29.2圆的有关性质同步训练 2026-2027学年人教版数学九年级上册

数学 · 九年级上（人教版） 29.2 圆的有关性质 29.2.1 垂直于弦的直径 基础提优题 知识点1 圆的轴对称性 1．下列说法中，不正确的是　（　　） A．圆是轴对称图形 B．圆的任意一条直径所在的直线都是圆的对称轴 C．圆的任意一条直径都是圆的对称轴 D．经过圆心的任意直线都是圆的对称轴 知识点2 垂径定理及其推论 2．如图， 是 的直径， 是 的一条弦， 于点 ，则下列结论：①；②；③；④. 其中一定正确的有　（　　） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 3．如图， 是 的弦，半径 于点 . 若 ，，则 的长是　（　　） A．3 B．2 C．6 D． 4．如图，以点 为圆心的圆弧与 轴交于 ， 两点，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，则点 的坐标为＿＿＿＿. 5．如图， 是 的弦，点 在弦 上，已知 的半径为 7，若 ，，则 的长为＿＿＿＿. 知识点3 垂径定理的应用 6．如图，这是一名同学从照片上剪下来的海上日出时的画面（示意图），图中太阳与海平线交于 ， 两点，他测得图中圆的半径为 10 cm， cm. 若太阳从目前所处位置到完全离开海平线的时间为 16 min，则图中太阳升起的速度为　（　　） A．0.7 cm/min B．0.8 cm/min C．1.2 cm/min D．1 cm/min 7．平底烧瓶是实验室中使用的一种烧瓶类玻璃器皿，主要用来盛液体物质，可以轻度受热. 如图，它的截面图可以近似地看作是由 去掉两个弓形后与矩形 组合而成的图形，其中 ，若 的半径为 25，，，，则该平底烧瓶的高度为＿＿＿＿. 综合应用题 8．如图①， 是 的直径， 是 上的一点，连接 ，， 是 上的动点，过点 作 于点 . 设 ，， 与 之间的函数关系图象如图②所示，若 是图象的最高点，则 的长是　（　　） A．10 B．6 C．5 D． 9．如图， 是 的直径，点 在 上， 于点 ，点 是 上的动点（不与 重合），点 为 的中点，若 ，，则 的最大值为＿＿＿＿. 10．如图， 是 的直径，，点 在线段 上运动，过点 的弦 ，将 沿 翻折交直线 于点 ，当 的长为正整数时，线段 的长为＿＿＿＿. 11．如图，这是一个半圆形桥洞的截面示意图，圆心为 ，直径 是河底截线，弦 是水位线，， m， 于点 . (1)当测得水面宽 m 时，求此时水位的高度 ； (2)当水位的高度比(1)上升 1 m 时，有一艘宽为 10 m，船舱顶部高出水面 2 m 的货船要经过桥洞（船舱截面为矩形 ），请通过计算判断该货船能否顺利通过桥洞. 创新拓展题 12．在 中， 为直径， 是 上一点，MN是过点P的弦，. (1)如图①，若点 与圆心 重合，直接写出 的值. (2)如图②，若 ，，求 的值. (3)当点 在 上运动时，(2)中的结论是否改变？若不变，求其值；若变化，求其变化的范围. 29.2.2 圆心角 基础提优题 知识点1 圆心角及其计算 13．下列图形中的角是圆心角的是　（　　） A． B． C． D． 14．已知 是 的弦，若 ，，则 所对的圆心角的度数为　（　　） A． B． C． D． 知识点2 圆心角、弧、弦之间的关系 15．下列说法正确的有 ①圆心角相等，所对的弧也相等；②圆心角相等，所对的弦也相等；③长度相等的两条弦所对的弧是等弧；④等弧所对的圆心角相等；⑤顶点在圆心的角是圆心角.　（　　） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 16．如图， 是 的直径，，， 是 的弦，且 ，则 等于　（　　） A． B． C． D． 17．如图，点 ，， 都在 上， 是 的中点，，则 ＿＿＿＿. 18．如图，在半径为 5 的 中，， 于点 ，，则 ＿＿＿＿. 19． 上顺次有 ，，， 四点，，，， 所对的圆心角的度数之比为 . 则有下列结论：① 是 的直径；② 是 的直径；③；④. 其中正确的个数是＿＿＿＿. 20．把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则 的度数是＿＿＿＿. 综合应用题 21．若 ， 分别是圆上的两段劣弧，且 ，则弦 与弦 之间的关系是　（　　） A． B． C． D．无法确定 22．如图，在 的正方形网格中，一条圆弧经过 ，， 三点，那么 所对的圆心角的度数是　（　　） A． B． C． D． 23．某酒店的圆形旋转门（如图①），可看成由外围的 和 3 翼隔风玻璃组成，外围圆有通道 和 ，且它们关于圆心 成中心对称，圆内的 3 翼隔风玻璃可绕圆心 转动，且所成的夹角 ，3 翼隔风玻璃在转动过程中，始终使大厅内外空气隔离，起到对大厅内保温的作用. 例如：当隔风玻璃转到如图②位置时，大厅内外空气被隔风玻璃 ， 隔离，则通道 所对圆心角的度数的最大值为　（　　） A． B． C． D． 24．如图，点 ～ 是 的八等分点. 若 ，四边形 的周长分别为 ，，则下列说法正确的是　（　　） A． B． C． D． 大小无法比较 25．如图， 是 的直径，点 是半圆 上的三等分点，点 是劣弧 的中点，点 是直径 上一动点. 连接 ，若 ，，则 的周长的最小值是＿＿＿＿. 26．如图，以平行四边形 的顶点 为圆心， 长为半径作 ，分别交 ， 于点 ，，交 的延长线于点 . (1)求证：； (2)若 所对的圆心角为 ，求 的度数. 创新拓展题 27．如图①， 是 的直径， 与 是弦，且 . (1)求证：. (2)若点 由圆上运动到圆外， 过圆心 ，如图②，是否仍有 ？为什么？ (3)如图③，若点 由圆上运动到圆内， 过圆心 ，(1)中的结论是否仍然成立？请说明理由. 29.2.3 圆周角 第1课时 圆周角定理及其推论 基础提优题 知识点1 圆周角的概念 28．如图，四边形 中，，， 三点均在 上，点 在 外，则图中的圆周角有　（　　） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 29．如图，， 为 的弦，连接 ，，. 若 ，，则 的度数为　（　　） A． B． C． D． 知识点2 圆周角定理 30．如图，以原点 为圆心的圆交 轴于 ， 两点，交 轴的正半轴于点 ， 为第一象限内 上的一点，若 ，则 的度数是　（　　） A． B． C． D． 31．如图，点 ，， 在半径为 2 的 上，，，垂足为 ，交 于点 ，连接 ，则 的长度为＿＿＿＿. 32．如图， 内接于 ，连接 ，且 平分 ， 是 上一点，连接 ，. 若 ，则 的度数为＿＿＿＿. 知识点3 圆周角定理的推论 33．如图，四边形 内接于 ， 为 的直径. 若 ，，则 　（　　） A． B． C． D． 34．一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如图所示的测量，测得 cm， cm，则圆形镜面的半径为＿＿＿＿. 35．如图， 是 的直径，点 ， 分别是弦 ， 的中点，，，则 的长是＿＿＿＿. 综合应用题 36．如图，， 是 的弦，， 是 的半径，点 为 上任意一点（点 不与点 ， 重合），连接 . 若 ，则 的度数可能是　（　　） A． B． C． D． 37．如图，某博览会上有一圆形展示区，在其圆形边缘的点 处安装了一台监视器，它的监控角度是 ，为了监控整个展区，最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器　（　　） A．2 台 B．3 台 C．4 台 D．5 台 38．如图， 是 的直径，点 ， 在 上，且 ， 的延长线与 的延长线交于点 ，连接 ，若 ，则 的度数是＿＿＿＿. 39．如图， 是 的直径，点 ， 为圆上两点，若点 为 的中点，连接 并延长与 交于点 ，与 的延长线交于点 . 若 ，，，则 ＿＿＿＿， ＿＿＿＿. 40．如图， 的弦 长为 2， 是 的直径，，. (1)求 的半径长. (2)若 是 上的动点，求 的最小值. 创新拓展题 41．已知 ， 为圆上两定点，点 在该圆上， 为 所对的圆周角. (1)【知识回顾】如图①，在 中，点 ， 位于直线 异侧，. ①求 的度数；②若 的半径为 5，，求 的长. (2)【逆向思考】如图②， 为圆内一点，且 ，，. 求证：点 为该圆的圆心. 第2课时 圆内接四边形 基础提优题 知识点1 圆内接四边形的对角互补 42．圆的内接四边形 的四个内角之比 可能等于　（　　） A． B． C． D． 43．如图，四边形 内接于 ，过点 作 ，交 于点 . 若 ，则 的度数是　（　　） A． B． C． D． 44．如图， 过原点 ，且与两坐标轴分别交于点 ，，点 的坐标为 ，点 是第三象限内圆上的一点，，则 的半径为　（　　） A．4 B．5 C． D．2 45．如图，四边形 内接于 ， 是 的直径，点 在 上，且 ，则 的度数是＿＿＿＿. 46．如图，四边形 是 的内接四边形，， 的半径为 6，则 的长为＿＿＿＿. 知识点2 圆内接四边形的外角等于其内对角 47．如图，四边形 内接于 ，如果它的一个外角 ，那么 的度数为＿＿＿＿. 48．如图，四边形 内接于 ， 是 的中点，延长 到点 ，使 ，连接 ，. (1)求证：； (2)若 ，，求 的半径. 综合应用题 49．如图，四边形 内接于 ，，连接 ，，，，，则 的度数是　（　　） A． B． C． D． 50．如图， 内接于 且 ，弦 平分 ，连接 ，. 若 ，，则 ＿＿＿＿， ＿＿＿＿. 51．婆罗摩笈多是古印度伟大的数学家，他研究过对角线互相垂直的圆内接四边形，我们把这类四边形称为“婆氏四边形”. 如图，在 中，四边形 是“婆氏四边形”，对角线 ， 相交于点 ，过点 作 于点 ，延长 交 于点 ，则 的值为＿＿＿＿. 52．如图， 为 的内接三角形，， 为 边上的中线，将 沿 翻折后刚好经过点 ，若已知 的半径为 ，则 的长是＿＿＿＿. 53．如图，在圆内接四边形 中，，，延长 至点 ，使 ，延长 至点 ，连接 ，使 . (1)若 ， 为直径，求 的度数； (2)求证：①；②. 创新拓展题 54．如图，四边形 是半径为 的 的内接四边形， 是 的直径，，直线 与三条线段 ，， 的延长线分别交于点 ，，，且满足 . (1)求证：直线 直线 . (2)若 . ①求证：；②若 ，，求四边形 的周长. 参 考 答 案 1．C 2．C 3．A 4． 5．8　【点拨】连接 ，过点 作 于点 ，则 . ∵，设 ，∴. ∵，∴，即 ，解得 . ∴，∴. 6．D 7．80　【点拨】连接 ，，过点 作 ，交 于点 ，交 于点 ，则 平分 . ∵，∴， 平分 . ∵，，∴，. 在 Rt 和 Rt 中，，由勾股定理得 ，，∴该平底烧瓶的高度为 . 8．C 9．7.5　【点拨】延长 交 于点 ，连接 ，. ∵， 是直径，∴. 又∵点 为 的中点，∴. 当 为直径时， 最大，此时 最大. 设 的半径为 ，则 . 在 Rt 中，，即 ，解得 ，∴ 的最大值为 15，∴ 的最大值为 7.5. 10． 或 或 2　【点拨】∵ 为直径， 为弦，∴. 当 的长为正整数时， 或 2. 当 （直径）时， 与 重合，；当 且点 在线段 之间时，；当 且点 在线段 之间时，. 综上，线段 的长为 或 或 2. 11． (1)【解】∵， m， m，∴ m， m. 易知 m，∴此时水位的高度 (m). (2)由(1)知水位高度为 5 m，上升 1 m 后 m. 如图，延长 交 于 ，连接 ，则 . ∵货船宽 10 m，船舱顶部高出水面 2 m，∴ m，货船居中行驶时 m，∴ (m). ∵，∴该货船能顺利通过桥洞. 12． (1)【解】. (2)如图①，作 于点 ，连接 ，∴. ∴. ∵，∴易得 . 在 Rt 中，，∴. ∴. (3)(2)中的结论不改变. 作 于点 ，连接 ，如图②，设 ，，∴，∴. ∵，∴，∴易得 . 在 Rt 中，，∴. ∴. 13．B 14．D 15．B 16．C 17．80 18．3 19．3　【点拨】∵，，， 所对的圆心角的度数之比为 ，∴四条弧所对的圆心角度数分别为 ，，，. ∴ 是 的直径，故①错误，②正确. ∵，，∴，∴，故③正确. ∵，∴，故④正确. 综上，正确的个数是 3. 20．　【点拨】如图，过点 作 于点 ，连接 . 根据折叠方式可知 ，，∴，∴ 的度数是 . 21．C　【点拨】如图，设 为 的中点，∵，∴，∴. ∵，∴，故选 C. 22．D 23．B　【点拨】连接 ，，，. ∵，∴ 与 的最小值为 ，∴ 与 的最大值的和为 . ∵ 和 关于圆心 成中心对称，∴，∴，∴ 和 的最大值为 . 24．A　【点拨】如图，连接 ，. ∵点 ～ 是 的八等分点，∴，. ∴. ∵，∴，∴，∴. 25．　【点拨】如图，作点 关于 的对称点 ，连接 交 于点 ，连接 ，，，则 ，∴，由两点之间线段最短知此时 最小，最小值为 的长. ∵点 是半圆上的三等分点，∴. ∵点 是 的中点，∴，∴. ∵ 是直径，，∴，∴，∴ 的最小值为 2. ∴ 周长的最小值 . 26． (1)【证明】连接 . ∵四边形 是平行四边形，∴，∴，. ∵，∴. ∴. ∴. (2)【解】∵，∴. ∵ 所对的圆心角为 ，即 ，∴. 27． (1)【证明】如图①，作 于点 ， 于点 ，则 ，. ∵，∴. 又∵，∴RtRt. ∴. 又∵，，∴. (2)【解】仍有 . 理由如下：如图②，作 于点 ， 于点 . ∵，∴. 连接 ，. 在 Rt 与 Rt 中， ∴RtRt. ∴. 在 Rt 与 Rt 中， ∴RtRt. ∴. ∴. (3)【解】(1)中的结论仍然成立. 理由如下：如图③，作 于点 ， 于点 . ∵，∴. 同理(2)得 . 在 Rt 和 Rt 中， ∴RtRt. ∴. ∴. 28．A 29．C 30．D　【点拨】连接 . ∵，∴，∴. 又∵，∴. 31．1　【点拨】连接 . ∵，∴. ∵，∴，，∴. ∴. ∴. 32．　【点拨】如图，连接 ，由圆周角定理得 . ∵，∴. ∵ 平分 ，∴. ∵，∴. 33．B 34． cm 35．4　【点拨】∵ 是 的中点，∴. ∵ 是 的直径，∴. ∵，，∴，∴. ∵ 是弦 的中点， 是直径 的中点，∴ 是 的中位线，∴，. ∴. ∴，， 三点共线，∴. 36．D　【点拨】连接 . ∵，∴. ∵，∴. ∵点 为 上任意一点（点 不与点 ， 重合），∴. ∵，∴. 37．C 38．　【点拨】连接 . ∵，∴. ∵，∴. ∵，∴. 又∵，∴. 39．；　【点拨】∵点 为 的中点，，∴，∴. ∵在 中，，且 ，∴，∴. 如图，连接 ，设 . ∵ 是 的直径，∴，∴，∴，∴. ∵，∴. 根据圆周角定理得 ，∴. ∵ 是 的外角，∴，∴，∴. ∵，∴. 在 Rt 和 Rt 中，由勾股定理得 ，∴，解得 ，∴. 40． (1)【解】如图，连接 ，. ∵，∴. 又∵，∴ 是等边三角形，∴，即 的半径长为 2. (2)∵，∴，∴. 如图，延长 交 于点 ，连接 交 于点 ，连接 ，则此时 ，即 的最小值是 的长. 易知 是 的直径，∴. ∴，即 的最小值是 . 41． (1)【解】①∵，，∴，∴. ②如图①，连接 ，过点 作 ，垂足为 . ∴. ∵，∴ 是等腰直角三角形. 又∵，∴. ∵，，∴. 在 Rt 中，，∴. (2)【证明】如图②，延长 交圆于点 ，连接 ，则 . ∵，∴. 又∵，∴. ∴. 又∵，∴. ∴点 为该圆的圆心. 42．C 43．C 44．A 45．　【点拨】连接 . ∵四边形 内接于 ，，∴. ∵ 是 的直径，∴，∴，∴. ∵，∴. 46．　【点拨】∵四边形 是 的内接四边形，，∴. 如图，连接 并延长，交 于点 ，连接 ，则 为 的直径，，∴，. ∵ 的半径为 6，∴，，根据勾股定理可得 . 47．　【点拨】∵四边形 是圆内接四边形，∴. ∵，，∴. ∴. 48． (1)【证明】∵ 是 的中点，∴，∴. ∵四边形 内接于 ，∴. 又∵，∴. 又∵，∴ (SAS). ∴. (2)【解】如图，连接 并延长交 于点 ，连接 ，则 . ∵，∴. 又∵，∴. ∴. 又∵，∴. ∴ 的半径为 . 49．A　【点拨】∵四边形 内接于 ，，∴. ∴. 又∵，∴，∴. 50．；　【点拨】∵ 内接于 且 ，∴ 为 的直径，∴. ∵弦 平分 ，∴，∴. ∵，，∴，. 如图，延长 到点 ，使得 ，连接 ，可求得 . 51．　【点拨】∵，，∴，∴，∴. ∵，，∴，∴. ∵，∴，∴，∴. ∴. 52．　【点拨】如图，过点 作 ，交 于 ，过点 作 于 ，过点 作 于 ，连接 ，，，. ∵ 为 边上的中线，，∴. ∴，∴. ∵将 沿 翻折后刚好经过点 ，，交 于 ，∴点 为点 的对应点，∴. ∵四边形 是 的内接四边形，∴. 又∵，∴，∴. ∵，∴. ∵，，∴四边形 是正方形，∴，∴，∴. ∵，∴. 53． (1)【解】∵ 为直径，∴. 又∵，∴. ∴. (2)【证明】①如图，延长 至点 . ∵四边形 是圆内接四边形，∴易得 . 又∵，∴. ∴. ②如图，过点 作 交圆于点 ，连接 ，，则 . ∵，∴易得 . ∴. ∵四边形 是圆内接四边形，∴易得 . ∵，∴. ∴. ∵，，∴. 又∵，∴. ∴. ∴. 54． (1)【证明】由题意得 . ∵在 中，，∴，即直线 直线 . (2)①【证明】∵四边形 是半径为 的 的内接四边形，∴. 又∵，∴. ∵ 是 的直径，∴. 由(1)可知 ，∴. 在 与 中， ∴. ②【解】∵在 中，，∴. ∵ 是 的直径，∴. ∵，∴. ∴. ∴在 Rt 中，，即 ，解得 （负值已舍去）. 由①知 ，∴. ∴四边形 的周长为 . 学科网（北京）股份有限公司 $