北京市清华大学附属中学朝阳学校、望京学校2026-2027学年高一上学期10月月考数学试题

2026一2027学年第一学期月考试卷 高一数学 (清华附中朝阳学校望京学校) 2026年10月 一、单选题（每小题5分，共50分） 1.已知集合A={xx2+x20},B={xx-1<2,则A∩B=() A.{xx<3} B.{x0≤x<3} C.{x-1<x≤0 D.{x-2<x≤- 2.命题3xeR,x2-3x+3<0的否定是() A.x∈R,x2-3x+3≥0 B.x∈R,x2-3x+3>0 C.3x∈R,x2-3x+3>0 D.3xeR,x2-3x+3≥0 3.设4，b,c∈R,且a>b>0>c,则() A.a+c>b-c B.a°>b9 D.a-c>c-b a b 4.若a,b∈R,且ab>0,则下列不等式中恒成立的是() A.a+b≥2Wab B.abstb2 C.+'2 D.a+b 2 atb-vab 2b'2a 5.已知命题p:“3x∈R,ax2+2ar-4≥0”为假命题，则a的取值范围是() A.-4<a<0 B.-4≤a<0 C.-4<a≤0 D.-4≤a≤0 6.若不等式ax2+bx+2>0的解集是 则a+b的值为() A.-10 B.-14 C.10 D.14 7.设实数a,b满足a>0,b>0,则“a+b≥2”是“ab≥1”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 &已知宋合w-=+哈mc7-中-号s--号+行p列 试判断 M,P,S之间满足的关系是( A.MCP=S B.P=SCM C.SCP=M D.MCPCS 试卷第1页（共4页） 9.已知不等式m-1<x<m+1成立的充分不必要条件是} 1 实数m取值范围是() A.{m<成m B.mlm<- C.al-ins4 4 / D. m≤ 2 10.数集A={a,a,a,a4},其中a<a<a<a4,B={aa=a,-a,a,a,∈A，若A=B,且 maxA=6,a+a2+as+a=() A.6 B.8 C.10 D.12 二、填空题（每小题5分，共30分) 11.已知集合A={a-2,12,2a2+5a,且-3eA,则a=」 I2.合xeN写eN 可以用列举法表示为 ’ 1.2 13.已知正数x,y满足x+2y=2,则y的最大值是 的最小值是 x y+l' 14.已知集合A={x|(a-1)x2+3x-2=0},B={xx2-3x+2=0},若A二B,实数a的取值 范围是 15.不等式x2-mx+2>0在x∈(1，+o)上恒成立，则m的取值范围是 16.已知不等式x2+ar+b>0(a>0)的解集是{xx≠d} ①a2=4b ②若不等式x2+x+b<c的解集为(-3,1)，则a+b+c=7 ③若不等式x2+ax-b<0的解集为(x,x),则xx2>0 ④若不等式x2+ar+b<c的解集为(x,x2),且x-x2=4,则c=4 其中正确结论的序号是 试卷第2页（共4页） 三、解答题(5道大题，共70分) 17.已知：集合A={x|3<x≤6，B={x|m≤x≤2m+1}. (1)若m=2,求CA,AOB,AUB; (2)若AB=B,求实数m的取值范围； (3)若A∩B=☑，求实数m的取值范围. 18.设函数f(x)=a2+(1-a)x+a-2(a∈R). (1)若关于x的不等式f(x)≤0的解集为[0，b],求实数a,b的值： (2)若不等式f(x)≥-2对于任意实数x都恒成立，求a的取值范围： (3)解关于x的不等式：f(x)<a+1-2x. l9.物联网(nternet of Things,缩写：IOT)是基于互联网、传统电信网等信息承载体，让所有 能行使独立功能的普通物体实现互联互通的网络.现有一家物流公司计划租地建造仓库储存 货物，经过市场调查了解到下列信息：仓库每月土地占地费y(单位：万元)，仓库到车站的距 离x(单位：千米，x>0),其中y,与(x+2)成反比，每月库存货物费y2(单位：万元)与x成正 比：若在距离车站8千米处建仓库，则y和y2分别为2万元和6.4万元. (1)求出y与y2的解析式. (2)这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小？最小费用是多 少？ 试卷第3页（共4页） 20.已知二次函数f(x)=x2+2bx+c(b,c∈R) (1)已知C=b2+2b+3,设x、2是关于x的方程f(x)=0的两根，且(x+1)(x2+1)=8, 求实数b的值： (2)已知f(x)满足f(I)=0,且关于x的方程f(x)+x+b=0的两实数根分别在区间 (-3,-2),(0,1)内，求实数b的取值范围. (3)当b=c=-1时，若对任意的实数1≤x≤2，有f(x)≥(1-2mx2恒成立，求实数m的 取值范围。 21.已知集合A={a,a2,…,an}(n≥3)，其中am∈Z(m=1,2,…,n).若A的子集T={a,a,ak} 满足2ak=a,+a,则称T具有性质P.A的所有具有性质P的子集T的个数记为card,(T) (1)当A={4,-1,-2,1,-5}时，写出A的所有具有性质P的子集T: (2)当n=4时，若a<a2<a<a,且card(T）=2,证明：数对a,a,和a2,a,中至少有一对中 的两数奇偶性相同： (3)当n=9时，求card,(T)的最大值. 试卷第4页（共4页） 《2026一2027学年第一学期月考试卷高一数学》参考答案 题号 2 3 4 5 6 8 9 10 答案 B A D 0 C B B A D D 1.B 【分析】由一元二次不等式解法化简集合A,再由绝对值不等式的解法化简集合B,再由交 集运算得出答案。 【详解】x-1<2台-2<x-1<2台-1<x<3,B={x-1<x<3} A={xx2+x20}={xx≤-1或x≥0}， AnB={xx≤-1或x20}n{x-1<x<3}={x0≤x<3} 2.A 【分析】改量词，否结论，直接写出命题的否定即可 【详解】命题“3x∈R,x2-3x+3<0”的否定是“Vx∈R,x2-3x+3≥0”. 3.D 【分析】通过举特例可判断AB选项正误；对于C,由题设结合作差法可判断选项正误；对于 D,先去掉绝对值，再由作差法可判断选项正误。 【详解】对于A,取a=2,b=1,c=-1,则a+c=1<b-c=2,故A错误； 对于B,取a=2,b=l,c=-l,则a=<6=l,故B错误； 对于C80,0→分数c错民： a b ab 对于D,a-c>0→a-c=a-c,c-b<0→c-b=b-c, 又a-c-(b-c)=a-b>0,则a-c>c-b,故D正确. 4.D 【分析】根据基本不等式的性质进行逐项判断即可. 【详解】因为a,b∈R,ab>0,所以a,b同号. 答案第1页（共12页） 对于A:当a<0,b<0时，a+b(0,ab)0,此时， 不等式a+b≥2√ab左边为负数，右边为正数，所以该不等式不成立，A错误： 对于B:当a=b时，(a-b)=0,即a2-2ab+b2=0, 此时ab=a+b ,所以B错误： 2 对于C:当a<0,b<0时，a+0,ab)0,此时 1+≥2 不等式。+62a而 左边为负数，右边为正数，所以该不等式不成立，C错误： 对于D:因为a,b同号，所以 ->0, b >0, 根据基本不等式的性质可得口+ 0≥2 a.b=1,D正确. 2b'2a2b 2a 故选：D 5.C 【分析】根据命题的否定为真命题，然后分a=0,a≠0讨论，根据一元二次不等式恒成立 求解. 【详解】命题p:3x∈R,ax2+2a-4≥0为假命题，即命题p:x∈R,ar2+2a-4<0为真命 题， 当a=0时，一4<0恒成立，符合题意： 当a≠0时，则a<0且△=(2a2+16a<0,即-4<a<0: 综上可知，-4<a≤0. 故选：C 6.B 【分析】由含参一元二次不等式解集及根与系数关系列方程求参数，即可得答案 a<0 【详解】由题设 2,6,可得{6=-2，故a+b=-14.故选：B b111 a=-12 = 2111 Γ236 答案第2页（共12页） 7.B 【分析】分别通过基本不等式判断必要性、举反例判断充分性，即可确定两个条件的逻辑关 系 【详解】设条件p:a+b≥2，条件g:ab≥1。 已知a>0,b>0,由基本不等式可得a+b≥2√ab(当且仅当a=b时等号成立)， 若ab≥1，则a+b≥2√ab≥2W1=2,即9→P成立，故必要性成立： 取a=2,b=0.4,满足a>0,b>0,且a+b=2.4≥2，但ab=2×0.4=0.8<1, 即存在满足P的情况不满足9，即P→q不成立，故充分性不成立. 综上，“a+b≥2”是“ab≥1”的必要不充分条件 8.A 【分析】先化简三个集合，再根据集合中元素的关系即可得解 【湘1M-=m+若me--%me2-2me =2--a2-2 s=-号6pe2-0gpz 当m,n,p∈Z时，比较3×2m+1,3(n-1+1与3p+1, 可知3(n-1)+1与3p+1表示的数完全相同，∴.P=S, 3×2m+1只相当于3p+1中当p为偶数时的情形，∴.McP 综上可知M∈P=S, 故选：A 9.D 【详解】根据充分不必要条件的定义，可知区间 （5)是区间(m-m+)的真子类 答案第3页（共12页） m-1≤ 则有 3包等号不能同时成立，解得)≤m3 4 3 m+1≥ 2 故实数m的取值范围是了m- 2 3 10.D 【分析】根据已知a,=6,结合集合B描述推得a=0<a2<a<a4=6,进而有 a4-a2=43 求得42=2,43=4，即可求. 44-43=43-a2=a2 【详解】由题设a4=maxA=6,又a<a2<a3<a4且A=B, 若0<4<42<a3<a4,则a4>a4-a1>a4-a2>a4-a3,4>a3-a1>43-a2,a2>a2-4, 此时B中不存在元素a4,不合题设； 若a<0<a2<a3<a4,则a4-41>a4>a4-a2>a4-a3,a-a1>a%>a-a2,2-4>a2, 此时B中存在一个大于44的元素44-4，不合题设： 所以41=0<42<43<a4=6,则6>a4-42>a4-43>0,43=43-41>4-a42>0, a2=a2-a1>0, a4-02=43 所以 ，可得42+a3=6且2a2=43且2a3=a2+6, a4-a3=a3-a2=42 所以42=2,43=4，则a+a2+a3+a4=0+2+4+6=12. 故选：D 11.-3 2 【分析】由-3∈A,可得-3=a-2或-3=2a2+5a,然后分情况求出a的值，再利用集合中 的元素的互异性判断即可 【详解】由-3∈A,可得-3=a-2或-3=2a2+5a, 答案第4页（共12页) 由-3=a-2,解得a=-1,经过验证2a2+5a=2-5=-3,a=-1不满足条件，舍去. 由-3=20+50，解得a=-1或-3，经过验证：a=-1不满足条件，合去. ∴.a= 3 21 故答案为：-3 12.{L,3,4} 【分析】根据题意，逐项验证，结合集合的表示方法，即可求解 【详解】当x=0时，可得 -0=5gN,不符合题意： 44 当x=1时，可得 4=1eN,符合题意： 5- 当x=2时，可 5-23N,不符合题意； 44 4 当x=3时，可得 =2∈N,符合题意； 5-3 当x=4时，可得 4=4EN,符合题意： 5- 当x=5时，显然不成立， 当x≥6，neN时，可得，4<0，不符合题意， 5-x 所以集合女eN写兰eN可以表示为集合La线。 故答案为：{1,3,4 1 13. 10.5 4 (分析】由基本不等式直接进行求解，得到y≤，再变形得到x+2y+)=4,利用基本不 等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】正数x,y满足x+2y=2,由基本不等式得x+2y≥2√2xy, 即2≥22g,解得对≤分，当且仅当x=2y,即x=y时，等号成立， 42-2,+20+=4所上品-4x+20+明 答案第5页（共12页） 当且仅当20+-2x,即x=4y= x y+1 3少=3时，等号成立， 故+2的最小值为 x y+l 4 答案为：·号 【分析】解方程可得B=L,2,因此A=⑦或A=或A={2}或A=,2},分情况讨论即可求 出a的取值范围. 【详解】由方程x2-3x+2=0,解得x=1或x=2,即B={L,2}, 因为A二B,可得A=0或A={或A={2}或A=L,2}, 当A=☑时，满足 △=3-4(a-x×(-2)<0,解得a< a≠1 将x=1代入方程(a-1)x2+3x-2=0,可得a=0, 此时A={x|-x2+3x-2=0}={L,2},满足条件， 将x=2代入，得到a=0,上面已经验证满足条件， 综上所述，a的取值范围是（日0。 15. (-∞，2V2） 【分析】结合函数f(x)=x2-mx+2图象列关系式求解. 【详解】设f(x)=x2-mx+2,则f(x)>0在(1，+o)恒成立， 因为函数y=f(x)开口向上，若f(x)与x轴无交点，则方程x2-x+2=0无实根， 所以△=m2-8<0,解得-2√2<m<2√2： 若f(x)与x轴有交点，若f(x)>0在(1，+o)恒成立， 答案第6页（共12页） △=m2-8≥0 则 1 2 ,解得m≤-2N2, f()≥0 综上可知，m<2W2, 所以m的取值范围是-∞，2√2)： 故答案为： （-o,22) 16..①②④ 【分析】利用一元二次不等式的解法与一元二次方程之间的关系以及韦达定理进行求解. 【详解】由题意，不等式x2+ax+b>0(a>0)的解集是{x|x≠d, 所以A=d2-4h=0,b= 一，所以①正确： 对于②：x2+ar+b<c变形为x2+ax+b-c<0,其解集为(-3,1)， -3+1=-a a=2 所以{-3×1=b-c,得{b=1,故a+b+c=7成立，所以②正确： a2=4b c=4 对于③：若不等式x2+am-b<0的解集为(x,x,),由韦达定理知： 3=-b=-4<0,所以C错误： 对于④：若不等式x2+ar+b<c的解集为(x,x2), 即x2+x+b-c<0的解集为(x,x2),由韦达定理知： x1+x2=-a,xx2=h-c= 4c, 则5-名卡G+P-4x元=口-4牙-0)=26=4，解得e=4, 所以④正确. 故选：①②④ 17.(1)CA={x|x≤3或x>6,A∩B={x|3<x≤5}，AUB={x|2≤x≤6： 答案第7页（共12页） 2弓，3： (3)(-0,1]小U(6,+0) 【分析】(1)把m=2代入，利用补集、交集和并集定义直接求解， (2)利用集合的包含关系建立不等式求解. (3)利用交集的结果，按B=0和B≠☑分类求解 【详解】(1)当m=2时，B={x|2≤x≤5}，而A={x3<x≤6， 所以CA={x|x≤3或x>6,A∩B={x|3<x≤5}，AUB={x|2≤x≤6. 2m+1≥m 5 (2)由AcB,得2m+1≥6，解得2≤m≤3， m≤3 所以实数m的取值范围为，3] (3)当B=时，2m+1<m,解得m<-1,满足A∩B=,故m<1: m≤2m+1m≤2m+1 当B≠☑时，由A∩B=☑，得 m>6 或 2m+1s3,解得m>6或-1≤m≤1， 所以实数m的取值范围为(o,1]U(6,+o). 18.(1)a=2,b= 1 (2)a≥ (3) 若a=0、不等式解集为（小.若a>0,不等式解架为-名<x<l小 若-3<a<0,不等式解染为x>或r<,若a=3,不等式解集为4学明， 若和<3，不号式解架为4）门 【分析】(1)利用三个“二次”关系，待定系数计算即可； (2)利用二次不等式恒成立问题的解法计算即可； (3)含参分类讨论结合一元二次不等式的解法计算即可. 答案第8页（共12页） 【详解】(1)由题意可知：0，b是方程ax2+(1-a)x+a-2=0的两个根， a>0 所以0+6=，解得：4=2.6 a 2 Oxb=a-2 a (2)由题意可知ax2+(1-a)x+a-2≥-2，即ax2+(1-a)x+a>0, 若a=0,显然x≥0，与前提不符： a>0 a>0 所以 △=(1-a2-4rs0'整理得 3a2+2a-1=(3a-1)(a+1)20' 1 解得：a2 (3)由ax2+(1-a)x+a-2<a+1-2x可得ax2+(3-a)x-3=(a+3)(x-1)<0, 若a=0,不等式化为x-1<0,即x<1: 若a>0,解不等式得-3<x<1: a 若-3<a<0,解不等式得x>-3或x<1: 若a=-3,解不等式得x≠1： 若a<-3,解不等式得x>1或x<-3 —； 综上所述：若a=0则不等式解集为-.若a>0,则不等式解华为4-名x<1小， 若-3cac0,不行式解类为子或<小 若a=-3,不等式解集为{xx≠1， 古a<3.则不诗风解案为女该 1以以=9e>0,%=号≥0) (2)仓库建在距离车站3千米处，才能使两项费用之和最小，最小费用是6.4万元. 【分析】)由腿意设=车2化20，为=(6,0，其中x>0,根据题日数据代入求 答案第9页（共12页) 出k,k即可得到答案； (2)利用基本不等式即可求出答案 【详解】(1)由题意设y=,(化≠0)，片=k,x(k≠0)，其中x>0, x+2 当x=8时，= 车2=2，解得么=20，为=8跳=64，解得号 8+2 所以片= 02x>0.=5x(x>0 2)由(1)知%+%=20+4x=20+41 x+25x+2+5(x+2)- 22--64 当且仅当 +2(x+2),即x=3时，等号成立， 204 所以仓库建在距离车站3千米处，才能使两项费用之和最小，最小费用是6.4万元. 20.【详解】(1)因为c=b2+2b+3,所以f(x)=x2+2bx+b2+2b+3, 因为(x+1)(x2+)=8,所以b2+2b+3+(-2b)+1=8,所以b=±2， 当b=-2时f(x)=x2-4x+3,满足条件， 当b=2时f(x)=x2+4x+11,此时f(x)=0无解，所以不符合， 所以b=-2: (2)因为f()=0,所以1+2b+c=0,所以c=-1-2b, 所以f(x)+x+b=x+(2b+l)x-(b+l),令g(x)=x2+(2b+1)x-(b+1), g(-3)=5-7b>0 因为g)=0的两根在区间(-3-2).(0，)内，所以8（2）=1-56<0 0+0深为传引】 g()=b+1>0 则b的取值范围是(7) 15 (3)若对任意的实数1≤x≤2，amx2+(m-a)x-1≥mx恒成立， 答案第10页（共12页） 由(1)amx2+(m-a)x-1≥mx可化为2mx2-2x-1≥0， 11 即m≥二+ 2x2, 对任意1≤x≤2恒成立， 令=1,则1 可得m≥+1对任意的1 恒成立， 2 因为y=+1,对将轴为=-1可知y=+:在 内单调递增， 3 所以当t=1时，ys三号，可得m2 所以实数加约起雀范为[侵+树 【点睛】本题考查由一元二次不等式的解集求参数以及二次函数的零点分布问题，难度一般 (1)一元二次不等式的解集的端点值即为对应一元二次方程的根： (2)一元二次方程根的分布问题可转化为二次函数的零点分布问题， 21.(1){4,-2,1、{-5,1,-2} (2) 当n=4时，A={a,42,4,a4}. 所以T={a,a2,a},T={a,4,a4},T={a,a,a}或T={a,4,a4}. 假设数对a,a3和a2,a,中的两数均奇偶性不同，则a+a3和a2+a4均为奇数. 因为2a2,2a3为偶数，所以a1+4≠2a2,且4+a,≠2a. 又a<a2<a<a4,故a+a2≠2a,42+4≠2a,42+a≠2a4,4+a4≠2a2, 所以T={a,a,4},T={a2,4,a4}不具有性质P. 又card,()=2,所以T={a,a,a4},T={a,a,a4}一定具有性质P. 结合a+a2卡2a4,a2+a4≠24，a1+a3≠2a4,a3+a4≠2a, a1+a4=2a2,a1+a4=2a3. 答案第11页（共12页） 所以42=43，与己知矛盾. 所以数对4，a和a2,a,中至少有一对中的两数奇偶性相同. (3)16 【分析】(1)直接计算，枚举法 (2)利用card(T)=2进行奇偶数分析，利用反证法证明. (3)通过条件2a=a,+a,对下标进行约束.，用组合极值思想组合构造. 【详解】(1){4，-2，}，{-5,1,2}. (2)略 (3)不妨设41<42<…<a,. 若T={a,a,a}具有性质P,则a+a=2a. 不妨设i<j,则a,<a<a,所以i<k<j. 故i∈{1,2，…，k-l},je{k+1,k+2,…,9}. 对任意的≠i,≠j,有a,+a,≠2ak,a+a≠2a. 所以k确定时，满足条件的(i,)的个数至多为min{k-l,9-k 所以cad(T)≤1+2+3+4+3+2+1=16. 当A={1,2,3,4,5,6,7,8,9}时，card,(T)=16. 所以card,(T)的最大值是16. 答案第12页（共12页）