27.3 实际问题与反比例函数 知识清单2026-2027 学年人教版九年级数学上册

27.3 实际问题与反比例函数　知识清单 人教（2024）版　九年级上册　第二十七章　反比例函数 知识地图：从「式」和「图」走向「用」 前两节我们把反比例函数研究了两个角度：27.1 认识了它、会求解析式，27.2 画出了图象、归纳了性质。这一节换个方向——把反比例函数放到真实情境里去用。 真实情境里常常出现这样的两个量：它们的「乘积」保持不变（如电压一定时，电流与电阻的乘积就是电压）。这时它们成反比例，可以用 来刻画，进而求出未知量或取值范围。这就是本节的主线（图 1）。 图 1　本节知识地图：建模（找乘积一定）→ 三类典型情境 → 用性质（求值、求范围）→ 读图象（由点求 k） 一、学习目标与重难点 维度 内容 学习目标 ① 能从实际问题中识别「两个量的乘积为定值」，建立反比例函数； ② 会由一组已知数据求出 ，写出解析式；会用解析式求某个量的值或取值范围。 重点 建立反比例函数模型：判断「乘积一定」→ 设 → 代入已知数据求出 。 难点 ① 分清「乘积一定」（反比例）与「比值一定」（正比例）； ② 理解自变量常带实际范围（一般 ），图象只取第一象限的一支。 数学思想 建模思想、函数思想、数形结合。 一句话记住本节：实际问题里，先找「谁乘谁是定值」，定值就是 ，式子就是 。 二、用反比例函数解实际问题的三步法 用反比例函数解决实际问题，可以固定成三步（图 2）： ① 设：判断「乘积一定」，设关系式 先弄清哪两个量在变化、哪个量保持不变。若两个变量的乘积为定值，就设 （），或直接写成 （乘积就是 ）。 ② 求：用一组已知数据求出 把题目中已知的一对「相乘得定值」的两个量代入，算出 ，就得到具体解析式。 ③ 用：用解析式解决问题 把要求的量代入解析式，求出它的值；或结合实际限制与增减性，求出它的取值范围。 图 2　解实际问题的三步法：设（判断乘积一定）→ 求（由一组数据求 ）→ 用（求值、求范围） ★ 关键判断：动手前先问一句——这两个量是「乘积一定」还是「比值一定」？ 乘积一定 → 反比例（设 ）；比值一定 → 正比例（设 ）。 ★ 求 时，一定代入「乘积那一对该变量」，不要用错成另一对量。 三、教材例 1：电路问题（电压一定，电流与电阻成反比） 【题目】某电源的电压 为定值。用它供电时，通过用电器的电流 （单位 A）与用电器的电阻 （单位 Ω）成反比例。已知当电阻为 9 Ω 时，电流为 4 A。 （1）求电流 与电阻 的函数关系式；（2）若把电阻调到不小于 12 Ω，电流最大是多少？ 解　（1）求解析式 电压一定，说明电流与电阻的乘积保持不变，即 为定值，故 与 成反比例，可设 。 把 、 代入：。所以 ，所求解析式为 。 解　（2）求电流的最大值 由 ，且 ，在每个象限内 随 的增大而减小。所以电阻 越大，电流 越小： 时，，即 。 答：解析式为 ；电阻不小于 12 Ω 时，电流不超过 3 A。 说明：电流 、电阻 都是正数，所以图象只取第一象限的一支（图 3）。 图 3　电路问题：电压一定时 与 成反比，；由 求出的 就是电压 。图象只取第一象限一支 四、教材例 2：用电器功率（电压一定，功率与电阻成反比） 【题目】一个用电器的电阻是可以调节的，其范围为 110 Ω 到 220 Ω。已知电压为 220 V，输出功率 （单位 W）、电阻 （单位 Ω）与电压 （单位 V）之间满足关系式 。 （1）输出功率 与电阻 有怎样的函数关系？（2）这个用电器的功率范围是多少？ 解　（1）求解析式 电压 一定，它的平方也是常数：。 由 得乘积 是定值，所以 与 成反比例。 把 代入，得 ，即 。 解　（2）求功率的范围 由 ，且 ，在每个象限内 随 的增大而减小。又电阻范围是 ： 当 时，；当 时，。 因为 随 增大而减小，所以功率的范围是 （W）。 图 4　用电器功率：电压 220 V 一定时，；电阻 110~220 Ω 对应功率 220~440 W。图象只取第一象限一支 五、常见模型归类：哪个量恒定 → 函数关系 很多实际问题长得不一样，本质却相同：都是「某个量保持不变，另外两个量乘积一定」。抓住「不变的量」，就能迅速写出函数关系（图 5）。 实际情境 不变的量（定值） 两个变量与函数关系 矩形（绿地）面积 面积 长 与宽 ： 行程问题 路程 时间 与速度 ： 电路（电压一定） 电压 电流 与电阻 ： 压强（压力一定） 压力 压强 与受力面积 ： 排水（工程）总量 总量 时间 与效率 ： 图 5　常见模型：面积、路程、电压、压力、总量一定时，另外两个量都成反比例，函数关系都是「倒数型」 判断口诀：先问「哪个量不变」，再看「另外两个量的乘积是不是这个不变的量」。是，就成反比例；这时自变量一般取正值（）。 六、图象信息：由图象上一点求 k 有些题目不给数据，而是给出一段图象。这时只要图象是双曲线的一支，就说明它是反比例函数；再找图象上一个已知点的坐标，就能求出 （图 6）。 【题目】某反比例函数的图象是位于第一象限的一支双曲线，它经过点 。求它的解析式，并求当 、 时的函数值。 解　设解析式，代入已知点 设 。因为图象经过点 ，所以 ，解析式为 。 当 时，；当 时，。 图 6　读图三步：看图象（双曲线一支）→ 代入已知点 求 → 写解析式 ，再用它求值 ★ 读图求 的套路：① 确认是双曲线一支（反比例）；② 找到图象上一个已知点（读坐标）；③ 用 求出 ，写出解析式。 七、求取值范围：实际限制 + 增减性 实际问题里常常要求「某个量在什么范围内」。方法是固定的三步： ① 由实际意义写出自变量的限制（如电阻 、宽不超过 10 m、 等）； ② 由 的符号判断增减性—— 时，在每个象限内 随 的增大而减小； ③ 由限制的端点算出对应函数值，定出函数值的上界或下界。 以例 1 为例：，。电阻 越大，电流 越小；当 时 ，所以 对应 。又因为电阻必为正，电流也为正，故 。 图 7　求取值范围：先写实际限制 ，再由 且 的增减性得出 ★ 求取值范围的关键：先把自变量的实际限制写清楚，再用增减性定出另一端的范围。 ★ 别忘「两端」：实际问题里自变量、函数值常为正，范围往往是「0 到某个值」或「两个值之间」，不要漏掉。 八、易错清单：六个「坑」千万别踩 本节是「用」的课，错往往不在计算，而在判断与表述。下面把六条最常出错的「错误做法」与对应的「正确做法」列出来（图 8），建议逐条对照。 图 8　易错辨析：常见错误做法 vs 正确做法——先判乘积一定，再设 ；实际问题只取第一象限，取值范围别写反 把这六条「错误做法」反过来读，就是本节的六条正确做法： ① 先判断乘积是否一定：乘积一定才是反比例，比值一定才是正比例； ② 求 时，代入「乘积一定」的那一对量， 就是它们的乘积； ③ 实际问题中自变量与函数值常为正，图象只取第一象限一支，不画第三象限； ④ 说增减性必须带上「在每个象限内」； ⑤ 求取值范围先写清自变量的实际限制，再由增减性定出上下界，不要写反； ⑥ 代入前先统一单位（如 Ω 与 kΩ），再代入数据求 。 九、方法总结与记忆支架 把整节内容收成「一个判断、一份式子、一类作答」，再配上三句口诀（图 9），本节就装进脑子里了。 图 9　方法总结：一个判断（乘积一定）、一份式子（设 求 ）、一类作答（求值、求范围、同象限比大小） 十、课后巩固 下面 6 道题都在本节范围内：列关系式、求 k、求取值范围、读图象、判断函数类型。做完再看参考答案。 题号 题目 1 一水池蓄水 60 立方米 为定值，排水速度 （单位：立方米每时）与排空时间 （单位：时）成反比。写出 与 的关系式；若要在 5 时 内排完，排水速度至少多少？ 2 一块矩形绿地的面积为 100 平方米，长 （单位：米）随宽 （单位：米）变化。写出 与 的关系式；若宽不超过 10 米，长至少多少？ 3 反比例函数 的图象经过点 ，求 并写出解析式；再求 时的函数值。 4 某电源电压 一定，电流 与电阻 成反比。已知 时 。求电压 ；若要求电流不超过 2 A，电阻至少多少？ 5 反比例函数 的图象经过点 ，求 及当 时的函数值。 6 已知 与 成反比例，当 时 。求 与 的关系式，并判断 是 的什么函数。 参考答案 1. ；在 5 时 内排完，即 ，速度 越大时间越短，当 时 ，所以排水速度至少 12 立方米每时。 2. ；宽不超过 10 米，即 ，宽越大长越短，当 时 ，所以长至少 10 米。 3. ，；当 时 。 4. ，；电流不超过 2 A，即 ，电流随电阻增大而减小，当 时 ，所以电阻至少 15 Ω。 5. ，；当 时 。 6. 设 ，，所以 ； 是 的反比例函数。 十一、技能自查（学完本节，你能做到几条） □ 能从实际问题中判断两个量「乘积一定」，并设出反比例函数的解析式。 □ 会由一组已知数据求出 k，写出反比例函数的解析式。 □ 会用解析式求某个量的值：当 x = … 时，y = …。 □ 会由实际限制与增减性，求出函数值的取值范围。 □ 知道实际问题中自变量常取正值，图象只画第一象限一支。 □ 会读图象：由图象上一点求 k，再写解析式。 □ 能说清「乘积一定」是反比例、「比值一定」是正比例，不再混淆。 □ 知道建模三步：设（判断乘积一定）→ 求（由数据求 ）→ 用（求值、求范围）；并且知道实际问题中图象只取第一象限一支。 十二、知识追问（想一想，能说清才算懂） 追问 1　怎样判断两个量成反比例？ 看它们的「乘积」是不是定值。例如电压一定时，无论电阻怎样变化， 始终不变（都是 36），所以 与 成反比例。反之，若两个量的「比值」一定（如路程与时间之比是速度），那就成正比例，不要与反比例混淆。 追问 2　实际问题中，图象为什么只取第一象限？ 因为实际问题里的量通常都是正数：电阻、时间、速度、面积都不会取负值，自变量与函数值都为正，所以图象只在第一象限。负数那一支虽然在数学上存在，但在实际情境中没有意义，故不画。 追问 3　求取值范围时，为什么既要看增减性、又要看实际限制？ 单靠增减性只能知道「谁大谁小」，不能确定边界；必须先用实际限制找到自变量的端点（如电阻的下限 12 Ω），再借增减性把端点的函数值算出来，才能定出范围的上下界。两者缺一不可。 十三、章内位置与中考对接 27.3 是第二十七章《反比例函数》的最后一节（应用节）。27.1 学了「什么是反比例函数、怎样求解析式」，27.2 学了「画图象、归纳性质」，本节把反比例函数用到真实情境里。本节之后是本章的「数学活动」与「小结」，不再有新课。 中考中，本节内容常以小题形式出现：从实际情境列出反比例函数、由图象上一点求 、求某个量的值、求取值范围、在同一象限内比较大小、结合增减性说明理由。它是后续综合应用的基础，但本清单只做「单一反比例函数」的建模与求解。 ★ 本节边界：本节只研究「一个反比例函数」的建模与应用。与其它函数结合、或更复杂的实际情境，会在本章复习或后续内容中出现，本清单暂不纳入。 学科网（北京）股份有限公司 $