第3章 幂、指数与对数（单元测试·提升卷）数学沪教版2020必修第一册

2025-2026学年高一数学单元检测卷 第3章 幂、指数与对数·能力提升 （考试时间：100分钟 试卷满分：150分） 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果。 1． ． 【答案】/ 【分析】根据对数运算性质计算 【详解】， 故答案为： 2．计算 ． 【答案】24 【分析】利用指数幂与根式的化简、运算法则直接求解． 【详解】 故答案为：24. 3．求值： ． 【答案】/ 【分析】应用指数幂及对数的运算性质化简求值. 【详解】. 故答案为： 4． ． 【答案】/ 【分析】利用指对数的运算性质和换底公式，即可求解. 【详解】因为 ， 故答案为：. 5．已知，则 . 【答案】4 【分析】利用换底公式化简得到，令，求出，从而，解得. 【详解】，， ， 令，故，即，解得， 故，解得. 故答案为：4 6．若正实数m，n，t满足，且，则 . 【答案】 【分析】根据对数和指数的互化方法，求出参数的表达式，根据换底公式列出方程，根据对数运算公式，求出参数值. 【详解】已知，则， 根据换底公式可得，则， 变形得，解得. 故答案为：. 7．计算： ． 【答案】 【分析】由指、对数的运算性质即可求解. 【详解】 ， 故答案为： 8．若，则 ． 【答案】/ 【分析】利用幂指数运算，及平方运算和开方运算，即可求出结果. 【详解】因为，所以，即， 两边平方得：，即， 而，所以， 则， 故答案为：. 9．方程的解为 ． 【答案】 【分析】根据指数幂的化简计算即可. 【详解】 ． 故答案为：. 10．计算： ． 【答案】/ 【分析】利用指数、对数的运算性质求解即可. 【详解】原式 . 故答案为：. 11．数学上将形如（p为素数）的素数称为“梅森素数”．显然，即使p是一个“不太大”的素数，“梅森素数”也可能是一个“很大”的数．利用和，可估计得出“梅森素数”的位数为 ． 【答案】21 【分析】根据“梅森素数”的定义及对数运算即可得得结论. 【详解】依题意，得， 所以，则“梅森素数”的位数为21． 故答案为：21． 12．若，是方程的两个根，则 ． 【答案】 【分析】把代入方程，化简得，再利用两根之和及对数运算得，即可求解. 【详解】由是方程的根，则， 所以，即， 又由，是方程的两个根， 所以，即，所以， 所以． 故答案为： 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置上，将所选答案的代号涂黑. 13．已知，将表示成分数指数幂的形式，其结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由根式与有理数指数幂的关系及指数幂的运算性质化简，即可得. 【详解】由于，则； 故选：B 14．若对数式有意义，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对数式有意义可得出关于的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】要使对数式有意义，需，解得且， 所以，实数的取值范围是. 故选：B. 15．已知，则的估算值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由对数的运算求解. 【详解】设，则， 所以， 故选：D 16．已知，，且，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】根据对数的运算性质可得，进而根据基本不等式求解最值. 【详解】由，可得，故， 故， 当且仅当，时取等号，故的最小值为. 故选:C. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 计算下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1)18 (2) 【分析】由指数幂的运算性质，化简计算各式的值即可． 【详解】（1）原式． （2）原式． 18、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 已知 ，求： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用完全平方公式进行求解； （2）利用立方和公式对已知条件进行变形求解. 【详解】（1）因为 ，所以   即 ，. . 因为 ，所以 ，则 . （2）. 已知，所以. 19、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 计算下列各题． (1)； (2)． 【答案】(1)100 (2)1 【分析】本体考查指数幂和对数的运算，按照运算公式计算即可得到答案. 【详解】（1）原式． （2）原式 ． 故答案为：(1) 100，(2) 1. 20、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分． （1）计算：； （2）计算：； （3）已知，，为正实数，，，求的值. 【答案】（1）0，（2）5，（3）1 【分析】（1）利用指数幂计算公式得到答案；（2）利用对数运算法则得到答案；（3）令，指数式转化成对数式，结合对数的运算求解. 【详解】（1） . （2） . （3）令，可得，，， 则，，， ，即， 解得. 21、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分， 第3小题8分． 21．数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养.因为运算，数的威力无限；没有运算，数就只是一个符号，对数运算与指数运算是两类重要的运算. （1）对数的运算性质降低了运算的级别，简化了运算，在数学发展史上是伟大的成就对数适算性质的推导有很多方法请同学们根据所学知识推导如下的对数运算性质：如果，且，，那么 （2）因为，所以的位数为4（一个自然数效位的个数，叫做位数）.请你运用所学过的对数运算的知识，判断的位数.（注） （3）2017年5月23日至27日，围棋世界冠军柯洁与DeepMind公司开发的程序“AlphaGo”进行三局人机对弈，以复杂的围棋来测试人工智能，围棋复杂度的上限约为，而根据有关资料，可观测宇宙中普通物质的原子总数的和为，甲乙两个同学都估算了的近似值，甲认为是，乙认为是，现有一种定义：若实数，满足，则称比接近，请你判断哪个同学的近似值更接近，并说明理由. 【答案】（1）答案见解析；（2）6677；（3）甲，理由见解析. 【解析】（1）根据对数的性质以及指数式化对数式可得结果； （2）设，得，根据求出，根据位数的定义可得结果； （3）由可得，可得，可得，根据定义可得结论. 【详解】（1）如果，且，， 那么， 化为对数式得； （2）设，所以， 因为，所以， 所以， 所以的位数为6677； （3）根据题意得，， 所以， 所以， 因为， 所以， 所以，所以， 所以甲同学的近似值更接近. 【点睛】关键点点睛：第（2）问利用位数的定义求解，第（3）问利用“比接近”的定义求解是解题关键. 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高一数学单元检测卷 第3章 幂、指数与对数·能力提升 （考试时间：100分钟 试卷满分：150分） 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果。 1． ． 2．计算 ． 3．求值： ． 4． ． 5．已知，则 . 6．若正实数m，n，t满足，且，则 . 7．计算： ． 8．若，则 ． 9．方程的解为 ． 10．计算： ． 11．数学上将形如（p为素数）的素数称为“梅森素数”．显然，即使p是一个“不太大”的素数，“梅森素数”也可能是一个“很大”的数．利用和，可估计得出“梅森素数”的位数为 ． 12．若，是方程的两个根，则 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置上，将所选答案的代号涂黑. 13．已知，将表示成分数指数幂的形式，其结果是（    ） A． B． C． D． 14．若对数式有意义，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 15．已知，则的估算值为（    ） A． B． C． D． 16．已知，，且，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C． D． 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 计算下列各式： (1)； (2)． 18、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 已知 ，求： (1)； (2)． 19、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 计算下列各题． (1)； (2)． 20、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分． （1）计算：； （2）计算：； （3）已知，，为正实数，，，求的值. 21、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分， 第3小题8分． 数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养.因为运算，数的威力无限；没有运算，数就只是一个符号，对数运算与指数运算是两类重要的运算. （1）对数的运算性质降低了运算的级别，简化了运算，在数学发展史上是伟大的成就对数适算性质的推导有很多方法请同学们根据所学知识推导如下的对数运算性质：如果，且，，那么 （2）因为，所以的位数为4（一个自然数效位的个数，叫做位数）.请你运用所学过的对数运算的知识，判断的位数.（注） （3）2017年5月23日至27日，围棋世界冠军柯洁与DeepMind公司开发的程序“AlphaGo”进行三局人机对弈，以复杂的围棋来测试人工智能，围棋复杂度的上限约为，而根据有关资料，可观测宇宙中普通物质的原子总数的和为，甲乙两个同学都估算了的近似值，甲认为是，乙认为是，现有一种定义：若实数，满足，则称比接近，请你判断哪个同学的近似值更接近，并说明理由. 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年高一数学单元检测卷 第3章 幂、指数与对数·能力提升 （考试时间：100分钟 试卷满分：150分） 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果。 1． ． 2．计算 ． 3．求值： ． 4． ． 5．已知，则 . 6．若正实数m，n，t满足，且，则 . 7．计算： ． 8．若，则 ． 9．方程的解为 ． 10．计算： ． 11．数学上将形如（p为素数）的素数称为“梅森素数”．显然，即使p是一个“不太大”的素数，“梅森素数”也可能是一个“很大”的数．利用和，可估计得出“梅森素数”的位数为 ． 12．若，是方程的两个根，则 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置上，将所选答案的代号涂黑. 13．已知，将表示成分数指数幂的形式，其结果是（    ） A． B． C． D． 14．若对数式有意义，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 15．已知，则的估算值为（    ） A． B． C． D． 16．已知，，且，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C． D． 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 计算下列各式： (1)； (2)． 18、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 已知 ，求： (1)； (2)． 19、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 计算下列各题． (1)； (2)． 20、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分． （1）计算：； （2）计算：； （3）已知，，为正实数，，，求的值. 21、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分， 第3小题8分． 数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养.因为运算，数的威力无限；没有运算，数就只是一个符号，对数运算与指数运算是两类重要的运算. （1）对数的运算性质降低了运算的级别，简化了运算，在数学发展史上是伟大的成就对数适算性质的推导有很多方法请同学们根据所学知识推导如下的对数运算性质：如果，且，，那么 （2）因为，所以的位数为4（一个自然数效位的个数，叫做位数）.请你运用所学过的对数运算的知识，判断的位数.（注） （3）2017年5月23日至27日，围棋世界冠军柯洁与DeepMind公司开发的程序“AlphaGo”进行三局人机对弈，以复杂的围棋来测试人工智能，围棋复杂度的上限约为，而根据有关资料，可观测宇宙中普通物质的原子总数的和为，甲乙两个同学都估算了的近似值，甲认为是，乙认为是，现有一种定义：若实数，满足，则称比接近，请你判断哪个同学的近似值更接近，并说明理由. 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年高一上册数学单元检测卷 第3章 幂、指数与对数·能力提升（参考答案） 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）。 1、 / 2、24 3、 / 4、 / 5、4 6、 7、 8、/ 9、 10、/ 11、 21 12、 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案. 13 14 15 16 B B D C 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 【详解】（1）原式．（6分） （2）原式．（14分） 18、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 【详解】（1）因为 ，所以（2分）   即 ，.（3分） .（4分） 因为 ，所以 ，则 .（6分） （2）.（9分） 已知，所以.（14分） 19、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 【详解】（1）原式．（6分） （2）原式 ．（14分） 故答案为：(1) 100，(2) 1. 20、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分． 【详解】（1） .（4分） （2） .（10分） （3）令，可得，，，（13分） 则，，，（15分） ，即，（17分） 解得.（18分） 21、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分， 第3小题8分． 【详解】（1）如果，且，， 那么， 化为对数式得；（4分） （2）设，所以，（5分） 因为，所以，（7分） 所以，（9分） 所以的位数为6677；（10分） （3）根据题意得，，（11分） 所以，（12分） 所以，（13分） 因为，（14分） 所以，（15分） 所以，所以，（17分） 所以甲同学的近似值更接近.（18分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$