精品解析：江西赣州市上犹县第二中学、四中学校等校联考2026-2027学年八年级上学期第一次综合练习数学试题

八年级数学第一次综合练习 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 如图是三角形按边分类的关系图，则图中的A表示（　　） A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形的分类可直接得到答案． 【详解】解：三角形按边分类应分为等腰三角形和不等边三角形，等腰三角形又分为腰与底不相等的等腰三角形和等边三角形， 则图中的A表示等腰三角形． 2. 如图，在中，边上的高为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查三角形的高，熟练掌握三角形的高的画法是解题的关键；因此此题可根据“过三角形的一个顶点作该顶点所对边的垂线段即为三角形的高”进行求解即可． 【详解】解：在中，边上的高为； 故选B． 3. 小亮有两根长度为和的木棒，他想钉一个三角形木框，现在桌子上有如下长度的4根木棒，你认为他应该选择（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形的三边关系，第三边需满足两边之差小于第三边且小于两边之和，据此解答即可． 【详解】解：∵两根木棒长和， ∴第三边x需满足：，即， 所以，选项中，A、B、D不满足，只有C满足， 故选：C． 4. 如图，点B，C，D在同一直线上，若，，，则的长为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质． 由全等三角形的性质推出，，求出，即可得到的长． 【详解】解：， ，， ， ， ． 故选：C． 5. 两根木条，按如图所示的方式放在地面上，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形的外角的性质，求出的度数，进而求出的度数即可. 【详解】解：由图可知：， ∵，， ∴， ∴. 6. 如图，点，在上，，，下列条件中不能使成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形全等的判定方法，逐项进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， 由，，根据“”不能得出，故A符合题意； ∵， ∴， 即， 由，，根据“”能得出，故B不符合题意； ∵， ∴， 由，根据“”能得出，故C不符合题意； 由，，根据“”能得出，故D不符合题意． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 如图所示，人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的依据是_____． 【答案】三角形具有稳定性 【解析】 【分析】本题考查了三角形的性质，关键是弄清人字梯与拉杆构成三角形；根据构成的图形是三角形即可解答. 【详解】解：由于人字梯与拉杆构成三角形，这样可以使梯子稳固， 所以，依据是三角形具有稳定性； 故答案为：三角形具有稳定性 ． 8. 在中，如果，那么是_______三角形．（填“锐角”“直角”或“钝角”） 【答案】直角 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理的应用，利用三角形内角和定理，结合已知条件求出的度数，从而判断三角形形状，熟练掌握三角形内角和为是解此题的关键． 【详解】解：∵，, ∴， ∴， ∴是直角三角形， 故答案为：直角． 9. 如图是的网格，其中每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格点．点A、B、C、D均在格点上，则________． 【答案】90 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据网格的特点证明三角形全等是解题的关键．取格点E、F，连接，根据网格的特点，利用易证，得到，结合，即可解答． 【详解】解：如图，取格点E、F，连接， 由题意可知，，，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：90． 10. 如图，根据用直尺、圆规作一个角等于已知角的方法，画出了．则的依据是___________．（填全等判定方法的简写） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了作图—基本作图，全等三角形的判定. 由作图痕迹可知，结合全等三角形的判定可得答案． 【详解】解：从作图可知，， ， 的理由是， 故答案为：． 11. 如图是一块面积为10的三角形纸板，点D、E、F分别是线段的中点，则阴影部分的面积为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了三角形面积，熟练掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分． 根据每条中线将三角形分为面积相等的两部分，计算即可得到答案． 【详解】解：连接， ∵点D、E、F分别是线段的中点 ∴，，， ∴，，，，，， ∴被分为7个面积相同的三角形，中间阴影部分的三角形的面积是的，所以阴影部分的面积是． 故答案为：． 12. 如图，，，．点在线段上从点向点运动，点从点出发沿着射线的方向运动．若与全等，则的长为________． 【答案】 或 【解析】 【分析】根据全等三角形的性质，对应边相等，已知，则点与点是对应顶点，分两种情况讨论：一是，二是，设，则，根据对应边相等列出方程求解即可． 【详解】解：设， 点在线段上，， ， 与全等，且， 分两种情况讨论：①当时， ， ，解得，即； ②当时， ， 解得即， 综上所述，的长为或． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 按要求完成作答 （1）已知中，，，求的度数． （2）如图，在中，，垂足为，是钝角，是上一点，且是锐角．用符号表示这些三角形并写在相应的圈内． 【答案】（1） （2）锐角三角形有； 直角三角形有，，； 钝角三角形有，． 【解析】 【分析】（1）三角形内角和为，据此解答即可； （2）三个内角都小于90度的三角形是锐角三角形；有一个内角为90度的三角形是直角三角形；有一个内角大于90度的三角形是钝角三角形，据此解答即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵，是钝角，是锐角，是上一点， ∴， ∴，，， ∴、都是锐角，是钝角， ∴图中的锐角三角形有；直角三角形有，，；钝角三角形有，． 14. 如图一点，，，在同一条直线上，，，．求证：． 【答案】证明：∵， ∴，即， 在和中， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，由得出，再利用证明即可，熟练掌握全等三角形的判定定理是解此题的关键． 【详解】略 15. 如图，两根长度为的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面的两个木桩上，两个木桩离旗杆底部的距离相等吗？请说明你的理由． 【答案】 相等，理由： ∵AB=AC，AO⊥BC， ∴BO=CO． 答：两个木桩离旗杆底部的距离相等． 【解析】 【分析】由AB=AC，AO⊥BC，根据等腰三角形的三线合一的性质，即可解题． 【详解】略 【点睛】本题考查了等腰三角形在实际生活中的应用．掌握等腰三角形三线合一定理是解题关键. 16. 如图，在中，． （1）尺规作图：请在图中的左侧作．（保留作图痕迹，不作写法） （2）在（1）的条件下，在射线上取点D，连结交于点O，若点O是的中点，求的长． 【答案】（1）如图即为所作； （2） 【解析】 【分析】本题考查了作一个角等于已知角，全等三角形性质和判定，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）根据作一个角等于已知角的作图步骤，作出即可； （2）根据题意画出图形，证明，再利用全等三角形性质求解，即可解题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在射线上取点D，连结交于点O，且点O是的中点， ， ，， ， ， ． 17. 已知的三边长为， （1）若，求边长的取值范围； （2）化简． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查三角形的三边关系、化简绝对值、整式的加减运算等知识点，熟练掌握三角形三边关系和绝对值的化简是解题的关键． （1）直接根据三角形的三边关系求解即可； （2）由三角形三边关系定理得到：，则，再化简绝对值，然后运用整式的加减运算法则化简即可． 【小问1详解】 解：， ，即． 【小问2详解】 解：∵的三边长为， ， 原式 ． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，在中，，平分，为线段上的任意一点，交直线于点． （1）若，，求的度数； （2）求证：． 【答案】（1） （2）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴ ． 【解析】 【分析】（1）先利用三角形内角和与角平分线求出，再用外角性质求，最后在直角三角形中计算； （2）先利用外角和角平分线，把用、表示，再结合直角三角形内角和，化简得到与、的关系． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 19. 如图，，D，E分别是上的点，交于点O，且． 求证： （1）； （2）． 【答案】（1） 证明：，， ， 在和中， ， ； （2） 证明：， ， 在和中， ， ， ．． 【解析】 【分析】本题考查的知识点是全等三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． （1）利用“边角边”即可证明； （2）由全等三角形的性质推得，即可通过“角角边”证明，再由全等三角形的性质即可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 一个零件的形状如图所示，按规定应等于，、应分别等于和，李师傅量得，就断定这个零件不合格，你能说出道理吗？ 【答案】不合格，理由： 如图，延长交相交于点E． 由三角形的外角性质，得， ． ∵李师傅量得，不是， ∴这个零件不合格． 【解析】 【分析】首先延长交于点E，然后根据三角形外角的性质得出和度数，从而得出答案． 【详解】略 【点睛】本题主要考查三角形内角和定理的应用与三角形外角的性质，难度不大，基础知识扎实是解题关键 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，在中，，D为边上一点，E为边上一点，连接与交于点F，G为外一点，满足，，连接． （1）求证：； （2）若平分，求证：． 【答案】（1） 证明：如图， ∵， ∴， 即． 在和中， ∵， ∴≌（）； （2） 证明：∵≌， ∴，． ∵，平分， ∴． ∵， ∴． 在和中， ∵， ∴≌（）． ∴． ∴． 【解析】 【分析】（1）由可得出，从而可证； （2）由（1）的结论可得，，再由及平分易得，从而可得≌，则易得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，证明三角形全等是本题的关键． 22. “在一条直线上有三个直角顶点”的几何图形，我们一般称其为“一线三垂直”图形，随着几何学习的深入，我们还将对这类图形有更深入的探索：         （1）如图1，、和都是直角三角形，其中，且直角顶点都在直线l上，探索、、之间的数量关系，并证明你的结论； （2）如图2，在中，，，过点A作直线，于点D，于点E，若，，请直接写出的面积 ； （3）如图3，和都是等腰直角三角形，，，，且点E在上，连接，试猜想线段与线段的位置关系，并证明你的结论． 【答案】（1）解：，证明如下： ∵、和都是直角三角形，且直角顶点都在直线上， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴． （2）30 （3）解：，证明如下： 如图，过点作，交延长线于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）先证出，再得出即可； （2）先证出，则，，再得出的长即可； （3）过点作，交延长线于点，先证出，则，，再得出，然后求出，由此即可得． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴的面积为． 【小问3详解】 略． 六、解答题（本大题共12分） 23. 【问题情境】如图，在平面直角坐标系中，点，，且，连接AB，点P、点Q是x轴上的动点，且．连接AQ，过O点作于点E，交直线AB于点D，连接DP，试问在运动过程中，与是否存在某种特定的数量关系． （1）直接写出点A的坐标为______，点B的坐标为_______； （2）【深入探究】如图1，当点P、点Q在线段OB上，且P点在Q点的左侧时． ①求证：； ②试猜想与的数量关系，并说明理由． （3）【拓展应用】当点P在B点右侧，点Q在x轴负半轴上运动时，若，用表示_______．（不需证明） 【答案】（1） （2） 解：①∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ②，理由如下： 如图：过点B作的垂线交延长线于点M， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴且， ∴， ∴， ∴． （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查坐标与图形、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识点，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据非负数的性质求得m、n的值即可解答； （2）①根据、，再根据同角的余角相等即可解答；②如图：过点B作的垂线交延长线于点M，可证，得到、，再证，得到，再根据等量代换即可解答； （3）第一种情况，如图，过点B作的垂线交于点N，可证，得到，再证，得到，由即可求解；第二种情况，如图所示，过点B作的垂线交延长线于点N，方法同第一种情况求解即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴ ∴， ∴， 故答案为：． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：或，理由如下， 第一种情况，如图，过点B作的垂线交于点N， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∵， ∴，且， ∴， ∴， ∴； 第二种情况，如图所示，过点B作的垂线交延长线于点N， 同理可证：，得到， 同理可证：，得到； 综上所述，或． 故答案为：或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学第一次综合练习 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 如图是三角形按边分类的关系图，则图中的A表示（　　） A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 2. 如图，在中，边上的高为（ ） A. B. C. D. 3. 小亮有两根长度为和的木棒，他想钉一个三角形木框，现在桌子上有如下长度的4根木棒，你认为他应该选择（　　） A. B. C. D. 4. 如图，点B，C，D在同一直线上，若，，，则的长为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 5. 两根木条，按如图所示的方式放在地面上，若，，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，点，在上，，，下列条件中不能使成立的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 如图所示，人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的依据是_____． 8. 在中，如果，那么是_______三角形．（填“锐角”“直角”或“钝角”） 9. 如图是的网格，其中每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格点．点A、B、C、D均在格点上，则________． 10. 如图，根据用直尺、圆规作一个角等于已知角的方法，画出了．则的依据是___________．（填全等判定方法的简写） 11. 如图是一块面积为10的三角形纸板，点D、E、F分别是线段的中点，则阴影部分的面积为______． 12. 如图，，，．点在线段上从点向点运动，点从点出发沿着射线的方向运动．若与全等，则的长为________． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 按要求完成作答 （1）已知中，，，求的度数． （2）如图，在中，，垂足为，是钝角，是上一点，且是锐角．用符号表示这些三角形并写在相应的圈内． 14. 如图一点，，，在同一条直线上，，，．求证：． 15. 如图，两根长度为的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面的两个木桩上，两个木桩离旗杆底部的距离相等吗？请说明你的理由． 16. 如图，在中，． （1）尺规作图：请在图中的左侧作．（保留作图痕迹，不作写法） （2）在（1）的条件下，在射线上取点D，连结交于点O，若点O是的中点，求的长． 17. 已知的三边长为， （1）若，求边长的取值范围； （2）化简． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，在中，，平分，为线段上的任意一点，交直线于点． （1）若，，求的度数； （2）求证：． 19. 如图，，D，E分别是上的点，交于点O，且． 求证： （1）； （2）． 20. 一个零件的形状如图所示，按规定应等于，、应分别等于和，李师傅量得，就断定这个零件不合格，你能说出道理吗？ 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，在中，，D为边上一点，E为边上一点，连接与交于点F，G为外一点，满足，，连接． （1）求证：； （2）若平分，求证：． 22. “在一条直线上有三个直角顶点”的几何图形，我们一般称其为“一线三垂直”图形，随着几何学习的深入，我们还将对这类图形有更深入的探索：         （1）如图1，、和都是直角三角形，其中，且直角顶点都在直线l上，探索、、之间的数量关系，并证明你的结论； （2）如图2，在中，，，过点A作直线，于点D，于点E，若，，请直接写出的面积 ； （3）如图3，和都是等腰直角三角形，，，，且点E在上，连接，试猜想线段与线段的位置关系，并证明你的结论． 六、解答题（本大题共12分） 23. 【问题情境】如图，在平面直角坐标系中，点，，且，连接AB，点P、点Q是x轴上的动点，且．连接AQ，过O点作于点E，交直线AB于点D，连接DP，试问在运动过程中，与是否存在某种特定的数量关系． （1）直接写出点A的坐标为______，点B的坐标为_______； （2）【深入探究】如图1，当点P、点Q在线段OB上，且P点在Q点的左侧时． ①求证：； ②试猜想与的数量关系，并说明理由． （3）【拓展应用】当点P在B点右侧，点Q在x轴负半轴上运动时，若，用表示_______．（不需证明） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $