第4章 二次函数 小结与评价（课件）2026-2027学年湘教版九年级数学上册

小结与评价 湘教·九年级下册 知识图谱 二次函数 二次函数的概念 二次函数的图象与性质 二次函数的表达式的求法 二次函数与一元二次方程的联系 二次函数的应用 其中 x 是自变量，a，b，c 分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项，并且称 y = ax² + bx + c (a ≠ 0)为二次函数的一般形式. y = ax² + bx + c (a，b，c是常数，a≠0) 注意：①二次函数中二次项系数不能为 0. ②在指出二次函数中各项系数时，不要漏掉符号. 二次函数的概念 下列函数中，二次函数是 ( ) 针对训练 D 列表 描点 连线 让 x 取一些具有代表性的值，求出对应的 y 值，列出表格. 以自变量 x 的取值为横坐标，以相应的函数值 y为纵坐标描出相应的点. 按自变量由小到大(或由大到小) 的顺序，用平滑的曲线顺次连接所描的点，并向两端无限延伸 (因为自变量的取值范围是全体实数) 描点法画二次函数图象 画出二次函数 y = 2x2 的图象，并填空： x ··· 0 ··· y = 2x2 ··· 0 ··· －1 2 －2 8 －3 18 1 2 2 8 3 18 x y 2 4 6 -2 -4 -6 2 4 6 8 10 12 14 16 18 y = 2x2 二次函数的性质 函数 y = ax2 a 的符号 a > 0 a < 0 图象 开口方向 对称轴 顶点坐标 向上 向下 y轴 (即直线 x = 0) (0，0) 函数 y = ax2 图象 增减性 最小(大)值 当x < 0 时，y 随 x 的增大而减小；当x > 0时，y 随 x 的增大而增大 当x < 0 时，y 随 x 的增大而增大；当x > 0时，y 随 x 的增大而减小 当x = 0 时，y最小值 = 0 当x = 0 时，y最大值 = 0 1. 已知二次函数 的图象如图所示，线段 AB∥x 轴，交抛物线于 A，B 两点，且点 A 的横坐标为 2，则 AB 的长度为_______. 针对训练 4 2. 已知函数 是关于 x 的二次函数. (1) 求 m 的值. 解：根据题意，得 m2 + 3m－2 = 2 m + 3 ≠ 0 解得 m1=－4，m2=1. 答：m 的值为－4 或 1. 2. 已知函数 是关于 x 的二次函数. (2) 当 m 为何值时，该函数图象的开口向下？ 解：因为该函数图象的开口向下. 所以 m + 3 < 0 所以 m < －3 由(1)得 m 的值为－4 或 1. 所以 m = －4 答：当 m 为 －4 时，该函数图象的开口向下. 2. 已知函数 是关于 x 的二次函数. (3) 当 m 为何值时，该函数有最小值？ 解：因为函数有最小值. 所以 m + 3 > 0 所以 m > －3 由(1)得 m 的值为－4 或 1. 所以 m = 1 答：当 m 为 1 时，该函数有最小值. 函数 y = a(x－h)2 + k a 的符号 a > 0 a < 0 图象 h < 0 h > 0 h < 0 h > 0 开口方向 对称轴 顶点坐标 向上 向下 直线 x = h (h，k) 图象 h < 0 h > 0 h < 0 h > 0 增减性 最大(小)值 当x < h 时，y 随 x 的增大而减小；当x > h时，y 随 x 的增大而增大 当x < h 时，y 随 x 的增大而增大；当x > h时，y 随 x 的增大而减小 当x = h 时，y最小值 = k 当x = h 时，y最大值 = k 1. 已知点 A(－1，y1)， B(2，y2)， C(3，y3)，在二次函数 y = x2 + 3的图象上，则 y1，y2，y3的大小关系正确的是 ( ) 针对训练 A. y1 < y2 < y3 B. y2 < y3 < y1 C. y2 < y1 < y3 D. y1 < y3 < y2 A 2. 已知抛物线 y = a(x－2)2+1 经过点 A(m，y1)， B (m+2，y2). 若点 A 在抛物线对称轴的左侧，且 1< y1< y2，则 m 的取值范围是 ( ) A. 0 < m < 1 B. 0 < m < 2 C. 1 < m < 2 D. m < 2 C 函数 y = ax2 + bx + c a 的符号 a > 0 a < 0 图象 开口方向 对称轴 向上 向下 直线 图象 顶点 坐标 位置 增减性 最大(小)值 顶点是最低点 顶点是最高点 当x < 时，y 随 x 的增大而减小；当x > 时，y 随 x 的增大而增大 当x < 时，y 随 x 的增大而增大；当x > 时，y 随 x 的增大而减小 当x = 时，y最小值 = 当x = 时，y最小值 = 1.关于二次函数 y = x2+2x－1，下列说法错误的是 ( ) 针对训练 A. 图象的顶点为 (－1，－2) B. 图象的对称轴是直线 x = －1 D C. 图象的开口向上 D. 当 x > －1时，y 随 x 的增大而减小 2.关于抛物线 y = －x2+6x－5，下列说法正确的是 ( ) A. 开口向上 B. y 有最小值 D C. 与 y 轴的交点坐标是(0，5) D. 顶点坐标是(3，4) 求二次函数表达式 求二次函数解析式的三种表达式的形式. (1) 已知三点坐标，设二次函数解析式为 y = ax2+bx+c. (2) 已知顶点坐标，设二次函数解析式为 y = a(x－h)2+k. (3) 已知抛物线与 x 轴两交点坐标为(x1，0)，(x2，0)可设二次函数解析式为 y = a(x－x1)(x－x2). 根据下列条件，求出对应二次函数的解析式. (1) 已知二次函数的图象经过点 (1，4) ，且它的顶点是原点； 针对训练 解 因为二次函数图象的顶点坐标是(0，0) 所以可设该二次函数的表达式为 y = ax2. 又因为图象经过点 (1，4)，将该点的坐标代入上式，得 4 = a 因此，这个二次函数的表达式是 y = 4x2. (2) 已知二次函数的图象经过点 (4，－2) ，且当自变量为 2 时，函数有最大值2； 解 因为当自变量为 2 时，函数有最大值 2 所以可设该二次函数的表达式为 y = a(x－2)2+2. 又因为图象经过点 (4，－2)，将该点的坐标代入上式，得 －2 = a(4－2)2 + 2. 解得 a = －1 因此，这个二次函数的表达式是 y =－(x－2)2 + 2. (3) 已知二次函数的图象经过点 (4，－3) ， (0，－19) ， (2，－3) ， 解 设二次函数的解析式为 y = ax2 + bx + c ，则得到关于a，b，c的三元一次方程组： 16a + 4b + c = －3， c = －19， 4a + 2b + c = －3， 解得 a = －2，b = 12，c = －19. 因此，二次函数为 y = －2x2+12x－19. y = ax2 + bx + c (a>0)的图象 一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a > 0)的根 判别式 Δ= b2－4ac Δ > 0 Δ = 0 Δ < 0 x1 x2 x1= x2 有两个不相等的实数根 x1，x2 (x1< x2 ) 有两个相等的实数根 x1= x2= 没有实数根 二次函数的根的情况 试判断下列函数的图象与 x 轴的交点情况： (1) y = 2x2－3x－4； (2) y = 3x2 + 3x + 4； (3) y = 4x2 + 4x + 1； 解 (1) y = 2x2－3x－4 Δ = b2－4ac = (－3)2－4×2×(－4) = 31 > 0 函数图象与 x 轴有两个不同的交点. 针对训练 试判断下列函数的图象与 x 轴的交点情况： (1) y = 2x2－3x－4； (2) y = 3x2 + 3x + 4； (3) y = 4x2 + 4x + 1； 解 (2) y = 3x2 + 3x + 4 Δ = b2－4ac = 32－4×3×4 = －39 < 0 函数图象与 x 轴没有交点. 试判断下列函数的图象与 x 轴的交点情况： (1) y = 2x2－3x－4； (2) y = 3x2 + 3x + 4； (3) y = 4x2 + 4x + 1； 解 (3) y = 4x2 + 4x + 1 Δ = b2－4ac = 42－4×4×1 = 0 函数图象与 x 轴有一个交点. 利用图象法求二次函数根的近似值 利用二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象求一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的根的一般步骤： 1 确定抛物线与 x 轴交点的横坐标. 交点的横坐标就是一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的根 画出二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象 2 3 利用函数图象求一元二次方程 －x2 + 3x + 3 = 0 的近似根(结果精确到0.1) 针对训练 解 设二次函数 y = －x2 + 3x + 3 . 画出二次函数 y = －x2 + 3x + 3的图象. 通过观察或测量，可得抛物线与 x 轴的交点的横坐标约为－0.8 或 3.8，即一元二次方程 －x2 + 3x + 3 = 0的实数根为x1 ≈ －0.8， x2 ≈ 3.8. 利用二次函数解决实际问题的详细步骤： 审 分析问题中的变量、常量及它们之间的关系，设出变量. 用函数解析式表示出它们之间的关系. 借助二次函数的解析式、图象和性质等求解实际问题. 检验结果，得出符合实际意义的结论. 根据题意及解答写出问题. 审清题意，理解问题. 设 列 解 验 答 二次函数的应用 某种蔬菜的每千克售价与销售月份之间的关系如图①所示，每千克成本与销售月份之间的关系如图②所示(图①中的图象是线段，图②中的图象是抛物线).哪个月出售这种蔬菜，每千克的收益(收益＝售价－成本)最大？ 针对训练 解 设线段所在直线的解析式为 y1=kx+b. 将(3，5)和(6，3)代入，得 3k + b = 5 6k + b = 3 解得 k = b = 7 所以 设抛物线的解析式为 y2=a(x－ 6)2 + 1. 将(3，4) 代入，得 4 =a(3－ 6)2 + 1. 解得 所以 即 设每千克的收益为 w 元. 所以 w = y1－y2 因为 ，3 ≤ x ≤ 6 所以当 x = 5 时， 答：5月出售这种蔬菜，每千克的收益最大. 课堂小结 1. 说一说本节课的收获。 2. 你还存在哪些疑惑？ $