奥数思维培优 第7讲 分数除法应用·量率逆推（讲义）-2026-2027学年六年级上册数学人教版

人教版 · 六年级奥数思维培优★ ★ ★ ★ ★ 第7讲 分数除法应用 · 量率逆推 一、课程信息 项目 内容 讲次 第7讲 专题 分数除法应用——量率逆推 适用年级 小学六年级 建议课时 1课时（60分钟） 难度星级 ★★★★☆ 前置知识 分数乘法；单位1的判断；量率对应 核心方法 已知量÷对应分率=单位1；逆推法；量率差对应 二、学习目标 维度 目标 知识与技能 掌握量率逆推；会用除法求单位1；能解决比多比少和逆推问题。 过程与方法 经历“量→率→单位1”的对应过程；学会画线段图。 思维品质 培养逆向思维和量率对应思想。 情感应用 感受分数除法在生活中的应用。 三、情境导入 小明看一本故事书，已经看了全书的，正好是60页。 动脑筋：这本书一共有多少页？ 悬念：知道部分（60页），求整体（全书），该用乘法还是除法？ 图1 量率对应线段图 当单位1未知时，用除法：对应量÷对应分率=单位1。这就是本讲的核心。 四、知识导航 量率逆推四种类型： 图2 量率逆推四类型 类型 已知 求 公式 基本型 单位1的几分之几是多少 单位1 已知量÷分率 比多型 比单位1多几分之几是多少 单位1 已知量÷(1+分率) 比少型 比单位1少几分之几是多少 单位1 已知量÷(1−分率) 逆推型 用去几分之几后剩多少 原有 剩余÷(1−分率) 五、易错辨析 常见错误 正确做法 单位1未知用乘法 单位1未知用除法 比多比少搞反 比多用(1+分率)，比少用(1−分率) 量率不对应 找准确已知量对应哪个分率 逆推用正推 逆推要从结果倒着算 六、典例精讲 本讲安排6道例题，从基本量率到综合逆推，循序渐进；每例后附一道变式练习。 例1【基本量率对应】 题目：一本书的是60页，求全书多少页？ 分析：单位1是全书页数，未知。60页对应，用除法。 详解： 全书页数=60÷=60×=100页。 答：全书共100页。 图3 基本量率对应 方法点睛：单位1未知：已知量÷对应分率。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：一桶油的是40千克，这桶油多少千克？ 解答： 40÷=40×=60千克。 点拨：与例1同法：已知量÷分率=单位1。 例2【比单位1多】 题目：果园里有桃树50棵，比梨树多。梨树多少棵？ 分析：桃树=梨树×(1+)=梨树×。梨树是单位1。 详解： 梨树=50÷(1+)=50÷=50×=40棵。 答：梨树40棵。 图4 比单位1多 方法点睛：比多用(1+分率)作除数。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：小明有60元，比小红多。小红多少元？ 解答： 60÷(1+)=60÷=50元。 点拨：与例2同法：比多→(1+分率)。 例3【逆推问题】 题目：一袋大米，用去后还剩40千克。这袋大米原有多少千克？ 分析：剩下40千克对应(1−)=。 详解： 原有=40÷(1−)=40÷=40×=60千克。 答：原有60千克。 图5 逆推还原 方法点睛：用去几分之几→剩(1−分率)，用除法。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：一根绳子剪去后剩12米。原长多少？ 解答： 12÷(1−)=12÷=20米。 点拨：与例3同法：剩余÷(1−用去分率)。 例4【连续分率】 题目：一堆煤，第一天用去总数的，第二天用去余下的，还剩10吨。原有多少吨？ 分析：第一天剩，第二天用余下，剩余下的。 详解： 第二天后剩=总数××=总数×。 总数=10÷=30吨。 答：原有30吨。 图6 连续分率 方法点睛：逐步找剩余对应分率。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：一本书，第一天看，第二天看余下，剩60页。全书？ 解答： 剩=1××=；全书=60÷=120页。 点拨：与例4同法：逐步乘剩余分率。 例5【量率差对应】 题目：某数的比它的多10。求这个数。 分析：10对应(−)=。 详解： 这个数=10÷(−)=10÷=120。 答：这个数是120。 图7 量率差对应 方法点睛：量差÷率差=单位1。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：某数的比它的多4。求这个数。 解答： 率差=−=；这个数=4÷=60。 点拨：与例5同法：量差÷率差。 例6【综合应用】 题目：学校图书馆有故事书、科技书、连环画共120本。故事书占，科技书占。连环画多少本？ 分析：连环画对应(1−−)。 详解： 连环画对应分率=1−−=。 连环画=120×=32本。 答：连环画32本。 图8 综合应用 方法点睛：先求未知分率，再乘总数。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：三种树共90棵，桃树占，梨树占。苹果树多少棵？ 解答： 苹果树分率=1−−=；90×=24棵。 点拨：与例6同法：先求分率再乘总数。 七、真题进阶（名校小升初） 真题1【量率逆推】（某名校小升初真题） 题目：一根钢管，第一次截去全长的，第二次截去米，还剩。原长多少米？ 分析：第二次截去的米对应(1−−)。 详解： 第二次对应分率=1−−=。 原长=÷=米。 答：原长米。 方法点睛：具体数量÷对应分率=单位1。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：一根绳，第一次截，第二次截2米，剩。原长？ 解答： 第二次对应=1−−=；原长=2÷=12米。 点拨：与真题1同法：找具体量对应分率。 真题2【逆推还原】（某重点中学分班考试真题） 题目：一桶油，第一次倒出，第二次倒出5千克，还剩一半。原有多少千克？ 分析：第二次倒出的5千克对应(1−−)。 详解： 第二次对应分率=1−−=。 原有=5÷=30千克。 答：原有30千克。 方法点睛：具体量÷对应分率=单位1。 变式练习（同方法 · 换情境） 变式题：一筐苹果，先拿，再拿6个，剩一半。原有多少？ 解答： 第二次对应=1−−=；原有=6÷=24个。 点拨：与真题2同法：找对应分率。 八、方法总结表 类型 已知 公式 关键词 基本型 单位1的几分之几是多少 已知量÷分率 是多少 比多型 比单位1多几分之几 已知量÷(1+分率) 比…多 比少型 比单位1少几分之几 已知量÷(1−分率) 比…少 逆推型 用去几分之几后剩多少 剩余÷(1−分率) 还剩 量差型 两个分率的差对应具体量 量差÷率差 多/少… 九、解题口诀 分数除法并不难，量率对应是关键； 单位1未知用除法，已知量÷对应率； 比多就加1，比少就减1； 逆推先找剩几分，逐步对应算到底。 十、分层训练 A组 基础过关（5题） A1. 一个数的是30，求这个数。 A2. 甲数比乙数多，甲数是30，乙数多少？ A3. 一堆煤用去后剩18吨，原有多少？ A4. 某数的比它的少5，求这个数。 A5. 一本书看了是40页，全书多少页？ B组 能力提升（5题） B6. 一袋米吃了后剩25千克，原有多少？ B7. 男生比女生少，男生24人，女生多少？ B8. 第一天用，第二天用余下，剩20吨，原有？ B9. 某数的比它的多10，求这个数。 B10. 三种水果共60kg，苹果占，香蕉占，梨多少kg？ C组 思维挑战（5题） C11. 一根绳第一次截，第二次截2米，剩，原长？ C12. 一桶油第一次倒，第二次倒8千克，剩一半，原有？ C13. 一本书第一天看，第二天看余下，剩80页，全书？ C14. 某数的比它的多6，求这个数。 C15. 零件共120个，甲组做，乙组做，丙组做多少个？ 十一、参考答案与详细解析 A1 30÷=30×=40。 A2 30÷(1+)=30÷=25。 A3 18÷(1−)=18÷=30吨。 A4 5÷(−)=5÷=30。 A5 40÷=100页。 B6 25÷(1−)=25÷=40千克。 B7 24÷(1−)=24÷=32人。 B8 剩=1××=；原有=20÷=60吨。 B9 10÷(−)=10÷=24。 B10 梨分率=1−−=；60×=25kg。 C11 第二次对应=1−−=；原长=2÷=8米。 C12 第二次对应=1−−=；原有=8÷=48千克。 C13 剩=1××=；全书=80÷=160页。 C14 6÷(−)=6÷=60。 C15 丙组分率=1−−=；120×=32个。 十二、本讲小结 本讲核心是量率逆推：单位1未知时，用已知量除以对应分率。 比多加(1+分率)，比少减(1−分率)，逆推找剩余分率，量差除以率差。 关键是找准已知量对应哪个分率。 十三、易错警示与学习建议 易错点 提醒 单位1未知用乘法 单位1未知用除法 比多比少搞反 比多(1+)，比少(1−) 量率不对应 先画线段图找对应分率 逆推方向错 从结果倒着算 【学习建议】本讲建议课后多画线段图，重点练逆推和连续分率；下讲我们来学习“周期与推理”，研究周期现象。 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $