29.2 圆的有关性质 课堂小练2026-2027学年人教版九年级数学上册

29.2 圆的有关性质 课堂小练2026-2027学年人教版 九年级数学上册 一、单选题 1．如图，的直径，是的弦，，垂足为M，，则的长为（   ） A． B． C． D． 2．如图所示，表示圆心角的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，，，分别交，于点E，F，连接，则下列结论中不一定正确的是（     ）    A． B．， C．为等腰三角形 D．为等边三角形 4．如图，某桥的主桥拱呈圆弧形，跨度为，拱高为，则该桥主桥拱半径约为（   ） A． B． C． D． 5．如图，是的直径，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 6．下列各图中，为圆周角的是（　　） A． B． C． D． 7．如图，点A，B，C在上，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 8．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，若∠BAC=30°，BC=2，则AB的长为（    ）． A．2 B．4 C．6 D．8 9．如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 10．下列命题：①平面内三个点确定一个圆；②平分弦的直径平分弦所对的弧；③半圆所对的圆周角是直角；④圆的内接菱形是正方形；⑤长度相等的弧所对的圆周角相等．其中正确的是（    ） A．①②③ B．②④⑤ C．①②⑤ D．③④ 二、填空题 11．⊙的半径为5cm，AB、CD是⊙的两条弦，，，．则和之间的距离为_______． 12．如图，在中，请添上一个条件：_______，使得． 13．如图，的两条弦相交于点，若，则__________． 14．如图，用直角曲尺检查半圆形的工件，第_______个半圆形是合格的，是因为_________． 15．在中，弦，圆心角，则的半径为_____． 三、解答题 16．如图，已知扇形，请用尺规作图法在弧上找一点C，使得将扇形分成面积相等的两部分．（保留作图痕迹，不写作法）    17．石拱桥是中国传统桥梁四大基本形式之一．如图①，某石拱桥的桥拱是圆弧形，其示意图如图②所示，其中桥顶到水面的距离，桥拱的半径．求此时水面的宽度AB． 18．如图，是的三等分点，连结分别交于点．    (1)求出的度数； (2)求证：． 19．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠DAE是四边形ABCD的一个外角，∠DAE ＝∠DAC．DB与DC相等吗？为什么？ 20．如图，在中，以点为圆心，为半径的圆交于点，交于点． (1)若，求的度数； (2)若，，求的长． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D D B B D D B D D 1．【答案】B 【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值 【分析】此题考查了垂径定理，以及勾股定理，熟练掌握垂径定理是解本题的关键．垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 连接，根据题意可得的半径为，再由，则可以求出，根据勾股定理和垂径定理可求得的长度． 【详解】解：连接， ∵的直径， ∴的半径为， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴． 故选：B． 2．【答案】D 【知识点】圆心角概念辨析及简单运算 【分析】本题主要考查了圆心角的判断，根据定义解答即可.顶点在圆心，角的两边与圆周相交的角，叫作圆心角． 【详解】解：图D中是圆心角． 故选：D． 3．【答案】D 【知识点】等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定、垂径定理的推论 【分析】根据，，即可判断出，从而进行判断A． 根据，利用垂径定理的推论，进行判断即可B． 根据垂径定理的推论，得到，从而可得结论，即可判断C、D． 【详解】∵， ∴， ∴， ∴，A正确 ∵， ∴，，B正确 ∵，，， ∴， ∴为等腰三角形，不一定是等边三角形， ∴C正确，D错误． 故选：D． 【点睛】本题考查了垂径定理，等腰三角形的判定、等边三角形的判定． 4．【答案】B 【知识点】用勾股定理解三角形、垂径定理的实际应用 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理的应用，理解题意，学会利用垂径定理和勾股定理求线段长度是解题的关键．对图形部分顶点命名，利用垂径定理求出的长，在中利用勾股定理建立方程，解方程求出半径的值即可得出结论． 【详解】解：由题意得，，， ， ， 在中，， 由勾股定理得，， ， 解得：． 该桥主桥拱半径约为． 故选：B． 5．【答案】B 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求解 【分析】本题主要考查了弧与圆心角的关系，熟知同圆中等弧所对的圆心角相等是解题的关键． 根据平角的定义得到，根据同圆中等弧所对的圆心角相等计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 6．【答案】D 【知识点】圆周角的概念辨析及简单运算 【分析】此题考查了圆周角定义．顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角，此题比较简单，解题的关键是理解圆周角的定义． 根据由圆周角的定义逐项判定即可． 【详解】解：A、的边不是与圆相交所得，所以不是圆周角，故此选项不符合题意； B、的边、都不是与圆相交所得，所以不是圆周角，故此选项不符合题意； C、的顶点没在圆上，所以不是圆周角，故此选项不符合题意； D、符合圆周角定义，是圆周角，故此选项符合题意； 故选：D． 7．【答案】D 【知识点】圆周角定理 【详解】解：是所对的圆周角，是所对的圆心角， ． 8．【答案】B 【知识点】半圆（直径）所对的圆周角是直角 【分析】先根据圆周角定理得到∠ACB=90°，然后利用含30度的直角三角形三边的关系求AB的长． 【详解】解：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=90°， ∵∠BAC=30°， ∴AB=2BC=2×2=4． 故选：B． 【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 9．【答案】D 【知识点】已知圆内接四边形求角度 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形对角互补是解题的关键．根据圆内接四边形的性质回答即可． 【详解】解：∵四边形是的内接四边形，， ， 故选：D． 10．【答案】D 【知识点】垂径定理的推论、圆周角定理、同弧或等弧所对的圆周角相等、已知圆内接四边形求角度 【分析】根据垂径定理、圆周角定理及圆内接四边形的性质结合各说法进行判断，可得出答案． 【详解】解①不在同一条直线上的三个点确定一个圆，故错误； ②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，本项漏了特殊情况，故错误； ③半圆所对的圆周角是直角，故正确； ④圆的内接菱形是正方形，故正确； ⑤在等圆或同圆中，相等的弧所对的圆周角相等，本项缺少了前提条件，故错误． 综上可得③④正确． 故选: D． 【点睛】考查垂径定理，圆周角定理，圆内接四边形的性质，确定圆的条件等知识点，比较基础，难度不大. 11．【答案】1cm或7cm． 【知识点】利用垂径定理求平行弦问题 【分析】分两种情况：①弦AB和CD在圆心同侧；②弦AB和CD在圆心异侧；分别作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可． 【详解】解：①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图1 ∵AB＝8cm，CD＝6cm， ∴AE＝4cm，CF＝3cm， ∵OA＝OC＝5cm， ∴EO＝3cm，OF＝4cm， ∴EF＝4−3＝1cm； ②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图2， ∵AB＝8cm，CD＝6cm， ∴AE＝4cm，CF＝3cm， ∵OA＝OC＝5cm， ∴EO＝3cm，OF＝4cm， ∴EF＝OF＋OE＝7cm． ∴AB与CD之间的距离为1cm或7cm． 故填1cm或7cm． 【点睛】本题考查了勾股定理和垂径定理的应用，正确作出辅助线、灵活运用垂径定理以及分类讨论思想和数形结合思想是解答本题的关键． 12．【答案】 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求解 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系．根据圆心角、弧、弦之间的关系即可求解． 【详解】解：添加， 则． 故答案为：． 13．【答案】/30度 【知识点】同弧或等弧所对的圆周角相等 【分析】本题考查了圆周角定理，根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等可得结论． 【详解】解：∵所对的圆周角是， ∴ 故答案为：． 14．【答案】 二 圆周角所对的弦是直径 【知识点】90度的圆周角所对的弦是直径 【分析】本题考查了圆周角所对的弦是直径，掌握圆周角所对的弦是直径的知识，数形结合分析是关键．结合图形，根据圆周角所对的弦是直径即可求解． 【详解】解：根据图示，第二个半圆是合格的，是因为圆周角所对的弦是直径， 故答案为：①二；②圆周角所对的弦是直径 ． 15．【答案】 【知识点】等边三角形的判定和性质、圆心角概念辨析及简单运算 【分析】本题主要考查等边三角形的判定和性质，圆心角，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据等边三角形的判定定理证明是等边三角形，根据等边三角形的性质得到答案． 【详解】解：∵， ∴是等边三角形， ∴． 故答案为：． 16．【答案】 如图，点C即为所求．     ． 【知识点】作垂线(尺规作图)、垂径定理的推论 【分析】连接，过点O作垂直交于点C，即可求解． 【详解】略 【点睛】本题主要考查了垂径定理，尺规作图，熟练掌握垂径定理是解题的关键． 17．【答案】此时水面的宽度AB为8m 【知识点】垂径定理的实际应用 【分析】本题考查了垂径定理的应用以及勾股定理，解题的关键是掌握垂径定理的应用． 连接OA，根据垂径定理可知，再利用勾股定理即可求出的长，进而可得出的长，此题得解． 【详解】解：如图，连接OA，则． 由题意可知，， ． 在中，，， ， ． 故此时水面的宽度AB为m． 18．【答案】(1) (2) ∵，， ∴， ∴， ∴，同理， ∵C，D是的三等分点， ∴， ∴． 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求解、利用弧、弦、圆心角的关系求证 【分析】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，解题的关键是： （1）连接，，根据圆心角、弧、弦的关系求出，得到，即可求解； （2）根据三角形内角和求出，得到，同理得到，根据得到，继而可得结果． 【详解】（1）解：证明：连接，，如图，    ∵在中，半径，C、D为以O为圆心的弧的三等分点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）略 19．【答案】相等，理由见解析． 【知识点】已知圆内接四边形求角度、同弧或等弧所对的圆周角相等 【分析】先根据圆内接四边形的性质可得，再根据圆周角定理可得，然后根据等量代换可得，最后根据等腰三角形的判定即可得出结论． 【详解】解：，理由如下： 四边形是的内接四边形，且是四边形的一个外角， ， 由圆周角定理得：， ， ， ． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理等知识点，熟练掌握圆内接四边形的性质是解题关键． 20．【答案】(1) (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值、 求圆弧的度数 【分析】本题考查了垂径定理以及勾股定理，解题的关键是正确添加辅助线构造直角三角形． （1）先求出的度数，再求出所对的弧的度数，即可得出答案； （2）作，根据垂径定理得到，再利用勾股定理计算出，接着利用面积法计算出，然后利用勾股定理计算出，从而得到的长． 【详解】（1）解：连接， ，， ， ， ， ， ， 的度数为； （2）解：作，则， 在中，， ， ， 在中，， ． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $