1,解集为(1/a,1):(2分) ②当a=1时，不等式为(x-1)2<0,解集为0；(2分) ③当0<a<1时，1/a>1,解集为(1,1/a).(2分) ④当a=0时，x>1,解集为(1，+∞)；（2分) ⑤当a<0时，x<1/a或x>1,解集为(-∞，1/a)U(1,+∞).(2分) (未分类讨论，只给出一种情形的，本问最多得3分) 16.(15分)·解：由x2-5x+6≤0得2≤x≤3，所以A=[2,3].(2分) (1)当m=1时，B={x|1≤x≤4}=[1,4]，(1分) 所以AUB=[1,4];(1分) 又CRA=(-∞，2)U(3,+∞)，所以(CRA)nB=[1,2)U(3,4].(1分) (2)①当m>5-m,即m>5/2时，B=②，满足B≤A;(2分) ②当m≤5-m,即m≤5/2时，B≠0，由B二A得m≥2且5-m≤3，解得2≤ m≤5/2.(2分) 综上，实数m的取值范围为[2，十∞).(1分) 【易错提示】不讨论B=⑦直接列不等式组，本问最多得3分。 (3)解：因为”x∈B”是”x∈A”的充分不必要条件， 所以BSA(B是A的真子集)·(2分) 由(2)知B二A台m≥2；又在B二A的前提下，B=A当且仅当 m=2（此时B=[2,3]=A,其逆否命题也成立，属”充分且必要").(2分) 由B≠A得m≠2，故m>2.(1分) 所以实数m的取值范围为(2，十∞). 3 【易错提示】只写B∈A而漏掉”真子集”要求，会多出m=2,本问最多得2分：注意B=o(m)5/2) 时”若x∈B则x∈A”仍为真命题，且A≠o,故m>5/2同样符合题意，不能漏掉。 17.(15分)·应用题解：(1)池底面积为4800÷3=1600(m)·(1分) 设池底一边长为xm,则另一边长为1600/xm.(1分) 池底造价为1600×150=240000（元）；(1分) 池壁面积为2·3x+2·3·(1600/x)=6x+9600/x(m2),(2分) 池壁造价为120(6x+9600/x)=720x+1152000/x(元).(1分) 所以y=240000+720x+1152000/x,定义域为x>0.(1分) (2)因为x>0,由基本不等式得 720x+1152000/x≥2√(720X1152000)=2√829440000=2X28800=57600,(3 分) 当且仅当720x=1152000/x,即x2=1600,x=40时取等号.(2分) 此时另一边长为1600/40=40(m),(1分) 最低总造价为240000+57600=297600（元).(1分) 答：当池底设计为边长40m的正方形时，总造价最低，最低总造价为297600元.(1分) 【说明】第(1)问关系式列对但未写定义域扣1分；第(2)问未验证等号成立条件的扣2分。 18.(17分)·奇函数(1)解：因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)=0.(1 分) 当x<0时，-x>0,则f(-x)=(-x)2+2(-x)=x2-2x.(2分) 又f(-x)=-f(x),所以f(x)=-x2+2x.(1分) x2+2x, x>0; f(x) 0, X=0: 所以 -x2+2x,x<0.(1分) (2)解：按(1)的解析式分段求值域，再取并集 ①当x∈[-3,0]时，f(x)=-x2+2x=-(x-1)2+1, 图象开口向下、对称轴为x=1,故f(x)在[一3,0]上单调递增，(1分) 此时fx)∈[f(-3),f(0)]=[-9-6,0]=[-15,0];(1分) ②当x∈[0,2]时，f(x)=x2+2x=(x+1)2-1, 图象开口向上、对称轴为x=-1,故f(x)在[0,2]上单调递增，(1分) 此时f(x)∈[f(0),f(2)]=[0,4+4]=[0,8].(1分) 取并集得f(x)在[-3,2]上的值域为[一15,8].(1分) 故最大值为8（在x=2时取得），最小值为一15（在x=一3时取得）. 【说明】本问只要求分段求最值后取并集，不必先判断(x)在R上的单调性；若先证得R上单调递增再取端点，同样给 满分。 (3)解：先由(1)的解析式得出单调性一一当x>0时f(x)=(x+1)2一1在(0，+∞)上递增： 当x<0时f(x)=-(x-1)2+1在（-∞，0)上递增：(2分) 又x<0时f(x)=x(2-x)<0,x>0时f(x)=x(x+2)>0, 故x1〈0〈x2时恒有f(x1)<0<f(2).(1分) 所以f(x)在R上单调递增. 由f(t2-3)+f(2t)<0得f(t2-3)<-f(2t),(1分) 因为f(x)是奇函数，所以一f(2t)=f(一2t),于是f(t2-3)<f(-2t).(1分) 由单调性得t2-3<一2t,(1分) 即t2+2t-3<0,解得-3<t<1.(1分) 所以原不等式的解集为{t1一3〈t〈1}（或写成（一3,1）). 【易错提示】“跨0”的情形(x1<0<2)必须单独说明，漏掉扣1分；本问不得由”￡递增”直接跳到结论而不加说明。 19.(17分)·抽象函数（压轴）(1)解：在f(xy)=f(x)+f(y)中令x=y=1, 得f1)=f(1)+f(),所以f(1)=0.(2分) 判断：f(x)在(0，十∞)上单调递增.(1分) 证明：任取0<x<2,则2x:>1.在f(xy)=f(x)+f(y)中取x=x1,y=x2/x1,得 f(2）=f(x1·x2x1)）=f(x)+f(x2x,于是f(2)-f(x1）=f(x2x 1).(2分) 因为x2/x1>1,由已知"x>1时f(x)>0"得f(x2/x1)>0, 所以f(x2)>f(x1).(1分) 故f(x)在(0，+∞)上单调递增. 【易错提示】关键在于把x2写成x1·(x2/x1)以便套用已知等式；若直接写”因为x2>x1,所以f(2)>f(x1)”, 属循环论证，本问不得分。 (2)解：由f(2)=1及f(xy)=f(x)+f(y),得 f(4)=f(2)+f(2)=2,f(8)=f(4)+f(2)=3.(2分) 又f(x)+f(x-2)=f(x(x-2)=f(x2-2x), 由f的定义域为(0，+∞)，需x>0且x一2>0，即x>2.(1分) 于是原方程化为f(x2一2x)=f(8). 由(1)知f在(0，+∞)上严格单调递增，故f是一一对应（不同自变量对应 不同函数值)， 从而x2-2x=8,即(x-4)(x+2)=0,解得x=4或x=一2.(1分) 由x>2知x=一2舍去，故原方程的解为x=4.(1分) 【易错提示】①必须先由定义域得出x>2并在最后检验，否则会多出增根x=一2；②由f(x2一2x)=f(⑧) 推出x2一2x=8必须依据(1)的单调性(”单调→一一对应”)，直接”去掉f"而无依据的扣1分；③求 f(8)需逐次递推(f(4)→f(8)),直接写f(8)=3而无过程扣1分。 (3)解：由(1)知f(x)在(0，+∞)上单调递增，所以 f(x2-ax+4)≥f(2)=x2-ax+4≥2（此时x2-ax+4≥2>0，定义域条 件自动满足)·(2分) 于是原题等价于：x2-ax十2≥0对任意x∈[1,3]恒成立. 因为x∈[1,3]，x>0,分离参数得 a≤x2十2)/x=x+2/x对任意x∈[1,3]恒成立.(2分) 令g(x)=x+2/x,x∈[1,3]. 由基本不等式x十2/x≥2√2，当且仅当x=√2时取等号，且√2∈[1,3]，(1 分) 故g(x)在[1,3]上的最小值为g(√2)=2√2.(1分) 所以a≤2√2，即实数a的取值范围为（一∞，2√2]. 【易错提示】①必须先用单调性"脱去f”,不能直接对x2一ax十4与2比较：②分离参数时注意x∈[1,3] 恒正，不等号方向不变；③用基本不等式求得2√2后必须验证√2落在区间[1,3]内，否则最小值应取 端点值。