专题10 一次函数与几何图形的综合问题11大题型62题（期中专项训练）八年级数学上学期新教材北师大版

专题10 一次函数与几何图形的综合问题 基础·固本强基 题型1 一次函数与三角形的面积问题（重点） 题型2 一次函数中的规律探究问题（重点） 提升·进阶突破 题型3 一次函数中折叠的综合问题（重点） 题型4 一次函数中分段函数探究问题（难点） 拔高·压轴破难 题型5 一次函数中求线段和最值问题（难点） 题型6 一次函数中的新定义型综合问题（难点） 题型7 一次函数与三角形全等综合问题（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 一次函数与三角形的面积问题（共13小题） 【模型】一次函数图象与坐标轴围成三角形，用交点坐标求底和高算面积。 【步骤】先求直线与两坐标轴交点坐标，得三角形底和高，用面积公式计算，或由面积反求点坐标或解析式。 【易错】底和高取交点坐标绝对值，勿用负值；注意三角形可能在坐标轴两侧；由面积求点时多解要讨论，别漏情况。 1．（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图，在平面直角坐标系中，点在一次函数的图象上． (1)求点的坐标． (2)点和点都在轴上，当的面积是时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了正比例函数图像上的点的坐标特征，把点代入求出，得，设点，表示出，以为底，高是A点纵坐标6，根据三角形面积求得m的值，进而写出点C坐标． 【详解】（1）解∶ )在一次函数的图象上， ． 点的坐标． （2）解：设点C的坐标为， ， ． ． 解得或． 点C的坐标是或． 2．（25-26八年级上·甘肃张掖·期中）如图，直线上与轴、轴分别交于两点，于点，点为直线上不与点重合的一个动点． (1)点坐标为（   ）；点坐标为（   ）； (2)线段的长； (3)当的面积是时，求点的坐标． 【答案】(1), (2) (3)点的坐标为或 【分析】本题考查一次函数的坐标、线段长度及面积问题，运用代数运算与几何结合思想， （1）通过坐标轴上点的特征求坐标； （2）用勾股定理和三角形面积公式求线段长； （3）设点坐标结合面积公式列方程求解； 关键是熟练一次函数性质和几何公式，易错点是忽略绝对值导致漏解；解题思路：（1）分别令为0求坐标；（2）先算长，再用面积法求；（3）设坐标，用面积公式列方程求坐标． 【详解】（1）解：令代入，解得，则点坐标为 令代入，解得点坐标为； 故答案为：,； （2）由（1）得； 根据的面积得其中， 所以，解得    ； 故． （3）设点的坐标为的面积以为底，且， 点到轴的距离为， 则 解得 当时，点的坐标为 当时，点的坐标为 故点的坐标为或． 3．（25-26八年级上·河南郑州·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于，两点．点从点出发，沿射线以每秒2个单位长度的速度运动，同时点从点出发，沿射线以每秒1个单位长度的速度运动．设运动时间为秒． (1)求，两点的坐标及线段的长； (2)当时，连接，求的面积． 【答案】(1)点的坐标为，点的坐标为，线段的长为10 (2)的面积为6 【分析】本题考查了一次函数的性质． （1）先将、代入中，求出求，两点的坐标，再根据两点间的距离公式计算即可； （2）求出当时，，，则，，根据三角形面积公式计算即可． 【详解】（1）解：将代入中，可得，解得，所以点的坐标为． 将代入中，可得，所以点的坐标为． 由点、点，可知，， 在中，由勾股定理得：； （2）解：当时，由图可知，，， 则，， 所以的面积，因此，的面积为6． 4．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴、轴交于点，，点是线段上的一个动点（不与点和点重合），过作轴交直线于点，使，设点的横坐标为． (1)当时，求的值； (2)若点在直线上，且满足，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查一次函数的图象和性质，面积问题，理解题意，作出辅助线，综合运用一次函数的性质是解题关键． （1）根据题意得出，再由题意确定，得出方程求解即可； （2）设，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）解：∵点C的横坐标为t， ∴， 当时，， ∴． ∵， ∴， ∴， 由得：， 解得：； （2）解：∵点F在直线上， ∴设， ∵， ∴， ∴， ∴点F的坐标为或． 5．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴、轴交于点，，点是线段上的一个动点（不与点，点重合），过点作轴的垂线交直线于点，在射线上取点，使，设点的横坐标为． (1)求，两点的坐标； (2)若的面积等于面积的一半，求的值． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）分别令、，求出对应的、，即可求解； （2）先确定，，得，然后分别求得，，然后建立关于的方程进行求解，继而得到关于的方程，可得答案． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象分别与轴、轴交于点，， 当时，；当时，， ∴，； （2）∵点是线段上的一个动点（不与点，点重合），过点作轴的垂线交直线于点，设点的横坐标为， ∴， ∵在射线上取点，使， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ， ∵的面积等于面积的一半，即， ∴， ∴， ∴， 当时，解得：； 当时，解得：； 综上所述，的值为或． 6．（25-26八年级下·福建泉州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于A，B两点，点C在轴负半轴，且． (1)点A的坐标为______，点B的坐标为______； (2)P为线段上一个动点，若，求此时点P的坐标； (3)点Q是轴上一个动点，满足，求点Q的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）根据一次函数图象的性质和坐标轴点坐标的特征求解即可； （2）先求出直线的解析式为，再根据三角形面积列方程即求解； （3）分两种情况．①在点左侧，根据，构造等腰直角三角形得，从而可，再根据直线与轴交点坐标即可；②在点右侧，构造与情况①中直线关于的对称直线可求解． 【详解】（1）解：直线与轴交点：当，得，故， 当时，得，故， （2）解：∵，且， ∴，故， 设直线的解析式为：， ∴，解得， 直线的解析式为， 设， ∵，， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴ ∵P在线段上， ∴，解得：， 故点P坐标为． （3）解：如图，作，使，，，则，连接交轴于点， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 由作图可知：点坐标为， ∵过、的直线解析式为， ∴直线与轴点坐标为，即：坐标为， ∴， 在平面坐标系中取点， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵过点过、的直线解析式为， ∴直线与轴交点坐标为，即：坐标为， 综上所述：点坐标为或． 7．（25-26八年级下·四川成都·期中）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，为一次函数的图象上一点． (1)求A、B两点的坐标． (2)已知点，连接，求的面积． (3)若点Q为一次函数图象上第一象限内一点，且满足，，求的值． 【答案】(1)； (2)4 (3) 【分析】（1）求出时，y的值和时，x的值可得答案； （2）设交x轴于点C，求出直线的解析式为，可得点，从而得到，再由，即可求解； （3）过点P作轴于点D，过点Q作轴于点E，则，由题意知，且，从而得到，，证明，可得，，从而得出点，代入解析式求得m的值，进一步可得n的值，代入即可得出答案． 【详解】（1）解：在中， 当时，， ∴， 当时，，解得， ∴； （2）解：设交x轴于点C， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点， ∴， ∴； （3）解：如图，过点P作轴于点D，过点Q作轴于点E，则， 由题意知，且， ，， ， ， ∵， ， 又， ， ，， 点， 点Q在直线上， ， 解得， ， 则． 8．（25-26八年级上·四川成都·期中）如图，一次函数与轴、轴分别相交于点和点． (1)求点和点的坐标； (2)点在轴上，若的面积为6，求点的坐标； (3)点在轴上，若等腰三角形，求点的坐标； 【答案】(1)， (2)或 (3)或或或． 【分析】本题考查一次函数的综合应用．正确的求出直线与坐标轴的交点坐标，利用数形结合和分类讨论的思想，进行求解，是解题的关键． （1）令，求出x的值，得到点A的坐标，令，求出y的值，得到点B的坐标； （2）分点在点上方和点在点下方两种情况讨论． （3）若是等腰三角形，且点P在x轴上，分，，三种情况，由等腰三角形的性质，结合勾股定理分别求解即可． 【详解】（1）解：当时，， ； 当时，，， ； （2）解：∵点在轴上，的面积为6， ， ， ， 当点在点上方时，； 当点在点下方时，． （3）解：∵，， ∴，， ∴， 当时，， 则点P的坐标为或； 当时，根据等腰三角形的三线合一性质得， ∴点P的坐标为； 当时，设点P的坐标为， 根据题意，得， 解得：， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或或或． 9．（25-26八年级下·四川·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于两点，且，与直线交于点． (1)求点的坐标； (2)点为直线上一点，设，连接交于点． ①若点坐标为，求的面积； ②连接，若，求点的坐标． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】（1）先求得直线的解析式，再联立成方程组即可求解； （2）①先求得点的坐标为，由与直线交于点，可得，即点的纵坐标，代入直线，即可求得，可得点，的坐标，即可求解； ②分点在点的上方，点在点的下方两种情况进行讨论即可求解． 【详解】（1）解：∵直线经过点， ∴， ∴， ∴直线， 由，解得， ∴点的坐标为． （2）解：①把代入，得， ∴点的坐标为， ∵与直线交于点， ∴点的横坐标， ∴点的纵坐标， 如图， ∵点在直线上， 当时，， 解得， ∴点坐标为，点坐标为， ∵，， ∴． ②（Ⅰ）：点在点的上方， 如图，由题意可得，点，关于直线对称，设与直线交于点， ∴与关于直线对称， ∴，， ∵， ∴， ∵直线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∵，， ∴，， ， 在中，， ∴， 解得， ∴点C坐标为； （Ⅱ）：点在点的下方， 如图，过点作轴于点，延长交直线于点， 同理可得， 设，则， ∴， ∴点的纵坐标为， ∵点在直线上， 当时，， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 设直线与轴交于点，与轴交于点， ∵与关于直线对称， ∴点与点关于直线对称， ∵， ∴， 设直线解析式为， 把，代入得， 解得， ∴直线解析式为， 当时，， ∴， ∵，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即， ∵轴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 解得，， 当时，， ∴； 当时，， ∴，与点重合，舍去； 设直线解析式为， 把，代入得，， 解得， ∴直线解析式为， 联立， 解得， ∴点C的坐标为 综上所述，点C坐标为或． 10．（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图，已知一次函数与轴相交于点，与轴交于点． (1)求出点和点的坐标． (2)点的坐标是，求证：是直角三角形． (3)在直线是否存在点，使得是等腰直角三角形？如果存在，请直接写出的面积，如果不存在，请说明理由． (4)点是直线上的点，若面积是10，请你求出点的坐标． 【答案】(1)， (2) 证明：∵，，， ∴， ， ， ∴， ∴是直角三角形． (3)存在，的面积为或 (4)点E的坐标为或 【分析】本题考查求一次函数图象与坐标轴的交点坐标，两点间距离公式，勾股定理的逆定理，三角形的面积． （1）分别令，，即可求出函数图形与坐标轴交点的坐标； （2）根据两点间距离公式求出，，的长，再根据勾股定理的逆定理判断即可； （3）当时，是等腰直角三角形．分点D在线段上和当点D在线段的延长线上两种情况求解即可； （4）根据，得到点E在的延长线上，或在的延长线上，分两种情况分别求解即可． 【详解】（1）解：对于一次函数， 令，则，解得， ∴， 令，则， ∴． （2）略 （3）解：由（2）可知是直角三角形，， ∴当时，是等腰直角三角形． 如图，当点D在线段上时， ∵， ， ∴． 如图，当点D在线段的延长线上时， ． 综上所述，直线存在点，使得是等腰直角三角形，的面积为或． （4）解：∵，， ∴点E在的延长线上，或在的延长线上， ①如图，当点E在的延长线上，过点E作轴于点G， ∵，， ∴， ∵，即， ∴， ∴点E的纵坐标为6， 把代入一次函数，得， 解得， ∴点E的坐标为． ②如图，当点E在的延长线上，过点E作轴于点H， ∵，， ∴， ∵，即， ∴， ∴点E的纵坐标为， 把代入一次函数，得， 解得， ∴点E的坐标为． 综上所述，点E的坐标为或． 11．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，一次函数的图象与x、y轴分别交于A、B两点． (1)求A、B两点的坐标； (2)点是第三象限内的点，请用含m的代数式表示四边形的面积； (3)在（2）的条件下，当时，若点P在坐标轴的负半轴上且使，请求出点P的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）分别令和，求出对应的y和x的值即可； （2）根据点C坐标表示出点C到y轴的距离，四边形的面积等于和的面积之和，分别求解后相加即可． （3）先根据求出四边形的面积，进而得到的面积．点P的位置有两种可能性，x轴的负半轴和y轴的负半轴，分类讨论，利用三角形面积公式求出或的长，然后求出点P的坐标． 【详解】（1）解：当，， ∴， 当，，解得，， ∴， （2）∵点在第三象限， ∴点C到y轴的距离为， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）当时，， ∵， ∴， 当点P在x轴的负半轴上时，设点， ∵点P在x轴的负半轴上， ∴， ， 解得，，此时， 当点P在y轴的负半轴上时，设点， ∵点P和点B的相对位置不确定， ∴， ， 解得，或， ∵， ∴舍去， ∴，此时， 综上所述，点P坐标为或． 12．（25-26八年级下·广东惠州·期末）如图，已知一次函数与轴相交于点，与轴交于点． (1)求出点和点的坐标． (2)若点的坐标是， ①点是轴上的点，若，请求出点的坐标． ②在轴上是否存在点，使得是等腰三角形？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)①点坐标为或；②存在，点D的坐标为或或或 【分析】（1）令可求出点A的坐标，令可求出点B的坐标； （2）①根据求出长即可求解； ②分三种情况，利用勾股定理列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵当时，，， ∴． ∵当时，， ∴； （2）解：①∵， ∴， ∴， ∴或，即或； ②设D的坐标是 ∴，，， 当时，，解得：，（舍去）； 当时，，解得：，； 当时，，解得：； 综上可知，点D的坐标为或或或． 13．（25-26八年级下·河北秦皇岛·期中）一次函数，的图象如图1所示，其中一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，与一次函数的图象交于点C． (1)求点A、B的坐标． (2)求的面积． (3)已知一次函数． ①当时，函数有最大值5，求m的值． ②当时，一次函数的图象如图2所示．设y为，，中的最大值，请直接写出y的最小值． 【答案】(1)， (2) (3)①或；②y的最小值为 【分析】（1）在中，求出时的函数值和时的自变量的值即可得到答案； （2）联立直线，求出交点C的坐标，再由三角形面积公式求解面积即可； （3）①分类讨论，根据一次函数的性质求解即可；②先求出三条直线的交点坐标，再分类讨论，根据函数图象求解即可． 【详解】（1）解：在中，当时，， 当时，， ∴，； （2）解：当时，解得， 此时， ∴， ∴ （3）解：①当时，随的增大而增大， ∵， ∴当时，函数取得最大值，则，解得； 当时，随着的增大而减小， ∵， ∴当时，函数取得最大值，则，解得； 综上，或； ②当时，一次函数解析式为， 联立，得，， 解得， ∴直线，的交点为； 同理可求直线，的交点为；直线，的交点为； 如图： 当时，， ∴， ∵， ∴当时，的最小值为； 当时，最大， ∴， ∵ ∴当时，的最小值为； 当时， ∴， ∵， ∴当时，的最小值为； 综上：的最小值为． 题型2 一次函数中的规律探究问题（共4小题） 【模型】从一次函数图象或点列中找坐标变化规律，归纳通式并验证。 【步骤】先算前几组对应值，观察横纵坐标增减规律，归纳出一次函数通式，代入验证，再用函数性质说明。 【易错】须多算几组找规律，勿凭一组下结论；注意自变量与函数值对应别弄反；归纳通式要检验，别漏取值范围与特殊情况。 14．（25-26八年级下·湖南永州·期中）如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，，过点作x轴的垂线交于点…过点作y轴的垂线交于点，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，…依次进行下去，则点的坐标是______． 【答案】 【分析】根据题意依次求出点的坐标，观察坐标数值与下标的关系以及点所在象限的变化规律，归纳出规律，进而求解． 【详解】解：当时，， ∴点的坐标为，即； 当时，， ∴点的坐标为，即， 当时，， ∴点的坐标为，即， 当时，， ∴点的坐标为，即， 当时，， ∴点的坐标为，即， 当时，， ∴点的坐标为，即 ⋯⋯ 观察上述点的坐标变化规律可知，点的坐标以4为周期循环变化，且数值部分与2的幂次有关， 对于偶数点： 当为奇数时，点在第一象限，坐标为； 当为偶数时，点在第三象限，坐标为； ∵，且1013为奇数 ∴点符合中为奇数的情况，其中， ∴点的坐标为． 15．（25-26八年级下·河北衡水·期中）如图，直线与直线分别与轴交于点．一动点从点出发，先沿垂直于轴的方向运动，到达直线上的点处后，改为平行于轴的方向运动，到达直线上的点处；再沿垂直于轴的方向运动，到达直线上的点处后，又改为平行于轴的方向运动，到达直线上的点处…照此规律运动，动点依次经过点…则的长度为______． 【答案】 【分析】先根据题意求出，，根据平行于轴的直线上点的纵坐标相等，垂直于轴的直线上点的横坐标相等及直线的函数表达式可知，，，，求出，；；…，可得规律，即可解答 【详解】解：在直线中，令，则，故， 在直线中，令，则，故， 根据题意将代入直线中得，故， 将代入直线中得，故， ∴， 同理可得，， ∴；；…， 由此可得，， ∴的长度为． 16．（25-26八年级上·山东青岛·期中）正方形，，，…，按如图所示的方式放置，点、、和点、、…分别在直线和轴上，则点的横坐标是________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质以及规律型：点的坐标，根据点的坐标的变化找出变化规律的横坐标是，纵坐标是是解题的关键．依据题意，利用一次函数图象上点的坐标特征及正方形的性质可得出点，，，，的坐标，即可根据正方形的性质得出，，，，的纵坐标，根据点的坐标的变化可找出变化规律点的横坐标是：，再代入即可得出结论． 【详解】解：当时，， ∴点的坐标为， ∵四边形为正方形， ∴点的坐标为， 当时，， ∴点的坐标为， ∵为正方形， ∴点的坐标为， 同理，可知：点的坐标为， 点的坐标为， ∴的横坐标是：，纵坐标是：， ∴点的坐标为， 故答案为：． 17．（25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，以点为圆心，以长为半径画弧，交直线于点．过点作轴，交直线于点，以为圆心，以长为半径画弧，交直线于点；过点作轴，交直线于点，以点为圆心，以长为半径画弧，交直线于点；过点作轴，交直线于点，以点为圆心，以长为半径画弧，交直线于点，，按照如此规律进行下去，点的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，点的坐标变化规律，设的坐标为，可得，即得，得到点的坐标为，即 ，同理可得点的坐标为，即， 点的坐标为，即，进而得到点的坐标为，据此即可求解，找出点的坐标变化规律是解题的关键． 【详解】解：∵点在直线上， ∴设的坐标为， ∵，， ∴， 解得或（不合，舍去）， ∴点的坐标为，即 ∵轴, ∴点的横坐标为， ∴点的纵坐标为， ∴点的坐标为， 同理可得，点的坐标为，即， 点的坐标为，即， ， ∴点的坐标为， ∴点的坐标为， 故答案为：． 提升·进阶突破 题型3 一次函数中折叠的综合问题（共4小题） 【模型】一次函数图象沿折痕折叠，利用全等得对应边角相等，结合勾股或函数求值。 【步骤】先标折叠前后对应点与线段，利用全等找等量，设未知数，结合一次函数解析式或勾股定理列方程求解。 【易错】折叠前后对应边角相等，折痕为对称轴；落点位置要分清，勿把折痕当函数图象；设未知数选准直角三角形，注意解析式对应关系。 18．（25-26八年级上·全国·期中）如图，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，C在x轴负半轴，连接BC，将沿BC所在的直线折叠，当点A落在y轴上时，点C的坐标为__________． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，轴对称的性质，点的坐标，勾股定理，掌握知识点是解题的关键． 先求出，，得到，，求出， 当点A落在y轴的正半轴上时，设点C的坐标为，求出，，根据勾股定理，得到，求出，则当点A落在y轴上时，点C的坐标为，即可解答． 【详解】解：当时，， ∴， 当时，， 解得， ∴， ∴，， ∴， 如图，当点A落在y轴的正半轴上时，设点C的坐标为， 将沿所在的直线折叠，点A落在y轴上时，如图 ∴， ， ∴， ∴ ∴当点A落在y轴上时，点C的坐标为 故答案为：． 19．（25-26七年级下·黑龙江大庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、B，点C在y轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的D处，直线与相交于点E． (1)点A的坐标为 ，点B的坐标为 ； (2)点M是y轴上一点，若．求点M的坐标． (3)在第一象限内是否存在点P，使为等腰直角三角形？若存在，直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；； (2)点M的坐标为或； (3)存在，点P的坐标为或或． 【分析】（1）直接利用直线求得点A和点B的坐标； （2）由（1）得可得到的长，然后依据勾股定理可求得的长，由折叠的性质可得到，利用可得D的坐标，设，则，利用勾股定理求出，然后求出，设点M的坐标为，建立方程求解即可； （3）分三种情况：①若；②若；③若，分别利用全等三角形的判定及性质求解即可． 【详解】（1）解：令得：， ∴， 令得：，解得：， ∴， （2）由（1）得， ∴， 由折叠的性质可知， ∴， 设，则 在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴； ∴， ∵， ∴， 设点M的坐标为， ∴， 解得或， ∴点M的坐标为或； （3）存在，理由如下： ①若，如图，过点P作交于点G， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴此时点P的坐标为； ②若，如图，过点P作交点H， 同理可得，此时点P的坐标为； ③若，如图，过点P作交于点M，交于点N， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设点P的坐标为， ∴， 解得：， ∴此时点P的坐标为， 综上所述，点P的坐标为或或． 20．（25-26八年级上·四川成都·期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴，y轴于点A，点B，且． (1)求k的值； (2)若点C为线段上一点，连接，将沿着折叠，使点B落在x轴的点处，求点C的坐标； (3)如图2，作，点E为直线上一动点，点F为y轴上一动点，是否存在以O，E，F为顶点的三角形与全等？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点C的坐标为 (3)点E的坐标为或或或 【分析】（1）先根据求出点B的坐标，结合求出点A的坐标，代入即可求出k的值； （2）先用勾股定理求出长度，设点C的坐标为，则，，由折叠的性质得，，最后由勾股定理解即可； （3）先用等面积法得出，再得出以O，E，F为顶点的三角形与全等时，斜边为对应边，，然后分两种情况利用全等三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：对于， 当时，， 点B的坐标为， ， ， ， 点A在x轴的正半轴上， 点A的坐标为， 将代入，得：， 解得； （2）解：，， ， 设点C的坐标为， 则， ， 由折叠得，， ， 在中，， ， 解得， 点C的坐标为； （3）解：， ， ， 当以O，E，F为顶点的三角形与全等时，斜边为对应边，， 分两种情况： 当时，， 如图： 点E的横坐标为或， 点E的纵坐标为或， 点E的坐标为或； 当时，， 如图： 点F的纵坐标为或， 点E的纵坐标为或， 即或， 解得或， 点E的坐标为或， 综上可得，点E的坐标为或或或． 21．（25-26八年级上·河南郑州·期中）在“综合与探究”课上，老师让每位同学在练习本上画出一个长方形，然后以该长方形为基本图形，以小组为单位编制一道综合探究题． 经过思考和讨论，励志小组向全班同学分享了他们编拟的试题，得到了老师的认可．同学们也眼前一亮，纷纷动手，开始了探究．请你也跟他们一起来完成这道试题吧． 如图，分别以长方形的边，所在直线为轴、轴，建立平面直角坐标系．已知，，点在线段上，以直线为轴，把翻折，点的对应点恰好落在线段上． (1)请直接写出点的坐标：______，______． (2)当点在运动过程中，设运动时间为秒． ①点从点出发以每秒个单位的速度沿线段的方向运动，当点与点重合时停止运动，求的面积与之间的关系式； ②点是轴负半轴上的一个动点，若与轴交于点，是否存在等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)在本题的探究过程中，让我们感悟的数学思想有______（填序号）． ①方程思想；②数形结合思想；③分类讨论思想． 【答案】(1)， (2)①；②存在，或或 (3)①②③ 【分析】（）利用矩形的性质和折叠的性质得到，，，，利用勾股定理求得，则，点坐标可得；设，则，，利用勾股定理求得x值，则点坐标可求； （）①利用分类讨论的思想方法分两种情况解答：当点在上时，，此时；当点在上时，求得长度后，利用三角形的面积公式解答即可；②利用分类讨论的思想方法分三种情况解答：当时，利用等腰三角形的性质和点的坐标的特征解答即可；当时，用勾股定理和点的坐标的特征解答即可；当时，设，则，利用勾股定理列出方程解答即可； （）结合解题过程分析解答即可． 【详解】（1）解：由折叠可得，， ，，，， ， ， 设，则，， ， ， ， 故答案为：，； （2）解：①当点在上时，，此时； 当点在上时，如图， 此时， ， ，此时； 综上，的面积与之间的关系式为； ②存在等腰三角形，点的坐标是或或，理由如下： 当时， 点， ，， ， ； 当时， ， ， ， ； 当时，如图， 设，则， ， ， ， 综上，存在等腰三角形，点的坐标为或或； （3）解：在本题的探究过程中，让我们感悟的数学思想有通过分类讨论求得点坐标，通过设，列出方程求得的长度，所以，让我们感悟的数学思想有方程的思想、数形结合思想和分类讨论的思想方法， 故答案为：①②③． 题型4 一次函数中分段函数探究问题（共5小题） 【模型】自变量不同区间对应不同一次函数，合成分段函数，分段求值或比较。 【步骤】先确定分段点与各段范围，分别求每段一次函数表达式，再按自变量所在区间选对应解析式求值。 【易错】分段点归属勿弄错，各段表达式须标清范围；代入前先判断x落在哪段，勿混用；端点值要检验，别漏分段讨论。 22．（25-26八年级上·山西晋中·期中）阅读与思考 下面是小文在公众号中读到的一篇文章，请仔细阅读并解答相应的问题： 一次函数与绝对值的奇妙相遇 我们知道，函数图象的特征可以从形状、位置、对称性等角度分析．例如，一次函数的图象如图①所示，其特征可以描述为：①其图象是一条直线；②其图象经过第一、三、四象限；③其图象与y轴交于点；…事实上，一次函数的图象可以看成将直线向下平移2个单位长度得到． 将一次函数的表达式中自变量x添加绝对值符号，得到一个新函数．我们可以类比研究一次函数图象的方法，通过列表、描点、连线等步骤画出该函数的图象． ①列表： x … 0 1 2 3 … y … ______ 0 ______ 0 1 … ②在图②中描点、连线：    (1)请将文中列表、描点、连线的过程补充完整； (2)根据图②中的函数图象回答下列问题： ①当______时，y有最小值为______； ②请写出该函数的一条性质：______． (3)若的图象与直线没有交点，则k的取值范围是______． 【答案】(1) 填表如下： x … 0 1 2 3 … y … 1 0 0 1 … 描点，连线得， (2)①0；；②时，y随x的增大而减小（答案不唯一） (3) 【分析】本题主要考查画一次函数的图象，一次函数图象与性质，正确画图是解答本题的关键． （1）根据题目要求解答即可； （2）根据函数图象解答即可； （3）根据图象解答即可． 【详解】（1）解：当时，， 当时，； （2）解：①当时，y有最小值为； 故答案为：0；； ②请写出该函数的一条性质：时，y随x的增大而减小； 故答案为：时，y随x的增大而减小； （3）解：由图象可知，当时，的图象与直线没有交点， 故答案为：． 23．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期中）学习“一次函数”时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质，并积累了一些经验和方法，小聪同学尝试运用积累的经验和方法对函数的图象与性质进行探究，下面是小聪同学的探究过程，请你补充完整． (1)列表： 0 1 2 3 4 0 0 则_____，_____； (2)描点并画出该函数的图象； (3)①观察函数图象，当_____时，的值随的值的增大而增大； ②观察函数图象，当时，的取值范围是_____； ③观察函数图象，试判断函数是否存在最小值？若存在，直接写出最小值． ④观察函数图象，试判断函数的图象是否是轴对称图形？若是，直接写出对称轴的直线表达式． 【答案】(1)； (2) 函数图象如图： (3)①；②；③存在最小值，最小值是；④是， 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握以上知识点并能灵活运用是解决此题的关键． （1）将自变量的值代入函数，进而求出函数值即可； （2）描点，连线，画出函数图象即可； （3）观察图象，从图象中获取信息，进行作答即可． 【详解】（1）解：将代入，得：； 将代入，得：； 故，， 故答案为：，； （2）略 （3）解：①由图象可知：时，的值随的值的增大而增大； ②由图象可知，当时，的取值范围是：； ③由图象可知，函数存在最小值，为； ④由图象可知，函数的图象是轴对称图形，对称轴为直线， 故答案为：①，②． 24．（25-26九年级上·吉林长春·期中）在函数的学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，经历了结合图象研究函数性质的过程．下面我们参照函数学习的过程与方法，探究分段函数的图象与性质，并解决如下问题． (1)当时，_____；当时，_____； (2)在平面直角坐标系中画出函数图象； (3)已知点在这个函数图象上，求的值； (4)当时，的取值范围为_____； (5)点、是该函数图象上不重合的两点，横坐标分别为、．小明对、之间（含、两点）的图象进行研究，当图象对应函数的最大值与最小值均不随的变化而变化时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)0；5 (2) 所作函数图象如下： (3)或 (4) (5)或 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键； （1）分别把，代入函数解析式进行求解即可； （2）根据描点、连线可画出函数图象； （3）由题意可把代入函数解析式进行求解即可； （4）根据（2）中函数图象可进行求解； （5）根据（2）中函数图象可进行求解． 【详解】（1）解：由题意可把代入得：， 把代入得：； 故答案为0；5； （2）解：由可列表如下： x ….. 0 1 3 ….. y ….. 0 3 2 4 ….. （3）解：∵点在这个函数图象上， ∴当时，则有，即； 当时，则有，解得：； 综上所述：或； （4）解：当时，则有， ∴由（2）中函数图象可知：当时，的取值范围为； 故答案为； （5）解：由（2）中函数图象可知：当点P、Q在之间时，图象对应函数的最大值与最小值均不随的变化而变化时， ∴或， 解得：或． 25．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）学习“一次函数”时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质．请运用积累的经验和方法，对函数的图像与性质进行探究，并解决相关问题： 【初步感知】 ________ ________ （1）补全表格中横线部分的数据，并在图所给的坐标系中画出函数的图像； 【探究性质】 （2）观察函数的图像，判断下列关于该函数性质的命题： 当时，的值随的值增大而减小；当时，；该函数存在最小值，最小值为；该函数图像是轴对称图形． 其中正确的是___________．（请写出所有正确命题的序号） （3）当时，求的取值范围； 【类比应用】 （4）一次函数（为常数，）的图像过点，若关于，的方程组无解，则的取值范围是___________； 在平面内构造，其中点，，，当函数的图像与的边有个公共点时，请直接写出的取值范围． 【答案】（）1；， 如图： （）； （）的取值范围为；（）或； 的取值范围为或． 【分析】本题考查了求一次函数的函数值和自变量的值，画一次函数图像，一次函数的性质，一次函数与几何图形综合等，利用数形结合的思想求解是解题的关键． （）当时，，当时，，然后填表，再根据画函数图像步骤画出图像即可； （）根据函数图像即可求解； （）当时，有最小值：，当时，有最大值，从而求出的取值范围； （）由一次函数（为常数，）的图像过点，则，又关于，的方程组无解，即一次函数与图像无交点，然后分当过图像过点有无数个交点，即与重合，此时， 联立，解得，即当时，关于，的方程组无解；当图像与平行时，一次函数与图像无交点，此时，即当时，关于，的方程组无解； 先求出解析式为，解析式为，解析式为，解析式为，然后找出临界点即可求出的取值范围． 【详解】解：（）当时，，当时，， ∴如表， （）根据图像可得当时，的值随的值增大而减小，原说法正确； 当时，，解得或，原说法错误； 该函数存在最大值，最大值为，原说法错误； 该函数图像是轴对称图形，原说法正确； 故选：； （）∵， ∴当时，有最小值：，当时，有最大值， ∴当时，的取值范围为； （）由一次函数（为常数，）的图像过点， ∴， ∵关于，的方程组无解， ∴一次函数与图像无交点， ∴如图，当过图像过点有无数个交点，即与重合，此时， 联立，解得：， ∴当时，一次函数与图像无交点，即关于，的方程组无解， 如图，当图像与平行时，一次函数与图像无交点， ∴此时， ∴当时，一次函数与图像无交点，即关于，的方程组无解， 综上可得：关于，的方程组无解，则的取值范围是或， 故答案为：或； 设解析式为， ∴，解得：， ∴解析式为， 同理解析式为， 如图，当在上时，此时函数的图像与的边有个公共点，则， 如图，当在上时，此时函数的图像与的边有个公共点，则， 由函数当时，，即解析式为， 时，，即解析式为， 如图，当经过点时，即图像经过点，此时函数的图像与的边有个公共点， ∴，解得：； 如图，当经过点时，即图像经过点，此时函数的图像与的边有个公共点， ∴，解得：， ∴综上可得：的取值范围为或． 26．（25-26八年级下·北京西城·期中）小东根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小东的探究过程，请补充完成： (1)下表是与的几组对应值： 0 0.5 1 2 3 5 3 1 3 则的值为______________； (2)在平面直角坐标系中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象； (3)结合函数的图象观察该函数的性质，下列说法正确的有___________（请填入所有正确结论的序号） ①该函数图象是轴对称图形，它的对称轴为轴； ②当时，随着的增大而增大； ③当该函数的函数值最小时，对应自变量的值有无数个 (4)结合函数的图象，进一步探究该函数与其他函数之间的关系，将函数的图象记为，一次函数的图象记为； ①当和仅有一个交点时，的取值范围为__________； ②令，过点作轴的垂线分别交，于点，．当满足（为整数）时，存在点与点的距离等于3，则____________． 【答案】(1)1 (2)如图， (3)②③ (4)①或；②或4 【分析】（1）将代入函数求解即可； （2）分三段得出函数解析式，再描点画图即可； （3）根据（2）中图象解答即可； （4）①根据题意得出一次函数的图象恒过点， ②分段求解即可； 【详解】（1）解：将代入函数得： ； （2）解：先对函数去绝对值分段： 当时，，连接得射线， 当时，，画的水平线段， 当时，，连接得射线， 按上述分段描点连线即可，如图： （3） 解：根据（2）中函数图象可得：① 函数对称轴为，不是轴，错误； ②时，随增大而增大，正确； ③ 函数最小值为，当时恒为，对应自变量有无数个，正确； 故说法正确的有：②③； （4）解：①在中，令，则， 即一次函数的图象恒过点， 如图，根据函数图象可得当或时，和仅有1个交点； ② 当时，， ∵， ∴， ∵， 当时，，则，解得：，满足， ∴； 当时，，解得：（舍去）； 当时，，解得，满足，得； 综上，或4． 拔高·压轴破难 题型5 一次函数中求线段和最值问题（共5小题） 【模型】用对称或平移将折线化直，两点间线段最短，借一次函数求最值。 【步骤】先找定点与动点，作对称或平移化折线为直线，连接两点求交点，再代入一次函数求线段和最小值。 【易错】对称轴选择要正确，作对称后须连直线；动点位置别漏，注意两点在直线同侧还是异侧；最值在交点处取得，勿忘检验。 27．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图所示，已知点，直线与两坐标轴分别交于、两点，、分别是，上的动点，则周长的最小值是________． 【答案】 【分析】作点C关于的对称点，点C关于直线的对称点，连接，连接，可得由对称得：，，，轴，周长为，当点共线时，周长取得最小值为，再由两点之间距离公式即可求解． 【详解】解：如图，作点C关于的对称点，点C关于直线的对称点，连接，连接， ∵直线的解析式为， ∴，当， 解得：， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 由对称得：，， ∴，轴， ∴周长为， ∴当点共线时，周长取得最小值为， 而 故答案为：． 28．（25-26八年级上·河南郑州·期末）如图，一次函数第一象限的图象上有一点，过点作轴的垂线段，垂足为，连接，则的周长的最小值是_____． 【答案】/ 【分析】本题考查一次函数的图象与坐标轴的交点，一次函数的图象与坐标轴围成的三角形的面积，垂线段最短．设一次函数的图象与x轴交于点B，与y轴交于点C，令，可求得点B的坐标，令可求出点C的坐标，从而得到，的长，的面积．设点P的坐标为（），则，当垂直一次函数的图象时，取得最小值时，的周长为最小．根据的面积可求得的最小值，即可解答． 【详解】如图，设一次函数的图象与x轴交于点B，与y轴交于点C， 把代入函数中，得， 解得， ∴点B的坐标为， 把代入函数中，得， ∴点C的坐标为， ∵点P是一次函数第一象限的图象上的一点， ∴设点P的坐标为（）， ∵轴于点A， ∴，， ∴ ∴当垂直一次函数的图象时，取得最小值，的周长为最小． ∵，， ∴，， ∴， ， ∵，即， ∴， 即的最小值为，的最小值为． 故答案为：． 29．（25-26八年级上·山东济南·期中）如图，已知点，点M，N分别是直线和直线上的动点，连接，．则的最小值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征及轴对称-最短路线问题，熟知一次函数的图象与性质是解题的关键．作点P关于的对称点，再结合垂线段最短即可解决问题． 【详解】解：方法一：作点P关于的对称点，交于点，交于点，连接，，过点作于点，交直线于点M，轴于点，过点作于点，轴于点， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵点P关于的对称点， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∴，， ∴， ∴，直线解析式为，， 联立，解得， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵点P关于的对称点， ∴， ∴， 即的最小值为的长， ∴的最小值为． 方法二：如图，直线，直线解析式为，直线解析式为，与坐标轴交点为，，则，，， 联立解得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 整理得 ， ∴， ∴，即当两条直线垂直时，； 如图，作点P关于的对称点， 过点作垂线于点N，交直线于点M，则该垂线解析式为， ∵和关于对称， ∴， ∴， 即的最小值为的长， ∵，且过点， ∴设直线， 将代入得，， 解得， ∴直线， 联立直线和，得 ， 解得， ∴， ∴． 30．（25-26八年级上·四川达州·期末）如图1，已知直线：交x轴于，交y轴于． (1)求直线l的表达式； (2)如图2，直线的表达式为，点P为线段的中点，在直线上找一点Q，使得最小，并求出最小值； (3)如图3，已知点，点为直线右侧一点，且满足，求m的值． 【答案】(1) (2)作点关于的对称点，连接交于点，则此时的值最小，最小值为 (3) 【分析】（1）把，代入，即可求解； （2）如图：作点关于的对称点，连接交于点，则此时最小，设交于点，则点是的中点，先根据中点坐标公式求出点的坐标为，进而求出直线的表达式为，然后求出点的坐标为，设点的坐标为，根据两点之间的距离公式得出，，根据勾股定理，列出方程，求出的值，得出点的坐标为；先根据中点坐标公式求出点的坐标为，根据两点之间的距离公式求出的值，即可求解； （3）作关于轴的对称点，以为直角顶点，为直角边在右侧作等腰直角三角形，过作轴于，根据等腰直角三角形的判定和性质推得，根据直角三角形两个锐角互余和等角的余角相等得出，根据全等三角形的判定和性质得出，，推得点的坐标为，待定系数法求出直线的表达式为．得出点的坐标，结合题意，列出方程，即可求出的值． 【详解】（1）解：把，代入得： ， 解得：， 故直线的表达式为． （2）解：如图：作点关于的对称点，连接交于点，则此时最小， 理由：， 设交于点，则点是的中点， ∵，，点为线段的中点， ∴点的坐标为， 把代入得：， 解得：， ∴直线的表达式为． 令，则， 解得：， 即点的坐标为； 则， 设点的坐标为，则，， 在中，， 即， 解得：或（不符合题意，舍去）， 故点的坐标为； 又∵点是的中点， ∴点的坐标为， ∴； 即最小值为． （3）解：作关于轴的对称点，以为直角顶点，为直角边在右侧作等腰直角三角形，过作轴于，如图： 则， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴在直线上， ∵，， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴点的坐标为， 设直线的表达式为， 将，代入，得， 解得：， ∴直线的表达式为． ∵点在直线上，故当时，， 即点的坐标为， ∴， 解得． 31．（25-26八年级上·重庆·期末）如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点的横、纵坐标满足． (1)求点C的坐标； (2)如图2，过点C作直线轴，在直线l上且位于点C的上方有一点D，使得的面积是的面积的，点M，N为y轴上的动点（点M在点N的下方），且，连接和，求的最小值； (3)如图3，若点A关于y轴的对称点为点E，作直线，点F的坐标为，点P在x轴上，点Q在直线上，当为等腰直角三角形时，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1)点C的坐标为； (2)的最小值为； (3)点P的坐标为或或或． 【分析】（1）由二次根式有意义的条件，可得，可得，即可得点C的坐标； （2）由，可得，可得点的坐标，将向下平移个单位长度，至，作关于轴的对称点，连接，则，连接，当点、、共线时，取得最小值，连接，由勾股定理可得，即可得的最小值； （3）由待定系数法可得直线的解析式，当为等腰直角三角形时，按照直角顶点进行分类讨论，由三角形全等的判定和性质，可得不同情况对应的点P的坐标． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴点C的坐标为． （2）解：∵点B的坐标为， ∴， 又∵轴，， ∴， 又∵点的坐标为，点在点的上方， ∴点的坐标为， 将向下平移个单位长度，至，则， 作关于轴的对称点，连接，则， 连接，则， 当点、、共线时，取得最小值， 连接，在中，，， ∴， ∴的最小值为． （3）解：∵点A的坐标为，点与点关于轴对称， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， ∵点F的坐标为， ∴， 当为等腰直角三角形时： ，， 作轴于点，作于点，则， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点P的坐标为； ，， 作轴于点，则， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 设，则， ∴， ∴， ∴点P的坐标为； ，，点在第三象限， 作轴于点，则， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴点P的坐标为； ，，点在第四象限， 作轴于点，则， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴点P的坐标为． ∴点P的坐标为或或或． 题型6 一次函数中的新定义型综合问题（共5小题） 【模型】按新定义规则构造一次函数或对一次函数进行新运算，再求解。 【步骤】先读懂新定义含义，按定义列出一次函数或等式，确定取值范围，用一次函数性质求解并检验。 【易错】须严格按新定义列式，勿套旧法则；注意定义中k≠0与取值范围；结果要检验，别漏限制条件与取舍。 32．（25-26八年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，对于点，给出如下定义：当点满足时，称点是点的对消点． 已知，点． (1)在，，中，点的对消点有 ； (2)点在直线上，若点的对消点也是点的对消点，求点的坐标； (3)已知线段和正方形，其中，正方形的四个顶点的坐标分别为，，，，对于正方形边上的每一个点F，线段上总存在线段上每个点的对消点．若的最小值为4，直接写出t的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）由对消点的定义得出点的对消点满足，由此分析即可得出结果； （2）设，由对消点的定义并结合题意得出，，，从而可得，求出的值即可得出结果； （3）由对消点的定义得出，即一个点和它的“对消点”连接的中点的横纵坐标互为相反数，画出图象，结合图象计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵点， ∴根据对消点的定义可得，点的对消点满足，即， ∴满足条件，，不满足条件， ∴点的对消点是； （2）解：∵点在直线上， ∴设， ∵点的对消点也是点的对消点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为； （3）解：由对消点定义可得：， ∴，即一个点和它的“对消点”连接的中点的横纵坐标互为相反数， 如图： 由题意可得，对消点并不只有一个点，而是一条与平行的直线，且点和这条与平行的直线到的距离相等，即在的方向上，使点与正方形跨度的宽度为， ∴或， 解得或． 33．（25-26八年级下·湖南岳阳·期中）定义：我们把一次函数（）的图象与正比例函数的图象的交点称为一次函数（）图象的“星光点”．例如，求一次函数图象的“星光点”时，联立方程，解得，则一次函数图象的“星光点”为． (1)一次函数图象的“星光点”为_________； (2)关于的一次函数图象的“星光点”为，求，的值； (3)在平面直角坐标系中，若一次函数（）的图象分别与轴，轴交于点，，且一次函数（）的图象上没有“星光点”，点在轴上，且，连接，直接写出直线的“星光点”． 【答案】(1) (2)， (3)“星光点”为 或 【分析】（1）直接联立一次函数与，解方程组得到交点坐标； （2）根据“星光点”在上，得，求出，再将星光点坐标代入一次函数求； （3）由“没有星光点”推出，得到函数解析式，进而求出与坐标轴的交点、；利用三角形面积关系​，设点坐标，通过面积公式列方程求解；最后用待定系数法求直线的解析式，联立求星光点． 【详解】（1）解：根据“星光点”的定义得， 解得； ∴一次函数图象的“星光点”为； （2）解：一次函数图象的“星光点”为， 根据“星光点”的定义得， 解得； （3）解：如图， ∵若一次函数没有“星光点”， 即与没有交点， 联立，得， 整理得， 由于无解， ∴； 一次函数的图象分别与轴，轴交于点，， 令，，则点， 令，，则点， ∴， ∴， 设点，， ∵， ∴， ∴或， ∴点，； ①当点，， 设， 将点，代入得； 解得， 则， 联立； 解得， ∴的“星光点”是． ②当点，， 设， 将点，代入得； 解得， 则， 联立； 解得， ∴的“星光点”是． 综上，直线的“星光点”为或． 34．（25-26八年级上·河南郑州·期末）在平面直角坐标系中，有，两点，若存在点使得，且，则称点为的“旋垂点”．例如：如图1，，，三点中，因为，且，所以点为2的“旋垂点”． (1)①点，，则___________2的“旋垂点”（填“是”或“不是”）． ②如图2，若点，，则点是4的“旋垂点”，则点的坐标为___________． (2)如图3，若点为，一次函数上存在2的“旋垂点”，点在轴上，求2的“旋垂点”的坐标． (3)若在直线上存在无数个5的“旋垂点”，且直线与轴交于点，与轴交于点，点在内，，，连接，直接写出的面积． 【答案】(1)①是；②或 (2)或 (3)6 【分析】本题主要考查一线三等角构造全等、勾股定理及其逆定理等；解题过程中重点运用数形结合思想以及分类讨论思想，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． （1）①根据“旋垂点”的定义，进行判断即可； ②分两种情况：C分在B点上方和下方，分别画出图形求解即可； （2）根据是否在原点分情况讨论，设，如图，过作轴于点，证明，进而得或，再根据点在上，则，解方程即可； （3）同理求出，得到点在上，则 ，再由勾股定理逆定理得为直角三角形，即可求解． 【详解】（1）解：①∵，，， ∴，，，， ∴，， ∴， 则是2的“旋垂点”， 故答案为：是； ②分以下两种情况： 当点C在点B上方时，过点C分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为点F和点E， ∵点，，且点C是4的“旋垂点”， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； 当点C在点B下方时，过点B作x轴的平行线，过点C作于点F，轴于点H，过点A作于点E，如图所示： ∵点，，且点C是4的“旋垂点”， ∴，，，， 同理得：， ∴，， ∴，， ∴， ∴； 综上所述，点的坐标为或． 故答案为：或； （2）解：∵与轴交点， ∴，， ∴当在原点，在点时，是2的“旋垂点”，此时 当不在原点时，设， 如图，过作轴于点， 轴， ， ， ， ， ， ，， ，， 即， 点在上， ， 解得， ， 或； （3）解：∵直线上存在无数个5的“旋垂点”， ∴点，，， 设， 过点作轴于点，如图所示： 由（1）同理可得， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴点在上， 即直线为， ∴直线与x轴交于点，与y轴交于点， ∴ ， ∵，， ∴， ∴为直角三角形， ∴， 即的面积为6． 35．（25-26八年级上·北京海淀·期中）在平面直角坐标系中，对于P，Q两点给出如下定义：若点P到两坐标轴的距离之和等于点Q到两坐标轴的距离之和，则称P，Q两点为同族点．下图中的P，Q两点即为同族点． (1)已知点A的坐标为， ①在点，，中，为点A的同族点的是______； ②若点B在x轴上，且A，B两点为同族点，则点B的坐标为______； (2)已知，， ①M为线段上一点，过点作与x轴垂直的直线l，若在直线l上存在点N，使得M，N两点为同族点，直接写出n的取值范围； ②E为直线上的一个动点，点在x轴下方，若点E、点F为同族点，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)①②或 (2)①② 【分析】本题考查了平面直角坐标系中的新定义”同族点”问题，涉及点到坐标轴的距离、一次函数与线段的交点等知识，解题的关键是理解”同族点”的定义，结合点的坐标特征和函数图象进行分析计算． （1）①根据”同族点”定义，计算各点到两坐标轴的距离之和，与点的进行比较；②设点坐标，根据定义列方程求解； （2）①先确定线段上点到两坐标轴的距离之和的范围，再结合直线上点的距离和，确定的取值范围； ②分析直线上点的距离和，结合点的距离和，确定的取值范围． 【详解】（1）解：（1）①点到两坐标轴的距离之和为， 点到两坐标轴的距离之和为， 点到两坐标轴的距离之和为， 点到两坐标轴的距离之和为， 为点的同族点的是， 故答案为：； ②设点的坐标为，则点到两坐标轴的距离之和为， 为同族点，，解得，则点的坐标为或， 故答案为：或； （2）解： ①，设直线的解析式为，代入得，解得， ， 设，则到两坐标轴的距离之和为， ，． 设，则到两坐标轴的距离之和为， 为同族点，，即，要使存在，需， 解得； ②设，则到两坐标轴的距离之和为， 当时，， 当时，， 当时，， 点到两坐标轴的距离之和为， 、为同族点， ，解得． 36．（25-26八年级下·福建厦门·期末）在平面直角坐标系中，有，两点，若存在点使得，且，则称点为的“等垂点”．例如：在三点中，因为，且，所以点为1的“等垂点”． (1)①点，，___________3的“等垂点”（填“是”或“不是”）． ②如图1，若点，则点是4的“等垂点”，则点的坐标为___________； (2)如图2，，在轴上，在一次函数上，若一次函数上存在6的“等垂点”，求6的“等垂点”的坐标； (3)若在直线上存在无数个10的“等垂点”，且直线与轴交于点，与轴交于点，点在线段上，点在内，，连接，设，则的面积关于的表达式为___________． 【答案】(1)①不是；②或 (2)或 (3) 【分析】（1）①根据等垂点的定义，进行判断即可；②分两种情况：点在点上方和下方，分别画出图形求解即可； （2）分两种情况：当时，当时，分别画出图形，进行求解即可； （3）特殊点法求一次函数解析式，根据等积法求的高，根据，求出，根据三角形面积公式写出表达式即可． 【详解】（1）解：①∵点，，， ∴，，， ∴，， 则不是3的“等垂点”． ②当点C在点B上方时，过点分别作轴，轴的垂线，垂足分别为点和点E， ∵点，，且点是4的“等垂点”， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 当点C在点B下方时，过点B作轴的平行线，过点C作于点F，轴于点H，过点A作于点E，如图所示： ∵点，，且点是4的“等垂点”， ∴，，，， 同理得：， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：设，， 当时，如图，过作轴于点， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∵点在上， ∴， 解得， ∴． 当时，如图，∵与轴的交点坐标为，记为点， 此时，， ∴满足题意． 综上所述：或． （3）解：∵直线上存在无数个10的“等垂点”，如图， 过作轴于，设，，而， 同理可得：， ∴，， ∴， ∴，即， ∴在直线上， ∴，， ∴， 如图，过点分别作轴于点Q，轴于点H，交于点N， ∵，，， ∴， ∴为直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 解得：， ∴． 题型7 一次函数与三角形全等综合问题（共6小题） 【模型】一次函数图象与坐标轴或直线围成三角形，借全等求点坐标或解析式。 【步骤】先由函数求交点坐标，找对应边角证三角形全等，利用全等对应边相等求未知点坐标，再求一次函数表达式。 【易错】全等对应关系勿写错，对应边角要找准；交点坐标须先求准；注意多解情况，别漏分类讨论与检验。 37．（25-26八年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线分别交y轴、x轴于点，点，且a、b满足． (1)______，______； (2)以为边作，点C在直线的右侧且，求点C的坐标； (3)若（2）的点C在第四象限（如图2），与x轴交于点D，与y轴交于点E，连接，过点C作交x轴于点F． ①求证； ②直接写出点C到的距离． 【答案】(1)2， (2)或 (3) ①证明：如图3，由（2）知点， 过点作轴于点，， 在和中， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ②1 【分析】（1）根据非负数的性质求解即可； （2）分类讨论直角位置：若 ，通过构造全等三角形求解；若，利用求解； （3）①先证明得到， 再结合推导出， 最终利用完成证明；②构造垂线和， 并证明， 得到对应高相等，即． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， 故答案为：2，； （2）解：由（1）知， ， ， 是直角三角形，且， 或， 当时，如图1， ， ， 过点作于， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， Ⅱ、当时，如图2， 过点C作轴于，则， ， ， ， ， ， ， 综上，点或， （3）解：①略 ②点到的距离为1，理由如下： 如图4，过点作于点， 过 点作于点， 由①知， ， ， ， ， ， ， ， ． 点到的距离为1． 【点睛】本题考查了非负数的性质、平面直角坐标系中点的坐标确定、直角三角形与全等三角形的判定与性质，根据直角三角形的不同情形分类讨论，构造全等三角形实现边角关系的转化是解题的关键． 38．（25-26八年级上·宁夏银川·期末）如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点C，过A作于点D．过B作于点E，则，我们称这种全等模型为“k型全等”．（不需要证明） 已知：直线的图像与x轴、y轴分别交于A、B两点． (1)如图2，当时，在第一象限构造等腰直角、： ①直接写出________，________； ②点E的坐标________； (2)如图3，当时，在第二象限构造等腰直角，，求的周长． (3)如图4，当k的取值变化，点A随之在x轴负半轴上运动时，在y轴左侧过点B作，并且，连接，问的面积是否发生变化？若不变，求出面积；若变，请说明理由． 【答案】(1)①3，6；② ； (2)； (3)的面积不变， ． 【分析】（1）①若，则直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，即可求解；②过点E作轴，垂足为F，证明，由全等三角形的性质可得，，即可求解； （2）当时，求出 A，B两点坐标，即可得、，结合勾股定理求出，即可求解； （3）当k的取值变化时，点A随之在x轴负半轴上运动时，过N点作轴，垂足为K，证明，由全等三角形的性质得，根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）解：①当时，直线的解析式为， 当时，，即， 当时，则有，解得，即， ∴，． ②过点E作轴，垂足为F， ∵等腰直角、， ∴，， ∵， ∴在和中， ∴， ∴，， ∴， ∴； （2）解：当时，直线的解析式为， 当时，，即， 当时，则有，解得，即， ∴，． ∴， ∵等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴； （3）解：当k的取值变化，的面积是定值， ，理由如下： 过N点作轴，垂足为K， 则， ∵，， ∴， ∵， ∴， 在 和 中， ∴， ∴， ∴， ∴当k的取值变化时，的面积是定值， ． 【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了一次函数的图像及性质、坐标与图形、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握一次函数的图像及性质，正确作出辅助线构造全等三角形解题是关键． 39．（25-26八年级下·山东德州·期末）【模型认识】 如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点E，过A作于点B．过D作于点C，易得． 【模型应用】 (1)如图2，在平面直角坐标系中，，，连结，将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，求点C的坐标； (2)如图3，一次函数的图像与y轴交于点A，与x轴交于点B，直线交x轴于点D，且，求点D的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点作轴于点，根据旋转的性质得到，，证明，得到，，即可求解点C的坐标； （2）过点作交于点，过点作轴于点，证明，得到，，根据一次函数的性质得到，，进而求出点的坐标为，再利用待定系数法求出直线的解析式，即可求出点D的坐标． 【详解】（1）解：如图2，过点作轴于点， 则， ∴， ∵，， ∴，， ∵将线段绕点顺时针旋转，得到线段， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴点C的坐标为； （2）解：如图3，过点作交于点，过点作轴于点， 则， ∴，， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形，， 又∵， ∴， ∴，， 对于， 当时，则；当，则，解得， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， 代入得，，解得， ∴直线的解析式为， 令，则，解得， ∴点D的坐标为． 40．（25-26八年级上·全国·期末）模型构建】 如图，将含有的三角板的直角顶点放在直线l上，过两个锐角顶点分别向直线作垂线这样就得到了两个全等的直角三角形，由于三个直角的顶点都在同一条直线上，因此我们将其称为“一线三直角”，这模型在数学解题中被广泛使用． (1)【模型应用】 如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于，两点， ①则点坐标为 ；点坐标为 ； ②，是正比例函数图象上的两个动点，连接，，若，，则的最小值是 ； (2)如图2，一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点．将直线绕点逆时针旋转得到直线，求直线对应的函数表达式； (3)【模型拓展】 如图3，直线的图象与轴，轴分别交于、两点，直线：与轴交于点．点、分别是直线和直线上的动点，点的坐标为，当是以为斜边的等腰直角三角形时，直接写出点的坐标． 【答案】(1)①，；② (2)； (3)或 【分析】（1）①根据解析式求出点、的坐标； ②过点作，利用“一线三直角”可证，根据全等三角形的性质可得，，利用勾股定理可以求出，根据垂线段最短可得的最小值是； （2）根据解析式求出、的长度，过点作，交直线于点，过点作轴于点，可证，根据全等三角形的性质求出点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式； （3）根据解析式求出、的长度，分和两种情况把点的坐标用含的代数式表示出来，再代入直线的解析式，即可求出点的坐标． 【详解】（1）①解：当时，， 点的坐标是， 当时，可得：， 解得：， 点的坐标是， 故答案为：，； ②解：如下图所示，过点作， ， ， ， ， 点的坐标是，点的坐标是， ， 在和中， ， ， ， ， 垂线段最短， ， 的最小值是； 故答案为：； （2）解：当时，， 点的坐标是， ， 当时，可得：， 解得：， 点的坐标是， ， 如下图所示，过点作，交直线于点，过点作轴于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 点的坐标是， 设直线的解析式是， 可得：，解得：， 直线的解析式是； （3）解：当时，， 点的坐标是，， 当时，， 解得：， 点的坐标是，， 当时，如下图所示，过点作轴，过点作，交直线于点， 是以为斜边的等腰直角三角形， 由“一线三直角”可知， ，， ， 点的坐标为， 把代入， 可得：， 解得：， ，， 点的坐标为； 当时，如下图所示，过点作轴，过点作，交直线于点， 是以为斜边的等腰直角三角形， 由“一线三直角”可知， ，， ， 点的坐标为， 把代入， 可得：， 解得：， ，， 点的坐标是； 综上所述，点的坐标是或． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查一次函数的应用，涉及待定系数法求函数解析式、垂线段最短、全等三角形的判定与性质、坐标与图形、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识，理解题中新定义方法，添加合适辅助线构造“一线三直角”是解答的关键． 41．（25-26八年级上·辽宁锦州·期中）【观察发现】如图1，将含有的三角板的直角顶点放在直线l上，过两个锐角顶点分别向直线l作垂线，这样就得到了两个全等的直角三角形．这种三个直角的顶点都在同一条直线上的基础图形在数学解题中被广泛使用． 【探究迁移】 （1）如图2，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点． ①的度数为； ②C，D是正比例函数的图象上的两个动点，连接，．若，，则的最小值是． （2）如图3，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点，将直线顺时针旋转得到直线l，求直线l对应的函数表达式． 【问题解决】 （3）如图4，是某试验田的一块区域示意图，，点O为试验田的供水中心，点P为进出水口点，且在线段上．现要规划一片等腰直角三角形区域作为新品种小麦的研究基地，点M在线段上，点N在线段的下方，为了便于确定点N的位置，以O为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知点P的坐标为，按设计要求，点N处设置为另一个进出水口，要用水管把O，P，N三点连接起来，若使所需的水管长度最短，求所需要水管长度的最小值． 【答案】（1）①；②；（2）；（3） 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，垂线段最短，待定系数法，旋转的性质，勾股定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． （1）①根据解析式确定，，得到，解答即可． ②根据垂线段最短，得到时，取得最小值，利用三角形全等判定证明，利用勾股定理解答即可． （2）过点D作于点D，过点D作轴于点F，过点B作于点E，则四边形为矩形，根据一线三直角全等模型解答即可． （3）过点作轴，过点作轴，与相交于点，过点作轴，交直线于点．证明，得出，设点，点，得出．即点在直线上．过点作直线的对称点，当点三点共线时，最小，即的值最小． 【详解】（1）解：①∵直线与轴、轴分别交于，两点， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； ②解：根据垂线段最短，得到时，取得最小值， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：过点D作于点D，过点D作轴于点F，过点B作于点E， 则四边形为矩形， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵一次函数的图象与轴、轴分别交于，两点， ∴，， ∴， ∴， 解得． ∴， 设直线的解析式为， 根据题意，得， 解得， ∴解析式为； （3）解：如图，过点作轴，过点作轴，与相交于点，过点作轴，交直线于点． ， ， ． ， ． ． 设点，点， 即，解得． 则． 即点在直线上， 过点作直线的对称点，当点三点共线时，最小，即的值最小， 如图，设直线与轴交于点，与轴交于点，连接， 则点，点，， ， ， ， 点， ，， =， 所需要水管长度的最小值为． 42．（25-26八年级上·广东深圳·期中）【探索发现】如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点，过作于点．过作于点，则，我们称这种全等模型为“型全等”．（不需要证明） 【迁移应用】已知：直线的图像与轴、轴分别交于两点． (1)如图2，当时，在第一象限构造等腰直角，； ①直接写出______，______； ②点的坐标______，的面积_________； (2)如图3，当的取值变化，点随之在轴负半轴上运动时，在轴左侧过点作，并且，连接，问的面积是否发生变化？若不变，求出的面积；若变，请说明理由； (3)【拓展应用】如图4，当时，直线：与轴交于点，点、分别是直线和直线上的动点，点在轴上的坐标为，当是以为斜边的等腰直角三角形时，点的坐标是______（直接写出答案即可）． 【答案】(1)①8，6；②；50 (2)的面积不变， (3)或 【分析】（1）①若，则直线与轴，轴分别交于，两点，即可求解； ②过点作轴，垂足为，证明，由全等三角形的性质可得，，即可求解； （2）当的取值变化，点随之在轴负半轴上运动时，过点作轴，垂足为，证明，由全等三角形的性质得，根据三角形的面积公式即可求解； （3）过点作轴于，过点作于，证明，可分两种情况讨论，由全等三角形的性质得，，进而可得点的坐标，然后将点的坐标代入求得的值，即可求解． 【详解】（1）解：①当时，直线解析式为， 令，则，即， 令，则有， 解得，即， ∴，． ②过点作轴，垂足为，如下图， ∵为等腰直角三角形，， ∴，， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴； ∵为等腰直角三角形，， ∴． （2）解：当的取值变化时，的面积是定值，，理由如下： 如下图，过点作轴，垂足为， 则， ∵，， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴当的取值变化时，的面积是定值，； （3）解：当时，如下图，过点作轴于，过点作于， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴． ∴，， ∴， ∴点的坐标为， ∵， ∴直线，将点的坐标代入， 可得，， 解得， ∴，， ∴点的坐标为； 当时，过点作轴于，过点作于， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴点的坐标为， ∵， ∴直线，将点的坐标代入， 可得， 解得， ∴，， ∴点的坐标为． 综上所述，点的坐标为或． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 一次函数与几何图形的综合问题 基础·固本强基 题型1 一次函数与三角形的面积问题（重点） 题型2 一次函数中的规律探究问题（重点） 提升·进阶突破 题型3 一次函数中折叠的综合问题（重点） 题型4 一次函数中分段函数探究问题（难点） 拔高·压轴破难 题型5 一次函数中求线段和最值问题（难点） 题型6 一次函数中的新定义型综合问题（难点） 题型7 一次函数与三角形全等综合问题（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 一次函数与三角形的面积问题（共13小题） 【模型】一次函数图象与坐标轴围成三角形，用交点坐标求底和高算面积。 【步骤】先求直线与两坐标轴交点坐标，得三角形底和高，用面积公式计算，或由面积反求点坐标或解析式。 【易错】底和高取交点坐标绝对值，勿用负值；注意三角形可能在坐标轴两侧；由面积求点时多解要讨论，别漏情况。 1．（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图，在平面直角坐标系中，点在一次函数的图象上． (1)求点的坐标． (2)点和点都在轴上，当的面积是时，求点的坐标． 2．（25-26八年级上·甘肃张掖·期中）如图，直线上与轴、轴分别交于两点，于点，点为直线上不与点重合的一个动点． (1)点坐标为（   ）；点坐标为（   ）； (2)线段的长； (3)当的面积是时，求点的坐标． 3．（25-26八年级上·河南郑州·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于，两点．点从点出发，沿射线以每秒2个单位长度的速度运动，同时点从点出发，沿射线以每秒1个单位长度的速度运动．设运动时间为秒． (1)求，两点的坐标及线段的长； (2)当时，连接，求的面积． 4．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴、轴交于点，，点是线段上的一个动点（不与点和点重合），过作轴交直线于点，使，设点的横坐标为． (1)当时，求的值； (2)若点在直线上，且满足，求点的坐标． 5．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴、轴交于点，，点是线段上的一个动点（不与点，点重合），过点作轴的垂线交直线于点，在射线上取点，使，设点的横坐标为． (1)求，两点的坐标； (2)若的面积等于面积的一半，求的值． 6．（25-26八年级下·福建泉州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于A，B两点，点C在轴负半轴，且． (1)点A的坐标为______，点B的坐标为______； (2)P为线段上一个动点，若，求此时点P的坐标； (3)点Q是轴上一个动点，满足，求点Q的坐标． 7．（25-26八年级下·四川成都·期中）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，为一次函数的图象上一点． (1)求A、B两点的坐标． (2)已知点，连接，求的面积． (3)若点Q为一次函数图象上第一象限内一点，且满足，，求的值． 8．（25-26八年级上·四川成都·期中）如图，一次函数与轴、轴分别相交于点和点． (1)求点和点的坐标； (2)点在轴上，若的面积为6，求点的坐标； (3)点在轴上，若等腰三角形，求点的坐标； 9．（25-26八年级下·四川·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于两点，且，与直线交于点． (1)求点的坐标； (2)点为直线上一点，设，连接交于点． ①若点坐标为，求的面积； ②连接，若，求点的坐标． 10．（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图，已知一次函数与轴相交于点，与轴交于点． (1)求出点和点的坐标． (2)点的坐标是，求证：是直角三角形． (3)在直线是否存在点，使得是等腰直角三角形？如果存在，请直接写出的面积，如果不存在，请说明理由． (4)点是直线上的点，若面积是10，请你求出点的坐标． 11．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，一次函数的图象与x、y轴分别交于A、B两点． (1)求A、B两点的坐标； (2)点是第三象限内的点，请用含m的代数式表示四边形的面积； (3)在（2）的条件下，当时，若点P在坐标轴的负半轴上且使，请求出点P的坐标． 12．（25-26八年级下·广东惠州·期末）如图，已知一次函数与轴相交于点，与轴交于点． (1)求出点和点的坐标． (2)若点的坐标是， ①点是轴上的点，若，请求出点的坐标． ②在轴上是否存在点，使得是等腰三角形？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由． 13．（25-26八年级下·河北秦皇岛·期中）一次函数，的图象如图1所示，其中一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，与一次函数的图象交于点C． (1)求点A、B的坐标． (2)求的面积． (3)已知一次函数． ①当时，函数有最大值5，求m的值． ②当时，一次函数的图象如图2所示．设y为，，中的最大值，请直接写出y的最小值． 题型2 一次函数中的规律探究问题（共4小题） 【模型】从一次函数图象或点列中找坐标变化规律，归纳通式并验证。 【步骤】先算前几组对应值，观察横纵坐标增减规律，归纳出一次函数通式，代入验证，再用函数性质说明。 【易错】须多算几组找规律，勿凭一组下结论；注意自变量与函数值对应别弄反；归纳通式要检验，别漏取值范围与特殊情况。 14．（25-26八年级下·湖南永州·期中）如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，，过点作x轴的垂线交于点…过点作y轴的垂线交于点，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，…依次进行下去，则点的坐标是______． 15．（25-26八年级下·河北衡水·期中）如图，直线与直线分别与轴交于点．一动点从点出发，先沿垂直于轴的方向运动，到达直线上的点处后，改为平行于轴的方向运动，到达直线上的点处；再沿垂直于轴的方向运动，到达直线上的点处后，又改为平行于轴的方向运动，到达直线上的点处…照此规律运动，动点依次经过点…则的长度为______． 16．（25-26八年级上·山东青岛·期中）正方形，，，…，按如图所示的方式放置，点、、和点、、…分别在直线和轴上，则点的横坐标是________． 17．（25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，以点为圆心，以长为半径画弧，交直线于点．过点作轴，交直线于点，以为圆心，以长为半径画弧，交直线于点；过点作轴，交直线于点，以点为圆心，以长为半径画弧，交直线于点；过点作轴，交直线于点，以点为圆心，以长为半径画弧，交直线于点，，按照如此规律进行下去，点的坐标为______． 提升·进阶突破 题型3 一次函数中折叠的综合问题（共4小题） 【模型】一次函数图象沿折痕折叠，利用全等得对应边角相等，结合勾股或函数求值。 【步骤】先标折叠前后对应点与线段，利用全等找等量，设未知数，结合一次函数解析式或勾股定理列方程求解。 【易错】折叠前后对应边角相等，折痕为对称轴；落点位置要分清，勿把折痕当函数图象；设未知数选准直角三角形，注意解析式对应关系。 18．（25-26八年级上·全国·期中）如图，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，C在x轴负半轴，连接BC，将沿BC所在的直线折叠，当点A落在y轴上时，点C的坐标为__________． 19．（25-26七年级下·黑龙江大庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、B，点C在y轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的D处，直线与相交于点E． (1)点A的坐标为 ，点B的坐标为 ； (2)点M是y轴上一点，若．求点M的坐标． (3)在第一象限内是否存在点P，使为等腰直角三角形？若存在，直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 20．（25-26八年级上·四川成都·期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴，y轴于点A，点B，且． (1)求k的值； (2)若点C为线段上一点，连接，将沿着折叠，使点B落在x轴的点处，求点C的坐标； (3)如图2，作，点E为直线上一动点，点F为y轴上一动点，是否存在以O，E，F为顶点的三角形与全等？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 21．（25-26八年级上·河南郑州·期中）在“综合与探究”课上，老师让每位同学在练习本上画出一个长方形，然后以该长方形为基本图形，以小组为单位编制一道综合探究题． 经过思考和讨论，励志小组向全班同学分享了他们编拟的试题，得到了老师的认可．同学们也眼前一亮，纷纷动手，开始了探究．请你也跟他们一起来完成这道试题吧． 如图，分别以长方形的边，所在直线为轴、轴，建立平面直角坐标系．已知，，点在线段上，以直线为轴，把翻折，点的对应点恰好落在线段上． (1)请直接写出点的坐标：______，______． (2)当点在运动过程中，设运动时间为秒． ①点从点出发以每秒个单位的速度沿线段的方向运动，当点与点重合时停止运动，求的面积与之间的关系式； ②点是轴负半轴上的一个动点，若与轴交于点，是否存在等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)在本题的探究过程中，让我们感悟的数学思想有______（填序号）． ①方程思想；②数形结合思想；③分类讨论思想． 题型4 一次函数中分段函数探究问题（共5小题） 【模型】自变量不同区间对应不同一次函数，合成分段函数，分段求值或比较。 【步骤】先确定分段点与各段范围，分别求每段一次函数表达式，再按自变量所在区间选对应解析式求值。 【易错】分段点归属勿弄错，各段表达式须标清范围；代入前先判断x落在哪段，勿混用；端点值要检验，别漏分段讨论。 22．（25-26八年级上·山西晋中·期中）阅读与思考 下面是小文在公众号中读到的一篇文章，请仔细阅读并解答相应的问题： 一次函数与绝对值的奇妙相遇 我们知道，函数图象的特征可以从形状、位置、对称性等角度分析．例如，一次函数的图象如图①所示，其特征可以描述为：①其图象是一条直线；②其图象经过第一、三、四象限；③其图象与y轴交于点；…事实上，一次函数的图象可以看成将直线向下平移2个单位长度得到． 将一次函数的表达式中自变量x添加绝对值符号，得到一个新函数．我们可以类比研究一次函数图象的方法，通过列表、描点、连线等步骤画出该函数的图象． ①列表： x … 0 1 2 3 … y … ______ 0 ______ 0 1 … ②在图②中描点、连线：    (1)请将文中列表、描点、连线的过程补充完整； (2)根据图②中的函数图象回答下列问题： ①当______时，y有最小值为______； ②请写出该函数的一条性质：______． (3)若的图象与直线没有交点，则k的取值范围是______． x … 0 1 2 3 … y … 1 0 0 1 … 23．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期中）学习“一次函数”时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质，并积累了一些经验和方法，小聪同学尝试运用积累的经验和方法对函数的图象与性质进行探究，下面是小聪同学的探究过程，请你补充完整． (1)列表： 0 1 2 3 4 0 0 则_____，_____； (2)描点并画出该函数的图象； (3)①观察函数图象，当_____时，的值随的值的增大而增大； ②观察函数图象，当时，的取值范围是_____； ③观察函数图象，试判断函数是否存在最小值？若存在，直接写出最小值． ④观察函数图象，试判断函数的图象是否是轴对称图形？若是，直接写出对称轴的直线表达式． 24．（25-26九年级上·吉林长春·期中）在函数的学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，经历了结合图象研究函数性质的过程．下面我们参照函数学习的过程与方法，探究分段函数的图象与性质，并解决如下问题． (1)当时，_____；当时，_____； (2)在平面直角坐标系中画出函数图象； (3)已知点在这个函数图象上，求的值； (4)当时，的取值范围为_____； (5)点、是该函数图象上不重合的两点，横坐标分别为、．小明对、之间（含、两点）的图象进行研究，当图象对应函数的最大值与最小值均不随的变化而变化时，直接写出的取值范围． 25．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）学习“一次函数”时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质．请运用积累的经验和方法，对函数的图像与性质进行探究，并解决相关问题： 【初步感知】 ________ ________ （1）补全表格中横线部分的数据，并在图所给的坐标系中画出函数的图像； 【探究性质】 （2）观察函数的图像，判断下列关于该函数性质的命题： 当时，的值随的值增大而减小；当时，；该函数存在最小值，最小值为；该函数图像是轴对称图形． 其中正确的是___________．（请写出所有正确命题的序号） （3）当时，求的取值范围； 【类比应用】 （4）一次函数（为常数，）的图像过点，若关于，的方程组无解，则的取值范围是___________； 在平面内构造，其中点，，，当函数的图像与的边有个公共点时，请直接写出的取值范围． 26．（25-26八年级下·北京西城·期中）小东根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小东的探究过程，请补充完成： (1)下表是与的几组对应值： 0 0.5 1 2 3 5 3 1 3 则的值为______________； (2)在平面直角坐标系中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象； (3)结合函数的图象观察该函数的性质，下列说法正确的有___________（请填入所有正确结论的序号） ①该函数图象是轴对称图形，它的对称轴为轴； ②当时，随着的增大而增大； ③当该函数的函数值最小时，对应自变量的值有无数个 (4)结合函数的图象，进一步探究该函数与其他函数之间的关系，将函数的图象记为，一次函数的图象记为； ①当和仅有一个交点时，的取值范围为__________； ②令，过点作轴的垂线分别交，于点，．当满足（为整数）时，存在点与点的距离等于3，则____________． 拔高·压轴破难 题型5 一次函数中求线段和最值问题（共5小题） 【模型】用对称或平移将折线化直，两点间线段最短，借一次函数求最值。 【步骤】先找定点与动点，作对称或平移化折线为直线，连接两点求交点，再代入一次函数求线段和最小值。 【易错】对称轴选择要正确，作对称后须连直线；动点位置别漏，注意两点在直线同侧还是异侧；最值在交点处取得，勿忘检验。 27．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图所示，已知点，直线与两坐标轴分别交于、两点，、分别是，上的动点，则周长的最小值是________． 28．（25-26八年级上·河南郑州·期末）如图，一次函数第一象限的图象上有一点，过点作轴的垂线段，垂足为，连接，则的周长的最小值是_____． 29．（25-26八年级上·山东济南·期中）如图，已知点，点M，N分别是直线和直线上的动点，连接，．则的最小值为______． 30．（25-26八年级上·四川达州·期末）如图1，已知直线：交x轴于，交y轴于． (1)求直线l的表达式； (2)如图2，直线的表达式为，点P为线段的中点，在直线上找一点Q，使得最小，并求出最小值； (3)如图3，已知点，点为直线右侧一点，且满足，求m的值． 31．（25-26八年级上·重庆·期末）如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点的横、纵坐标满足． (1)求点C的坐标； (2)如图2，过点C作直线轴，在直线l上且位于点C的上方有一点D，使得的面积是的面积的，点M，N为y轴上的动点（点M在点N的下方），且，连接和，求的最小值； (3)如图3，若点A关于y轴的对称点为点E，作直线，点F的坐标为，点P在x轴上，点Q在直线上，当为等腰直角三角形时，请直接写出点P的坐标． 题型6 一次函数中的新定义型综合问题（共5小题） 【模型】按新定义规则构造一次函数或对一次函数进行新运算，再求解。 【步骤】先读懂新定义含义，按定义列出一次函数或等式，确定取值范围，用一次函数性质求解并检验。 【易错】须严格按新定义列式，勿套旧法则；注意定义中k≠0与取值范围；结果要检验，别漏限制条件与取舍。 32．（25-26八年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，对于点，给出如下定义：当点满足时，称点是点的对消点． 已知，点． (1)在，，中，点的对消点有 ； (2)点在直线上，若点的对消点也是点的对消点，求点的坐标； (3)已知线段和正方形，其中，正方形的四个顶点的坐标分别为，，，，对于正方形边上的每一个点F，线段上总存在线段上每个点的对消点．若的最小值为4，直接写出t的值． 33．（25-26八年级下·湖南岳阳·期中）定义：我们把一次函数（）的图象与正比例函数的图象的交点称为一次函数（）图象的“星光点”．例如，求一次函数图象的“星光点”时，联立方程，解得，则一次函数图象的“星光点”为． (1)一次函数图象的“星光点”为_________； (2)关于的一次函数图象的“星光点”为，求，的值； (3)在平面直角坐标系中，若一次函数（）的图象分别与轴，轴交于点，，且一次函数（）的图象上没有“星光点”，点在轴上，且，连接，直接写出直线的“星光点”． 34．（25-26八年级上·河南郑州·期末）在平面直角坐标系中，有，两点，若存在点使得，且，则称点为的“旋垂点”．例如：如图1，，，三点中，因为，且，所以点为2的“旋垂点”． (1)①点，，则___________2的“旋垂点”（填“是”或“不是”）． ②如图2，若点，，则点是4的“旋垂点”，则点的坐标为___________． (2)如图3，若点为，一次函数上存在2的“旋垂点”，点在轴上，求2的“旋垂点”的坐标． (3)若在直线上存在无数个5的“旋垂点”，且直线与轴交于点，与轴交于点，点在内，，，连接，直接写出的面积． 35．（25-26八年级上·北京海淀·期中）在平面直角坐标系中，对于P，Q两点给出如下定义：若点P到两坐标轴的距离之和等于点Q到两坐标轴的距离之和，则称P，Q两点为同族点．下图中的P，Q两点即为同族点． (1)已知点A的坐标为， ①在点，，中，为点A的同族点的是______； ②若点B在x轴上，且A，B两点为同族点，则点B的坐标为______； (2)已知，， ①M为线段上一点，过点作与x轴垂直的直线l，若在直线l上存在点N，使得M，N两点为同族点，直接写出n的取值范围； ②E为直线上的一个动点，点在x轴下方，若点E、点F为同族点，直接写出m的取值范围． 36．（25-26八年级下·福建厦门·期末）在平面直角坐标系中，有，两点，若存在点使得，且，则称点为的“等垂点”．例如：在三点中，因为，且，所以点为1的“等垂点”． (1)①点，，___________3的“等垂点”（填“是”或“不是”）． ②如图1，若点，则点是4的“等垂点”，则点的坐标为___________； (2)如图2，，在轴上，在一次函数上，若一次函数上存在6的“等垂点”，求6的“等垂点”的坐标； (3)若在直线上存在无数个10的“等垂点”，且直线与轴交于点，与轴交于点，点在线段上，点在内，，连接，设，则的面积关于的表达式为___________． 题型7 一次函数与三角形全等综合问题（共6小题） 【模型】一次函数图象与坐标轴或直线围成三角形，借全等求点坐标或解析式。 【步骤】先由函数求交点坐标，找对应边角证三角形全等，利用全等对应边相等求未知点坐标，再求一次函数表达式。 【易错】全等对应关系勿写错，对应边角要找准；交点坐标须先求准；注意多解情况，别漏分类讨论与检验。 37．（25-26八年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线分别交y轴、x轴于点，点，且a、b满足． (1)______，______； (2)以为边作，点C在直线的右侧且，求点C的坐标； (3)若（2）的点C在第四象限（如图2），与x轴交于点D，与y轴交于点E，连接，过点C作交x轴于点F． ①求证； ②直接写出点C到的距离． 38．（25-26八年级上·宁夏银川·期末）如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点C，过A作于点D．过B作于点E，则，我们称这种全等模型为“k型全等”．（不需要证明） 已知：直线的图像与x轴、y轴分别交于A、B两点． (1)如图2，当时，在第一象限构造等腰直角、： ①直接写出________，________； ②点E的坐标________； (2)如图3，当时，在第二象限构造等腰直角，，求的周长． (3)如图4，当k的取值变化，点A随之在x轴负半轴上运动时，在y轴左侧过点B作，并且，连接，问的面积是否发生变化？若不变，求出面积；若变，请说明理由． 39．（25-26八年级下·山东德州·期末）【模型认识】 如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点E，过A作于点B．过D作于点C，易得． 【模型应用】 (1)如图2，在平面直角坐标系中，，，连结，将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，求点C的坐标； (2)如图3，一次函数的图像与y轴交于点A，与x轴交于点B，直线交x轴于点D，且，求点D的坐标． 40．（25-26八年级上·全国·期末）模型构建】 如图，将含有的三角板的直角顶点放在直线l上，过两个锐角顶点分别向直线作垂线这样就得到了两个全等的直角三角形，由于三个直角的顶点都在同一条直线上，因此我们将其称为“一线三直角”，这模型在数学解题中被广泛使用． (1)【模型应用】 如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于，两点， ①则点坐标为 ；点坐标为 ； ②，是正比例函数图象上的两个动点，连接，，若，，则的最小值是 ； (2)如图2，一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点．将直线绕点逆时针旋转得到直线，求直线对应的函数表达式； (3)【模型拓展】 如图3，直线的图象与轴，轴分别交于、两点，直线：与轴交于点．点、分别是直线和直线上的动点，点的坐标为，当是以为斜边的等腰直角三角形时，直接写出点的坐标． 41．（25-26八年级上·辽宁锦州·期中）【观察发现】如图1，将含有的三角板的直角顶点放在直线l上，过两个锐角顶点分别向直线l作垂线，这样就得到了两个全等的直角三角形．这种三个直角的顶点都在同一条直线上的基础图形在数学解题中被广泛使用． 【探究迁移】 （1）如图2，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点． ①的度数为； ②C，D是正比例函数的图象上的两个动点，连接，．若，，则的最小值是． （2）如图3，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点，将直线顺时针旋转得到直线l，求直线l对应的函数表达式． 【问题解决】 （3）如图4，是某试验田的一块区域示意图，，点O为试验田的供水中心，点P为进出水口点，且在线段上．现要规划一片等腰直角三角形区域作为新品种小麦的研究基地，点M在线段上，点N在线段的下方，为了便于确定点N的位置，以O为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知点P的坐标为，按设计要求，点N处设置为另一个进出水口，要用水管把O，P，N三点连接起来，若使所需的水管长度最短，求所需要水管长度的最小值． 42．（25-26八年级上·广东深圳·期中）【探索发现】如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点，过作于点．过作于点，则，我们称这种全等模型为“型全等”．（不需要证明） 【迁移应用】已知：直线的图像与轴、轴分别交于两点． (1)如图2，当时，在第一象限构造等腰直角，； ①直接写出______，______； ②点的坐标______，的面积_________； (2)如图3，当的取值变化，点随之在轴负半轴上运动时，在轴左侧过点作，并且，连接，问的面积是否发生变化？若不变，求出的面积；若变，请说明理由； (3)【拓展应用】如图4，当时，直线：与轴交于点，点、分别是直线和直线上的动点，点在轴上的坐标为，当是以为斜边的等腰直角三角形时，点的坐标是______（直接写出答案即可）． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $