专题05 一元二次方程的概念与解法11大题型53题（期中专项训练）八年级数学上学期新教材沪教版五四制

专题05 一元二次方程的概念与解法 （温馨提醒：按住CTRL并单击鼠标左键以跟踪链接） 基础·固本强基 题型一、一元二次方程的识别 题型二、一元二次方程的根与待定字母 题型三、一元二次方程的一般形式与各项系数 题型四、由一元二次方程的定义确定字母取值 题型五、一元二次方程的根与代数式求值 题型六、一元二次方程与其它知识的综合 提升·进阶突破 题型七、解一元二次方程 题型八、用配方法解一元二次方程 题型九、配方法的灵活运用 拔高·压轴破难 题型十、解方程与解法的辨析 题型十一、阅读材料与探究 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型一、一元二次方程的识别 判断一个方程是不是一元二次方程要看三点：只含一个未知数、未知数的最高次数是、二次项系数不为．含字母系数时，先化成一般形式，再由判断． 1．（25-26八年级上·上海虹口·期中）下列方程是关于的一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题考查一元二次方程的定义：①等号两边是整式，②只含有一个未知数，③未知数的最高次数为2． 直接根据一元二次方程的定义逐个判定即可得到答案． 【详解】解：由题意可得， A．是一元一次方程，不符合题意； B．含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； C．当时，方程不是一元二次方程，不符合题意； D．是一元二次方程，符合题意； 故选：D． 2．（25-26八年级上·上海青浦·期中）下列关于的方程一定是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据一元二次方程的定义逐项判断即可． 【详解】解：一元二次方程需同时满足：①是整式方程；②只含一个未知数；③未知数的最高次数为2， A： ，化简得 ，是一元一次方程，故该选项不合题意； B： 是整式方程，且最高次数为2，故该选项符合题意； C：含有 ，是分式方程，不是整式方程，故该选项不合题意； D： 中，若 则不是二次方程，故该选项不合题意． 故选：B． 题型二、一元二次方程的根与待定字母 把已知的根代入方程，就得到关于待定字母的等式；结合“二次项系数不为”确定字母的取值，求出的结果必须代回检验．要求写出满足条件的方程时，只要让未知数取题设的根即可． 3．（25-26八年级上·上海虹口·期中）关于的一元二次方程有一个根为0，则的值是（   ） A． B．2 C． D．0 【答案】A 【知识点】一元二次方程的定义、由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的定义和一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 将代入方程计算即可． 【详解】解：把代入方程 得， 解得， 又因为，即， 所以， 故选：A． 4．（25-26八年级上·上海崇明·期中）关于的一元二次方程有一个根为0，那么的值为_____． 【答案】 【知识点】一元二次方程的定义、由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查一元二次方程的定义，一元二次方程的解，掌握相关知识是解决问题的关键．将根 代入方程，得到关于 的方程，解出 ，并检验是否满足一元二次方程的条件． 【详解】解：将 代入方程 ， 得 ， 即 ， 解得 或 ， ∵一元二次方程二次项系数 ， ∴， ∴． 故答案为：． 5．（25-26八年级上·上海·期中）写出一个一元二次方程，使这个方程的二次项系数为 1 ， 常数项为 3， 且它的一个根为，这个一元二次方程是_____ 【答案】 【知识点】一元二次方程的定义、由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查一元二次方程的解，构造一元二次方程，根据一元二次方程的一般形式 ，由题意二次项系数 ，常数项 ，且一个根为．把代入方程，可求出一次项系数 ，从而得到方程． 【详解】解：由题意，设所求一元二次方程为； 将代入方程得：， 解得：． 则方程为：； 故答案为：． 题型三、一元二次方程的一般形式与各项系数 先去括号、移项、合并同类项，把方程化为（）的一般形式，再读出二次项系数、一次项系数、常数项，注意系数要连同前面的符号． 6．（25-26八年级上·上海·阶段检测）将一元二次方程化为一般形式后，二次项系数和常数项分别是（   ） A．5， B．2， C．， D．6，2 【答案】A 【知识点】化成一元二次方程的一般式 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，准确运算是解题的关键．一元二次方程的一般形式为，将方程化为一般形式后判断二次项系数和常数项的值即可． 【详解】解：， ， ∴二次项系数为5，常数项为， 故选：A． 7．将方程化成一元二次方程的一般形式，当二次项系数为时，一次项系数和常数项分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【知识点】化成一元二次方程的一般式 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式．将一元二次方程化为一般式，求出二次项系数，一次项系数，常数项即可． 【详解】解：将一元二次方程变形为：， 此时二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 故答案为：D． 8．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）一元二次方程的一次项系数_______． 【答案】 【知识点】化成一元二次方程的一般式 【分析】本题考查一元二次方程的一般式，将方程化为一般形式后，即可确定一次项系数． 【详解】解：， 展开得， 移项得，即， 所以一次项系数为； 故答案为：． 9．写出一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项． 【答案】二次项系数是，一次项系数是，常数项是 【知识点】化成一元二次方程的一般式 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式下，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项，将一元二次方程化为一般形式是解题的关键． 先将一元二次方程化为一般形式，进而完成解答． 【详解】解：把方程化为一般形式为， 所以二次项系数是，一次项系数是，常数项是． 题型四、由一元二次方程的定义确定字母取值 抓住“未知数的最高次数是且二次项系数不为”列式：最高次项的指数等于、二次项系数不等于，由这两个条件确定字母的取值，结果要检验． 10．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）若关于x的方程是一元二次方程，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由一元二次方程的定义求参数 【分析】本题考查一元二次方程的定义，根据一元二次方程的二次项的系数不为0，得到，进行求解即可． 【详解】解：由题意，， ∴； 故选D． 11．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）关于的方程是一元二次方程，则（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由一元二次方程的定义求参数 【分析】本题考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 方程为一元二次方程，需满足最高次项为二次且二次项系数非零，据此计算求解即可． 【详解】解：由于方程是一元二次方程， 则最高次项次数：，且二次项系数， 方程，解得或， 不等式，解得， 因此， 故答案为：D． 12．（25-26八年级上·上海黄浦·期中）若是关于的一元二次方程，则的值是（    ） A． B． C．1 D．0 【答案】C 【知识点】由一元二次方程的定义求参数 【分析】此题主要考查了一元二次方程的定义，关键是掌握一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．根据一元二次方程的定义可得：且，再解即可． 【详解】解：由题意得：且， 解得， 故选：． 13．（25-26八年级上·上海金山·期中）关于的一元二次方程的常数项为0，则的值是_____． 【答案】 【知识点】由一元二次方程的定义求参数 【分析】本题考查一元二次方程的一般式，知道一元二次方程的一般形式是解决本题的关键． 由常数项为0可得，再结合一元二次方程二次项系数不为0，确定m的值即可． 【详解】解： ， ∵常数项为且常数项为0， ∴ ， 解得， 又∵方程为一元二次方程， ∴二次项系数， 即． ∴． 故答案为：． 14．（25-26八年级上·上海闵行·期中）若关于的方程是一元二次方程，则_______． 【答案】 【知识点】由一元二次方程的定义求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元一次方程的定义是解此题的关键，只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程． 根据一元二次方程的定义得出且，再求出k即可． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴且， ∴，， 因此， 故答案为：． 题型五、一元二次方程的根与代数式求值 把根代入方程得到关于字母的等式，再整体代入所求代数式，常用移项、提公因式、由降次等变形，尽量不求出具体的根． 15．若m是一元二次方程的一个实数根，则的值是（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】C 【知识点】判断是否是一元二次方程的解、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据一元二次方程的解的定义可得出，然后整体代入计算即可． 【详解】解：∵m是一元二次方程的一个实数根， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 16．已知一元二次方程，，，满足，，则一元二次方程的根为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【知识点】判断是否是一元二次方程的解 【分析】本题考查了一元二次方程的根，熟练掌握一元二次方程的根是解题的关键．根据当时，；当时，作答即可． 【详解】解：∵一元二次方程，，，满足，， ∴当时，；当时，， ∴方程的根是，． 故选：D． 17．若，则一元二次方程的一个根为 _____． 【答案】2 【知识点】判断是否是一元二次方程的解 【分析】根据一元二次方程的解的定义，将代入方程，对比已知条件即可得到方程的一个根． 【详解】解：将代入， 得， ， 当时，成立， 根据一元二次方程的解的定义，可知该一元二次方程一定有一个根为2． 18．（25-26八年级上·上海黄浦·期中）若是方程的一个根，则代数式的值为______． 【答案】 【知识点】判断是否是一元二次方程的解、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查了一元二次方程的解的特征．把代入方程得到，将原式转化为，然后代入求值即可． 【详解】解：是方程的一个根， ∴， ， ， 故答案为：． 19．（25-26八年级上·上海·期中）若是方程 的根 ， 则的值为（     ） A． B．0 C．1 D． 【答案】D 【知识点】由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查一元二次方程的解，将代入方程，进行求解即可． 【详解】解：∵是方程的根， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选D． 20．（25-26八年级上·上海·期中）如果m是方程的一个根，则________； 【答案】 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、由一元二次方程的解求参数 【分析】该题考查了一元二次方程的解，由于是方程的一个根，代入方程可得，即．所求表达式可变形为，代入已知值计算即可． 【详解】解：因为是方程的一个根， 所以， 即． 则． 故答案为：． 21．（25-26八年级上·上海闵行·期中）已知是方程的一个根，则______． 【答案】2025 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、分式化简求值、由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的根，已知式子的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，则把代入，得，整理得，再把整理得，然后代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵是方程的一个根， ， 即， ， 则 ， 故答案为：2025． 22．（25-26八年级上·上海松江·期中）请写出一个一元二次方程，使这个方程的一次项系数是，且它的一个根是1．这个方程可以是_____． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】由一元二次方程的解求参数 【分析】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，以及一元二次方程的解，此题为开放性题目，答案不是唯一，答案只要满足题意即可．可设一元二次方程为 ，把代入，求出，然后令，则可求c的值，即可求解． 【详解】解：∵该方程的一次项系数是， ∴设一元二次方程为 ， ∵方程的一个根是1， ∴， ∴， 取，则， ∴方程为， 故答案为：（答案不唯一） 23．（25-26八年级上·上海松江·期中）如果关于的一元二次方程有两个实数根、，且，那么称该方程的两个根的距离为1．如果关于的方程的两个根的距离为1，则代数式的值是_____． 【答案】 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、绝对值方程、由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查了新定义计算、一元二次方程的解、代数式求解和绝对值方程的求解，准确的计算是解决本题的关键． 由方程可得两根为和，根据根的距离为1，得，分两种情况求解的值，再计算代数式即可． 【详解】解：∵方程为， ∴其两根为和， 由题意得，， 设，则 或， 解得或， 代数式 ， 当时，， 故； 当时，， 故． 综上，代数式的值为． 故答案为：． 题型六、一元二次方程与其它知识的综合 先解出方程（或化简根式）得到相关字母的值，再把结果代入几何、根式等条件中；注意三角形三边关系、二次根式有意义的条件等隐含限制，不合理的解要舍去． 24．已知三角形两边长分别为4和9，第三边的长是二次方程的根，则这个三角形的周长为（     ） A．25 B．21 C．19 D．17 【答案】A 【知识点】因式分解法解一元二次方程、构成三角形的条件 【分析】先求解给定的一元二次方程得到第三边的可能值，再根据三角形三边关系排除不符合的取值，最后计算得到三角形的周长. 【详解】解：∵， 因式分解得， ∴或， 当时，，不满足三边关系，不能构成三角形，舍去， 当时，，满足三边关系，可以构成三角形， ∴三角形的周长为. 25．（25-26八年级上·上海黄浦·期中）若最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式，则的值为______． 【答案】5 【知识点】因式分解法解一元二次方程、最简二次根式的判断、同类二次根式 【分析】本题考查了同类二次根式，最简二次根式，解一元二次方程因式分解法，掌握同类二次根式的定义，最简二次根式的定义，解一元二次方程的方法是解题的关键．根据最简二次根式和同类二次根式的定义可得：，再根据解一元二次方程的方法解方程即可． 【详解】解；最简二次根式与是同类二次根式， ，即， ， 或， 解得：，， 当时，，不是最简二次根式； 当时，，是最简二次根式， 的值为5． 故答案为：5． 提升·进阶突破 题型七、解一元二次方程 选择合适的方法：缺一次项的用直接开平方法；能分解因式（提公因式、平方差、完全平方）的用因式分解法，令每个因式为；一般形式则用公式法． 26．（25-26八年级上·上海虹口·期中）解方程：． 【答案】 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查解一元二次方程，利用因式分解法求解，即可解题． 【详解】解： 或， 解得． 27．（25-26八年级上·上海黄浦·期中）解方程： (1) (2) (3)（用配方法） (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】因式分解法解一元二次方程、解一元二次方程——配方法、公式法解一元二次方程 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键． （1）用因式分解法解一元二次方程即可； （2）将一元二次方程化为一般形式，再用因式分解法解一元二次方程即可； （3）用配方法解一元二次方程即可； （4）先将一元二次方程变为一般形式，再用公式法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， 因式分解得：， ∴或， 解得：； （2）解：， 原方程可变为：， 因式分解得：， ∴或， 解得：； （3）解：， 移项得：， 方程两边同除以3得：， 配方得：， 开平方得：， ∴； （4）解：， 变为一般形式得：， ，，， ， ∴， 即． 28．（24-25八年级上·上海·期中）解方程：． 【答案】， 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【详解】解：移项，得： 或 解得或 所以，原方程的根是， 29．（25-26八年级上·上海青浦·期中）方程的根是_______． 【答案】， 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法 【分析】本题考查了解一元二次方程，通过直接开平方法求解方程． 【详解】解：方程 两边开平方，得 ， 解得：，． 30．（25-26八年级上·上海黄浦·期中）关于的一元二次方程有一个根为0，则的值为_____． 【答案】 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法、一元二次方程的定义、由一元二次方程的解求参数 【分析】该题考查了一元二次方程的解，将根代入方程，得到关于的方程，解出的值，并确保二次项系数不为0． 【详解】解：因为方程有一个根为0， 所以代入，得：， 即， 解得：或． 又因为该方程是一元二次方程，所以二次项系数，即． 因此． 故答案为：． 31．（25-26八年级上·上海·期中）解方程：： 【答案】， 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法 【分析】利用直接开平方法计算即可． 本题考查了直接开平方法求解方程的根，选择适当解方程的方法是解题的关键． 【详解】解：∵, ∴ ∴ ∴或， 解得，． 32．（25-26八年级上·上海·期中）解方程： (1)； (2)； (3)； (4)（用配方法）． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法、因式分解法解一元二次方程、解一元二次方程——配方法、公式法解一元二次方程 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）利用直接开平方根的方法解方程即可； （2）把当成一个整体，利用十字相乘法把方程左边分解因式，再解方程即可； （3）利用公式法解方程即可； （4）利用配方法解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， 解得； （2）解：， ， 或， 解得； （3）解： ∵， ∴， ∴， 解得； （4）解： ， 解得． 33．（25-26八年级上·上海·期末）解方程：． 【答案】， 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法，利用直接开平方法将方程两边开平方可得，再将此分解为两个方程分别求解即可． 【详解】解：将方程两边开平方得： ， 或， 解得：，． 题型八、用配方法解一元二次方程 先把二次项系数化为，把常数项移到右边，两边同时加上一次项系数一半的平方，配成的形式，再由的正负用开平方法求解． 34．（25-26八年级下·上海·期中）（用配方法解方程） 【答案】 ， 【知识点】解一元二次方程——配方法 【详解】解：， ， ， ， ， ， 解得，. 35．（25-26八年级上·上海虹口·期中）用配方法解方程： 【答案】， 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题考查解一元二次方程，解题的关键是选择适当的方法解一元二次方程． 根据配方法求解一元二次方程求解即可． 【详解】解： ∴， 解得，． 36．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）用配方法解方程：． 【答案】 ， 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程．配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．据此求解即可． 【详解】解：， 整理，得， 配方，得， ∴， ∴，． 37．（25-26八年级上·上海虹口·期中）用配方法解方程． 【答案】 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】此题考查了一元二次方程的解法．利用配方法解一元二次方程即可． 【详解】解：， ， ， ， ． 38．（25-26八年级上·上海青浦·期中）用配方法解方程：． 【答案】 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】根据配方的基本步骤解答即可． 本题考查了配方法求解方程的根，熟练掌握配方是解题的关键． 【详解】解：， 移项，得． 系数化为1，得 配方，得，即． 两边开平方，得． 解得． 题型九、配方法的灵活运用 配方就是凑成的形式：．用它可求二次三项式的值域、判断代数式的符号、在实数范围内分解因式，也可用于比较大小． 39．用一根长为厘米的绳子，围成一个面积为平方厘米的长方形，则的值不可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】配方法的应用 【分析】设围成矩形的长为厘米，则围成矩形的宽为厘米，利用矩形的面积计算公式，即可得出，利用完全平方公式可得出，利用平方的非负性可求出的最大值，再对比各选项中的数据后即可得出结论． 【详解】解：设围成矩形的长为厘米， ∴围成矩形的宽为：， ∴ ， ∵ ∴ ∴， ∴当时，取得最大值，最大值为， ∴的值不可能为． 故选：A． 【点睛】本题考查列代数式，完全平方公式，平方的非负性．根据各数量之间的关系，找出关于的关系式是解题的关键． 40．（24-25八年级上·上海·期中）若一元二次方程经过配方，变形为的形式，则n的值为______． 【答案】10 【知识点】配方法的应用 【分析】本题主要考查了配方法的应用，由方程知，只要加上一次项系数一半的平方，再减去这个数即可完成配方． 【详解】解：由题意得 ， 即． ∴． 故答案为：10． 41．（25-26八年级上·上海·阶段检测）将二次三项式写成的形式则______． 【答案】 【知识点】运用完全平方公式进行运算、配方法的应用 【分析】此题考查了配方法的应用，掌握完全平方公式是解题的关键．根据配方法的步骤求解即可． 【详解】解： ， ∴， 故答案为：． 42．在实数范围内分解因式：________． 【答案】 【知识点】平方差公式分解因式、配方法的应用 【分析】本题考查因式分解，掌握配方法和平方差法因式分解是解题的关键．先配方再用平方差公式法，进行因式分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 43．已知代数式． (1)当时，求代数式的值； (2)求当x为何值时，代数式的值为0． 【答案】(1)1 (2)2 【知识点】二次根式的混合运算、已知字母的值 ，求代数式的值、解一元二次方程——配方法 【分析】（1）先分母有理数，化简x，再把变形为，然后代入计算即可求值； （2）根据题意先列方程，再求解一元二次方程即可． 【详解】（1）解： ， 当时， ； （2）解：由题意，得， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了二次根式、解一元二次方程，代数式求值，掌握二次根式的运算法则、一元二次方程的解法是解决本题的关键． 44．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）方程的根为________． 【答案】， 【知识点】公式法解一元二次方程 【分析】本题主要考查了公式法解一元二次方程，利用公式法求解即可，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【详解】解：， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴，， 故答案为：，． 45．（25-26八年级上·上海·期中）如果实数满足，则代数式 的值为_____． 【答案】2 【知识点】换元法解一元二次方程、已知字母的值 ，求代数式的值、公式法解一元二次方程 【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程、因式分解的应用，解题时要熟练掌握并能准确计算是关键． 通过换元法，设，将原方程转化为关于的二次方程，解出的值．再将所求代数式用表示，代入的值求解．由于时对应方程无实数解，故只取，得到代数式的值为2． 【详解】解：设，则原方程化为． 解方程， 判别式， 所以， 得，． 所求代数式． 当 时，； 当时，． 但， 即，整理得， 判别式，无实数解． 故只有符合题意，代数式的值为2． 故答案为：2． 拔高·压轴破难 题型十、解方程与解法的辨析 解方程时先观察能否因式分解：方程两边都含未知因式时不能直接约去（会丢根），应先移项再提公因式；检查解法时重点看“两边同除以含未知数的式子”“开方丢负根”这一类错误． 46．（25-26八年级上·上海杨浦·期末）解方程：； 【答案】， 【知识点】公式法解一元二次方程 【详解】解： ，，， ， ∴， 解得，． 47．（25-26八年级上·上海青浦·期中）解方程；． 【答案】， 【知识点】公式法解一元二次方程 【分析】利用公式法求解即可． 本题考查了求解方程的根，选择适当解方程的方法是解题的关键． 【详解】解：∵, 在这里， ∴， 解得，． 48．（24-25八年级上·上海静安·期末）小海同学解一元二次方程的过程如下： 解：，， 或 所以，原方程的根是，． (1)小海的求解过程从 步开始出现错误． (2)请你写出这个方程正确的解题步骤，并求出方程的根． 【答案】(1)； (2)，． 【知识点】公式法解一元二次方程 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，掌握解法是解题的关键． （）根据原方程没有变形为一般形式就进行求解即可进行判断； （）先变形为方程的一般形式，再根据公式法求解即可． 【详解】（1）解：∵原方程没有变形为一般形式就进行求解， ∴小海的求解过程从第步开始出现错误， 故答案为：； （2）解：， ， ，，， ， ， ∴，． 题型十一、阅读材料与探究 耐心读题，把材料中的新方法（如用二次根式的性质解方程、换元法、新定义的运算）翻译成学过的步骤；按示例的格式整理书写，注意每一步的依据和前提条件． 49．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）我们可以利用二次根式性质准确解出形如的方程， 方法如下： 由题意，可知，得 原方程变形为： ∴ ∴或（舍去） ∴ 小杰同学将二次根式的性质进一步探究后发现：． 已知，参考上述方法，可求得______． 【答案】 【知识点】因式分解法解一元二次方程、换元法解一元二次方程、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了二次根式的性质，因式分解法解一元二次方程等知识，设，代入原方程，利用换元法将方程转化为关于的二次方程，求解后得到的值，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由，设，则， 代入原方程，得， ， ∵， ∴， ∴， ， 设（)，则， 代入得：，即， 整理为：， ∴，（舍去，因为)， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 50．（25-26八年级上·上海·期中）阅读下面的材料，回答问题． 解方程． 这是一个一元四次方程，由这个方程的特点，可以采用“换元法”起到降次的目的，将其转化成一元二次方程求解，它的解法如下： 解：设，那么，于是原方程可变为，解得，． 当时，，； 当时，，； 所以，原方程有四个根，分别为，，，． 请运用以上方法回答问题：已知，求的值为_____． 【答案】，，， 【知识点】因式分解法解一元二次方程、换元法解一元二次方程 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程；通过观察方程，发现含有重复表达式，因此采用换元法，设，将原方程转化为关于的一元二次方程，求解后再代回求解． 【详解】解：设，则原方程可化为． 展开得，即． 因式分解得，解得，． 当时，，即，解得，． 当时，，即，判别式，解得，即，． 经检验，所有解均满足原方程． 故答案为：，，，． 51．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）解方程： 【答案】或或或 【知识点】换元法解一元二次方程 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 通过换元法，设，将原方程转化为关于y的二次方程求解，然后代回解关于x的方程． 【详解】解：设， 则， 因式分解，， 解得或， 当时，即 移项得，， 因式分解得， 解得或， 当时，即 移项得，， 因式分解得， 解得或， 综上，原方程的解为或或或． 52．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）解下列方程： (1) (2) (3)解关于的方程：（用配方法） (4)； 【答案】(1)， (2)， (3)当时，，；当时，方程无实数根 (4)， 【知识点】因式分解法解一元二次方程、换元法解一元二次方程、解一元二次方程——配方法、公式法解一元二次方程 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的常见方法是解题的关键． （1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用换元法解方程即可； （3）利用配方法解方程即可； （4）利用公式法解方程即可． 【详解】（1）解： 或 ∴，； （2）解： 令，则， ∴， 解得，， ∴或， 解得，； （3）解： ①当，即， 则， ∴，； ②当，即， 则方程无实数根； ∴综上所述，当时，，；当时，方程无实数根； （4）解： ，，， ， ∴方程有2个不相等的实数根， ∴， ∴，． 53．（25-26八年级上·上海虹口·期中）请阅读下列材料： 已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则，所以， 把代入已知方程，得， 化简，得，故所求方程为， 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数． (2)关于的一元二次方程有一个实数根为2025，则方程一定有实数根_______． (3)已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为3、-2，求一元二次方程的两根． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】换元法解一元二次方程、由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的解，解答该题的关键是弄清楚“换根法”的具体解题方法． （1）利用题中解法，设所求方程的根为，则，即，把代入已知方程即可； （2）根据方程根的定义得到，则，即可求出答案； （3）一元二次方程整理可得：，再与一元二次方程比较即可． 【详解】（1）解：设所求方程的根是，则， 所以， 把代入， 得； （2）解：关于的一元二次方程有一个实数根为2025， ， ， 是方程的实数根． 故答案为：． （3）解：关于的一元二次方程的两个实数根分别为3、-2， ， ， 方程 化为：方程， 整理得， 因式分解得， 解得． 试卷第1页（共3页） 1 / 49 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 一元二次方程的概念与解法 （温馨提醒：按住CTRL并单击鼠标左键以跟踪链接） 基础·固本强基 题型一、一元二次方程的识别 题型二、一元二次方程的根与待定字母 题型三、一元二次方程的一般形式与各项系数 题型四、由一元二次方程的定义确定字母取值 题型五、一元二次方程的根与代数式求值 题型六、一元二次方程与其它知识的综合 提升·进阶突破 题型七、解一元二次方程 题型八、用配方法解一元二次方程 题型九、配方法的灵活运用 拔高·压轴破难 题型十、解方程与解法的辨析 题型十一、阅读材料与探究 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型一、一元二次方程的识别 判断一个方程是不是一元二次方程要看三点：只含一个未知数、未知数的最高次数是、二次项系数不为．含字母系数时，先化成一般形式，再由判断． 1．（25-26八年级上·上海虹口·期中）下列方程是关于的一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·上海青浦·期中）下列关于的方程一定是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 题型二、一元二次方程的根与待定字母 把已知的根代入方程，就得到关于待定字母的等式；结合“二次项系数不为”确定字母的取值，求出的结果必须代回检验．要求写出满足条件的方程时，只要让未知数取题设的根即可． 3．（25-26八年级上·上海虹口·期中）关于的一元二次方程有一个根为0，则的值是（   ） A． B．2 C． D．0 4．（25-26八年级上·上海崇明·期中）关于的一元二次方程有一个根为0，那么的值为_____． 5．（25-26八年级上·上海·期中）写出一个一元二次方程，使这个方程的二次项系数为 1 ， 常数项为 3， 且它的一个根为，这个一元二次方程是_____ 题型三、一元二次方程的一般形式与各项系数 先去括号、移项、合并同类项，把方程化为（）的一般形式，再读出二次项系数、一次项系数、常数项，注意系数要连同前面的符号． 6．（25-26八年级上·上海·阶段检测）将一元二次方程化为一般形式后，二次项系数和常数项分别是（   ） A．5， B．2， C．， D．6，2 7．将方程化成一元二次方程的一般形式，当二次项系数为时，一次项系数和常数项分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 8．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）一元二次方程的一次项系数_______． 9．写出一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项． 题型四、由一元二次方程的定义确定字母取值 抓住“未知数的最高次数是且二次项系数不为”列式：最高次项的指数等于、二次项系数不等于，由这两个条件确定字母的取值，结果要检验． 10．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）若关于x的方程是一元二次方程，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 11．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）关于的方程是一元二次方程，则（  ） A． B． C． D． 12．（25-26八年级上·上海黄浦·期中）若是关于的一元二次方程，则的值是（    ） A． B． C．1 D．0 13．（25-26八年级上·上海金山·期中）关于的一元二次方程的常数项为0，则的值是_____． 14．（25-26八年级上·上海闵行·期中）若关于的方程是一元二次方程，则_______． 题型五、一元二次方程的根与代数式求值 把根代入方程得到关于字母的等式，再整体代入所求代数式，常用移项、提公因式、由降次等变形，尽量不求出具体的根． 15．若m是一元二次方程的一个实数根，则的值是（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 16．已知一元二次方程，，，满足，，则一元二次方程的根为（    ） A．， B．， C．， D．， 17．若，则一元二次方程的一个根为 _____． 18．（25-26八年级上·上海黄浦·期中）若是方程的一个根，则代数式的值为______． 19．（25-26八年级上·上海·期中）若是方程 的根 ， 则的值为（     ） A． B．0 C．1 D． 20．（25-26八年级上·上海·期中）如果m是方程的一个根，则________； 21．（25-26八年级上·上海闵行·期中）已知是方程的一个根，则______． 22．（25-26八年级上·上海松江·期中）请写出一个一元二次方程，使这个方程的一次项系数是，且它的一个根是1．这个方程可以是_____． 23．（25-26八年级上·上海松江·期中）如果关于的一元二次方程有两个实数根、，且，那么称该方程的两个根的距离为1．如果关于的方程的两个根的距离为1，则代数式的值是_____． 题型六、一元二次方程与其它知识的综合 先解出方程（或化简根式）得到相关字母的值，再把结果代入几何、根式等条件中；注意三角形三边关系、二次根式有意义的条件等隐含限制，不合理的解要舍去． 24．已知三角形两边长分别为4和9，第三边的长是二次方程的根，则这个三角形的周长为（     ） A．25 B．21 C．19 D．17 25．（25-26八年级上·上海黄浦·期中）若最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式，则的值为______． 提升·进阶突破 题型七、解一元二次方程 选择合适的方法：缺一次项的用直接开平方法；能分解因式（提公因式、平方差、完全平方）的用因式分解法，令每个因式为；一般形式则用公式法． 26．（25-26八年级上·上海虹口·期中）解方程：． 27．（25-26八年级上·上海黄浦·期中）解方程： (1) (2) (3)（用配方法） (4) 28．（24-25八年级上·上海·期中）解方程：． 29．（25-26八年级上·上海青浦·期中）方程的根是_______． 30．（25-26八年级上·上海黄浦·期中）关于的一元二次方程有一个根为0，则的值为_____． 31．（25-26八年级上·上海·期中）解方程：： 32．（25-26八年级上·上海·期中）解方程： (1)； (2)； (3)； (4)（用配方法）． 33．（25-26八年级上·上海·期末）解方程：． 题型八、用配方法解一元二次方程 先把二次项系数化为，把常数项移到右边，两边同时加上一次项系数一半的平方，配成的形式，再由的正负用开平方法求解． 34．（25-26八年级下·上海·期中）（用配方法解方程） 35．（25-26八年级上·上海虹口·期中）用配方法解方程： 36．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）用配方法解方程：． 37．（25-26八年级上·上海虹口·期中）用配方法解方程． 38．（25-26八年级上·上海青浦·期中）用配方法解方程：． 题型九、配方法的灵活运用 配方就是凑成的形式：．用它可求二次三项式的值域、判断代数式的符号、在实数范围内分解因式，也可用于比较大小． 39．用一根长为厘米的绳子，围成一个面积为平方厘米的长方形，则的值不可能是（ ） A． B． C． D． 40．（24-25八年级上·上海·期中）若一元二次方程经过配方，变形为的形式，则n的值为______． 41．（25-26八年级上·上海·阶段检测）将二次三项式写成的形式则______． 42．在实数范围内分解因式：________． 43．已知代数式． (1)当时，求代数式的值； (2)求当x为何值时，代数式的值为0． 44．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）方程的根为________． 45．（25-26八年级上·上海·期中）如果实数满足，则代数式 的值为_____． 拔高·压轴破难 题型十、解方程与解法的辨析 解方程时先观察能否因式分解：方程两边都含未知因式时不能直接约去（会丢根），应先移项再提公因式；检查解法时重点看“两边同除以含未知数的式子”“开方丢负根”这一类错误． 46．（25-26八年级上·上海杨浦·期末）解方程：； 47．（25-26八年级上·上海青浦·期中）解方程；． 48．（24-25八年级上·上海静安·期末）小海同学解一元二次方程的过程如下： 解：，， 或 所以，原方程的根是，． (1)小海的求解过程从 步开始出现错误． (2)请你写出这个方程正确的解题步骤，并求出方程的根． 题型十一、阅读材料与探究 耐心读题，把材料中的新方法（如用二次根式的性质解方程、换元法、新定义的运算）翻译成学过的步骤；按示例的格式整理书写，注意每一步的依据和前提条件． 49．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）我们可以利用二次根式性质准确解出形如的方程， 方法如下： 由题意，可知，得 原方程变形为： ∴ ∴或（舍去） ∴ 小杰同学将二次根式的性质进一步探究后发现：． 已知，参考上述方法，可求得______． 50．（25-26八年级上·上海·期中）阅读下面的材料，回答问题． 解方程． 这是一个一元四次方程，由这个方程的特点，可以采用“换元法”起到降次的目的，将其转化成一元二次方程求解，它的解法如下： 解：设，那么，于是原方程可变为，解得，． 当时，，； 当时，，； 所以，原方程有四个根，分别为，，，． 请运用以上方法回答问题：已知，求的值为_____． 51．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）解方程： 52．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）解下列方程： (1) (2) (3)解关于的方程：（用配方法） (4)； 53．（25-26八年级上·上海虹口·期中）请阅读下列材料： 已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则，所以， 把代入已知方程，得， 化简，得，故所求方程为， 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数． (2)关于的一元二次方程有一个实数根为2025，则方程一定有实数根_______． (3)已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为3、-2，求一元二次方程的两根． 试卷第1页（共3页） 1 / 49 学科网（北京）股份有限公司 $