奥数思维培优 第13讲 棋盘格计数·网格计数（讲义）-2026-2027学年六年级上册数学人教版

人教版 · 六年级奥数思维培优 第13讲 棋盘格计数 · 网格计数 —— ★ ★ ★ ★ ★ —— 一、课程信息 项目 内容 讲次 第13讲 专题 棋盘格计数——网格计数 适用年级 小学六年级 建议课时 1课时（60分钟） 难度星级 ★★★★☆ 前置知识 数线段；乘法原理；加法原理 核心方法 分类计数；标数法 二、学习目标 维度 目标 知识与技能 掌握数长方形、数正方形、网格路线的公式与方法。 过程与方法 经历“分类→计数→验证”的思维过程。 思维品质 培养有序分类和不重不漏的能力。 情感应用 感受几何计数中的对称之美。 三、情境导入 小明在作业本上画了一个3行4列的方格网。他问小红：这个网格里一共有多少个长方形？ 动脑筋：是12个？还是更多？ 悬念：一个小方格也是长方形，2×2的大方格也是长方形……怎么数才不重不漏？ 图1 方格网 今天我们就来学习网格中的计数方法。 四、知识导航 网格计数三大利器： 图2 三大计数方法 类型 方法 关键公式 举例 数长方形 横线选2条×竖线选2条 2×3格：3×6=18 数正方形 按边长分类 3×3格：9+4+1=14 网格路线 标数法 每格=之和 3×3格：20条 五、易错辨析 常见错误 正确做法 只数小格子 大小都要数，分类列举 长方形正方形混淆 长方形任意，正方形要求边长相等 路线只数一种 标数法逐格标，加法原理 重复或遗漏 按大小/方向有序分类 六、典例精讲 本讲安排6道例题，从数长方形到网格路线，循序渐进；每例后附一道变式练习。 例1【数长方形】 题目：一个2行3列的方格网（即2×3个小长方形），图中共有多少个长方形？ 分析：长方形由两条横线和两条竖线决定。横向3条线选2条，纵向4条线选2条。 详解： 横向有3条线（2行→3条横线），选2条有 2+1=3 种。 纵向有4条线（3列→4条竖线），选2条有 3+2+1=6 种。 每个横线组合和竖线组合确定一个长方形。 共 3×6=18（个）长方形。 图3 2×3方格网 方法点睛：m行n列网格中，长方形数 。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：一个3行4列的方格网，共有多少个长方形？ 解答： 横向4条线选2条：3+2+1=6；纵向5条线选2条：4+3+2+1=10。 共6×10=60（个）。 点拨：与例1同法：横选2×竖选2。 例2【数正方形·3×3】 题目：一个3×3的方格网，图中共有多少个正方形？ 分析：正方形要求边长相等，按边长分类：1×1、2×2、3×3。 详解： 1×1的小正方形：3×3=9个。 2×2的正方形：横向2个位置，纵向2个位置，共2×2=4个。 3×3的大正方形：1个。 共 9+4+1=14（个）。 图4 3×3方格网 方法点睛：n×n方格网中正方形数 。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：一个4×4的方格网，共有多少个正方形？ 解答： 1×1：16个；2×2：9个；3×3：4个；4×4：1个。 共16+9+4+1=30（个）。 点拨：与例2同法：按边长分类数。 例3【数正方形·长方形网格】 题目：一个2行3列的方格网（2×3），图中共有多少个正方形？ 分析：正方形要求边长相等。1×1的有2×3=6个；2×2的横向2个位置、纵向1个位置，共2×1=2个。 详解： 1×1的正方形：2行×3列=6个。 2×2的正方形：横向占2列，有2个位置；纵向占2行，有1个位置。共2×1=2个。 没有3×3的（只有2行）。 共 6+2=8（个）。 图5 2×3方格网 方法点睛：m行n列网格中，正方形数 直到某一边为0。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：一个3行4列的方格网，共有多少个正方形？ 解答： 1×1：12个；2×2：2×3=6个；3×3：1×2=2个。共12+6+2=20（个）。 点拨：与例3同法：按边长分类。 例4【网格路线·标数法】 题目：在3×3的方格网中，从左下角A走到右上角B，只能向右或向上走，共有多少条最短路线？ 分析：用标数法：每个点的路线数=从左边来的+从下边来的（加法原理）。 详解： 起点A标1。 第一行和第一列都只能一直走，都标1。 中间各点：上点=左点+下点之和。 逐格标数：(1,1)=2，(1,2)=3，(2,1)=3，(2,2)=6…… 终点B标20。共20条最短路线。 图6 标数法 方法点睛：标数法：每格数字=左邻+下邻之和。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：在2×3的方格网中，从左下到右上，只向右或向上走，有多少条路线？ 解答： 标数法：第一行第一列都为1，逐格相加。终点=10条。 点拨：与例4同法：标数法。 例5【数三角形·共顶点】 题目：从三角形顶点A向底边BC画了3条线段，把底边分成4段。图中共有多少个三角形？ 分析：每个三角形顶点都是A，底边在BC上。底边上线段数=三角形个数。 详解： 底边上有5个点（含B、C）。 线段数 = 4+3+2+1=10。 每条底边线段对应一个三角形。 共10个三角形。 图7 数三角形 方法点睛：共顶点的三角形数=底边上线段总数。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：从顶点向底边画了4条线段，把底边分成5段。共多少个三角形？ 解答： 底边6个点：5+4+3+2+1=15（个三角形）。 点拨：与例5同法：数底边线段。 例6【综合·带线网格】 题目：一个3行4列的方格网中，共有多少个长方形？多少个正方形？ 分析：长方形用横选2×竖选2；正方形按边长分类。 详解： 长方形：横向4线选2=3+2+1=6；纵向5线选2=4+3+2+1=10。共6×10=60个。 正方形：1×1=3×4=12个；2×2=2×3=6个；3×3=1×2=2个。 正方形共12+6+2=20个。 图8 3×4方格网 方法点睛：长方形和正方形分开算：长方形用组合法，正方形按边长分类。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：一个4行5列的方格网，共有多少个长方形？ 解答： 横向5线选2=10；纵向6线选2=15。共10×15=150（个）。 点拨：与例6同法：横选2×竖选2。 七、真题进阶（名校小升初） 真题1【数长方形综合】（某名校小升初真题） 题目：一个4×4的方格网中，共有多少个长方形？多少个正方形？ 分析：长方形用组合法，正方形按边长分类。 详解： 长方形：横向5线选2=4+3+2+1=10；纵向同=10。共10×10=100个。 正方形：1×1=16；2×2=9；3×3=4；4×4=1。 正方形共16+9+4+1=30个。 方法点睛：n×n网格：长方形，正方形=1²+2²+…+n²。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：一个5×5的方格网，共有多少个正方形？ 解答： 25+16+9+4+1=55（个）。 点拨：与真题1同法：按边长分类。 真题2【网格路线】（某重点中学分班考试真题） 题目：在4×4的方格网中，从左下角到右上角，只能向右或向上，有多少条最短路线？ 分析：标数法逐格标数。 详解： 第一行和第一列都标1。 逐格相加，最终终点=70。 也可用公式：8步中选4步向右=C(8,4)=70。 方法点睛：m×n网格路线数。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：在3×4的方格网中，从左下到右上，有多少条最短路线？ 解答： 7步中选3步向右：C(7,3)=35条。 点拨：与真题2同法：组合法。 八、方法总结表 类型 公式 举例(m×n) 说明 长方形 2×3：3×6=18 横选2×竖选2 正方形(m×n) 2×3：6+2=8 按边长分类 正方形(n×n) 3×3：14 平方和公式 网格路线 3×3：20 6选3=20 九、解题口诀 网格计数有方法，长方形来选两条线； 横线选二竖线二，两两搭配不重不漏； 正方形来按边数，一二三四往下加； 网格路线用标数，左邻下邻加起来。 十、分层训练 A组 基础过关（5题） A1. 一个2×2方格网，共有多少个长方形？ A2. 一个3×3方格网，共有多少个正方形？ A3. 一个1×3方格网，共有多少个长方形？ A4. 一个2×2方格网，共有多少个正方形？ A5. 在2×2网格中从左下到右上，只向右或向上，有多少条路线？ B组 能力提升（5题） B6. 一个3×4方格网，共有多少个长方形？ B7. 一个4×4方格网，共有多少个正方形？ B8. 一个2×5方格网，共有多少个正方形？ B9. 在3×4网格中从左下到右上，有多少条最短路线？ B10. 一个3×3方格网，共有多少个长方形？ C组 思维挑战（5题） C11. 一个5×5方格网，共有多少个长方形？ C12. 一个4×5方格网，共有多少个正方形？ C13. 在4×5网格中从左下到右上，有多少条最短路线？ C14. 一个3×3方格网中，长方形比正方形多几个？ C15. 在2×3网格中从左下到右上，有多少条最短路线？ 十一、参考答案与详细解析 A1 横向3线选2=3，纵向3线选2=3。3×3=9（个）。 A2 9+4+1=14（个）。 A3 横向2线选2=1，纵向4线选2=6。1×6=6（个）。 A4 4+1=5（个）。 A5 标数法：终点=6条。 B6 横4线选2=6，纵5线选2=10。6×10=60（个）。 B7 16+9+4+1=30（个）。 B8 1×1：10个；2×2：4个。共14个。 B9 7步中选3步向右：C(7,3)=35条。 B10 横4线选2=6，纵4线选2=6。6×6=36（个）。 C11 横6线选2=15，纵6线选2=15。15×15=225（个）。 C12 1×1=20；2×2=12；3×3=6；4×4=2。共40个。 C13 9步中选4步向右：C(9,4)=126条。 C14 长方形36个−正方形14个=22个。 C15 5步中选2步向右：C(5,2)=10条。 十二、本讲小结 本讲核心是网格中的计数：长方形用“横选2×竖选2”组合法，正方形按边长分类累加，网格路线用标数法（每格=左+下）。 关键是分类有序、不重不漏。 十三、易错警示与学习建议 易错点 提醒 只数小格 大小都要数，分类列举 长方形正方形混淆 长方形任意，正方形边长相等 路线数错方向 只能向右或向上，不能走回头路 标数漏格 从起点开始逐格标，不跳格 【学习建议】本讲建议在方格本上画一画、数一数。 祝贺你完成本专辑全部讲义的学习，为自己加油吧！少年！ 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $