精品解析：浙江省强基联盟2026-2027学年高一上学期10月题库数学试题

2026年高一10月题库 数学试题 考生注意： 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 已知，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，是方程的两个根，则的值为（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 6. 已知或，，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 若，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 设集合，，其中．若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列等式正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知实数，且，则（ ） A. B. C. D. 11. 设为常数且，若对任意，不等式恒成立，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，则_______．（用列举法表示） 13. 设，，，，若，则_______． 14. 已知，若，则的最小值是_______． 四、解答题：本小题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤． 15. 已知集合，，． （1）用列举法表示集合； （2）若，求的值． 16. 设，． （1）若，求的最小值； （2）判断与的大小并证明． 17. 已知函数． （1）若，解不等式； （2）若恒成立，求的取值范围； （3）若，当时，求的最大值． 18. 某工厂生产配件，一次性固定投入12万元；每生产1万件配件，原材料、人工等可变成本增加3万元（可变成本随产量成正比例变化）．经市场调研：单件售价（万元/万件）与产量（万件）满足一次函数关系式（其中），若产量4万件，售价14万元/万件，产量8万件，售价10万元/万件．政府为扶持生产，向工厂发放生产补贴：每生产1万件，补贴工厂万元（产量不足万件的部分按同比例进行补贴）．假定工厂生产的产品可以全部销售完． （总利润＝总销售额＋政府补贴－固定成本－可变成本） （1）求售价关于的函数关系式和自变量的取值范围； （2）求总利润关于的二次函数关系式； （3）若存在产量，使得工厂总利润不少于69万元，求的取值范围． 19. 定义有限集的元素个数为，如，则．设集合，其中．对集合，定义它的“镜像集合”为．若，则称为的“镜离集”；若还满足，则称为的“完美镜离集”．记集合中所有元素之和为． （1）当，时，判断是否为的“完美镜离集”，并说明理由； （2）证明：若是的“镜离集”，则； （3）当时，求所有满足的的“完美镜离集”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高一10月题库 数学试题 考生注意： 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】已知集合，，则. 2. 下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】A选项，为无理数，不是整数，A错误；B选项，不是自然数，B错误； C选项，表示无理数集合，显然是无理数，C正确；D选项，为整数，D错误. 3. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【详解】把全称量词（任意）对应改写为存在量词（存在）； 原结论的否定是. 所以原命题的否定就是“，”. 4. 已知，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】对于A：若，不等式两边同时乘以，不等号方向改变，得，故A错误； 对于B：举反例，取，，满足，而，故B不一定成立； 对于C：函数在上单调递增，由，可得，故C正确； 对于D：举反例，取，，满足，而，故D错误. 5. 已知，是方程的两个根，则的值为（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 【答案】B 【解析】 【详解】已知，是方程的两个根， ， 则． 6. 已知或，，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由集合间的关系进行判断即可． 【详解】依题意得是或的真子集，则是的必要不充分条件． 7. 若，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】将式子整理为，进而结合基本不等式求得答案. 【详解】由题意，，所以，当且仅当时取“=”. 故选：D. 8. 设集合，，其中．若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】， 且， 且，所以，只需， 解得. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【详解】对于A，由平方差公式可得，故A正确， 对于B，由完全立方公式可得，故B正确， 对于C，由题意得，故C正确， 对于D，由题意得，故D错误. 10. 已知实数，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于A选项，由基本不等式得， 当且仅当时，等号成立，故A正确. 对于B选项，由题意得，即， 由选项A可得，即， 当且仅当时，等号成立，故B错误. 对于C选项，∵，∴，即，故C正确. 对于D选项，， ∵，∴，即，故D正确. 11. 设为常数且，若对任意，不等式恒成立，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】由二次函数的开口方向确定A项，令，得，进行判断选项． 【详解】当时，得， 由不等式恒成立，得恒成立， 当时，开口向下，不能保证恒成立，故，故A项正确； 令， 由，得， 由不等式恒成立， 当时，得，故恒成立， 当时，得，故恒成立， 故，得，故B项错误； 当时，得， 取，得，故C项错误； ，等号成立时，，故D项正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，则_______．（用列举法表示） 【答案】 【解析】 【详解】由题意得， 可得是的整数约数，得到，故. 13. 设，，，，若，则_______． 【答案】1 【解析】 【详解】∵，∴， 当时，由集合内元素互异性 可知，该情况不成立，故舍去； 当时，，即 或(舍），此时 . 14. 已知，若，则的最小值是_______． 【答案】2 【解析】 【详解】对已知等式 整理变形可得. 由可知，因此. 则， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以的最小值为2. 四、解答题：本小题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤． 15. 已知集合，，． （1）用列举法表示集合； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2）或或． 【解析】 【小问1详解】 由得，所以． 【小问2详解】 由， （ⅰ）若，则，符合题意； （ⅱ）若，则，故或，所以或． 综上：或或． 16. 设，． （1）若，求的最小值； （2）判断与的大小并证明． 【答案】（1）1 （2）. 证明：， 所以，即，从而得证． 【解析】 【分析】（1）根据基本不等式，直接求出结果即可； （2）根据作差法比较大小，判断代数式正负，进而说明结果即可. 【小问1详解】 因为，所以， 当且仅当时，等号成立．所以的最小值为1． 【小问2详解】 略 17. 已知函数． （1）若，解不等式； （2）若恒成立，求的取值范围； （3）若，当时，求的最大值． 【答案】（1） （2） （3）1 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式的解法，直接求出结果即可； （2）根据二次不等式恒成立的性质，列出不等式组，进而求出结果； （3）根据参数范围，判断对称轴的范围，进而判断函数最大值的位置，求出结果即可. 【小问1详解】 若，则，即，解得． 【小问2详解】 由题意得恒成立， 故，即，解得. 【小问3详解】 可知对称轴，当时，此时取到最大值1． 18. 某工厂生产配件，一次性固定投入12万元；每生产1万件配件，原材料、人工等可变成本增加3万元（可变成本随产量成正比例变化）．经市场调研：单件售价（万元/万件）与产量（万件）满足一次函数关系式（其中），若产量4万件，售价14万元/万件，产量8万件，售价10万元/万件．政府为扶持生产，向工厂发放生产补贴：每生产1万件，补贴工厂万元（产量不足万件的部分按同比例进行补贴）．假定工厂生产的产品可以全部销售完． （总利润＝总销售额＋政府补贴－固定成本－可变成本） （1）求售价关于的函数关系式和自变量的取值范围； （2）求总利润关于的二次函数关系式； （3）若存在产量，使得工厂总利润不少于69万元，求的取值范围． 【答案】（1）， （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）设，利用待定系数法求解析式即可； （2）根据总利润的公式代入计算即可； （3）由题可得，再分对称轴和两种情况，结合二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 设，则所以 故，． 【小问2详解】 由题已知， 所以，，． 【小问3详解】 由题意，存在，使得，即． 二次函数对称轴为， （ⅰ）当，即时，， 故． （ⅱ）当，即时， 在取到恒成立； 综上，． 19. 定义有限集的元素个数为，如，则．设集合，其中．对集合，定义它的“镜像集合”为．若，则称为的“镜离集”；若还满足，则称为的“完美镜离集”．记集合中所有元素之和为． （1）当，时，判断是否为的“完美镜离集”，并说明理由； （2）证明：若是的“镜离集”，则； （3）当时，求所有满足的的“完美镜离集”． 【答案】（1）是的“完美镜离集”． 因为，所以．由镜像集合的定义， ，又，所以． 因为，所以是的“镜离集”， 且，所以是的“完美镜离集”． （2）由，得，即． 又因为，所以．根据“镜像集合”定义， 我们可以把中的元素分成组：，，，…，， 其中每组两数和都为． 若是的“镜离集”，则．那么中不能同时有组集合中的两个元素， 因为共分成组，每组至多选1个元素，所以，即：得证. （3），． 【解析】 【分析】（1）求出全集与，验证交集为空、并集为全集，判断是完美镜离集； （2）把元素分成n个镜像元素对，镜离集每组最多取 1 个，故元素个数不超过n； （3）时分成4组镜像对，由条件列式算出集合元素总和，列举得到两个符合条件集合. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 当时，，可把中的元素分成4组：，，，． 因为，联立， 解得或19． 所有符合条件的集合为，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $