奥数思维培优 第6讲 巧求面积·割补平移（讲义）-2026-2027学年六年级上册数学人教版

人教版 · 六年级上册奥数思维培优★ ★ ★ ★ ★ 第6讲 巧求面积 · 割补平移 一、课程信息 项目 内容 讲次 第6讲 专题 巧求面积——割补平移法 适用年级 小学六年级 建议课时 1课时（60分钟） 难度星级 ★★★★☆ 前置知识 长方形、正方形、三角形面积公式；平行四边形 核心方法 割补法；平移法；旋转法；等积变换；重叠面积 二、学习目标 维度 目标 知识与技能 掌握割补、平移、旋转三种求面积方法；会求组合图形和阴影面积。 过程与方法 经历“不规则→规则”的转化过程；学会画辅助线和割补示意图。 思维品质 培养转化思想和空间想象能力。 情感应用 感受面积变换在生活中的应用（铺地砖、绿化等）。 三、情境导入 学校有一块不规则形状的花坛，总务处想计算它的面积来买草皮。 动脑筋：这块地不是规则的长方形，怎么算面积呢？ 悬念：如果把缺的角补上变成一个大长方形，再减去补上的部分，是不是就可以了？ 图1 不规则花坛 这就是“割补法”的核心思想：把不规则图形转化为规则图形来计算。 四、知识导航 求面积的五大法宝： 图2 巧求面积三剑客 方法 适用图形 关键操作 公式思路 割补法 L形、缺角形 补成大图形再减去补上的部分 总面积−补的面积 平移法 含小路的矩形 把小路平移到边上，拼出新矩形 新长×新宽 旋转法 含半圆、扇形 旋转后拼成规则图形 直接算规则图形 等积变换 同底等高三角形 底等高相等则面积相等 直接替换 重叠面积 两个图形重叠 总面积=A+B−重叠部分 容斥原理 五、易错辨析 常见错误 正确做法 割补时多减或漏减 补的部分要单独算清楚 平移方向搞反 小路平移后长和宽要对应 重叠部分重复计算 总面积=A+B−重叠部分 忘记除以2 三角形面积要÷2 六、典例精讲 本讲安排6道例题，从基础割补到综合应用，循序渐进；每例后附一道变式练习。 例1【割补法·L形补矩形】 题目：一个L形图形，外轮廓长6cm、高4cm，缺角部分是一个2cm×2cm的小正方形。求图形面积。 分析：把L形补成一个6×4的大长方形，再减去补上的2×2小正方形。 详解： 第一步：补成大长方形，面积=6×4=24。 第二步：补上的小正方形面积=2×2=4。 第三步：L形面积=24−4=20。 图3 L形割补 方法点睛：补法：大图形−补上的部分。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：L形外轮廓长8cm、高5cm，缺角是3cm×2cm的长方形。面积多少？ 解答： 大长方形=8×5=40；补上=3×2=6；原图形=40−6=34。 点拨：与例1同法：大长方形−补的部分。 例2【平移法·小路问题】 题目：一块长方形草地长20米、宽12米，中间有一条1米宽的曲折小路。求草地面积。 分析：把小路平移到边上，草地拼成一个新的长方形。 详解： 小路宽1米，平移后新长=20−1=19米。 新宽=12−1=11米。 草地面积=19×11=209平方米。 图4 小路平移 方法点睛：平移法：小路占多少就减多少，拼出新矩形。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：长方形地长15米、宽10米，中间有1米宽十字小路。草地面积多少？ 解答： 新长=15−1=14，新宽=10−1=9；面积=14×9=126平方米。 点拨：与例2同法：十字小路平移后各减1米。 例3【旋转法·半圆拼接】 题目：正方形边长4cm，以一组对边为直径向内作两个半圆，旋转后求阴影面积。 分析：把左半圆旋转180°拼到右侧，阴影拼成一个长方形。 详解： 正方形边长4cm，半圆半径=4÷2=2cm。 旋转后阴影拼成一个4×2的长方形。 阴影面积=4×2=8。 图5 半圆旋转 方法点睛：旋转法：图形转个方向就能拼成熟悉的形状。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：正方形边长6cm，两个半圆旋转后拼成矩形。阴影面积多少？ 解答： 半径=3cm，拼成6×3的矩形；面积=6×3=18。 点拨：与例3同法：旋转后拼成矩形。 例4【等积变换·同底等高】 题目：两条平行线间有两个三角形，底相同，高都是两条线之间的距离。它们面积相等吗？ 分析：三角形面积=底×高÷2，底等高相等则面积相等。 详解： 三角形面积公式=底×高÷2。 两个三角形底相同，高都是平行线距离h。 所以面积=底×h÷2，两个三角形面积相等。 图6 同底等高 方法点睛：等积变换：同底等高的三角形面积相等，可互相替换。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：两个三角形同底等高，第一个面积24平方厘米，第二个面积多少？ 解答： 同底等高等积，第二个=24平方厘米。 点拨：与例4同法：等积直接替换。 例5【重叠面积·容斥原理】 题目：两个边长4cm的正方形部分重叠，重叠部分是2cm×1cm的长方形。覆盖总面积多少？ 分析：覆盖总面积=两个正方形面积之和−重叠部分。 详解： 两个正方形面积=4×4×2=32。 重叠部分=2×1=2。 覆盖总面积=32−2=30。 图7 重叠面积 方法点睛：重叠部分被算了两次，要减去一次。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：两个边长5cm的正方形重叠，重叠部分2×3。总面积多少？ 解答： 两个正方形=25×2=50；重叠=6；总面积=50−6=44。 点拨：与例5同法：A+B−重叠。 例6【组合图形·割补综合】 题目：一个梯形上底2cm、下底5cm、高3cm，旁边接一个底3cm、高2cm的三角形。总面积多少？ 分析：分别算梯形和三角形，再相加。 详解： 梯形面积=(2+5)×3÷2=7×3÷2=10.5。 三角形面积=3×2÷2=3。 总面积=10.5+3=13.5。 图8 组合图形 方法点睛：组合图形：分块计算再求和。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：梯形上底3下底6高4，旁边三角形底4高3。总面积多少？ 解答： 梯形=(3+6)×4÷2=18；三角形=4×3÷2=6；总面积=24。 点拨：与例6同法：分块求和。 七、真题进阶（名校小升初） 真题1【阴影面积割补】（某名校小升初真题） 题目：长方形长10cm、宽6cm，内部有一个L形空白。L形竖条宽2cm，横条宽2cm。求阴影面积。 分析：把L形补成大长方形，减去空白面积。 详解： 大长方形=10×6=60。 空白竖条=2×6=12，空白横条=2×(10−2)=16。 空白合计=12+16=28。 阴影=60−28=32。 方法点睛：割补法求阴影：大面积−空白面积。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：长方形8×5，L形空白竖条1宽横条1。阴影多少？ 解答： 大=40；空白=1×5+1×7=12；阴影=28。 点拨：与真题1同法：大−空白。 真题2【道路平移】（某重点中学分班考试真题） 题目：一个长方形花坛长18米、宽10米，中间有一条2米宽的斜向道路。求种花面积。 分析：道路宽2米，平移后拼成新矩形。 详解： 道路宽2米，平移后新长=18−2=16米。 新宽=10−2=8米。 种花面积=16×8=128平方米。 方法点睛：道路平移：宽度固定，平移后拼新矩形。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：长方形地15×10，道路宽1.5米。种花面积多少？ 解答： 新长=15−1.5=13.5，新宽=10−1.5=8.5；面积=13.5×8.5=114.75平方米。 点拨：与真题2同法：平移后新长新宽相乘。 八、方法总结表 方法 适用 关键 公式 割补法 不规则缺角 补大再减小 大面积−补上部分 平移法 含道路/小路 道路平移到边 新长×新宽 旋转法 半圆/扇形 旋转拼接 拼成规则图形 等积变换 同底等高 面积相等替换 直接用已知面积 重叠面积 两图形重叠 减去重叠一次 A+B−重叠 九、解题口诀 求面积并不难，割补平移是关键； 缺角补成大矩形，再把补的部分减； 小路平移到旁边，道路宽度先扣除； 重叠部分只算一，等积替换省时间。 十、分层训练 A组 基础过关（5题） A1. L形外轮廓6×4，缺角2×2，面积多少？ A2. 长方形15×10，中间1米宽小路，草地面积？ A3. 正方形边长6，旋转后拼成矩形，阴影面积？ A4. 两个三角形同底等高，一个面积30，另一个多少？ A5. 两个正方形5×5重叠，重叠部分2×2，总面积？ B组 能力提升（5题） B6. L形外轮廓8×5，缺角3×2，面积多少？ B7. 长方形20×12，十字小路宽1，草地面积？ B8. 梯形上底4下底8高5，面积多少？ B9. 两个正方形6×6重叠，重叠3×2，总面积？ B10. 长方形10×6，L形空白竖2横2，阴影多少？ C组 思维挑战（5题） C11. 长方形12×8，斜路宽2，种花面积多少？ C12. 组合图形：梯形上3下7高4+三角形底5高3，总面积？ C13. 正方形边长8，半圆旋转后拼成矩形，阴影多少？ C14. 两个长方形重叠求总面积，各5×4，重叠部分2×1。总面积多少？ C15. 不规则多边形割补：大矩形10×7减去两个三角形底3高4和底2高5，面积？ 十一、参考答案与详细解析 A组 基础过关（5题） A1 大=6×4=24；补=2×2=4；面积=24−4=20。 A2 新长=15−1=14，新宽=10−1=9；面积=14×9=126平方米。 A3 半径=3，拼成6×3；面积=6×3=18。 A4 同底等高等积，另一个=30平方厘米。 A5 两个=25×2=50；重叠=4；总面积=50−4=46。 B组 能力提升（5题） B6 大=8×5=40；补=3×2=6；面积=40−6=34。 B7 新长=19，新宽=11；面积=19×11=209平方米。 B8 梯形=(4+8)×5÷2=12×5÷2=30。 B9 两个=36×2=72；重叠=6；总面积=72−6=66。 B10 大=60；空白=2×6+2×8=28；阴影=60−28=32。 C组 思维挑战（5题） C11 新长=12−2=10，新宽=8−2=6；面积=10×6=60平方米。 C12 梯形=(3+7)×4÷2=20；三角形=5×3÷2=7.5；总面积=27.5。 C13 半径=4，拼成8×4；面积=8×4=32。 C14 两个=20×2=40；重叠=2×1=2；总面积=40−2=38。 C15 大=10×7=70；三角形1=3×4÷2=6；三角形2=2×5÷2=5； 面积=70−6−5=59。 十二、本讲小结 本讲核心是“转化”思想：把不规则图形转化为规则图形来计算。 割补法补大减小，平移法把道路移到边上，旋转法把半圆拼成矩形，等积变换替换三角形，重叠面积用容斥原理。 十三、易错警示与学习建议 易错点 提醒 割补漏减补上部分 大图形−补的部分才算原面积 平移方向搞反 道路宽几就减几，方向不影响结果 重叠部分重复算 A+B−重叠部分 三角形忘÷2 三角形面积=底×高÷2 学习建议：本讲建议课后多画割补示意图，重点练L形补矩形和道路平移；下讲学习“分数除法应用”，继续探索数与代数领域的奥秘。 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $