精品解析：福建厦门市松柏中学2026-2027学年高一上学期10月阶段测试数学试题

松柏中学2026-2027学年高一上学期10月阶段测试 数学试题 满分：150分　考试时间：120分钟 考生注意： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知集合，集合，全集，则图中阴影部分表示的集合是（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 已知集合A中含有三个元素1，a，a－1，若－2∈A，则实数a的值为（ ） A. －2 B. －1 C. －1或－2 D. －2或－3 4. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知集合，，则（ ） A. 与的关系不确定 B. Ü C. Ü D. 7. 若关于x的不等式的解集中恰有两个整数，则实数a的取值范围是（ ） A. B. 或 C. 或 D. 或 8. 设非空数集同时满足条件：①中不含元素；②若，则.则下列结论正确的是（ ） A. 集合中至多有2个元素 B. 集合中至多有3个元素 C. 集合中至少有4个元素 D. 集合中至少有5个元素 二、多选题：本大题3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 下列函数中，值域为的是（ ） A. B. ， C. ， D. ， 10. 已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 不等式的解集为 C. D. 不等式的解集为或 11. 已知，，，，且，则下列命题中正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 已知，则的最小值是__________． 13. 函数的定义域是________ 14. 设正数满足，则使恒成立的实数的最大值是_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）求，，的值； （2）求不等式的解集． 16. 已知集合，集合． （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围． 17. 已知命题，，命题，． （1）若命题为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题、至少有一个为真命题，求实数的取值范围． 18. 设函数. （1）若，求的解集； （2）若不等式对一切实数恒成立，求a的取值范围； （3）解关于的不等式：. 19. 已知集合为非空数集，定义：，. （1）若集合，直接写出集合、； （2）若集合且， ①若，求证：； ②若，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 松柏中学2026-2027学年高一上学期10月阶段测试 数学试题 满分：150分　考试时间：120分钟 考生注意： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知集合，集合，全集，则图中阴影部分表示的集合是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合交、并、补运算的基本概念得到答案. 【详解】图中所表示的集合为. 故选：B 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题可得. 【详解】命题“”的否定是“”. 故选：A. 3. 已知集合A中含有三个元素1，a，a－1，若－2∈A，则实数a的值为（ ） A. －2 B. －1 C. －1或－2 D. －2或－3 【答案】C 【解析】 【分析】把-2代入直接计算即可. 【详解】由题意可知a＝－2或a－1＝－2，即a＝－2或a＝－1. 故选：C． 4. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】， 于是，反之不成立， 于是“”是“”的充分不必要条件. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可判断的符号不能确定，举特例时，，判断项错误；根据不等式性质判断B,C,D; 【详解】因为，所以的符号不能确定， 当时，，故项错误； 因为，所以，故B项错误； 因为，所以，故C项正确； 因为，所以，所以，所以，故D项错误, 故选:C 6. 已知集合，，则（ ） A. 与的关系不确定 B. Ü C. Ü D. 【答案】D 【解析】 【详解】集合中元素可化为，即 ， 因为，， 当取遍所有整数时，与都表示所有被除余的整数，所以两个集合表示的元素完全相同， 因此 7. 若关于x的不等式的解集中恰有两个整数，则实数a的取值范围是（ ） A. B. 或 C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，通过讨论与1的大小，求出解集，再根据解集中恰有两个整数，即可求解. 【详解】由题意得：原不等式可转化为. 当时，解得，此时解集中的整数只能为，，因此； 当时，解得，此时解集中的整数只能为，，因此； 当时，不符合题意. 综上所述，实数的取值范围是或. 8. 设非空数集同时满足条件：①中不含元素；②若，则.则下列结论正确的是（ ） A. 集合中至多有2个元素 B. 集合中至多有3个元素 C. 集合中至少有4个元素 D. 集合中至少有5个元素 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可求出都在中，然后计算这些元素是否相等，继而判断的元素个数的特点. 【详解】因为若，则，所以，， 则， 当时，4个元素中，任意两个元素都不相等， 所以集合中至少有4个元素， 故选：C 二、多选题：本大题3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 下列函数中，值域为的是（ ） A. B. ， C. ， D. ， 【答案】BCD 【解析】 【详解】选项A：的值域为，选项A错误； 选项B：在上单调递增，， ，的值域为； 选项C：在上单调递增，，， 的值域为； 选项D：在单调递减，在上单调递增， 又，，， 的值域为. 10. 已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 不等式的解集为 C. D. 不等式的解集为或 【答案】AD 【解析】 【分析】根据不等式的解集与不等式的关系可判断A选项；利用韦达定理可得出、与的等量关系，利用一次不等式的解法可判断B选项；代值计算可判断C选项；利用二次不等式的解法可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为关于的不等式的解集为，则，A对； 对于B选项，由题意可知，关于的二次方程的两根分别为、， 由韦达定理可得，可得， 所以，不等式即为，即，解得， 故不等式的解集为，B错； 对于C选项，，C错； 对于D选项，不等式即为，即， 即，解得或， 因此，不等式的解集为或，D对. 故选：AD. 11. 已知，，，，且，则下列命题中正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，B根据条件，利用基本不等式，即可求解；对C条件得，即可求解；对D根据条件，利用作差法，即可求解. 【详解】对于A：，，且， 则，当且仅当，即时取等号，所以A选项正确； 对于B：， 当且仅当，即时取等号，所以命题B错误； 对于C：，则，且，即， 所以， 当时，取到最小值，所以命题C正确； 对于D：，则， 又，，，则，所以，即，所以D选项错误； 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 已知，则的最小值是__________． 【答案】 【解析】 【详解】令 ，因为，所以， 所以， 由基本不等式：，当且仅当，即，时取等号. 所以的最小值为. 13. 函数的定义域是________ 【答案】 【解析】 【分析】根据分式分母不为零、偶次根式被开方数非负的要求列不等式组，求解不等式组得函数定义域. 【详解】要使函数有意义，需同时满足以下条件： ，，解得且. 因此函数的定义域为. 14. 设正数满足，则使恒成立的实数的最大值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】由正数条件得，作比值换元，将约束条件与目标不等式全部转化为关于的不等式，恒成立问题转化为求式子最小值，借助换元和基本不等式求解. 【详解】由，得，即， 利用立方和公式得， 令，则，代入得， 所以，所以， 则， 要使恒成立，需使恒成立， 因为，所以，分离参数得， ， 当且仅当时等号成立，所以， 要对所有恒成立，则， 所以，的最大值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）求，，的值； （2）求不等式的解集． 【答案】（1）9，0，3 （2） 【解析】 【小问1详解】 函数， ，， 又，. 【小问2详解】 当时，，，； 当时，，，． 综上所述，不等式的解集为． 16. 已知集合，集合． （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 若，由，解得， 则，所以或， 因为， 则. 【小问2详解】 由等价于， 当时，集合，符合； 当时，由，解得， 即，又，， 所以，解得， 综上，实数a的取值范围是． 17. 已知命题，，命题，． （1）若命题为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题、至少有一个为真命题，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据命题为真命题，利用判别式求解； （2）利用判别式求命题为真命题时的取值范围，结合（1）求并集可得结果. 【小问1详解】 若命题，为真命题， 则，解得， 即实数的取值范围是． 【小问2详解】 若命题，为真命题， 则，解得或，即， 所以，若命题、至少有一个为真命题． 则，即 则实数的取值范围是． 18. 设函数. （1）若，求的解集； （2）若不等式对一切实数恒成立，求a的取值范围； （3）解关于的不等式：. 【答案】（1） （2） （3） 当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）将代入，解即可； （2）由题意对恒成立，分离参数，转化为求函数最值即可求解； （3）由题意，对分类讨论即可求解. 【小问1详解】 由函数， 若，可得， 又由，即不等式，即， 因为，且函数对应的抛物线开口向上， 所以不等式的解集为，即的解集为. 【小问2详解】 由对一切实数恒成立， 即对恒成立， ， ， ， ， 当且仅当时，即时等号成立， 所以的取值范围是. 【小问3详解】 依题意，等价于， 当时，不等式可化为，所以不等式的解集为. 当时，不等式可化为，此时， 所以不等式的解集为. 当时，不等式化为， ①当时，，不等式的解集为； ②当时，，不等式的解集为或； ③当时，，不等式的解集为或； 综上，当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 19. 已知集合为非空数集，定义：，. （1）若集合，直接写出集合、； （2）若集合且， ①若，求证：； ②若，求证：. 【答案】（1） （2） 且， 所以， ①证明： 因为， 所以， 所以. ②证明：因为， 又， 因为，所以， 所以， 又因为， 所以，即， 又，所以. 【解析】 【分析】（1）根据题目定义，直接计算集合、即可； （2）根据题目定义，计算集合，再由、，分析元素之间的关系，即可证明. 【小问1详解】 因为， ，， 所以. 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $